山東省臨沂市2025屆高三一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷（答案版）

2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（模擬）

數(shù)學(xué)

2025.2

注意事項：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號、姓名、考點學(xué)校、考場號及座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需要改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

5

1.2^i=（）

A2+iB.2-i

C.l+2iD.l-2i

【答案】A

【解析】

【分析】運算復(fù)數(shù)除法的運算法則進行求解即可.

55（2+i）5（2+i）

---=7----77----r=---7--r=2+1，

2-i（2-i）（2+i）4-（-1）

故選：A

2.已知集合4={同2尤—a<0},5={x[l<x<2}.若4口3=0,則a的取值范圍為（）

A.（-co,l）B.C.（-oo,2）D.

【答案】D

【解析】

【分析】由4口3=0,可得@41,即可得解.

2

A={x|2x-a<。}=<xx<^>,

因為

所以解得aW2,

2

所以。的取值范圍為（—8,2］.

故選：D.

3.直線2x—3y+l=0的一個方向向量是（）

A.（2,3）B.（3,2）C.（2,-3）D.(3,-2)

【答案】B

【解析】

【分析】把直線方程化為斜截式，根據(jù)直線方向公式進行判斷即可.

2x—3y+l=0ny=|x+；,所以該直線的一個方向向量為,

因為（3,2）=所以向量（3,2）與向量是共線向量，

其他選項的向量與向量［1,1］不是共線向量，

故選：B

4.圓6：/+/=1與圓6x—8y+9=0的位置關(guān)系是（

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出圓心距即可判斷.

圓<:N+y2=1的圓心￡（0,0）,半徑.=I,

22

圓C2:x+y—6x—8y+9=0,即C2:(x—3)~+(y—4)~=16,圓心C2(3,4),半徑—4,

則|GQ|=’32+42=5=/+',所以兩圓外切.

故選：c.

5.在VABC中，點。是的中點，點尸在上，若方=2通+,而，則4=()

3

【答案】B

【解析】

【分析】由題意在=(］一幾］回+4函，CD=-C2+-CB,根據(jù)點尸在CD上，即可列方程求解.

U)22

由題意點。是A3的中點，所以詼=,西+工麗，

22

又而=4麗+g/,所以工+。=2(恁+醞)+g〃，

解得萬二『'm+/1醞,

又因為點尸在。上，

1

所以［―==,解得無='或彳=—2(舍去).

--2233

3

故選：B.

6.(l+x)i°的展開式中的一項是()

A.45尤B.90x2C.120x3D.240x4

【答案】C

【解析】

【分析】由二項式定理展開式通項即可驗算.

10r

(1+%)的展開式通項為Tr+l=C［ox,對比選項依次代入r=1,2,3,4得對應(yīng)項，

(1+%)10的展開式中的項可以是10x,45爐,120x3,210x4.

故選：C.

7.已知/(x)=tanx,若對任意實數(shù)ae(—1,1)力e(—1,1),貝『七+人>0”是“/(a)+/(E)>0”的

()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】綜合利用正切函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性分析判定.

因為/(x)=tanx是(-M)內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，并且是奇函數(shù),

所以tana+tanZ?>0otana>-tan〃otana>tan(-〃)oa>oa+Z?>0,

所以“a+匕>0”是“/(a)+/0)>0”充分必要條件，

故選：C.

8.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為％且S“+”4=l,貝嗨足S”〉0.99時，〃的最小值為()

A.49B.50C.99D.100

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)S",的關(guān)系求出見,S”的表達式，進一步解不等式即可得解.

因為S"+"a"=l,所以

當“22時，Sn+nan=Sn_x+(?-1)an_r=1,所以+,

a〃一]aa1a,%a?

即一^-=----,止匕時4=-^X-^"X-^?..X」X-xq

a

n-\〃+l4-14-2a“一3a2%

n-1n-2n-332111

---------X-----------X-----------X-X—X—X—X—=---------------a=1也滿足該式,

〃+lnn-15432+

1

故為=，二1-na=1—

n〃+1

若S,,=1—-—>0.99,解得〃〉99,故所求為100.

