幾何模型求最值（將軍飲馬模型建橋選址模型胡不歸模型）-2025年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建（含答案）

重難點(diǎn)03幾何模型求最值（將軍飲馬模型、建橋選址模型、

胡不歸模型）

題型解讀?模型構(gòu)建?真題強(qiáng)化訓(xùn)練?模擬通關(guān)試練

[模型01將軍飲馬模型）

[模型02建橋選址模型）

[模型03胡不歸模型）

.麴婆解篌

該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，綜合性大題中的其中一問，難度系數(shù)較大，在各類考試

中都以中高檔題為主。本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題、勾股定理、等邊三角形的判定

和性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短，解這類問題的關(guān)鍵是將所給問題抽象

或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題。

。樵核前建

模型01將軍飲馬模型

考I向I預(yù)I測(cè)

將軍飲馬模型在考試中主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，該題型綜合考查學(xué)生的

理解和數(shù)形結(jié)合能力具有一定的難度，也是學(xué)生感覺有難度的題型。在解決幾何最

值問題主要依據(jù)是：①將軍飲馬作對(duì)稱點(diǎn)；②兩點(diǎn)之間，線段最短；③垂線段最

短，涉及的基本知識(shí)點(diǎn)還有：利用軸對(duì)稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、

“三角形兩邊之差小于第三邊”等；希望通過本專題的講解讓大家對(duì)這類問題有比較

清晰的認(rèn)識(shí)。

答I題I技I巧

1.觀察所求為橫向還是縱向的線段長(zhǎng)度（定長(zhǎng)），將線段按照長(zhǎng)度方向平移；

試卷第1頁(yè)，共12頁(yè)

2.同側(cè)做對(duì)稱點(diǎn)變異側(cè)，異側(cè)直接連線；

3.結(jié)合兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊等?？贾R(shí)點(diǎn);

4.利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜模型變成基本模型；

＞柒創(chuàng)(2024?黑龍江)

1.如圖，在矩形ABCD中，43=10,BC=6,點(diǎn)”是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是/。邊上任

意一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)V,則周長(zhǎng)的最小值

A.15B.5+5石C.10+5&D.18

＞衣式

2.如圖，已知乙408=50。，點(diǎn)尸為NNOB內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)M為射線04、點(diǎn)N為射線Q8上

的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)APMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，貝ljNMW=.

3.如圖，在口中，AB=A,AD=5,/48C=30。，點(diǎn)M為直線5c上一動(dòng)點(diǎn)，則K4+MD

的最小值為

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知4(3,0),3(0,2),過點(diǎn)B作了軸的垂線/,尸為

試卷第2頁(yè)，共12頁(yè)

PA,則P。+尸/的最小值為.

ABC=60°,48=2,E是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接NE,AE

的垂直平分線兒W交于點(diǎn)M,交AD于點(diǎn)N.連接￡N,CN.

H

(1)求證：EN=CN■,

⑵求2EN+3N的最小值.

模型02建橋選址模型

考I向I預(yù)I測(cè)

建橋選址模型該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度,

該題型主要考查軸對(duì)稱-----最短路徑問題、勾股定理、三角形及平行四邊形的判

定與性質(zhì)，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”等，但許多實(shí)際問題沒這么簡(jiǎn)單，需要我們

將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的

問題.目前，往往利用對(duì)稱性、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

答I題I技I巧

(1)兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè):

輔助線：連接48交直線加、〃于點(diǎn)尸、Q,則我+尸0+。2的最小值為AB.

試卷第3頁(yè)，共12頁(yè)

（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：

輔助線:過點(diǎn)B作關(guān)于定直線n的對(duì)稱點(diǎn)夕,連接48,交直線m、n于點(diǎn)P.Q,則PA+PQ+QB

的最小值為AB,.

B)

（3）如圖3,兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：

輔助線：過點(diǎn)Z、8作關(guān)于定直線機(jī)、〃的對(duì)稱點(diǎn)Z'、B）,連接Z5'交直線

m、〃于點(diǎn)尸、Q,則尸2+尸。+02的最小值為2'8'.

H'

（2023?南京）

6.如圖，矩形N8CD中，AB=4,BC=2,G是4D的中點(diǎn)，線段所在邊上左右滑動(dòng);

若EF=1,貝|GE+C/的最小值為.

試卷第4頁(yè)，共12頁(yè)

＞衣式

7.已知，在河的兩岸有A,B兩個(gè)村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB=10

千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計(jì)劃在河上修建一座橋MN垂直

于兩岸，M點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，則AM+BN的最小值為（）

A.2而B.1+3V5C.3+737D.屈

8.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2右，NABC=60。，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，且EF=

2,連接AE、AF,則4AEF周長(zhǎng)的最小值是（）

A.4B.4+73C.2+2百D.6

9.如圖，在口48CD中，AB=4,AD=9,M、N分別是40、8C邊上的動(dòng)點(diǎn)，且

NABC=ZMNB=60°,則+MN+ND的最小值是.

