湖南省2023-2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試試題含答案

/2024屆高三2月入學(xué)統(tǒng)一考試試題數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知，若為純虛數(shù)，則（）A． B．2 C． D．12．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．若直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則（）A．0 B．1 C．-1 D．24．已知向量，，則“”是“向量與的夾角為銳角”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．有一組樣本數(shù)據(jù)由5個(gè)連續(xù)的正整數(shù)組成，其中是最小值，是最大值，若在原數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上增加兩個(gè)數(shù)據(jù)，，組成一組新的樣本數(shù)據(jù)，則（）A．新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)B．新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)C．新樣本數(shù)據(jù)的方差等于原樣本數(shù)據(jù)的方差D．新樣本數(shù)據(jù)的方差大于原樣本數(shù)據(jù)的方差6．大西洋鮭魚每年都要逆游而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位：）可以表示為，其中表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù)．若一條鮭魚游速為時(shí)耗氧量的單位數(shù)為300，則一條鮭魚游速為時(shí)耗氧量的單位數(shù)為（）A．100 B．900 C．1200 D．81007．現(xiàn)準(zhǔn)備給一半徑為的實(shí)心球體玩具制作一個(gè)圓臺(tái)型帶蓋的紙質(zhì)包裝盒，要使制成的包裝盒能裝下該球體玩具，且該包裝盒的下底面是半徑為的圓，則制成的包裝盒的容積最小為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若是單調(diào)函數(shù)，且有零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．若，則 D．若，則10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．的最小正周期是D．在上有最大值，且最大值為11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為拋物線上兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，若到準(zhǔn)線的距離為2，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則周長(zhǎng)的最小值為B．若直線過點(diǎn)，則直線，的斜率之積為C．若，則的取值范圍是D．若的外接圓與準(zhǔn)線相切，則該外接圓的面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．甲、乙等7名同學(xué)隨機(jī)站成一排，則甲、乙相鄰且甲不站兩端的不同排列方式有______種．13．已知雙曲線的右支上有一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，為雙曲線的左焦點(diǎn)，且滿足，當(dāng)時(shí)，雙曲線的離心率為______．14．如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，且為的角平分線，則二面角的平面角的正切值的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記的前項(xiàng)和為，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．16．（15分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，若，求直線的方程．17．（15分）如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，直線與平面所成的角為30°．（1）證明：平面．（2）求與平面所成角的正弦值．18．（17分）某學(xué)校食堂每天中午為師生提供了冰糖雪梨湯和蘋果百合湯，其均有止咳潤(rùn)肺的功效．某同學(xué)每天中午都會(huì)在兩種湯中選擇一種，已知他第一天選擇冰糖雪梨湯的概率為，若前一天選擇冰糖雪梨湯，后一天繼續(xù)選擇冰糖雪梨湯的概率為，而前一天選擇蘋果百合湯，后一天繼續(xù)選擇蘋果百合湯的概率為，如此往復(fù)．（1）求該同學(xué)第二天中午選擇冰糖雪梨湯的概率．（2）記該同學(xué)第天中午選擇冰糖雪梨湯的概率為，證明：為等比數(shù)列．（3）求從第1天到第10天中，該同學(xué)中午選擇冰糖雪梨湯的概率大于蘋果百合湯概率的天數(shù)．19．（17分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若方程有兩個(gè)不相等的根，且，的導(dǎo)函數(shù)為，證明：．2024屆高三2月入學(xué)統(tǒng)一考試試題數(shù)學(xué)參考答案1．C因?yàn)?，所以解得?．B，，則．3．A由題意可得直線與圓相切，又因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，所以直線與直線垂直，因?yàn)橹本€的斜率不存在，所以．