〃+1

故選：D.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.甲，乙兩個體育社團小組成員的某次立定跳遠成績(單位：厘米)如下：

甲組：244,245,245,246,248,251,251,253,254,255,257,263

乙組：239,241，243,245,245,247,248,249,251,252

則下列說法正確的是()

A.甲組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是252

B.乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是246

7

C.從甲、乙兩組各隨機選取一個成員，兩人跳遠成績均在250厘米以上的概率為一

60

D.甲組中存在這樣的成員，將他調(diào)派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠平均成績都有提高

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于A直接利用百分位數(shù)計算公式即可；對于B根據(jù)公式計算中位數(shù)和平均數(shù)；對于C根據(jù)古典

概率公式計算即可；對于D,求出兩者平均數(shù)判斷即可.

對于選項A,因為12x60%=7.2,所以甲組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是第8個數(shù)，即253,故A錯誤;

對于選項B,因為10x50%=5,所以乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第5個數(shù)與第6個數(shù)的平均數(shù)，即

245+247皿丁立

-------------=246，故B正確；

2

對于選項C,甲組中跳遠成績在250厘米以上的有7人，乙組中跳遠成績在250厘米以上的有2人,

所以從甲、乙兩組各隨機選取一個成員，兩人跳遠成績均在250厘米以上的概率為

727

—><—=——，故C正確；

121060

對于選項D,甲組的平均成績?yōu)?/p>

244+245+245+246+248+251+251+253+254+255+257+263…廣,

------------------------------------------------------------------------------------------=251厘米，

12

,口3十3~*位239+241+243+245+245+247+248+249+251+252”

乙組的平均成績?yōu)?------------------------------------------------------=246厘米,

10

所以將甲組中跳遠成績?yōu)?48厘米的成員調(diào)派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠平均成績都有提高，故D正確.

故選：BCD.

io.圓柱。軸截面是正方形，a，2分別是上、下底面的圓心，是下底面圓周上兩個不同的

點，3C是母線，若圓柱的側(cè)面積為16兀，則（）

A.圓柱的體積是16兀

B.圓柱內(nèi)切球的表面積是8兀

C.AQBC=16

D.點B到直線距離的最大值為后

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)圓柱體積公式、側(cè)面積公式，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標公式、點到線距離公式逐一判斷即可.

設(shè)圓柱的底面半徑為「，所以母線為2r,

因為圓柱。iQ的側(cè)面積為16兀，所以2兀八2廠=16兀=>r=2.

因為圓柱0Q的體積是兀?2?x2x2=16兀，所以選項A正確；

因為圓柱QQ的底面半徑為2,所以母線為4,所以圓柱QU內(nèi)切球的半徑為2,

所以圓柱內(nèi)切球的表面積是4兀-22=16兀，因此選項B不正確；

建立如圖所示的空間直角坐標系，

q（0,0,4）,5（0,2,0）,C（0,2,4）,設(shè)A（2cos6,2sin。,。）,sinOwl,

~AOX=（-2cos0-2sin6>,4）,BC=（0,0,4）,

AQ-BC=（-2cos6>,-2sin6>,4）.（0,0,4）=（-2cos6>）x0+（-2sin6>）x0+4x4=16,

所以選項C正確；

設(shè)。=AB=（-2cos6,2-2sine,0）,

直線A。1的單位方向向量為

u=J。；=/1-----（-2cos，，-2sin，,4）=—（-cos，，-sin2）

\AO\V4cos20+4sin20+165"

所以點B到直線AO】距離為

-2

4cos28+4—8sin8+4sin28—^-2sin^+2sin29)

-%sine+更:—：(sin6+4『+20,

555

由題意-14sin，＜l,所以當sin8=—1時,選項D不正確,

故選：AC.

【小結(jié)】關(guān)鍵點睛：求點B到直線AO,距離的最大值的關(guān)鍵是利用點到直線距離的向量公式寫出表達式,

根據(jù)正弦函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.