10.如圖，在矩形/BCD中，AB=4,BC=1,E為CD的中點(diǎn)，若尸、。為5c邊上的兩個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，且20=2,若想使得四邊形/尸的周長(zhǎng)最小，則8尸的長(zhǎng)度應(yīng)為.

11.如圖，已知48為。。的直徑，BC,CO是。。的切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)8,D,點(diǎn)、E為

48上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CE,DE.若AB=2下,BC=2,貝UCE+OE的最小值是.

試卷第5頁(yè)，共12頁(yè)

D

C

模型03胡不歸模型

考I向I預(yù)I測(cè)

胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各

地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)

行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最

短。

答I題I技I巧

1.構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型；

2.借助三角函數(shù)，構(gòu)造銳角a,將另一個(gè)系數(shù)也化為1；

3.利用“垂線段最短”原理構(gòu)造最短距離；

4.數(shù)形結(jié)合解題

I題型學(xué)＜5'1

（2023?安徽）

12.如圖，△4BC為等邊三角形，BD平分N4BC,AB=2,點(diǎn)￡為AD上動(dòng)點(diǎn)，連接/E,

則的最小值為（）

A.1B.V2C.6D.2

＞衣式

試卷第6頁(yè)，共12頁(yè)

13.如圖，菱形/8CO的邊長(zhǎng)為5,對(duì)角線08的長(zhǎng)為4收尸為08上一動(dòng)點(diǎn)，則/尸+咚0尸

的最小值為（）

C.2行D.375

14.如圖，。。是等邊三角形43C的外接圓，其半徑為4.過點(diǎn)8作3EL/C于點(diǎn)E,點(diǎn)P

為線段8E上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與瓦E重合），則。尸+；32的最小值為.

15.如圖，在Rta/BC中，ZACB=90°,ZABC=30°,ZC=4,按下列步驟作圖：①在NC

和43上分別截取AE,使4D=4E.②分別以點(diǎn)。和點(diǎn)￡為圓心，以大于;?！甑?/p>

長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在NB/C內(nèi)交于點(diǎn)③作射線交BC于點(diǎn)?若點(diǎn)尸是線段/尸

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP,則CP+；，尸的最小值是.

16.如圖，拋物線y=x2_x+c與X軸交于點(diǎn)，（-1,0）和點(diǎn)3,與了軸交于點(diǎn)C.

試卷第7頁(yè)，共12頁(yè)

⑴求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)0<x?2時(shí)，求y=Y一1+。的函數(shù)值的取值范圍；

⑶將拋物線的頂點(diǎn)向下平移3;個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)點(diǎn)夕為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求

PA+旦PM的最小值.

5

◎真題遨煉

（2023?四川）

17.如圖，O為矩形N8CZ）對(duì)角線NC,8。的交點(diǎn)，AB=8,M,N是直線2C上的動(dòng)點(diǎn)，

且〃N=2,則OM+ON的最小值是.

（2024?安徽）

18.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。。，線段"N在對(duì)角線8。上運(yùn)動(dòng)，若。。的面積為2%,

MN=\,則“MN周長(zhǎng)的最小值是.

19.如圖，平行四邊形中，ZDAB=45°,AB=8,BC=2,尸為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn),

則尸8+走尸。的最小值等于（）

2

試卷第8頁(yè)，共12頁(yè)

DP

A.472B.3>/3C.2V2D.2A/3

20.如圖，在ZUBC中，NB/C=90o,Z8=60o,N8=4,若。是8c邊上的動(dòng)點(diǎn)，貝U2ND+OC

的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

(2023?湖南)

21.某班級(jí)在探究“將軍飲馬問題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：

直線/同旁有兩個(gè)定點(diǎn)/、B,在直線/上存在點(diǎn)P,使得尸/+P8的值最小.解法：如圖1,

作N點(diǎn)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)H,連接則48與直線/的交點(diǎn)即為尸，且加+尸8的最小

值為43.

請(qǐng)利用上述模型解決下列問題：

(1)幾何應(yīng)用：如圖2,△ABC中，ZC=90°,AC=BC=2,E是的中點(diǎn)，P是BC邊上

的一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小值為；

⑵幾何拓展：如圖3,△NBC中，AC=2,乙4=30。，若在/8、/C上各取一點(diǎn)“、N

使CM+MN的值最小，畫出圖形，求最小值并簡(jiǎn)要說明理由.

(2023?陜西)

22.在學(xué)習(xí)對(duì)稱的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，我們認(rèn)識(shí)了如下圖所示的“將軍飲馬”模型求最短距離.

