甘肅省隴南市兩當(dāng)縣第一中學(xué)、職業(yè)學(xué)校2025屆高三下學(xué)期4月模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試卷含答案

/甘肅省隴南市兩當(dāng)縣第一中學(xué)、職業(yè)學(xué)校2025屆高三下學(xué)期4月模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．2．命題“，”的否定為（

）A．， B．， C．， D．，3．“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要4．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，定義：經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線l的方程為，經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.已知在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，經(jīng)過點(diǎn)的直線l的方程為，經(jīng)過點(diǎn)P的平面的方程為，則直線l與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．5．已知直線與圓，則（）A．與相離 B．與相切 C．平分 D．與相交但不平分6．如圖為2022年北京冬奧會(huì)首鋼滑雪大跳臺(tái)示意圖，為測(cè)量大跳臺(tái)最高點(diǎn)距地面的距離，小明同學(xué)在場(chǎng)館內(nèi)的A點(diǎn)測(cè)得的仰角為，，，（單位：），（點(diǎn)在同一水平地面上），則大跳臺(tái)最高高度（

）A． B．C． D．7．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列如表所示，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．某校舉行了交通安全知識(shí)主題演講比賽，甲、乙兩位同學(xué)演講后，6位評(píng)委對(duì)他們的演講分別進(jìn)行打分（滿分100分），得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則（

）A．甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)B．甲得分的極差大于乙得分的極差C．甲得分的第75百分位數(shù)大于乙得分的第75百分位數(shù)D．甲得分的方差大于乙得分的方差10．關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．最小正周期為 B．最大值為3C．圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增11．如圖，在四棱錐中，底面，底面為邊長(zhǎng)為2的菱形，，為對(duì)角線的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)．則下列說法正確的是（

）A． B．三棱錐的外接球的半徑為C．當(dāng)異面直線和所成的角為時(shí)， D．點(diǎn)F到平面與到平面的距離相等三、填空題（本大題共3小題）12．已知，，，若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是．13．設(shè)點(diǎn)P是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值是14．已知函數(shù)，則．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在三棱柱中，平面，分別為的中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)直接寫出直線與平面的位置關(guān)系.16．已知函數(shù).(1)求在（為自然對(duì)數(shù)的底）處的切線方程；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．17．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，雙曲線的左焦點(diǎn)為T．(1)求的方程和雙曲線的漸近線方程；(2)設(shè)為拋物線和雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，求證：直線與拋物線相切；(3)設(shè)為上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，判斷是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．18．設(shè)有6個(gè)白球和4個(gè)紅球混合后裝入袋中，從這10個(gè)球中任取5個(gè).(1)在有放回的情況下，求這5個(gè)球中恰有3個(gè)白球的概率；(2)在不放回的情況下，求這5個(gè)球中恰有3個(gè)白球的概率；(3)在不放回的情況下，求第3個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕?19．已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列滿足：①；②．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)求證：存在正整數(shù)，使得；(3)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求的取值范圍，使數(shù)列為周期數(shù)列且方程有解（若數(shù)列滿足：存在且，對(duì)任意且，成立，則稱數(shù)列為以為周期的周期數(shù)列）．

