湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末聯(lián)考試題含答案

/衡陽(yáng)市2023級(jí)高一第一學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題時(shí)量：120分鐘滿分：150分考試范圍：必修一、必修二第六章1-3節(jié)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求，再求【詳解】,故．故選：A2.必存在零點(diǎn)的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知的零點(diǎn)即為與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象分析判斷.【詳解】令，可得，可知的零點(diǎn)即為與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出與的圖象，又，可知與在內(nèi)有交點(diǎn)，在，和內(nèi)無(wú)交點(diǎn)，所以在內(nèi)必存在零點(diǎn)，其它區(qū)間無(wú)零點(diǎn).故選：C.3.已知，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得的取值范圍，即可求解.【詳解】由指數(shù)函數(shù)在定義域?yàn)閱握{(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，可得，由?duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以.故選：D.4.函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】奇偶性定義判斷函數(shù)奇偶性，結(jié)合上函數(shù)符號(hào)，應(yīng)用排除法即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以且定義域?yàn)镽，所以是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A、B.當(dāng)時(shí)，，排除D.故選：C5.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到的圖象C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】D【解析】【分析】根據(jù)“五點(diǎn)法”求解．可先求出函數(shù)解析式，然后判斷各選項(xiàng)．【詳解】，，，，又，∴，∴，，A錯(cuò)；將圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度所得函數(shù)解析式為，B錯(cuò)；時(shí)，，應(yīng)為增函數(shù)，C錯(cuò)；由得，，時(shí)，是對(duì)稱軸，D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)的性質(zhì)．掌握“五點(diǎn)法”是解題關(guān)鍵．6.如圖，正方形中，是的中點(diǎn)，若，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)分別表示出，，，由已知，求解出和，再計(jì)算即可.【詳解】由題意，以為軸，以為軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則，，，，，所以，，，，又，所以，解得，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，恰當(dāng)?shù)慕⒅苯亲鴺?biāo)系將向量形式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式，屬于基礎(chǔ)題.7.已知，且為第二象限角,，則的值為（）A.－ B.－C. D.－【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求正弦，再弦化切應(yīng)用，結(jié)合誘導(dǎo)公式代入求值即可.【詳解】因?yàn)?，且為第二象限角，所以，則故選:C.8.已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的為（）A. B.的最小正周期C.有4個(gè)零點(diǎn) D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)運(yùn)算求解；對(duì)于B：根據(jù)對(duì)稱性和奇偶性分析可得，進(jìn)而可得周期性；對(duì)于C：分別作出的圖象，結(jié)合圖象分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)性質(zhì)分析運(yùn)算.【詳解】對(duì)于A：由題意可得：，解得，故A正確；對(duì)于B：∵是偶函數(shù)，則，則，又∵為奇函數(shù)，則，可得，∴，則的最小正周期，故B正確；對(duì)C：令，則，注意到此時(shí)，分別作出的圖象，由圖象可知：有4個(gè)交點(diǎn)，故有4個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)D：∵，則，可得，故D不正確.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.命題“”的否定是“，使得”B.若集合中只有一個(gè)元素，則C.關(guān)于的不等式的解集，則不等式的解集為D.“”是“”的充分不必要條件【答案】CD【解析】【分析】因?yàn)槊}的否定一定要否定結(jié)論，故A錯(cuò)誤；B中方程應(yīng)該對(duì)是否為0進(jìn)行討論，有兩個(gè)結(jié)果，故B錯(cuò)誤；根據(jù)一元二次不等式的解法確定C的真假；根據(jù)充要條件的判定對(duì)D進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)A：命題“”的否定是“，使得”，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，集合中也只有一個(gè)元素，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，故，不妨設(shè)，則由韋達(dá)定理可得，，所以不等式，故C正確；對(duì)D：由“，”可得“”，但“”，比如時(shí)，“，”就不成立，故D成立.故選：CD10.下列關(guān)于基本不等式的說(shuō)法正確的是（）A.若，則的最大值為B.函數(shù)的最小值為2C.已知，，，則最小值為D.若正數(shù)x，y滿足，則的最小值是3【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)均值不等式求最值，注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件.【詳解】因?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；由可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.11.水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，水車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的特征.如圖是一個(gè)半徑為的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.經(jīng)過(guò)秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足（，，），則下列敘述正確的是（）A.B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增C.當(dāng)時(shí)，的最大值為D.當(dāng)時(shí)，【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件可得的值，從而求得函數(shù)的解析式，然后根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，，，所以，則，又點(diǎn)，此時(shí)代入可得，解得，又，所以，故A正確；因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)先增后減，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，所以，則，則，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為，所以，故D正確；故選：AD12.已知為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.記，下列結(jié)論正確的是A.奇函數(shù)B.若的一個(gè)零點(diǎn)為，且，則C.在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)D.若大于1的零點(diǎn)從小到大依次為，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷A選項(xiàng)；將等價(jià)變形為，結(jié)合的奇偶性判斷B選項(xiàng)，再將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)的奇偶性判斷C選項(xiàng)，結(jié)合圖象，得出的范圍，由不等式的性質(zhì)得出的范圍.【詳解】由題意可知的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，故A正確；假設(shè)，即時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，則由于的一個(gè)零點(diǎn)為，則，故B正確；當(dāng)時(shí)，令，則大于的零點(diǎn)為的交點(diǎn)，由圖可知，函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)有2個(gè)，由于函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)有1個(gè)，并且所以函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，故C錯(cuò)誤；由圖可知，大于1的零點(diǎn)所以故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷函數(shù)的奇偶性以及判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，屬于較難題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．