問題提出：

(1)如圖1所示，已知N,8是直線/同旁的兩個(gè)定點(diǎn).在直線/上確定一點(diǎn)尸，并連接4P與

BP,使尸N+P8的值最小.

試卷第9頁(yè)，共12頁(yè)

?B

問題探究：

(2)如圖2所示，正方形/2CD的邊長(zhǎng)為2,E為48的中點(diǎn)，尸是NC上一動(dòng)點(diǎn).連接E尸和

BP,貝U尸3+PE的最小值是；

問題解決：

(3)某地有一如圖3所示的三角形空地NO8,已知ZAOB=45。，尸是LAOB內(nèi)一點(diǎn)，連接尸。

后測(cè)得尸。=10米，現(xiàn)當(dāng)?shù)卣谌切慰盏刂行抟粋€(gè)三角形花壇「。尺，點(diǎn)。，R分

別是0408邊上的任意一點(diǎn)(不與各邊頂點(diǎn)重合)，求AP。尺周長(zhǎng)的最小值.

??！庇?/p>

23.如圖，在△/BC中，AABC=60°,BC=6,CD是zUBC的一條高線.若E,尸分別

是C￡＞和8C上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+E尸的最小值是()

試卷第10頁(yè)，共12頁(yè)

A.6B.372C.3A/3D.3

24.如圖，在RtzX/BC中，ZC=9O°,NH4C的平分線交8c于點(diǎn)。，CD=2,BD=3,Q

為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則DQ的最小值為（）

C.2.5D.V5

25.如圖，々05=30。，點(diǎn)P是/40B內(nèi)的定點(diǎn)且0P=3,若點(diǎn)M、N分別是射線。4、OB

上異于點(diǎn)。的動(dòng)點(diǎn)，貝11ApMN周長(zhǎng)的最小值是（）

、、r24

A.3B.—C.—D.6

33

26.如圖，在△N8C中，48的垂直平分線DE交8c于點(diǎn)。，垂足為E,從■為。E上任意一

點(diǎn)，BA=3,AC=4,BC=6.貝【JA/MC周長(zhǎng)的最小值為（）

27.如圖，四邊形Z5CD中，4840=130。，/8=/。=90。，在BC,CD上分別找一點(diǎn)

M,N,使A/A/N的周長(zhǎng)最小時(shí)，則NZNM+N4MN的度數(shù)為（）

試卷第11頁(yè)，共12頁(yè)

AD

B.90°C.100°D.130°

28.有一條以互相平行的直線a,b為岸的河流，其兩側(cè)有村莊A和村莊3,現(xiàn)在要在河上

建一座橋梁"N（橋與河岸垂直），使兩村莊之間的路程最短，從作圖痕跡上來看，正確的

是（）

29.如圖，矩形48co中，48=4,8c=8,E為CZ）邊的中點(diǎn)，點(diǎn)尸、0為8c邊上的兩

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且P2=2,當(dāng)BP=（）時(shí)，四邊形NPQE的周長(zhǎng)最小.

D.2亞

試卷第12頁(yè)，共12頁(yè)

1.B

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，確定點(diǎn)N'的軌跡是解題的關(guān)

鍵.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合AAS證明會(huì)△GMN',推出MG=/M=5,得到點(diǎn)N'在平行

于且與的距離為5的直線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)M關(guān)于直線所的對(duì)稱點(diǎn)ML連接M3交

直線E尸于點(diǎn)N',此時(shí)△MSN'周長(zhǎng)取得最小值，由勾股定理可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)N'作斯〃交40、BC于E、F,過點(diǎn)”作MG_LE尸垂足為G,

?.?矩形/BCD,

AB//CD,

AB||EF\\CD,

.?.四邊形AMGE和BMGF都是矩形，

//=AMGN'=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NMW=90。，MN=MN',

ZAMN=90°-NNMG=NGMN',

：.AAMNAGMN',

MG=AM=5,

???點(diǎn)N'在平行于NB,且與的距離為5的直線上運(yùn)動(dòng)，

作點(diǎn)M關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn),連接"5交直線跖于點(diǎn)N',此時(shí)周長(zhǎng)取得最

小值，最小值為+5AT,

■.■BM=-AB=5,MM'=5+5=10,

2

+8"=5+02+1()2=5+5退，

故選：B.

2.80°##80度

【分析】本題考查了軸對(duì)稱?最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；

作點(diǎn)尸關(guān)于08的對(duì)稱點(diǎn)耳P2.連接。4OP2.則當(dāng)M,N是弓乙與CM,08的交

答案第1頁(yè)，共31頁(yè)

點(diǎn)時(shí)，△尸MN的周長(zhǎng)最短，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：作尸關(guān)于04,06的對(duì)稱點(diǎn)與P2.連接。與OP2.則當(dāng)M,N是耳鳥與

0A,的交點(diǎn)時(shí)，APW的周長(zhǎng)最短，連接耳P、P2P,

???尸、丹關(guān)于。4對(duì)稱，

...APXOP=2ZM0P,OP,=OP,P、M=PM,NORM=NOPM,

同理，NP￡)P=24N0P,OPOP,,AOP2N=ZOPN,

3。鳥=NROP+N舄OP=2(ZM0P+NNOP)=2NN08=100。，OP^OP2=OP,

???△4。呂是等腰三角形.