H.將曲線。：丁=叵+氈經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可得到雙曲線石：±-衛(wèi)=1,若直線丁=機與c只有一個公共

-3xa2b°

點，與E交于A3兩點，則（）

A.m=2\/2B.a-2y/3

C.b=2D.\AB\=2y/6

【答案】BC

【解析】

【分析】由雙曲線定義、對勾函數(shù)性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)依次求得"力,加，進一步只需聯(lián)立y=2拒與

E:土-乙=1即可判斷D.

124

對于BC,由題意將曲線。：丫=叵+2叵夾在中間的兩條漸近線方程為y=正X,X=0,

3x3

7171

所以這兩條漸近線所形成的那個銳角的一半為夕_5一%_兀，

u--------—

26

曲線C：y=Yi￡+2叵的兩條漸近線y=Y3x,X=0的中間那條直線為丫=6》,

3x3

聯(lián)立y=屆以及C：y=&+9，解得卜=也或卜?

3x[y=3=

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，—=tan0=,2a=2d3+9=4百，解得〃=26,Z?=2,故BC正確,

a3

對于A,若直線y=m與。：>=叵+2叵只有一個公共點，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得加=±2&,故A錯

3x

誤；

22

對于D,要求卻，由雙曲線的對稱性可知，只需聯(lián)立y=20與石：巳-（=1,

x-6[x=-6..

解得1廠或1廠，gp|AB|=12,故D錯誤.

y=2V2[y=2y/2

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)隨機變量&?N（2,5）,若PC<m）=P（J>m—l）,則機=.

【答案】-

2

【解析】

【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)即可得解.

由題意〃=2,P（^<m）=P（^>m-l）,所以—+；—1=2,解得機=g.

故答案為：一.

2

13.2025年春晚，劉謙表演了一個現(xiàn)場互動魔術(shù)，道具只有三個：勺子、筷子和杯子.劉謙讓觀眾從左到右

隨便擺放這三個道具，分為三個位置：左位、中位和右位.假若按照魔術(shù)規(guī)則只進行前兩步：第一步，筷子

跟它左邊的東西互換位置，如果筷子已經(jīng)在最左邊，那么就不需要移動；第二步，杯子跟它右邊的東西互

換位置，如果杯子已經(jīng)在最右邊，就不需要移動.完成這兩步后，在杯子出現(xiàn)在右位的條件下，筷子出現(xiàn)在

中位的概率是.

【答案】|

【解析】

【分析】由條件概率知識即可求解.

我們不妨把勺子、筷子和杯子的第一個字的拼音的第一個小寫英文字母來代替這三個東西，

例如s妨代表勺子在左位置，筷子在中位，杯子在右位，

一開始狀態(tài)有S幼,她女力依，加匕依伍姑S六種情況，我們用T■表示一次調(diào)換,

那么根據(jù)題意有，第一種初始狀態(tài)下的變換過程為：skbfksb,

第二種初始狀態(tài)下的變換過程為：sbkfskb,

第三種初始狀態(tài)下的變換過程為：bksrkbsrksb,

第四種初始狀態(tài)下的變換過程為：bskrbksrkbs,

第五種初始狀態(tài)下的變換過程為：ksbfksb,（本質(zhì)上沒有調(diào)換），

第六種初始狀態(tài)下的變換過程為：kbs^ksb,

從以上可以看出來，末狀態(tài)杯子在右邊對應(yīng)的初始狀態(tài)有：第一、二、三、五、六種初始狀態(tài)共5種情

況，

在杯子出現(xiàn)在右位的條件下，筷子出現(xiàn)在中位的末狀態(tài)只能是s妨（對應(yīng)的初始狀態(tài)是第二種初始狀態(tài)），

故所求概率為3.

故答案為：—.

14.點在直線y=nx+〃（“eN*）上，點"（馬，加）在拋物線=4x上，記監(jiān)N兩點間的最小

丁.2?

距離為d“（v,N）,若口Clj—?〃八，則口力（M,N）=

z=ln=2

1013

【答案】

2025

【分析】本題可先求出/、N兩點橫坐標的關(guān)系，進而得出IMNI的表達式，然后求出最

2025

后根據(jù)4（M,N）的表達式計算N）的值.

n=2

已知點”（項,附在直線y=nx+n（neN*）上，

則將點〃代入直線方程可得加=〃玉+〃①.

