浙江省紹興市2025屆高三下學(xué)期4月高考科目適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題(含詳解)

浙江省紹興市2025屆高三下學(xué)期4月高考科目適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．（

）A． B． C． D．3．已知向量滿足，，且的夾角為，則（

）A． B．3 C． D．74．直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（

）A．2 B．4 C． D．5．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則可以是（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增B．當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減C．當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減D．當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增7．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的右支上，且，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．10 D．148．已知的兩個(gè)內(nèi)角都是關(guān)于的方程的解，其中，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在某校文藝匯演中，六位評(píng)委對(duì)某小品節(jié)目進(jìn)行打分，得到一組分值7.7，8.1，8.2，8.7，9.4，9.5，若去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，則（

）A．這組分值的極差變小B．這組分值的均值變大C．這組分值的方差變小D．這組分值的第75百分位數(shù)不變10．已知函數(shù)，則（

）A．在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)B．0是的極小值點(diǎn)C．在區(qū)間內(nèi)存在極大值D．在區(qū)間上單調(diào)遞減11．已知數(shù)列滿足，則（

）A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列B．C．D．三、填空題（本大題共3小題）12．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則.13．已知偶函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則的值域?yàn)?14．設(shè)點(diǎn)在“笑口”型曲線上，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)記的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.16．已知數(shù)列滿足(1)記，求，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記，求滿足的所有正整數(shù)的值.17．已知橢圓的焦距為2，且過(guò)點(diǎn).(1)求的方程；(2)設(shè)為的左、右頂點(diǎn)，在過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線上任取一點(diǎn)，過(guò)作的切線，切點(diǎn)為（異于），作，垂足為.記和的面積分別為，求的值.18．如圖，在四面體中，，記二面角為分別為的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值；(3)設(shè)在四面體內(nèi)有一個(gè)半徑為的球，若，求證：.19．某科技公司招聘技術(shù)崗位人員一名.經(jīng)初選，現(xiàn)有來(lái)自國(guó)內(nèi)三所高校的10名應(yīng)屆畢業(yè)生進(jìn)入后面試環(huán)節(jié).其中校和校各4名，校2名，10名面試者隨機(jī)抽取1，2，3，...10號(hào)的面試序號(hào).(1)若來(lái)自校的4名畢業(yè)生的面試序號(hào)分別為，且，來(lái)自校的4名畢業(yè)生的面試序號(hào)分別為，且，來(lái)自校的2名畢業(yè)生的面試序號(hào)分別為，，且.（i）求概率；（ii）記隨機(jī)變量，求的均值.(2)經(jīng)面試，第位面試者的面試得分為，且他們的面試得分各不相等，公司最終錄用得分最高者.為提高今后面試效率，現(xiàn)人事部門設(shè)計(jì)了以下面試錄用新規(guī)則：，且，集合中的最小元素為，最終錄用第位面試者.如果以新規(guī)則面試這10名畢業(yè)生，證明：面試得分第一?二（按得分從高到低排）的兩名畢業(yè)生之一被錄用的概率不小于0.59.