AOP2N=ZOP[M=40°,

AMPN=4MpO+ZNPO=ZOP2N+NORM=80°

故答案為：80°.

3.V41

【分析】如圖，作A關(guān)于直線3c的對(duì)稱點(diǎn)4,連接4。交BC于AT,則,

AHIBC,AM'=A'M',當(dāng)","'重合時(shí)，M4+VD最小，最小值為4D,再進(jìn)一步結(jié)合

勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，作A關(guān)于直線5c的對(duì)稱點(diǎn)H,連接4。交8c于AT,則4f/=/7/,

AHIBC,AM'=A'M',

.?.當(dāng)M,AT重合時(shí)，M4+VD最小，最小值為HD,

答案第2頁(yè)，共31頁(yè)

A'

AB=4,ZABC=30°,在口中，

,-.AH=^AB=2,AD//BC,

：.AA'=2AH=4,AA'IAD,

AD=5,

???A'D=V42+52=V41，

故答案為：

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，求最小值問題，正確理

解各性質(zhì)及掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

4.5

【分析】本題考查軸對(duì)稱一最短問題以及勾股定理和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì).先取點(diǎn)/關(guān)于直

線/的對(duì)稱點(diǎn)H,連4。交直線/于點(diǎn)C,連NC,得到NC=HC,A'All,再由軸對(duì)稱圖

形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，得到當(dāng)。，尸,4三點(diǎn)共線時(shí)，尸。+尸4的最小值為HO,再

利用勾股定理求4。即可.

【詳解】解：取點(diǎn)/關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)4,連HO交直線/于點(diǎn)C,連/C,

則可知/C=/'C,A'ALl,

.-.PO+PA=PO+PA'>A'O,

即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，PO+P/的最小值為40,

???直線/垂直于y軸，

A'A_Lx軸，

.“(3,0),5(0,2),

.-.AO=3,AA'=4,

.?.在RtAd/O中,

A'O=>JOA2+AA'2=V32+42=5，

故答案為：5

答案第3頁(yè)，共31頁(yè)

A

(2)2A/3

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)證明A/BN0ACBN,再結(jié)合MN是NE的垂直平分線，即可證

明EN=CN；

(2)過點(diǎn)N作樣_L8C于點(diǎn)F，連接7V￡4F,ZDBC=30°,則=故

2EN+BN=2^EN+^BN^=2{AN+NF)>2AF,止匕時(shí)ZE/BC,在RMZB尸中，進(jìn)行解直

角三角形即可.

【詳解】(1)證明：連接/N,

D

HEC

?.?四邊形N8CD是菱形，

ZABD=ZCBD=-ZABC=30°,BA=BC,

2

???BN=BN,

：.xABNaCBN,

AN=CN,

■.MN是AE的垂直平分線，

AN=NE,

:.EN=CN；

（2）解:過點(diǎn)N作w，8c于點(diǎn)尸，連接

答案第4頁(yè)，共31頁(yè)

D

REFC

VZD5C=30°,

.-.NF=-BN,

2

■：AN=EN,

；.2EN+BN=21EN+；BN）=2（AN+NF）22AF,

當(dāng)點(diǎn)/、N、尸三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，如圖:

B⑻F

即AF1BC,

.?.在RLUB尸中，AF=AB-sinABC=2x—=,

2

2EN+BN的最小值為2G.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最

短，解直角三角形，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

6.3及

【分析】如圖，作G關(guān)于N2的對(duì)稱點(diǎn)G，，在CD上截取C8=l,然后連接交于￡,

在￡8上截取E尸=1,此時(shí)GE+Cr的值最小，可得四邊形ErC”是平行四邊形，從而得到

G'H=EG'+EH=EG+CF,再由勾股定理求出皿7的長(zhǎng)，即可求解.

【詳解】解：如圖，作G關(guān)于48的對(duì)稱點(diǎn)G）在CZ）上截取C〃=l,然后連接"G交48

于E,在班上截取￡1=1,此時(shí)GE+CF的值最小，

答案第5頁(yè)，共31頁(yè)

：.G'E=GE,AG=AG',

?.?四邊形NBC。是矩形，

■■.ABWCD,AD=BC=2

■■.CHWEF,

■：CH=EF=\,

???四邊形EFCH是平行四邊形，

；.EH=CF,

G'H=EG'+EH=EG+CF,

■■AB=4,BC=AD=2,G為邊/。的中點(diǎn),

：.AG=AG'=1

：.DG'=AD+AG=2+1=3,DH=4-1=3,

■■■HG'=^DH1+DG'2=J32+32=3A/2，

即GE+CF的最小值為30.

