四川省仁壽第一中學(xué)校北校區(qū)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題含答案

/四川省仁壽第一中學(xué)校北校區(qū)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．下面四個(gè)數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是（）A． B．C． D．2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式可能是（

）A． B． C． D．3．等比數(shù)列1，，，，…的前項(xiàng)和等于（

）A． B．C． D．4．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，且，則的最大值為（

）A．10 B．20 C．25 D．505．已知衡量病毒傳播能力的最重要指標(biāo)叫做傳播指數(shù)．它指的是，在自然情況下（沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力），一個(gè)感染到某種傳染病的人，會(huì)把疾病傳染給多少人的平均數(shù)它的簡單計(jì)算公式是：確診病例增長率×系列間隔，其中系列間隔是指在一個(gè)傳播鏈中，兩例連續(xù)病例的間隔時(shí)間（單位：天）．根據(jù)統(tǒng)計(jì)，確診病例的平均增長率為40%，兩例連續(xù)病例的間隔時(shí)間的平均數(shù)5天，根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算，若甲得這種傳染病，則6輪傳播后由甲引起的得病的總?cè)藬?shù)約為（

）A．243 B．248 C．363 D．10926．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和與前n項(xiàng)積分別為，，公比為正數(shù)，且，，則使成立的n的最大值為（

）A．8 B．9 C．12 D．137．已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的值為2B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為C．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列D．8．已知數(shù)列通項(xiàng)公式為，若對(duì)任意，都有則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．?dāng)?shù)列滿足，則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為 D．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列10．已知為等差數(shù)列，滿足，為等比數(shù)列，滿足，，則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的首項(xiàng)比公差多 B．?dāng)?shù)列的首項(xiàng)比公差少C．?dāng)?shù)列的首項(xiàng)為 D．?dāng)?shù)列的公比為11．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和能取到最大值，且滿足：對(duì)于以下幾個(gè)結(jié)論，其中正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列； B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列；C．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)是； D．?dāng)?shù)列的最小的正數(shù)是.三、填空題（本大題共3小題）12．若成等差數(shù)列，則二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．13．已知斐波那契數(shù)列滿足，記，則.（用表示）14．若數(shù)列滿足（其中，，為常數(shù)，），則稱是以為周期，以為周期公差的“類周期性等差數(shù)列”.若“類周期性等差數(shù)列”的前4項(xiàng)為1，1，2，2，周期為4，周期公差為2，則的前16項(xiàng)和為.四、解答題（本大題共5小題）15．（1）等差數(shù)列中，已知，求；（2）等比數(shù)列中，已知，求和.16．已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．已知等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和18．已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)為1，其前項(xiàng)和為，滿足.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．已知數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足的，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.

參考答案1．【答案】C【詳解】對(duì)于A，，數(shù)列是遞減數(shù)列，A不是；對(duì)于B，，數(shù)列不是遞增數(shù)列，B不是；對(duì)于C，，數(shù)列是遞增數(shù)列，是無窮數(shù)列，C是；對(duì)于D，數(shù)列是有窮數(shù)列，D不是．故選C.2．【答案】D【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因數(shù)列可以寫成，故其通項(xiàng)公式可以寫成，故D項(xiàng)正確.故選D.3．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以.故選C.4．【答案】C【詳解】由，則有，即，由基本不等式得，當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故選C.5．【答案】D【詳解】記第1輪感染人數(shù)為，第2輪感染人數(shù)為，…，第輪感染人數(shù)為，則數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，由題意，即，所以，總?cè)藬?shù)為人.故選D．6．【答案】C【詳解】解：因?yàn)?，，公比為正?shù)顯然不為1，所以，解得，，所以，則，要使，則，解得，故n的最大值為12.故選C.7．【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴，故A正確；當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵上式對(duì)也成立，∴（），故B錯(cuò)誤；∵，∴數(shù)列為遞減數(shù)列，故C正確；∵，∴，兩式相減得，，∴，故D正確．故選B．8．【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，，由，得，即，∵且，，∴，解得.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，若對(duì)任意，都有，則且，即且，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選B.9．【答案】ABD【解析】首項(xiàng)根據(jù)得到，從而得到是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，再依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)?，，所以，即所以是以首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故A正確.對(duì)選項(xiàng)B，由A知：數(shù)列的前n項(xiàng)和，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，故C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以?shù)列為遞減數(shù)列，故D正確.故選ABD.10．【答案】AD【詳解】設(shè)的公差為，由，得，化簡得，所以A正確，B錯(cuò)誤．設(shè)的公比為，由，得，化簡得，所以C錯(cuò)誤，D正確，故選AD.11．【答案】ACD【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和能取到最大值，數(shù)列是遞減數(shù)列，且，故A正確；，，數(shù)列先增后減，故B錯(cuò)誤；由，，得，，數(shù)列的最大項(xiàng)是，故C正確；由，，得數(shù)列的最小的正數(shù)是，故D正確．故選ACD．12．【答案】1或2【詳解】∵a，b，c成等差數(shù)列，∴，∴．∴二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1或2．13．【答案】【詳解】由題意，，所以，因?yàn)?，所以，，所?則，故，則.14．【答案】72【詳解】依題意，，，，，所以的前16項(xiàng)和為.15．【答案】（1），；（2）【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所以，解得，所以，所?16．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由可得，再由時(shí)，與條件作差可得，從而利用等差數(shù)列求通項(xiàng)公式即可；（2）由利用裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】（1）∵，∴，解得，當(dāng)時(shí)，由①可得，②，①－②：，∵，∴，∴，即∴，∴是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，∴綜上所述，結(jié)論是：.（2）由（1）可得∴，綜上所述，.17．【答案】（1）或；（2）見解析.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，得，解得或，所以或.（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí).【方法總結(jié)】分組求和法一個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，重新組合，就會(huì)變成幾個(gè)可以求和的部分，即能分別求和，然后再合并．常見類型如下：(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}分別為等差數(shù)列、等比數(shù)列，則可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和．(2)通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和．18．【答案】(1)證明見解析，；(2)【詳解】（1）因，則，即，又因數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，則，則，又由，則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，則，（2）由（1）可得，，又滿足上式，所以，則，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，從而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以.19．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）將，變形為，再利用等比數(shù)列的定義求解.（2）由（1）得，然后利用錯(cuò)位相減法