點Nix"在拋物線/=4%上，則將點N代入拋物線方程可得加2=4X2②.

因為M、N兩點縱坐標相同，所以|ACV|=|x2-%I.

r,nm一nH小與/曰m2n.i???2m—n,m2m-

由①可得玉二-----,由②可得%2=—，貝11MzV|=|--------------1t=|-----------1-11.

n44n4n

令/=一,貝」+1],將其轉(zhuǎn)化為頂點式：

2n

,…l2it,2itfiYfiY,,71丫?i,

|MN|=|t~------F11=|------1-———+11=|t—+1——|f

nnyn)\n)\n)n

111

因為—了920,所以當％二—時，|MN|取得最小值，|MN1=11—下I.

nnnmhi

(〃―1)5+1)

因為〃￡N"，所以1----2〉°，則d(M,N)=|MN1in=1----T—",1

nnmnn

2025

1~T//A/2、1x32x43x52024x2026

X-

20252

可以發(fā)現(xiàn)上式中相鄰兩項的分子分母可以約分，約分后可得:

少2:120261013

口4,(”,N)__x____

n=2220252025

1013

故答案為:

2025

【小結(jié)】方法點睛:

對于求平面直角坐標系中兩點間距離最值的問題，先根據(jù)點所在的曲線方程得到坐標之間的關(guān)系，再將距

離表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)，通過函數(shù)的性質(zhì)（如二次函數(shù)的頂點式）來求解最值.在處理連乘形式的式

子時，要善于觀察式子中各項的規(guī)律，通過約分等方法簡化計算.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知a,",c分別為VABC三個內(nèi)角的對邊，且JGacosC+csinA-=0.

（1）求A；

（2）若c=3,asiiiB=2豆，求a.

JT

【答案】（1）A=—

3

（2）屈

【解析】

【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式可得tanA=也，由此即可得解;

（2）由正弦定理得〃=4,再由余弦定理即可求解.

【小問1詳解】

由正弦定理邊化角可得百sinAcosC+sinCsinA—百sin5=0，

即>/3sinAcosC+sinCsinA=\/3sinB=^3sin(A+C)=^3sinAcosC+43cosAsinC,

sm

所以sinCsinA=6cosAsinC，因為sinC〉0,cosA=—^〉0,

所以tanA=g，又Ae(O,7i),解得A=］；

【小問2詳解】

若c=3,asin3=2g\則asinB=2RsinAsin3=》sinA=且人=2石，這里R是三角形ABC外接圓

2

的半徑，

解得匕=4,

由余弦定理可得a=y/b2+c2-2bccosA=^42+32-2x4x3x1=713.

16.已知函數(shù)/(x)=(2x+l)e”.

(1)求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-爪在(-8,0)上恰有兩個零點，求左的取值范圍.

【答案】(1)3x-y+l=0

⑵|因

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；

(2)分離參數(shù)可得(=°"+1)文，構(gòu)造函數(shù)五(力=(2x+l)e：xe(—oo,0)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)

XJC

區(qū)間，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.