故答案為：3收

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短路徑問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，確定

GE+CF最小時(shí)E,F位置是解題關(guān)鍵.

7.A

【分析】作BB，垂直于河岸，使BB，等于河寬，連接AB，，與靠近A的河岸相交于M,作

MN垂直于另一條河岸，則MNIIBB，且MN=BB，，于是MNBB，為平行四邊形，故MB，=

BN；根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，AB，最短，即AM+BN最短，止匕時(shí)AM+BN=AB，.

【詳解】解：如圖，作BB，垂直于河岸，使BB，等于河寬，連接AB，，與靠近A的河岸相交

于M,作MN垂直于另一條河岸，

則MNIIBB，且MN=BB-

于是MNBB，為平行四邊形，故MB，=BN.

答案第6頁(yè)，共31頁(yè)

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，AB，最短，即AM+BN最短.

???AB=10千米，BC=l+3+4=8千米，

.?.在RTAABC中，AC=7AB2-BC2=6，

在RT4ABC中，B，C=l+3=4千米，

，AB，=VAC2+B,C2=2V13千米；

故選A.

H

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱一最短路徑問題，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，但許多實(shí)際問題

沒這么簡(jiǎn)單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之

間線段最短的問題.目前，往往利用對(duì)稱性、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

8.D

【分析】作AHHBD,使得AH=EF=2,連接CH交BD于F,則AE+AF的值最小，進(jìn)而

得出4AEF周長(zhǎng)的最小值即可.

【詳解】解：如圖作AHIIBD,使得AH=EF=2,連接CH交BD于F,貝UAE+AF的值最

小，即4AEF的周長(zhǎng)最小.

?；AH=EF,AHHEF,

二四邊形EFHA是平行四邊形,

.?.EA=FH,

?；FA=FC,

答案第7頁(yè)，共31頁(yè)

.-.AE+AF=FH+CF=CH,

???菱形ABCD的邊長(zhǎng)為26,NABC=60。，

??.AC=AB=2G,

,?,四邊形ABCD是菱形，

.-.AC1BD,

vAHIIDB,

.-.AC1AH,

.-.zCAH=90°,

在RtACAH中，CH=JAC?+AH。=?2國(guó)+22=4

???AE+AF的最小值4,

???AAEF的周長(zhǎng)的最小值=4+2=6,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)與動(dòng)點(diǎn)問題最小值，構(gòu)造輔助線轉(zhuǎn)化相關(guān)的線段是解題關(guān)鍵.

9.7129+4##4+7129

【分析】由乙MVS=60?？芍狹N為定長(zhǎng)，在4。、8c間滑動(dòng)，故由造橋選址模型進(jìn)行平移，

轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離加上定長(zhǎng),再利用特殊角構(gòu)造直角三角形,使用勾股定理求出兩點(diǎn)間距離.

【詳解】解：作M石〃48交8c于點(diǎn)￡,在4D取DF二MN,連接斯，延長(zhǎng)至點(diǎn)9,

使BB'=ME,連接3R,作B'HL4D于點(diǎn)H,如下圖：

'Jr

H'

AB//ME,

AMEN=/ABC=ZMNB=60°,

:.AMEN為等邊三角形,

:.ME=EN=MN,

?:口ABCD,

答案第8頁(yè)，共31頁(yè)

:.AD//BC,

，四邊形ABEM為平行四邊形，

同理得四邊形BB'EM與四邊形ENDF為平行四邊形，

.-.ME=EN=MN=AB=4,B'E=BM,EF=ND,

:.BM+MN+ND=B'E+EN+ND=B'E+EF+4>B'F+4,

RtA87￡4中，HA=^B'A=4,B，H=<BM-AH。=加一個(gè)=4人,

中,

B'F=^B'H2+HF2=yjB'H2+(AH+AD-FD)2=^B'H1+AD2=不(4國(guó)+9?=V129,

:.BM+MN+ND>y/129+4,

即+MN+ND的最小值是V129+4.

故答案為：V129+4.

【點(diǎn)睛】本題考查平移類最短路徑，為造橋選址模型，即沿一個(gè)方向平移的定長(zhǎng)線段兩端到

兩個(gè)定點(diǎn)距離和最小，解題的關(guān)鍵是需要理清楚是否含有定長(zhǎng)平移線段，且利用平移求出最

短路徑位置.

