安徽省淮北、淮南市2025屆高三下學(xué)期第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題含答案

/安徽省淮北、淮南市2025屆高三下學(xué)期第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．若，則（

）A． B． C．2 D．3．已知向量，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44．若拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，則橢圓長軸的長為（

）A．2 B． C．4 D．85．函數(shù)的圖像如圖所示，則（

）A． B．C． D．6．甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和3個白球，先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出兩球，則取出的兩球顏色相同的概率為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)和的定義域均為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則（

）A．4 B．2 C．0 D．8．在中，記，則（

）A．存在，使B．存在，使C．的最小值為D．的最大值為二、多選題（本大題共3小題）9．某校100名學(xué)生學(xué)業(yè)水平測試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，已知所有學(xué)生成績均在區(qū)間內(nèi)，則（

）A．圖中的值為0.005B．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為73C．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75D．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為71.710．設(shè)數(shù)列的前項和為，對任意正整數(shù)有，下列命題正確的有（

）A．若，則B．一定不是等差數(shù)列C．若為等比數(shù)列，則公比為2D．若，則為等比數(shù)列11．甲乙兩名玩家輪流從裝有個小球的容器中取球，每次至少取一個，先取球者第一次不能將球取完，之后雙方每次取球數(shù)不超過對手上一輪取球數(shù)的2倍，取得最后一個球的玩家獲勝.若甲先取，乙有必勝的策略，則可以是（

）A．4 B．5 C．8 D．13三、填空題（本大題共3小題）12．若實數(shù)和的等差中項為1，則的最小值為.13．已知是橢圓的兩個焦點，過的直線交于兩點，若，，則橢圓的離心率為.14．如圖，圓錐有且僅有一條母線在平面內(nèi)，圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓，則圓錐外接球的表面積為；若是中點，，且點到直線的距離為，則與圓錐底面所成角的余弦值為.四、解答題（本大題共5小題）15．的內(nèi)角的對邊分別為(1)求；(2)若的面積為，求的周長.16．四棱錐中，平面，(1)求；(2)求證：；(3)求與平面所成角的正弦值.17．已知函數(shù)(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；(2)求證：當(dāng)時，有且僅有一個零點.18．已知雙曲線經(jīng)過點為其左，右頂點，且與的斜率之積為(1)求雙曲線的方程；(2)點為實軸上一點，直線交于另一點，記的面積為的面積為，若，求點坐標(biāo).19．在組合數(shù)學(xué)、表示論和數(shù)學(xué)物理中，“數(shù)”，是一種通過引入?yún)?shù)對經(jīng)典數(shù)學(xué)對象進(jìn)行推廣的概念，由物理學(xué)家保羅?狄拉克首先使用，對量子力學(xué)的發(fā)展意義重大.定義“數(shù)”：，其中，.利用“數(shù)”可以進(jìn)一步定義兩個概念：“階乘”：，且，“組合數(shù)”(1)計算和的值；(2)證明：對任意；(3)證明：對任意.