4．C若，則，解得．若向量與的夾角為銳角，則且，所以且，解得．故“”是“向量與的夾角為銳角”的必要不充分條件．5．D新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，A，B錯(cuò)誤．?dāng)?shù)據(jù)的波動(dòng)越大，方差越大，C錯(cuò)誤，D正確．6．D由題意可得，解得，所以．令，解得．7．A要使制成的包裝盒的容積最小，則該球體玩具與包裝盒的上、下底面及側(cè)面都相切．作該圓臺(tái)型包裝盒的軸截面，且，．易知，．因?yàn)?，所以，解得．此時(shí)該包裝盒的容積．8．B因?yàn)橛辛泓c(diǎn)，所以方程有解，即在上有解，所以．．因?yàn)槭菃握{(diào)函數(shù)，所以函數(shù)在上恒成立或在上恒成立．因?yàn)?，所以在上不可能恒成立．函?shù)在上恒成立，即在上恒成立．因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），所以，解得．綜上，的取值范圍是．9．ACD令，則，解得．令，則，所以，，A正確，B錯(cuò)誤．若，則，若，則，C，D均正確．10．BCD由，解得，所以的定義域?yàn)椋?，則，令函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，A錯(cuò)誤．在上有最大值，且最大值為，D正確．，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，B正確．由對(duì)稱性可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上不具有周期性．又因?yàn)椋缘淖钚≌芷跒?，C正確．11．BCD由題意可知，，所以，．作，垂足為，的周長(zhǎng)為，A錯(cuò)誤．若直線過點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為，由得．設(shè)，，則，，則，所以直線，的斜率之積為，B正確．若，則，令，，所以，可得，C正確．若的外接圓與準(zhǔn)線相切，設(shè)的圓心為，則，所以圓心的縱坐標(biāo)，則其半徑，面積為，D正確．12．1200先確定甲的位置，再確定乙的位置及其他同學(xué)的位置，則有種不同的排列方式．13．如圖，設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接，．由及雙曲線的對(duì)稱性得四邊形是矩形，，則，，由雙曲線定義得，即，所以離心率．14．如圖1，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，連接．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，，．因?yàn)椋云矫?，，所以為二面角的平面角．在中，，所以，則，．在中，，所以．如圖2，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)的中點(diǎn)為，連接．因?yàn)?，，所以．因?yàn)椋?，所以，即，解得，．?dāng)直線與圓相切時(shí)，最大，因此最?。?，．故二面角的平面角的正切值的最小值為．注：①在求點(diǎn)的軌跡時(shí)，也可在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，用解析幾何的方法求解．②在求的最大值時(shí)，也可用如下方法：由題意可得，，，所以．15．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得解得或（舍去），，所以．（2）根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，所以，所以．16．解：（1）由題意可得，．因?yàn)?，所以，．故橢圓的方程為．（2）由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．聯(lián)立得，易知．設(shè)，則，所以，．因?yàn)椋?，即，解得，所以直線的方程為，即．17．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．因?yàn)槭堑冗吶切危?，所以，．因?yàn)?，所以平面，所以．因?yàn)?，所以平面，所以為直線與平面所成的角，則，則，，．在中，，即，解得．因?yàn)?，，所以，．因?yàn)?，所以平面．?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，所以．設(shè)與平面所成的角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．18．（1）解：設(shè)表示第一天中午選擇冰糖雪梨湯，表示第二天中午選擇冰糖雪梨湯，則表示第一天中午選擇蘋果百合湯．根據(jù)題意得，，，．．（2）證明：設(shè)表示第天中午選擇冰糖雪梨湯，則，，根據(jù)題意得，．由全概率公式得，即．不妨設(shè)，即，所以，解得，則，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（3）解：由（2）得，．由題意，只需，即，則，即．顯然必為奇數(shù)，偶數(shù)不成立．當(dāng)時(shí)，有．當(dāng)時(shí)，顯然成立．當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)不成立．因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以也不成立．綜上，該同學(xué)只有1天中午選擇冰糖雪梨湯的概率大于蘋果百合湯的概率．19．（1）解：．當(dāng)時(shí)，在上