參考答案1．【答案】A【詳解】.故選A.2．【答案】B【詳解】.故選B.3．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，且的夾角為，所以，所以.故選C.4．【答案】B【詳解】圓的圓心為，半徑，又圓心到直線的距離，所以弦長(zhǎng)為.故選B.5．【答案】A【詳解】因?yàn)?，將函?shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)，所以，則，，，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故選A.6．【答案】D【詳解】對(duì)AB：當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，，故為偶函?shù)；又，當(dāng)時(shí)，令，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞減，故AB都錯(cuò)誤；對(duì)CD：當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，，故為奇函?shù)；又，當(dāng)時(shí)，均為減函數(shù)，故為上的減函數(shù)，故為上的增函數(shù)，故C錯(cuò)誤，D正確.故選D.7．【答案】C【詳解】對(duì)于雙曲線，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（），可得，．則．設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由雙曲線的定義可知，點(diǎn)在雙曲線的右支上，則，即；同理，點(diǎn)在雙曲線的右支上，則，即．所以．根據(jù)三角形三邊關(guān)系，，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立．又，則，即．所以的最小值為10．故選C．8．【答案】B【詳解】方程變形為，由題，是方程的兩根，則，，又，又，所以，，又，則，，.故選B.9．【答案】AC【詳解】對(duì)于A，原來(lái)6個(gè)數(shù)據(jù)的極差為，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后這組數(shù)據(jù)的極差為，極差變小了，故A正確；對(duì)于B，原來(lái)6個(gè)數(shù)據(jù)的均值為，后來(lái)這4個(gè)數(shù)據(jù)的均值為，所以均值不變，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，原來(lái)6個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，后來(lái)這4個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，所以這組分值的方差變小，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以原?lái)6個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為，又，所以后來(lái)這4個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選AC.10．【答案】BCD【詳解】函數(shù)，令，則或或．由，解得；由，解得，；由，即，解得．在區(qū)間內(nèi)，不存在上述使的值，所以在區(qū)間內(nèi)不存在零點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤．當(dāng)在附近時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且．當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，在附近正負(fù)交替，但，所以是的極小值點(diǎn)，B選項(xiàng)正確．對(duì)求導(dǎo)，得：．當(dāng)時(shí)，，，，．，且在內(nèi)，隨著的變化，會(huì)先大于后小于，所以在區(qū)間內(nèi)存在極大值，C選項(xiàng)正確．當(dāng)時(shí)，，，，則．對(duì)分析，在上，，，，所以；，，，所以；，，，所以．即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，D選項(xiàng)正確．故選BCD．11．【答案】ACD【詳解】設(shè)，對(duì)其求導(dǎo)可得．因?yàn)楹愠闪?，所以在上單調(diào)遞增．已知，則，依次有，,，設(shè)，，對(duì)求導(dǎo)得．當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞減．則，即，所以為遞增數(shù)列，A選項(xiàng)正確．由上述分析可知，所以不存在，使得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤．要證，即證．設(shè)，，對(duì)求導(dǎo)得．令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減．則，所以在上單調(diào)遞增．所以，即，所以，，C選項(xiàng)正確.由選項(xiàng)C知，移項(xiàng)可得，兩邊同時(shí)乘以得.兩邊同時(shí)取倒數(shù)得，移項(xiàng)可得.因?yàn)?，所以，?利用累加法：.已知，則，所以，兩邊同時(shí)取倒數(shù)得，移項(xiàng)可得，選項(xiàng)D正確.故選ACD.12．【答案】【詳解】，由正弦定理可得，，又由余弦定理可得，，，.13．【答案】【詳解】對(duì)，令，則，解得；對(duì)，令，則，又為偶函數(shù)，，故，解得；又，故其值域?yàn)?14．【答案】/-0.125【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，平方得，即，此時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，即，平方得，即，此時(shí)，綜上，的最小值為.15．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）知，，因此函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，即，則所求切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率，切線方程為所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.16．【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所?又因?yàn)樗詳?shù)列是首項(xiàng)為5，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，所以，所以，因?yàn)閱握{(diào)遞增，且，所以正整數(shù)的所有取值為.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知，且過(guò)點(diǎn)，即，解得，所以的方程為.（2）設(shè)，直線的方程為，代入的方程得.因?yàn)橹本€與相切，所以，化簡(jiǎn)得，所以，

所以，代入直線的方程得，設(shè)與交于點(diǎn)，又，直線的方程為，因?yàn)椋胫本€的方程得，所以，所以為中點(diǎn).因此點(diǎn)到直線的距離相等，所以.18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，又分別為的中點(diǎn)，則，，因?yàn)?，所以，又，平面，所以平面，又平面，所?（2）由（1）知是二面角的平面角，所以.如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸，過(guò)作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，可取，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）因?yàn)榕c的面積為，設(shè)在平面內(nèi)的射影為，即平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以為二面角的平面角，所以點(diǎn)到平面的距離，因此四面體的體積為.又，平面，所以，所以到直線的距離等于，所以邊的高，所以的面積，注意到，因此的面積也為，所以四面體的表面積為，因此四面體的內(nèi)切球半徑，所以，即.19．【答案】(1)（i）；（ii）(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）（i），（ii）的可能取值為，則，所以（2）①第一種情況，錄用了面試得分第一的人.若面試得分第一的人在第位，要使得其被錄用，則在他前面的個(gè)人中的最高分必然在前3位，其他個(gè)人可以任意排列，在得分第一后面的個(gè)人任意排列，這種情況的概率為：.②第