13.計(jì)算：_______.【答案】5【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式、指數(shù)式與結(jié)數(shù)式恒等式，指數(shù)的運(yùn)算公式進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】.故答案為：5【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)與指數(shù)恒等式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.14.已知，則______.【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知等式的左邊求出的值，再利用二倍角的正弦公式得到，分母除以，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式得到，最后轉(zhuǎn)化為即可求出的值.【詳解】解：因?yàn)?，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角的正切函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式的作用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.15.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)，任意時(shí)，總存在使得，則的取值范圍_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到，再計(jì)算值域?yàn)?，得到，?jì)算得到答案.【詳解】?jī)绾瘮?shù)則或當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，舍去；故，當(dāng)時(shí)：故；綜上所述：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)，函數(shù)值域，將存在問(wèn)題和恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.16.已知函數(shù)，若存在，，…，滿足，，且，，當(dāng)取最小值時(shí)，則此時(shí)的值為_____________．【答案】【解析】【分析】由正弦函數(shù)的有界性可得，對(duì)任意，都有，要使取得最小值，盡可能多讓取得最高點(diǎn)，然后作圖可得滿足條件的最小值．【詳解】對(duì)任意，都有要使取得最小值，盡可能多讓取得最值點(diǎn)，考慮，則按下圖取值即可滿足條件，的最小值為.故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：正確理解對(duì)任意，都有是解答該題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知集合A=，B=（1）若m=3，求A∪B；（2）設(shè)全集為R，若BCRA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）A∪B；（2）.【解析】【分析】（1）先求出集合A,B,再求A∪B得解；（2）先求出或，再對(duì)m分類討論得解.【詳解】（1）m=3時(shí)，B=，A=，所以A∪B.（2）由題得或，B=，當(dāng)m=5時(shí)，B=滿足已知.當(dāng)時(shí)，，滿足已知.當(dāng)時(shí)，，，所以.綜上，.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的關(guān)系和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.18.已知是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）若，求的值；（2）對(duì)任意的，，，恒有，解關(guān)于的不等式.【答案】（1）0；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性計(jì)算即可得解；（2）由可推出函數(shù)單調(diào)遞減，可得單調(diào)遞減，不等式可轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，則，因?yàn)椋?；【小?wèn)2詳解】不妨設(shè)，則，又因?yàn)椋?，則在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增；因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，則不等式的解集為.19.已知向量，，且.（1）求及；（2）求函數(shù)的最大值，并求使函數(shù)取得最大值時(shí)的值【答案】（1）,;（2）3,【解析】【詳解】解：（1），∵，∴∴.（2）∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí).20.設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值是.（1）求函數(shù)的解析式;（2）已知實(shí)數(shù)滿足，且對(duì)恒有，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知周期，可計(jì)算得，即可求出；（2）易知對(duì)可得，即只需，可求得，再由基本不等式即可求得的最小值為.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離最小值為，所以周期，可得，解得；即函數(shù)；所以函數(shù)的解析式為；【小問(wèn)2詳解】由可得，所以又恒有，只需，所以，解得，即；易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即可得的最小值為.21.2022年我市某新能源汽車生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)一批新能源汽車設(shè)備，經(jīng)過(guò)前期的市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)新能源汽車制造設(shè)備，預(yù)計(jì)全年需投入固定成本500萬(wàn)元，每生產(chǎn)百臺(tái)設(shè)備，需另投入成本萬(wàn)元，且根據(jù)市場(chǎng)行情，每百臺(tái)設(shè)備售價(jià)為700萬(wàn)元，且當(dāng)年內(nèi)生產(chǎn)的設(shè)備當(dāng)年能全部銷售完．（1）求2022年該企業(yè)年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（百臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；（2）2022年產(chǎn)量為多少百臺(tái)時(shí)，企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？（注：利潤(rùn)=銷售額－成本）【答案】（1）（2）2022年產(chǎn)量為100百臺(tái)時(shí)，企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)是8900萬(wàn)元【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤(rùn)=（銷售額－投入成本－固定成本）求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）分別求兩段函數(shù)的最大值，再取它們中較大者為最大年利潤(rùn).【小問(wèn)1詳解】由題知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以【小問(wèn)2詳解】若，，所以當(dāng)時(shí)，若，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，．因?yàn)?所以2022年產(chǎn)量為100百臺(tái)時(shí)，企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)是8900萬(wàn)元.22.已知（1）當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：①求k的值；②若關(guān)于x的不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，設(shè)，那么當(dāng)n為何值時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)．【答案】（1）①；②；（2）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn).【解析】【分析】（1）①根據(jù)函數(shù)的奇偶性列方程，由此求得；②化簡(jiǎn)已知不等式，利用換元法、分離常數(shù)法，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的知識(shí)求得的取值范圍.（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性求得，轉(zhuǎn)化，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行分類討論，從而求得的范圍.【小問(wèn)1詳解】①當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，，，解得.②由得，則不等式，可化為，令，因?yàn)樵龊瘮?shù)，所以也為增函數(shù)，，，，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)?shù)淖钚≈禐?，，即?shí)數(shù)m的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，，，解得，，所以