參考答案1．【答案】C【分析】解一元二次不等式確定集合，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定集合，集合的補(bǔ)集交集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，又或，則，所以.故選：C.2．【答案】A【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，故原命題否定為“，”.故選A3．【答案】A【詳解】因?yàn)椤啊笨梢酝瞥觥啊保啊辈荒芡瞥觥啊?，所以“”是“”的充分不必要條件.故選A.4．【答案】B【詳解】經(jīng)過點(diǎn)的直線的方程為，即，則直線的一個(gè)方向向量為.又經(jīng)過點(diǎn)的平面的方程為，即，所以的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則.故選B.5．【答案】C【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，直線過點(diǎn)，所以直線平分，故選C.6．【答案】C【詳解】在中,，，所以，又，由正弦定理可得,,,在中，,所以，（m）故選C.7．【答案】B【詳解】由題意可得.故選B.8．【答案】B【詳解】令，則，故或，令，則或，故或，故有3個(gè)不同的解，且解異于.故有一個(gè)解且有兩個(gè)解且解不為，故，且，，解得.故選B.9．【答案】AC【詳解】解：由統(tǒng)計(jì)圖可知，甲得分從小到大排列為：81，81，82，83，84，87，乙得分從小到大排列為：78，79，80，81，82，86，對(duì)于A，甲得分的中位數(shù)為82.5，乙得分的中位數(shù)80.5，所以甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)，故A正確；對(duì)于B，甲得分的極差為87﹣81＝6，乙得分的極差為86﹣78＝8，所以甲得分的極差小于乙得分的極差，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?×75%＝4.5，所以甲得分的第75百分位數(shù)為84，乙得分的第75百分位數(shù)為82，所以甲得分的第75百分位數(shù)大于乙得分的第75百分位數(shù)，故C正確；對(duì)于D，由折線圖可知，甲的得分比較集中，乙的得分比較分散，所以甲得分的方差小于乙得分的方差，故D錯(cuò)誤.故選AC.10．【答案】BCD【詳解】的最小正周期為的最小正周期為，故的最小正周期為，A正確；易知的最大值不超過，當(dāng)且時(shí)，需同時(shí)滿足且，此時(shí)無解，故實(shí)際最大值小于，B錯(cuò)誤；若的圖象關(guān)于對(duì)稱，則，而，與矛盾，故的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，C錯(cuò)誤；由知，不滿足在上單調(diào)遞增的定義，D錯(cuò)誤.故選BCD11．【答案】ACD【詳解】在菱形中，過點(diǎn)作直線，由底面，得直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，而，則，由，得，則，對(duì)于A，，，則，于是，A正確；對(duì)于B，由，得三棱錐的外接球截平面所得截面圓圓心為，則球心在過垂直于平面的直線上，直線，顯然球心在線段的中垂面上，因此，三棱錐的外接球，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，由異面直線和所成的角為，得，整理得，而，解得，C正確；對(duì)于D，，設(shè)平面與平面的法向量分別為，，令，得，，令，得，而，則點(diǎn)F到平面的距離，點(diǎn)F到平面的距離，顯然，D正確.故選ACD12．【答案】【詳解】因?yàn)榕c的夾角為銳角，又，所以，又，，，所以，解得，又因，當(dāng)時(shí)，也滿足，此時(shí)不合題意，當(dāng)與共線同向時(shí)，有，從而得到，解得，又，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是.13．【答案】【詳解】解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，圓的圓心為，如圖所示：由雙曲線的定義得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q分別為線段FM與雙曲線的右支，圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)．故的最小值為14．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，且，所以，所?15．【答案】(1)證明見解析(2)(3)與平面相交【詳解】（1）分別是的中點(diǎn)，，平面，平面，又平面，，是的中點(diǎn)，，又，平面，平面，平面．（2）以為原點(diǎn)，以所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令可得，又平面為平面的一個(gè)法向量，．由圖形可知二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為．（3），，，與不垂直，與平面不平行，又平面與平面相交．16．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）解：由，得，由，得，所以曲線在處的切線方程為.（2）證明：先證明，構(gòu)造函數(shù)，其中，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，，，因?yàn)?，則，故，即當(dāng)時(shí)，.17．【答案】(1)準(zhǔn)線的方程為，雙曲線的漸近線方程為(2)證明見解析(3)是，．【詳解】（1）準(zhǔn)線的方程為，雙曲線的漸近線方程為．（2）聯(lián)立方程組，消去得，解得（舍負(fù)），由對(duì)稱性，不妨取，又由，求得直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去得，因?yàn)?，所以直線與拋物線相切．（3）因?yàn)?，得?zhǔn)線為線段的中垂線，則直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，即，設(shè)，由條件知，聯(lián)立方程組，消去得，則，聯(lián)立方程組，消去得，則，所以，故為定值．18．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）在有放回的情況下，每一次取到白球的概率為，所以這5個(gè)球中恰有3個(gè)白球的概率.（2）在不放回的情況下，這5個(gè)球中恰有3個(gè)白球的概率.（3）在不放回的情況下，若第3個(gè)球?yàn)榘浊颍瑒t有四種情況：白,白,白；白,紅,白；紅,白,白；紅,紅,白，所以所求概率.19．【答案】(1)8(2)證明見詳解(3)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，即，則，故.（2）先證：若存在正整數(shù)，使得，則存在正整數(shù)，使得.證明：若時(shí)，則，即從第項(xiàng)起到最后一個(gè)大于3的項(xiàng)的下一項(xiàng)為止，數(shù)列為遞減數(shù)列，設(shè)數(shù)列中滿足的最小項(xiàng)為，則，∴，故存在正整數(shù)，使得.當(dāng)，即，則存在正整數(shù)，使得；當(dāng)，即，則存在正整數(shù)，使得；當(dāng)，即，∴，則存在正整數(shù)，使得；綜上所述：故存在正整數(shù)，使得.（3）由（2）