10.—##3-

33

【分析】本題考查平行線性質(zhì)，相似三角形判定及性質(zhì)等.根據(jù)題意在上截取

4F=尸。=2,作點(diǎn)尸關(guān)于8C的對(duì)稱點(diǎn)G連接GE與8c交于點(diǎn)。，過點(diǎn)/作過

G作而〃8c交C。于點(diǎn)H,即可得到,再利用相似三角形性質(zhì)求出本題答案.

【詳解】解：???四邊形/尸。￡的周長(zhǎng)中/￡和尸。是定值，

???要使四邊形/尸?！甑闹荛L(zhǎng)最小，只要NP+QE最小即可；

在40上截取/尸=尸。=2,作點(diǎn)尸關(guān)于8C的對(duì)稱點(diǎn)G連接GE與8c交于點(diǎn)。，過點(diǎn)N作

AP\\FQ,過G作G//〃BC交CO于點(diǎn)X,

...GQ=FQ=AP,4EQCS4EGH,

答案第9頁(yè)，共31頁(yè)

45=4,BC=7,尸0=2,E為CD的中點(diǎn),

EC=2,CH=4,GH=5,

EH=6,

EHEC

~GH~~CQf

故答案為：—.

14

11.—

3

【分析】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理的應(yīng)用，將軍飲

馬模型，本題計(jì)算量較大，能夠正確計(jì)算出所需的每條線段長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵.過點(diǎn)。作

DFL4B于點(diǎn)、F,延長(zhǎng)。尸交。。于點(diǎn)G,連接CG交于點(diǎn)E,利用將軍飲馬模型可得

此時(shí)EC+EO=GC最小，連接O。，AD,DB,利用相似三角形的性質(zhì)可得

—=—=^,設(shè)AD=?,貝ija)=2左，利用勾股定理求得再利用

BDBC29

\ADFS\ABD,求出/尸的長(zhǎng)，進(jìn)而求出B尸的長(zhǎng)；過點(diǎn)C作CH_LN8于點(diǎn)a,則四邊形

CHFB為矩形,CH=BF=還,FH=BC=2,則G"=b"+尸G=型+2=孚，再利用

999

勾股定理即可求得結(jié)論.

【詳解】解：過點(diǎn)。作。尸，于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)。尸交。。于點(diǎn)G,連接CG交于點(diǎn)￡,

如圖，

8?.TB為。。的直徑，AB±DG,

:.DF=FG.

二點(diǎn)。與點(diǎn)G關(guān)于48對(duì)稱.

DE=EG,止匕時(shí)ED+EC最小.

答案第10頁(yè)，共31頁(yè)

ED+EC=EG+EC=GC.

連接。D,AD,DB,

???/B為OO的直徑，AB=2y[5,

：.OA=DO=OB=-AB=45.

2

vBC,CD是OO的切線，

，BC=CD=2,ODVCD,OBVBC,

/.ZCDB+ZODB=ZADO+ZODB=90°,

ZCDB=/ADO,

???OA=OD,

ZA=ZADO,

/A=/CDB

???DC=CB,

ZCDB=ZCBD.

NCDB=ZA=ZADO=ZCBD.

NOADs'CDB.

.AD_OA45

BD~BC~2?

設(shè)AD=用,則助=2左，

為OO的直徑，

:.NADB=90。.

AD2+BD2=AB2.

.?.（限了+（2左）2=（2君）2.

.?"7.

9

???ZADB=90°,DF上AB,

\ADFs斗BD,

.AD_AF

一而一布.

AD2=ABAF.

AF=—y/5.

9

答案第11頁(yè)，共31頁(yè)

:.OF=AF-OA=

9

Q尺

:.BF=OB-OF=—

9

v-ZADB=90°,DFLAB,

?.\ADF^\DBF.

.DFBF

,~AF~~DF'

,M10V5875

..DF=AF-BF=--------x-------?

99

,—DF言

過點(diǎn)。作CHLOG于點(diǎn)b,

則四邊形CS為矩形，

Q/~C

：,CH=BF=—,FH=BC=2.

9

on

;.GH=FH+FG=—+2=——.

99

在RtACHG中,

???CG2=CH2+HG\

14

故答案為：—.

12.C

【分析】過/作//_LC8于R過點(diǎn)P作PEJ_8C于￡,故PE=；BP,故

AP+-BP=AP+PE>AF,求出/尸即可.

2

【詳解】解：過/作于尸，過點(diǎn)尸作PELBC于￡,

答案第12頁(yè)，共31頁(yè)

???△4BC為等邊三角形，BD平分NABC,

ZDBC=30°,

：.PE=~BP,

2

AP+-BP=AP+PE>AF,即NP+工8尸的最小值為AF的長(zhǎng)，

22

???AB=2,

.-.BF=FC=-BC=-AB=l,

22

?1?AF=>]AB2-BF2=y/3，

AP+^BP的最小值為g.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30。角的直角三角形中，30。所對(duì)的直角邊等于斜邊一半，作出

垂線PE,得到=尸是解決本題的關(guān)鍵.

