遼寧省鞍山市2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第一次月考 數(shù)學(xué)試卷（含詳解）

遼寧省鞍山市2024?2025學(xué)年高三下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，，若與垂直，則等于（

）A． B． C．3 D．64．某校高三共有200人參加體育測(cè)試，根據(jù)規(guī)則，82分以上的考生成績(jī)等級(jí)為，則估計(jì)獲得的考生人數(shù)約為（

）A．100 B．75 C．50 D．255．已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則（

）A．12 B．14 C．16 D．186．黃地綠彩云龍紋盤(pán)是收藏于中國(guó)國(guó)家博物館的一件明代國(guó)寶級(jí)瓷器．該龍紋盤(pán)敞口，弧壁，廣底，圈足．器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收．黃地綠彩云龍紋盤(pán)可近似看作是圓臺(tái)和圓柱的組合體，其口徑，足徑，高，其中底部圓柱高，則黃地綠彩云龍紋盤(pán)的側(cè)面積約為（

）（附：的值取3，）A． B． C． D．7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若以為圓心，為半徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，則該圓的面積為（

）A． B． C． D．8．已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．的圖象可由的圖象平移得到B．在上單調(diào)遞增C．圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為D．圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線10．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與的左支相交于，兩點(diǎn)，若，且，則（

）A． B．C．的離心率為 D．直線的斜率為11．已知函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．過(guò)點(diǎn)能作兩條不同直線與相切 D．函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)三、填空題（本大題共3小題）12．從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為.13．已知，則．14．已知等差數(shù)列的公差，首項(xiàng)，是與的等比中項(xiàng)，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則四、解答題（本大題共5小題）15．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).16．如圖，在四棱臺(tái)中，底面是中點(diǎn)．底面為直角梯形，且．

(1)證明：直線平面；(2)求二面角的正弦值．17．甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．18．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且該橢圓過(guò)點(diǎn)，直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓E的方程；(2)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程；(3)若直線l方程為，過(guò)A、B作直線的垂線，垂足分別為P、Q，點(diǎn)R為線段PQ的中點(diǎn)，求證：四邊形ARQF為梯形.19．記，若，滿(mǎn)足：對(duì)任意，均有，則稱(chēng)為函數(shù)在上“最接近”直線．已知函數(shù)．(1)若，證明：對(duì)任意；(2)若，證明：在上的“最接近”直線為：，其中且為二次方程的根．

參考答案1．【答案】D【分析】先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)集合并集定義計(jì)算即可.【詳解】由，解得，所以集合，所以，所以.故選D.2．【答案】C【詳解】由，得到，所以，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，位于第三象限.故選C.3．【答案】B【詳解】，因?yàn)榕c垂直，所以，解得，所以.故選B.4．【答案】C【詳解】由頻率分布直方圖可得82分以上的考生的頻率約為，所以獲得的考生人數(shù)約為人，故選C.5．【答案】B【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，可得，則，所以．故選B.6．【答案】B【分析】首先求圓臺(tái)母線長(zhǎng)，再代入圓臺(tái)和圓柱側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，兩底面圓半徑分別為，（其中），則，，，所以，故圓臺(tái)部分的側(cè)面積為，圓柱部分的側(cè)面積為，故該黃地綠彩云龍紋盤(pán)的側(cè)面積約為.故選B.7．【答案】C【詳解】由于在上，故，即，所以.根據(jù)拋物線的定義，就是點(diǎn)到直線的距離，從而該圓的半徑為.由于圓心到軸的距離為，故該圓被軸截得的弦長(zhǎng)為.從而據(jù)已知有，故，解得.所以該圓的半徑為，故面積為.故選C.8．【答案】D【分析】利用已知條件求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而得到。利用基本不等式即可求解.【詳解】由于直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，且，所以，則切點(diǎn)橫坐標(biāo)，則，即.所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為1.故選D.9．【答案】BD【詳解】，因?yàn)樽钚≌芷跒?，所以，所以，A：由以上解析式可得的圖象不可由的圖象平移得到，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)時(shí)，，由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，故B正確；C：，故C錯(cuò)誤；D：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為最小值，所以圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線，故D正確；故選BD.10．【答案】ACD【詳解】如圖，由，可設(shè)，.因?yàn)椋?設(shè)，，則，，，解得，則，，所以，故A選項(xiàng)正確；，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；在中，由，得，則，從而的離心率為，故C選項(xiàng)正確.又，所以直線的斜率為，故D選項(xiàng)正確.故選ACD.11．【答案】AD【詳解】對(duì)于A中，由函數(shù)，可得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，所以A正確；對(duì)于B中，由，令，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，設(shè)過(guò)點(diǎn)且與函數(shù)相切的切點(diǎn)為，則該切線方程為，由于切點(diǎn)滿(mǎn)足直線方程，則，整理得，解得，所以只能作一條切線，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，令，則的根有三個(gè)，如圖所示，，所以方程有3個(gè)不同根，方程和均有1個(gè)根，故有5個(gè)零點(diǎn)，所以D正確．故選AD．12．【答案】【詳解】從2至8的整數(shù)有2,3,4,5,6,7,8，互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)有2和3,2和5,2和7,3和4,3和5,3和7,3和8,4和5,4和7,5和6,5和7,5和8,6和7,7和8，共14對(duì)，所以隨機(jī)取2個(gè)數(shù)，互質(zhì)的概率為.13．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，因此，則，所以.14．【答案】105【詳解】等差數(shù)列中，，是與的等比中項(xiàng)，設(shè)公差為，所以，即，解得或（不合題意，舍去）；所以．15．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形的面積公式及余弦定理變形整理可得答案；（2）先利用面積公式求，再利用余弦定理求，則面積可求.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，整理得，即，因?yàn)椋?，所以，則；（2）由（1）得，得，所以，所以，所以的周長(zhǎng)為.16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，底面，則，由題意可知：，且平面，所以平面，且平面，可得，不妨設(shè)，由題意可得：，可知：，即，且，平面，所以直線平面.（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，

則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，可得，設(shè)二面角為，則，所以二面角的正弦值.17．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；（3）先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，故．【方法總結(jié)】本題第一問(wèn)直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問(wèn)的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識(shí)求解．18．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題得，將代入得：，橢圓E的方程為.（2）設(shè)，則，且，兩式相減得：，可得，l方程為，即.（3）由得：，且，，∴，又直線的斜率存在，AF與RQ不平行，∴四邊形ARQF為梯形.

19．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意，則當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，，在區(qū)間上的最大值為，根據(jù)函數(shù)的圖象特點(diǎn)，可知對(duì)任意，均有，，下面討論的大?。孩偃糁辽儆幸粋€(gè)大于等于1，則，②若兩個(gè)都小于1，則，因?yàn)槭侵本€，故對(duì)任意，均有，，從而，即由①②可知，