陜西省榆林市2025屆下學(xué)期4月全國仿真模擬考試數(shù)學(xué)試題含答案

/陜西省榆林市2025屆下學(xué)期4月全國仿真模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．已知，則（）A． B． C． D．3．已知圓錐的體積為，其側(cè)面積與底面積的比為5:3，則該圓錐的母線長為（）A．5 B．6 C．8 D．104．已知角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．5．已知離心率為2的雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線在第一象限交點(diǎn)為，若，則（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列滿足，，則此數(shù)列前項(xiàng)的和為（）A． B． C． D．7．已知，則（）A． B． C． D．8．已知正實(shí)數(shù)滿足，則（）A． B． C．-1 D．二、多選題（本大題共3小題）9．某地區(qū)組織了一次高三全體學(xué)生的模擬考試，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，則下列正確的是（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則的圖象（）A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于點(diǎn)成中心對稱C．相鄰對稱軸之間的距離為 D．向右平移個(gè)單位可以得到的圖象11．已知曲線的方程為，下列說法正確的有（）A． B．C．曲線被直線截得的弦AB長為 D．曲線的一條對稱軸方程為三、填空題（本大題共3小題）12．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，點(diǎn)，寫出正方形ABCD頂點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)．13．若直線與拋物線相切于第一象限點(diǎn)，則．14．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，將每次骰子正面朝上的數(shù)字依次記為，則的概率是．四、解答題（本大題共5小題）15．的內(nèi)角的對邊分別為，已知是線段AB的中點(diǎn)，在線段AC上，．連接相交于點(diǎn)，連接AP．(1)求證：；(2)求AP的長度．16．如圖，在三棱柱中，平面，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求三棱錐的體積；(2)若二面角的余弦值為，確定點(diǎn)的位置．17．已知焦距為且焦點(diǎn)在軸上的橢圓經(jīng)過點(diǎn)．直線不過點(diǎn)．若與相交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：點(diǎn)在定直線上．18．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．19．已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且每一項(xiàng)均為正整數(shù)．若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列為的階數(shù)列：①；②對于，使得的正整數(shù)對有個(gè)．(1)寫出所有5的2階數(shù)列；(2)若存在的6階數(shù)列，證明：；(3)若存在2025的階數(shù)列，求的最大值．

參考答案1．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以．故選B．2．【答案】A【詳解】由，得，則，即，故選A.3．【答案】D【詳解】由，得，即，又由，得，即．解得，所以母線．故選D.4．【答案】C【詳解】依題意，，即，又，則，所以.故選C.5．【答案】B【詳解】由，得，設(shè)中點(diǎn)為．故，由得，故，故為等腰三角形，

