2025年中考數(shù)學二輪專題復習高頻考點圓中切線證明綜合訓練

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數(shù)學二輪專題復習高頻考點圓中切線證明綜合訓練1．如圖中，，平分，交于點，點在上，以為直徑的經(jīng)過點．(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．2．如圖，在中，，為的直徑．與相交于點D．過點D作于點E，延長線交于點F．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的長．3．如圖，為的直徑，C是上一點，D在的延長線上，．(1)求證：是切線；(2)若，，求的半徑．4．如圖，已知是的直徑，點C、D在上，點E在外，．(1)求的度數(shù)；(2)求證：是的切線；(3)當時，求的長．5．如圖①，獨輪車俗稱“手推車”，又名輦、鹿車等，是交通運輸工具史上的一項重要發(fā)明，至今在我國農(nóng)村和一些邊遠地區(qū)仍然廣泛使用．如圖②所示為從獨輪車中抽象出來的幾何模型．在中，以的邊為直徑作，交于點P，，且，垂足為點D．(1)求證：是的切線；(2)若，，求弧的長．6．如圖，在中，，邊，邊分別交于點D，C，連接，，有，過點C作于點E，連接交于點F，且．(1)求證：是的切線；(2)當時，求與的周長差．7．如圖，是的直徑，是上的兩點，延長至點，連接．(1)求證：是的切線；(2)，求的半徑．8．如圖，點在的直徑的延長線上，點在上，連接、．若，．(1)求證：是的切線；(2)在（）的條件下，若．求的長；求圖中陰影部分的面積．9．如圖，是的直徑，弦于點，連接，過點作于點，交過點的直線于點，連接并延長，交直線于點，且．(1)求證：是的切線；(2)若，求的半徑和的長．10．如圖，在中，，的平分線交于點，交于點，以為直徑作．(1)求證：是的切線；(2)若，，求線段的長．11．如圖，為是直徑，弦交于點，，過點作的垂線，垂足為點，連結，．(1)求證：是的切線．(2)求證：為等腰三角形．(3)若，，求的長．12．已知：如圖，的直徑垂直于弦，過點的切線與直徑的延長線相交于點，連接．(1)求證：是的切線．(2)判斷線段、、之間的數(shù)量關系，并加以證明．(3)若，，求的半徑的長．13．如圖，是的直徑，射線交于點D，E是劣弧上一點，且平分，過點E作于點F，延長和的延長線交于點G．(1)證明：是的切線；(2)若，，求的長；(3)若，在（2）的基礎上，求圖中陰影部分的面積．14．如圖，內(nèi)接于，平分交邊于點，交于點，過點作于點，已知的直徑為6．(1)過點作直線，求證：是的切線(2)若，，求．15．如圖，是的弦，過點O作，交于點P，．(1)求證：是的切線；(2)已知，點Q是上的一點．①求的度數(shù)；②若，求的長．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數(shù)學二輪專題復習高頻考點圓中切線證明綜合訓練》參考答案1．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由平分，可知，易證，所以，所以，由于，所以，從而可證直線是的切線；（2）根據(jù)含30度角的直角三角形性質可求出的長度，然后求出的度數(shù)，然后根據(jù)扇形的面積公式即可求出答案．【詳解】（1）證明：連接，平分，，，，，，，，，是半徑，直線是的切線；（2）解：由，，，得：，，，，，，，由，得，．【點睛】本題考查圓的切線的判定，涉及角平分線的性質，平行線的判定與性質，含30度角的直角三角形的性質，扇形面積公式等，需要學生靈活運用所學知識．2．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件證得即可得到結論；（2）如圖，過點作于點，則，構建矩形，根據(jù)矩形的性質和勾股定理即可得到結論．【詳解】（1）證明：連接，，，，，，．，，是的半徑，是的切線；（2）解：如圖，過點作于點，則，四邊形是矩形，，，，，，，，，，是的直徑，．【點睛】本題考查了切線的判定和性質，勾股定理，矩形的判定與性質，圓周角定理，等腰三角形的性質，解題的關鍵熟練掌握切線的判定．3．(1)見解析(2)2【分析】此題考查的是切線的判定與性質、勾股定理、圓周角定理．（1）連接，根據(jù)圓周角定理求出，求出，根據(jù)切線判定推出即可；（2）在中，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【詳解】（1）證明：連接，∵為直徑，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵為半徑，∴是的切線；（2）解：∵，，設，則，∵，∴，∴，解得，答：的半徑是2．4．(1)(2)見解析(3)【分析】本題主要考查了圓周角定理、圓的切線的證明、解直角三角形等知識點，掌握圓周角的相關性質是解題關鍵．（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等求解即可；（2）如圖：連接，由圓周角定理可得，再由等邊對等角的性質，得到，進而得出，即可證明結論；（3）由（2）可知，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到，再利用銳角三角函數(shù)值求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴（2）證明：如圖：連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，∵是半徑，∴是的切線。（3）解：∵，是的直徑，∴，∴．5．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等邊對等角并結合已知可得出，則可證明，再關鍵平行線的性質得出，最后根據(jù)切線的判定即可得證；（2）根據(jù)圓周角定理求出，證明是等邊三角形，得出，在中，根據(jù)含角的直角三角形的性質求出，最后根據(jù)弧長公式求解即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖，，，，，，，，，又∵為半徑，∴是的切線；（2）解：連接，如圖，，，，為等邊三角形，，由（1）得，，，，∴弧的長．【點睛】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，圓周角定理，弧長公式等知識，正確添加輔助線，熟練掌握知識點是解題的關鍵．6．(1)詳見解析(2)周長差為【分析】（1）等邊對等角，結合平角的定義求出，進而得到，得到為等邊三角形，求出，即可得證；（2）根據(jù)三線合一求出，含30度角的直角三角形，求出，證明，求出，進而求出與的周長差即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，且，∴．∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，又∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：，由（1）知，，，，由（1）知是的切線，，，由（1）知，，，，，，在中，由勾股定理得，∴，，由（1）知，是等邊三角形，，，，，，，，，，，解得，與的周長差．答：與的周長差為．【點睛】本題考查切線的判定，含30度角的直角三角形，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質等知識點，熟練掌握相關知識點，并靈活運用，是解題的關鍵．7．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)等邊對等角可得，由圓周角定理得，則等量代換，即可求證；（2）由圓周角定理可得，再證明，則，求得，，那么，即可求解半徑．【詳解】（1）證明：連接，∵∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，即，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：如圖：∵，∴，∵∴∵，，∴，∴∴，∴，，∴，∴，即的半徑為．【點睛】本題考查了圓的切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定與性質，圓周角定理等知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．8．(1)見解析；(2)；．【分析】（）連接，由等腰三角形得性質可得，再通過外角性質可得，然后利用角度和差得出，最后由切線的判定即可求證；（）由直角三角形的性質和勾股定理得出，然后用弧長公式即可求解；作于，則，由直角三角形的性質和勾股定理得出，再求，，從而求出陰影部分的面積．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵是半徑，∴與相切；（2）解：在中，，∴，，又∵，∴，∴的長為；如圖所示，作于，∴，在中，，∴，，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了切線的判定，垂徑定理，勾股定理，直角三角形的性質，弧長和扇形面積公式等知識，掌握知識點的應用是解題的關鍵．9．(1)證明見解析(2)的半徑為，【分析】此題考查了切線的判定、全等三角形的判定和性質、圓周角定理等知識．（1）證明，根據(jù)切線的判定定理即可得到結論；（2）連接，證明，則，設，則，則，在中得到，則，得到，則的半徑為，，即可得到，則，由勾股定理得到，則即可求出結論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）連接，由（1）證知：，∵，∴，∴，設，則，∴，在中有：，即：，∴（舍去），∴，

∴，∴的半徑為，∴，∵，∴，∴，∵，，∴．10．(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定，解直角三角形；（1）連接，根據(jù)平分，等腰三角形的性質，得出，即可證明，進而證明，根據(jù)切線的判定定理，即可得證；（2）過點作于，設，則，，根據(jù)已知得出，求得，進而解，，即可求解．【詳解】（1）證明：連接．，，，，點在上，．平分，，，．，．是的切線．（2）解：過點作于，設，則，，在中，，，．，解得．，，，在中，，，，．在中，，11．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】此題重點考查等膘三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、切線的判定、垂徑定理、矩形的判定與性質、勾股定理等知識，此題綜合性強，難度較大，正確地作出輔助線是解題的關鍵．（1）因為過點作直線的垂線，垂足為點，所以，由，得，推導出，而，所以，則，求得，即可證明是的切線；（2）延長交于點，由是的直徑，得，可證明，則，所以垂直平分，則，所以為等腰三角形；（3）作于點，可證明四邊形和四邊形都是矩形，則，所以，而，由勾股定理得，則，，求得，，所以．【詳解】（1）證明：過點作直線的垂線，垂足為點，，，，，，，，，是的半徑，且，是的切線．（2）證明：延長交于點，是的直徑，，，，，，，垂直平分，，為等腰三角形．（3）解：作于點，則，，四邊形和四邊形都是矩形，，，，，，，，，，，的長為．12．(1)見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）如圖：連接、，根據(jù)切線的性質得，再根據(jù)垂徑定理得，則，于是證得得到，再根據(jù)切線的判定定理即可證明結論；（2）由圓周角定理得到，再利用同角的余角相等得到，加上則，進而證明可得，再整理即可解答；（3）由垂徑定理可得，進而得到；由可得；再根據(jù)可得則、，進而得到即可解答．【詳解】（1）證明：如圖：連接、，是的切線，，，是直徑，，，在和中，，，，在上，是的切線．（2）解：，理由如下是的直徑，，，，，，，，，，．（3）解：，，，，，，，，，，，，．的半徑的長為．【點睛】本題主要考查了切線的判定、圓周角定理、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、正切等知識點，靈活運用相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．13．(1)見解析(2)4(3)【分析】（1）如圖，連接，根據(jù)角平分線的定義和等邊對等角證明，推出，再由，得到，即可證明是的切線；（2）連接，過點作于，證明四邊形是矩形，得到，利用勾股定理求出，即可由垂徑定理得到；（3）先解直角三角形求出，再根據(jù)進行求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，平分，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：連接，過點作于，，，，四邊形是矩形，，，，，，；（3）解：∵，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了切線的判定，矩形的性質與判定，平行線的性質與判定，解直角三角形，求不規(guī)則圖形的面積，垂徑定理等等，正確作出輔助線是解題的關鍵．14．(1)見詳解(2)【分析】（1）連接，由角平分線的性質可得，可得，由等腰三角形的性質可得，可證，可得結論；（2）連接并延長交于，通過證明，可得，可得結論．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，，，平分，，，，又，，，，是半徑，是的切線；（2）解：如圖2，連接并延長交于，連接，是直徑，，又，，，，，，，．【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關知識，圓周角定理，切線的判定與性質，角平分線的性質，相似三角形的判定和性質，添加恰當輔助線構造相似三角形