參考答案1．【答案】C【詳解】對于不等式，解得，即集合.所以或.集合，可得.故選C.2．【答案】A【詳解】設(shè)，則，所以，由，所以，故，所以，故選A.3．【答案】D【詳解】由可得，解得，則，由可得，解得.故選D4．【答案】C【詳解】在拋物線中，焦點坐標(biāo)為.因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以橢圓的焦點在軸上，且（為橢圓的半焦距）.在橢圓中，，又因為，所以.而在橢圓中，，所以.橢圓的長軸長為.故選C.5．【答案】B【詳解】觀察圖象知，，函數(shù)有3個零點，設(shè)3個零點為，于是，當(dāng)時，，而此時，因此，又，函數(shù)有兩個極值點，且，即有兩個不等實根，，因此，所以.故選B.6．【答案】B【詳解】從甲箱中隨機(jī)取一個球，甲箱中有個紅球和個白球，那么從甲箱中取出紅球的概率；取出白球的概率.若從甲箱中取出一個紅球放入乙箱，則乙箱中有個紅球和個白球.從個球中取出個球的組合數(shù)為種.從個紅球中取出個紅球的組合數(shù)為種；從個白球中取出個白球的組合數(shù)為種.所以在從甲箱取出紅球的條件下，從乙箱取出兩球顏色相同的概率.若從甲箱中取出一個白球放入乙箱，則乙箱中有個紅球和個白球.從個球中取出個球的組合數(shù)為種.從個紅球中取出個紅球的組合數(shù)為種；從個白球中取出個白球的組合數(shù)為種.所以在從甲箱取出白球的條件下，從乙箱取出兩球顏色相同的概率.由全概率公式可得，取出的兩球顏色相同的概率為：.故選B.7．【答案】A【詳解】因為為偶函數(shù)，故，所以的圖象關(guān)于對稱，因此.因為為奇函數(shù)，故，整理得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由得，，當(dāng)時，由得，所以，即，因為所以解得，所以.故選A.8．【答案】D【詳解】由題意可得，，，則，故AB錯誤；若，則因，則，則，得，則，故C錯誤；，即，則方程在上存在根，則，即，等號成立時，因，則，則，此時變?yōu)?，得，則，故當(dāng)時，取最大值，故D正確.故選D.9．【答案】ABD【詳解】對于A，由頻率分布圖可知：，解得，故A正確；對于B，由頻率分布圖可知：，故B正確；對于C，由頻率分布圖可知眾數(shù)為65，故C錯誤；對于D，設(shè)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為，因為，,所以中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，則，解得，故D正確；故選ABD.10．【答案】ABD【詳解】對于A，，當(dāng)時，，故A正確；對于B，假設(shè)是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，由得，即，根據(jù)多項式相等可得，方程組無解，所以一定不是等差數(shù)列，故B正確；對于C，若為等比數(shù)列，由兩式相減得，即，由得，解得，故C錯誤；對于D，若，則，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，兩式相減可得，即，所以數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項是以首項為公比的等比數(shù)列，又，所以數(shù)列為等比數(shù)列，故D正確.故選ABD.11．【答案】BCD【詳解】設(shè)是斐波那契數(shù)列：，現(xiàn)證明以下結(jié)論成立：若，則后取者乙有必勝策略.當(dāng)時，甲只能取1個球，故乙必勝；當(dāng)時，若甲取1個球，乙可直接取2個球后獲勝；若甲取2個球，乙可直接取1個球后獲勝，故乙必勝.故結(jié)論成立.設(shè)和時結(jié)論成立，那么時，若甲取的球數(shù)，則剩下的球數(shù)為，故乙只要將剩下的個球全部取走而獲勝；若甲取的球數(shù)，注意到，故不失一般性可以假設(shè)一開始個球分成兩堆，其中一堆個球，另一堆有個球，而甲從有個球的一堆中取走了r個球，于是由歸納假設(shè)，乙有策略保證自己取到有個球的那堆中的最后一個球，而剩下有個球的那一堆，并由歸納假設(shè)知乙可使自己最后一次取球的個數(shù)不大于，這時無論甲取多少根火柴（至多為不可能將個球取完），由歸納假設(shè)知乙有必勝策略，保證自己取到最后一個球，且乙最后一個所取球的個數(shù)，故若，則后取者乙有必勝策略.選項中，，故當(dāng)n為5，8，13時，乙有必勝的策略.故選BCD.12．【答案】2【詳解】若實數(shù)和的等差中項為1，則，，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號.故的最小值為2.13．【答案】【詳解】由題可知，由橢圓的定義知：，，所以，又因為，所以，，所以，解得：，，所以在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：所以，可得：，即，所以，因為，所以.

14．【答案】【詳解】設(shè)圓錐的母線長，底面半徑，因為圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓，所以，，解得，所以中，設(shè)圓錐外接圓的圓心為G，半徑為R，由圓錐外接圓的性質(zhì)可知，點G在線段上，在中，，即，解得，故圓錐外接球的表面積為.在平面內(nèi)過點P作直線，取中點M，連接，則，且，因為頂點為的圓錐有且僅有一條母線在平面內(nèi)，所以平面平面,又平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，過作垂線，分別交，于點和，連接，，即,又,平面，所以平面,又平面，所以，即到的距離為，所以，所以，因為，所以，所以，在中，，在中，設(shè)與圓錐底面所成角為，則，則,即與圓錐底面所成角的余弦值為.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得，因為,所以，即，所以，所以.（2）因為三角形的面積為，所以，所以，由余弦定理知，即，所以，故，所以三角形的周長為.16．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）分別在和中使用余弦定理得：即，得，所以；（2）因為，由余弦定理可得：，所以，從而，所以.又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以.（3）方法一：設(shè)三棱錐的體積為和的面積分列為，點到平面的距離為，因為，所以因為平面，平面，所以，，所以，所以，且，由得所以與平面所成角的正弦值為.方法二：因為平面，以為坐標(biāo)原點，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以可取，設(shè)與平面所成角為的，所以.所以與平面所成角的正弦值為.17．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）若，則，所以，函數(shù)在處的切線方程為；（2）的定義域為，當(dāng)時有且僅有一個零點4：當(dāng)時，，函數(shù)遞增，由，知存在唯一零點；當(dāng)時，令得，當(dāng)時，函數(shù)遞增：當(dāng)時，函數(shù)遞減；當(dāng)時，函數(shù)遞增：當(dāng)時，，所以，函數(shù)無零點；因為當(dāng)時遞減，當(dāng)時遞增，且，所以存在唯一零點.綜上所述，當(dāng)時，有且僅有一個零點.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得，解得，又，解得，于是的方程為：.（2）（方法1）設(shè)，顯然，