即，又，所以．所以中，．則，，所以直線的斜率，顯然直線與軸交于負(fù)半軸，，CD錯(cuò)誤.故選B.6．【答案】D【詳解】由，得，所以，，故數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，又，，且，則此數(shù)列前項(xiàng)的和．故選D.7．【答案】A【詳解】設(shè)，令，得，又，令，則，所以，即，故選A.8．【答案】C【詳解】由，得．因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù)，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號），所以，即.令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），因此，即.由和可得，則有，解得，所以.故選C.9．【答案】AB【詳解】由題意可得．由對稱性可得,，AB正確，CD錯(cuò)誤．故選AB.10．【答案】ABC【詳解】，由，得的圖象關(guān)于對稱，當(dāng)時(shí)，，故正確；由，得的圖象的對稱中心為，當(dāng)時(shí)，對稱中心為，故正確；因?yàn)?，所以的周期為，所以相鄰對稱軸之間的距離為，故正確；將向右平移個(gè)單位可以得到的圖象，故錯(cuò)誤.故選.11．【答案】ABD【詳解】對于A選項(xiàng)，由，得．所以判別式，解得，故A正確；對于B選項(xiàng)，由，得．令，則所以即，故B正確；對于C選項(xiàng)，由聯(lián)立得，設(shè)則所以，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，若點(diǎn)在曲線上，顯然點(diǎn)也在曲線上．故D正確．故選ABD.12．【答案】或．（答案不唯一，寫出其中一個(gè)即可）【詳解】設(shè)，則，所以且．即，解得或．13．【答案】/【詳解】法一：設(shè)，因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以，且，得，即，解得；法二：?lián)立直線與拋物線，得，則，解得，又切點(diǎn)位于第一象限，即，，所以.14．【答案】【詳解】擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，總的基本事件數(shù)為：，可分為以下四種情況：，可理解為從1到6任選3個(gè)數(shù)，最大的賦給，中間值賦給，最小的賦給，所以包含的基本事件數(shù)為：，，可理解為從1到6任選2個(gè)數(shù)，較大的賦給，較小的賦給，所以包含的基本事件數(shù)為：，，可理解為從1到6任選2個(gè)數(shù)，較大的賦給，較小的賦給，所以包含的基本事件數(shù)為：，，可理解為從1到6任選1個(gè)數(shù)，把這個(gè)數(shù)都賦給，所以包含的基本事件數(shù)為：，所以所求事件概率為．15．【答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）在中，又，所以即，所以．（2）設(shè)，由是AB的中點(diǎn)，得，又，得．所以，且由CD與BE相交于點(diǎn)可知，點(diǎn)在線段CD上，也在線段BE上，由三點(diǎn)共線的條件可得，解得，所以，故16．【答案】(1)(2)點(diǎn)在AB中點(diǎn)處【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫?，又因?yàn)槠矫妫云矫?，又平面，所以．所以．?）由（1）得兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

令所以，故，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，所以即，取，得，所以易知是平面的一個(gè)法向量．因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，所以解得．故：點(diǎn)在中點(diǎn)處．17．【答案】(1)(2)證明見詳解【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為：．因?yàn)榻咕酁?，所以，即，由，解得．故橢圓方程為：．（2）證明：設(shè)點(diǎn)，由,得，由得，則．因?yàn)橐詾橹睆降膱A過點(diǎn)，所以，即，整理可得①，將，代入①式化簡可得，即，因?yàn)橹本€不過點(diǎn)，所以，即．所以點(diǎn)在定直線上．

18．【答案】(1)在定義域上單調(diào)遞增(2)【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，即，所以．的定義域?yàn)椋?，則，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值即最小值，即在上恒成立，即在上單調(diào)遞增．（2）由，得，即．所以對任意恒成立．設(shè)，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，且在上單調(diào)遞減，則（＊）式，令，則，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，所以，則，所以，故得實(shí)數(shù)的最小值為．19．【答案】(1)數(shù)列3，1，1和數(shù)列2，2，1和數(shù)列1，2，1，1；(2)證明見詳解；(3)512578.【詳解】（1）由題意得，則，或，或，或，或.故所有5的2階數(shù)列有：數(shù)列3，1，1和數(shù)列2，2，1和數(shù)列1，2，1，1.（2）因?yàn)閷τ?，使得的正整?shù)對有個(gè)，且存在的6階數(shù)列，所以，得.①當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?階數(shù)列，所以數(shù)列中各項(xiàng)均不相同，則.②當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?階數(shù)列，所以數(shù)列各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以.若，滿足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2，所以，不符合題意，所以.③當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?階數(shù)列，所以數(shù)列各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以.綜上所述，若存在的6階數(shù)列，則.（3）若數(shù)列中的每一項(xiàng)都相等，則，若，所以數(shù)列中存在大于1的項(xiàng)，若末項(xiàng)，將拆分成個(gè)1后變大，所以此時(shí)不是最大值，所以.當(dāng)時(shí)，若，交換的順序后變?yōu)?，所以此時(shí)不是最大值，所以.若，所以，所以將改為，并在數(shù)列末尾添加一項(xiàng)1，則變大，所以此時(shí)不是最