【小問1詳解】

由/(x)=(2x+1)e",得r(x)=(2x+3)e\

則/■(())="⑼=3,

所以曲線y=/(x)在點(0"(0))處的切線方程為y—1=3%,即3x—y+l=0；

小問2詳解】

令g(x)=/(x)—丘=0,則左=ZH=(2x+l)1，

令Mx)=°x+l)ex”(—00,0),

則%）=（2/+1）匚（21）卜1戶

,xe(-oo,0)>

令〃（X）＞0,則九＜一1,令〃（尤）＜0,則一1＜%＜0,

所以函數(shù)妝%）在（-咫-1）上單調(diào)遞增，在（T0）上單調(diào)遞減,

所以/2（X）max=/：（-1）=-,

e

丸⑴=（2x+l）e=21+幺,當x-—8時，力（九）一*0,

XX

當XfO時，TO,

因為函數(shù)g（x）=/（x）-Ax在（TO,0）上恰有兩個零點,

所以函數(shù)丁=Ky=/z（x）的圖象恰有兩個交點,

所以上的取值范圍為

17.《教育強國建設(shè)規(guī)劃綱要（2024-2035年）》中指出深入實施素質(zhì)教育，健全德智體美勞全面培養(yǎng)體

系，加快補齊體育、美育、勞動教育短板，某中學(xué)為了解學(xué)生每天參加綜合體育活動的情況，隨機調(diào)查了

100名男生和100名女生，統(tǒng)計他們周一到周五在校期間的運動步數(shù)，數(shù)據(jù)如下表所示:

運動步

合

數(shù)（萬（2,3）[3,4)[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)

計

步）

人數(shù)

12qa2。394100

（男）

人數(shù)

144瓦72100

（女）

表中數(shù)據(jù)%,出，。3,9成等差數(shù)列；4力2,仇成公比為正整數(shù)的等比數(shù)列.

（1）若周一到周五在校期間的運動步數(shù)達到5萬步視為體育鍛煉達標，估計該中學(xué)男生體育鍛煉的達標

率；

（2）為進一步了解女生每天參加綜合體育活動情況，在步數(shù)位于（2,5）,［5,8）兩組內(nèi)的女生中，采用等

比例分層抽樣的方法抽取10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人進行訪談，記步數(shù)在［5,8）內(nèi)的人數(shù)為X,

求X的分布列和期望.

【答案】⑴30%

3

（2）分布列見解析，E（X）=-

【解析】

【分析】（1）需要根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出男生運動步數(shù)達到5萬步的人數(shù)，進而計算達標率；（2）先根

據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)求出相關(guān)人數(shù)，再利用分層抽樣確定抽取人數(shù)，最后通過古典概型求出隨機變量X的分布

列和期望.

【小問1詳解】

已知01M2,%，9成等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則%+3d=9.

又因12+q+%+“3+9+4=100,即q+a?+q=75.

由等差數(shù)列性質(zhì)4+4+%=34=75,可得為=25.

a.+d=25

聯(lián)立方程組〈c,c，解得d=—8,4=33,%=25+（—8）=17.

+3a=9

男生運動步數(shù)達到5萬步（即［5,6）、［6,7）、［7,8）這三組）的人數(shù)為17+9+4=30人.

30

所以男生體育鍛煉的達標率為一x100%=30%.

100

【小問2詳解】

因為4，仇,偽成公比為正整數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)公比為4（qeN+）,

且14+4+b2+b]+7+2=100,即4+%+4=77.

所以4+b^q+b^q1=77,即々(l+q+q2)=77.

因為q￡N+,&GN+,

77

當q=l，4=1",舍去；當q=2,4=11/2=22,4=44滿足題意；

7711

當q=3,4=曾，舍去.當q=4,4=],舍去.

7777

當4=5也=不，舍去.當q=6,4=w，舍去.

7777

當4=7,4=L,舍去.當4=8,4=—，舍去.當q=9,4<l,舍去.

5773

步數(shù)位于(2,5)內(nèi)的女生人數(shù)為14+44+22=80人，步數(shù)位于［5,8)內(nèi)的女生人數(shù)為11+7+2=20人.

on

采用等比例分層抽樣抽取10人，則從步數(shù)位于(2,5)內(nèi)抽取10x益=8人，從步數(shù)位于［5,8)內(nèi)抽取

10—8=2人.

隨機變量X表示步數(shù)在［5,8)內(nèi)的人數(shù)，X的可能取值為0，1，2.

32

P(X=O)=WC=7'；P(X=1)=CE2cl^，7；P(X=2)=C當*CJ1

，15C：°15C：°15

所以X的分布列為:

X012

771

P

151515

77193

期望E(X)=0x—+lx——+2x—=—

151515155

18.在△NBC中，NB=90°,ADHBC,NA=CD=2AB=2,如圖將VN4O沿AD翻折至△PAD.