13.A

【分析】根據(jù)題意，由四邊形/8CO是菱形結(jié)合其性質(zhì)，將好。尸進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再由“垂線段

5

最短”的思想進(jìn)行求解即可得解.

【詳解】連接NC交。5于點(diǎn)過M點(diǎn)作MEUOC于點(diǎn)X,過點(diǎn)/作/G垂直O(jiān)C于點(diǎn)

G,交于點(diǎn)尸

?.?四邊形48C0是菱形

■.AMLOB,OA=AB=BC=OC=5,OM=MB=-OB,AM=MC=-AC

22

OB=475

??AM=MC=siAB2-MB1=V25-20=75，OM=275

-MH1OC,AMLOB

...S.=-OMMC=-OCMH

/\nJ<MZviC<>22

■■2^x45=5MH

■■.MH=2

sinZMOH="絲=2

OM2755

答案第13頁(yè)，共31頁(yè)

???AP+—OP=AP+PG

5

.,.當(dāng)/、P、G三點(diǎn)共線且/G，OC時(shí)有"+好0P的最小值NG,如下圖所示

5

?.?菱形ABC0的面積S=-OBAC=OC-AG

2

-OBAC-x475x275

"AG=^-------------------------=4

OC5

???/尸+"。尸的最小值為4,

5

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及最短路徑問題，熟練掌握菱形的性質(zhì)、勾股定理、

菱形面積求法等相關(guān)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵.

14.6

【分析】過點(diǎn)「作如，”2,連接C。并延長(zhǎng)交于點(diǎn)尸，連接/。，根據(jù)等邊三角形的

性質(zhì)和圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)得到。/=4,CFLAB,然后利用含30。角直角三角形的

性質(zhì)得到OE=LQ4=2,進(jìn)而求出3￡=8。+￡。=6,然后利用“+,2尸="+尸。4庭

22

代入求解即可.

【詳解】如圖所示，過點(diǎn)尸作連接C。并延長(zhǎng)交于點(diǎn)?，連接“0

???△4BC是等邊三角形，BEYAC

答案第14頁(yè)，共31頁(yè)

/ABE=/CBE=-/ABC=30°

2

??,OO是等邊三角形Z5C的外接圓，其半徑為4

.?.04=05=4,CFLAB,

；./OBA=/OAB=3b。

??.ZOAE=NOAB=-ZBAC=30°

2

-BEVAC

：.OE=—OA=2

2

BE—BO+EO=6

vPDLAB,ZABE=30°

：.PD=-PB

2

CP+-BP=CP+PD<CF

2

.■.CP+^-BP的最小值為CF的長(zhǎng)度

2

???△ABC是等邊三角形，BEVAC,CFLAB

：.CF=BE=6

.?.CP+：3尸的最小值為6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30。角直角三角形的性質(zhì)

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).

15.26

【分析】過點(diǎn)尸作工于點(diǎn)。，過點(diǎn)C作于點(diǎn)〃，先利用角平分線和三角形

的內(nèi)角和定理求出/氏4尸=30。，然后利用含30。的直角三角的性質(zhì)得出/尸，則

CP+^AP=CP+PQ>CH,當(dāng)C、P、。三點(diǎn)共線，且與垂直時(shí)，+最小，

CP+g/P最小值為C〃，利用含30。的直角三角的性質(zhì)和勾股定理求出BC,最后利

用等面積法求解即可.

【詳解】解：過點(diǎn)P作PQ1N8于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。78于點(diǎn)區(qū)

答案第15頁(yè)，共31頁(yè)

A

ZACB=90°,ZABC=30°,

ABAC=60°,

.-.ZBAF=-ZBAC=30°,

2

.■.PQ=^AP,

CP+^AP=CP+PQ>CH,

.?.當(dāng)C、P、0三點(diǎn)共線，且與4B垂直時(shí)，CP+g/尸最小，。尸+:“尸最小值為?！?，

ZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,

AB-2AC=8,

BC=^AB2-AC1=473，

-.-S.=-AC-BC=-ABCH,

AADBC227

.?.S=生變=3=25

AB8

即CP+g/P最小值為2VL

故答案為：2VL

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖-作角平分線，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí),

注意掌握利用等積法求三角形的高或點(diǎn)的線的距離的方法.

16.(l)y=x2-x-2

9

⑶尸/+9PM的最小值為：竽

【分析】(1)直接利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式即可；

答案第16頁(yè)，共31頁(yè)

-11

（2）求解y=x2-x-2的對(duì)稱軸為直線％=-「=彳，而0<x?2,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)

2x12

可得答案；

（3）求解C（。,-2）,5（2,0）,可得/8=3,求解直線/C為y=-2x-2,及A/1],-3）證

明“在直線/C上，如圖，過尸作尸G1/C于G,連接MB,過尸作尸〃_LMB于反，可得

AC=45,sinZACO=^=—,證明乙4〃P=NNCO,可得PG=^PM,可得

V555

PA+—PM=PA+PG=PA+PH<AH,再進(jìn)一步求解即可.

5

【詳解】（1）解：???拋物線了=/_x+c與X軸交于點(diǎn)/（TO）,

*'?1+1+c=0,

解得：c=-2,

???拋物線的角軍析式為：y=x2-x-2；

-11

（2）角軍：?.?y=*2—%—2的對(duì)稱軸為直線％二—^^=不，ffi]0<x<2,

2x12

119

???函數(shù)最小值為：y=----2=-—,

424

當(dāng)％=0時(shí)，y=-2,

當(dāng)x=2時(shí)，y=4-2-2=0,

9

.??函數(shù)值的范圍為：--<^<0；

4

（3）W：-y=x2-x-2,

當(dāng)x=0時(shí)，>=一2,

.-.C（0,-2）,

當(dāng)^=%2一%一2=0時(shí)，

解得：%=一1,%=2,

.*.5（2,0）,

AB=3,

設(shè)直線ZC為歹=丘-2,

?一左一2=0,

k——2,

答案第17頁(yè)，共31頁(yè)

?,?直線NC為7=-2X-2,

3_L_2

?地物線的頂點(diǎn)向下平盯個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)M,而頂點(diǎn)為2，-4

二嗚T，

.?.M在直線NC上,

如圖，過。作PG_L/C于G,連接也，過。作于",

?”(—1,0),C(0,-2),

AC=y/5,sinZ-ACO—~—j=

5

,??對(duì)稱軸與歹軸平行,

??.ZAMP=/ACO,

../PG_y/5

,,sin/4MP=-----——,

PM5

■■PG=—PM,

5

由拋物線的對(duì)稱性可得：PG=PH,NMAB=2MBA,

■■PA+—PM=PA+PG=PA+PH<AH,

5

當(dāng)4尸,〃三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，

.a_℃_2_275_..._AH

**?sin/MAB==-尸=--=sin/ABKHU-------,

AC小5AB

,AH_275

??亍一丁’

.??/〃=述，

5

即尸的最小值為：述.

55

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用軸對(duì)

稱的性質(zhì)求解線段和的最小值，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，做出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

答案第18頁(yè)，共31頁(yè)

17.2后

【分析】根據(jù)題意，過。作?！癐I8C,且令?！?2,連接作。點(diǎn)關(guān)于8c的對(duì)稱點(diǎn)K,

連接OK,KH,則OM+ON=NH+ON=NH+NQHK,當(dāng)H、N、K三點(diǎn)共線的時(shí)候，OM+ON

有最小值，最小值為"K的長(zhǎng).根據(jù)矩形性質(zhì)及圖形的對(duì)稱性，易知NKO〃=90。，在

RtLKOH中,運(yùn)用勾股定理求得的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：過。作的C,且令?！?2,連接NH,作。點(diǎn)關(guān)于8c的對(duì)稱點(diǎn)K,連接

OK,KH,

"OHWBC,OH=MN=2,

.?.四邊形OMNH是平行四邊形，

：.OM=NH,

：.OM+ON=NH+ON.

■■0點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)K,

：.ON=NK,

：.OM+ON=NH+ON=NH+NK,

■：NH+NK>HK,

當(dāng)“、N、K三點(diǎn)共線的時(shí)候，OM+ON有最小值，最小值為的長(zhǎng).

■.OHWBC,。點(diǎn)關(guān)于3c的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)K,

ZKOH=90°.

?-0為矩形ABCD對(duì)角線NC,BD的交點(diǎn)，0點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)K,

；.OK=AB=8.

■：OH=2,ZKOH=90°,

???HK=>JOH2+OK2=2V17，

答案第19頁(yè)，共31頁(yè)

：.OM+ON的最小值是2后.

【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問題，矩形性質(zhì)，勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)，其中熟練畫

出。M+ON取最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的線段，是解題的關(guān)鍵.

18.4

【分析】由正方形的性質(zhì)，知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)C作C4〃BD,且使

CA'=1,連接區(qū)4,交AD于點(diǎn)N,取7W=1,連接4W、CM,則點(diǎn)M、N為所求點(diǎn)，進(jìn)

而求解.

【詳解】解：的面積為2萬，則圓的半徑為血，則8。=2亞=/。，

由正方形的性質(zhì)，知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于2D的對(duì)稱點(diǎn)，

過點(diǎn)C作CH〃BO,且使C/'=l,

連接交于點(diǎn)N,取M0=