(1)證明：平面P8C1.平面MB；

(2)若二面角P—AD—5大小為120°.

(i)求上4與平面P6C所成角的正弦值;

(ii)在線段P￡>上是否存在點E,使得平面ABE與平面PDC所成角的余弦值為g?若存在，確定點E

的位置；若不存在，說明理由.

【答案】(1)證明見解析

M11A

(2)(i)(ii)存在點E,當。￡=—。尸或?！?。尸時滿足題意

1425

【解析】

【分析】(1)只需證明平面/^45，注意到AO/ABC,故只需證明平面已鉆，由

AD±AP,AD±AB即可證明AD，AP,AD，AB；

(2)(i)由題意得即二面角P—AD—5的平面角，結(jié)合解三角形知識求解即可；(ii)建立適當?shù)?/p>

空間直角坐標系，引入?yún)?shù)之詼=2麗,Xe(O,l),將平面與平面PDC的法向量表示出來，結(jié)合平

面ABE與平面PDC所成角的余弦值為1列出關(guān)于2的方程，判斷該方程的解的情況即可得解.

【小問1詳解】

因為NB=90°,A。//3C,所以ADJ_AP,ADLAB,

因為B4cAB=AB4,ABu平面MB，所以AD,平面MB,

所以平面E43,又BCu平面P6C,所以平面PBC,平面R45；

【小問2詳解】

(i)在四棱錐P—ABCO中，由(1)知445即二面角P—A￡>—5的平面角，

故NPA3=120。，因為ML=CD=2A3=2,所以NC=6,NB=3,

從而BC=36,ZDCB=30°,

過點A作A尸，PB,交PB于點F,又因為可得APJ_平面P3C,/N與平面P3C所成

角即為NAP產(chǎn).

在△K4B中，由余弦定理可得：PB=V/^42+AB2-2B4--cos1200=A/7-

-PA-ABsin1200阮人口不

由等面積法，Ab=2——-------------=^—,sinZAPF=—=L,

LpB7AP14

2

所以上4與平面PBC所成角的正弦值為叵；

14

(ii)如圖，建立空間直角坐標系,

則4(0,0,0),網(wǎng)-1,0,6),5(1,0,0),。(0,2后0),。(1,3點0卜

DP=(-1,-2A/3,A/3),

設(shè)瓦=XDP,2e(O,l),可得E(-2,(1-2),6孫

AE=(-2,2V3(1-2),^2),AB=(1,0,0),DC=(1,A/3,0),

設(shè)平面ABE的法向量為沆=(x,y,z),平面PDC的法向量為為=(a,b,c),

m-AB=0x=0

一，即《

?

m-AE=0-Ax+2y/3(l-2)y+y/32z=0

令y=X,可得沅=(0,42(幾一1)),

n-DP=0—ci—2^/3Z?+y/3c-0

即VL

n-DC=O〃+A/3/?=0

令a=6,可得為=(Q,—1,—1卜

|32-2|1

設(shè)平面ABE與平面尸DC的夾角為6,cos0=

V5-A/522-82+45

14

解得X=—或一,

25

14

所以存在點E，當DE=—DP或DE=—DP時滿足題意.

25

【小結(jié)】結(jié)論點睛：若直線/,機的方向向量分別為￡出，平面外夕的法向量分別為則

(兀、\a-b

①兩異面直線/,加所成的角為。0＜。＜彳，cos^=L^.

【2j\a\\b

\a-u\

②直線/與平面a所成的角為。0＜，＜、，sin8=

雨

③二面角。一/一，的大小為。(04。4兀),|cos6>|=tJ.

22

19.已知橢圓E：二+二=l(a〉0,6〉0)的離心率為4,6是E的左、右焦點，且山閭=4夜,

a2b2

直線k過點片與E交于AB兩點.

(1)求E的方程;

(2)若|AB|=2石，求)的方程;

(3)若直線過點尸2與E交于兩點，且/1，/2的斜率乘積為-；,",^^分別是線段45,。。的中點,

求zjW面積的最大值.

22

【答案】(1)