全等、等腰及相似有關(guān)解答題的模型構(gòu)建（6大類(lèi)型）-2025年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)（含答案）

專(zhuān)題06全等、等腰及相似有關(guān)解答題的模型構(gòu)建（6大類(lèi)

型）

題型解讀|模型構(gòu)建|通關(guān)試練

Q題里解硅

模型01全等三角形的性質(zhì)與判定

/模型02等腰三角形的性質(zhì)與判定

模型03等邊三角形的性質(zhì)與判定

三角形全等、相似及綜合應(yīng)用

、______模型04相似三角形的性質(zhì)與判定

\模型05三角形的翻折問(wèn)題

模型06三角形與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

1.三角形全等的判定及應(yīng)用

（1）全等三角形的定義：

全等的圖形必須滿(mǎn)足：（1）形狀相同；（2）大小相等

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.全等用符號(hào)“三”表示，讀作“全等于”.

注：記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上.

（2）全等三角形的性質(zhì)：

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等.

（3）全等三角形的判定：

（1）兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）

（2）兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）

（3）兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或

“AAS”）

（4）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）.

試卷第1頁(yè)，共28頁(yè)

2.等腰三角形的性質(zhì)與判定

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高相互重合.【三線(xiàn)合一】

(3)等腰三角形的判定

判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.【簡(jiǎn)稱(chēng)：等角對(duì)

等邊】

說(shuō)明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法.

②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；

③在判定定理的證明中，可以作未來(lái)底邊的高線(xiàn)也可以作未來(lái)頂角的角平分線(xiàn)，但不能作

未來(lái)底邊的中線(xiàn)；

④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用.

3.等邊三角形的性質(zhì)與判定

(1)等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等

腰三角形.

①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形

中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的.

(2)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60。.

等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有三條對(duì)稱(chēng)軸；它的任意一角的平分線(xiàn)都垂直平分對(duì)邊，三邊

的垂直平分線(xiàn)是對(duì)稱(chēng)軸.

(3)等邊三角形的判定：

由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

判定定理2：有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

4三角形相似的判定及綜合應(yīng)用

(1)平行線(xiàn)法：平行于三角形的一邊的直線(xiàn)與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形

試卷第2頁(yè)，共28頁(yè)

相似；

這是判定三角形相似的一種基本方法.相似的基本圖形可分別記為“4’型和"X，型，如圖所示

要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形.

（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；

（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;

（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

該模型重點(diǎn)分析旋轉(zhuǎn)中的兩類(lèi)全等模型（手拉手、半角），結(jié)合各類(lèi)模型展示旋轉(zhuǎn)中的變與

不變,并結(jié)合經(jīng)典例題和專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時(shí)規(guī)范了解題步驟,

提高數(shù)學(xué)的綜合解題能力.

（1）手拉手模型：

將兩個(gè)三角形（或多邊形）繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成

手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等.其中：公共頂點(diǎn)/記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針

順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”.

手拉模型解題思路：SAS型全等（核心在于導(dǎo)角，即等角加（減）公共角）.

（2）半角模型：

試卷第3頁(yè)，共28頁(yè)

1、半角模型概念：過(guò)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)作兩條射線(xiàn)，使這兩條射線(xiàn)夾角等于該頂角一半.

2、模型特征：等線(xiàn)段，共端點(diǎn)，含半角

3、思想方法：通過(guò)旋轉(zhuǎn)（或截長(zhǎng)補(bǔ)短）構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)線(xiàn)段的轉(zhuǎn)化.

4、解題思路：一般是將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等

量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過(guò)全等的性質(zhì)得到線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)

系.半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)-證全等-得到相關(guān)結(jié)論.

◎攜修為建

模型01全等三角形的性質(zhì)與判定

考I向I預(yù)I測(cè)

三角形全等的判定及應(yīng)用該題型近年考試中綜合性較高，在各類(lèi)考試中以解答題為主.解這

類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確迅速的在全等三角形的5種判定方法中，選用合適的方法，取決于題目

中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則

必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這

個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊.

答I題I技I巧

解決全等三角形的問(wèn)題認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問(wèn)題中已知的線(xiàn)段和角與所證明的

線(xiàn)段或角之間的聯(lián)系.在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必

要時(shí)添加適當(dāng)輔助線(xiàn)構(gòu)造三角形;最后把實(shí)際問(wèn)題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,再轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題,

其中，畫(huà)出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵.

|題型三＜5'1

'善創(chuàng)

1.如圖，點(diǎn)C在線(xiàn)段4D上，AB=AD,NB=ND,BC=DE.

⑴求證：AABC沿AADE；

⑵若ZB/C=60。，求//CE的度數(shù).

試卷第4頁(yè)，共28頁(yè)

,支式

（2025?陜西西安?二模）

2.如圖，E是N8上一點(diǎn)，AB=DE,CB=CE,EC平分NBED,求證：ND=NA.

（2025?陜西咸陽(yáng)?一模）

3.如圖；在△/BC中，延長(zhǎng)切到點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作。￡〃/C,連接BE,

AB=DE,AC=DB,求證：EB=BC.

（2025?浙江?模擬預(yù)測(cè)）

4.如圖，在△/BC中，Z5=40°,ZC=25°,過(guò)點(diǎn)/作/D13C,垂足為。，延長(zhǎng)D4

至E.使得/E=/C.在邊/C上截取/斤=N8,連結(jié)￡尸.

⑴求—E4廠(chǎng)的度數(shù).

⑵求證：EF=BC.

（2024?廣東揭陽(yáng)?一模）

5.如圖，在四邊形48co中，ZA=ZC=9Q°,AD=CD,點(diǎn)、E,尸分別是48,5c上的

點(diǎn)，連接。E,DF,EF,S.ZADF^ZCDE.

試卷第5頁(yè)，共28頁(yè)

c

⑴求證：AAED出ACFD；

(2)若。￡=2N￡=4,DE||BC,求BC的長(zhǎng).

模型02等腰三角形的性質(zhì)與判定

考I向I預(yù)I測(cè)

等腰三角形的性質(zhì)與判定在近年考試中綜合性較高，通常與全等三角形、相似三角形相結(jié)合

在各類(lèi)考試中以解答題為主.解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定，選用合適

的方法，靈活應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)和有關(guān)的輔助線(xiàn)問(wèn)題，利用等腰三角形來(lái)解決有關(guān)三角

形的線(xiàn)段和角的問(wèn)題

答I題I技I巧

等腰三角形提供了好多相等的線(xiàn)段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線(xiàn)段相等、

角相等的重要手段.在等腰三角形有關(guān)問(wèn)題中，會(huì)遇到一些添加輔助線(xiàn)的問(wèn)題，其頂角平分

線(xiàn)、底邊上的高、底邊上的中線(xiàn)是常見(jiàn)的輔助線(xiàn)，雖然“三線(xiàn)合一”，但添加輔助線(xiàn)時(shí)，有時(shí)

作哪條線(xiàn)都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問(wèn)題的復(fù)雜程度不同，需要具體問(wèn)題具體分析.

等腰三角形性質(zhì)問(wèn)題都可以利用三角形全等來(lái)解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴(lài)全等

三角形的思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來(lái)解決.

［題型3修T

＞我創(chuàng)

6.如圖，在RM/BC中，AC=BC=3^，點(diǎn)、D在4B邊上,連接CD,將CL?繞點(diǎn)C逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,連接BE,DE.

⑴求證：ACAD知CBE；

試卷第6頁(yè)，共28頁(yè)

⑵若40=2時(shí)，求CE的長(zhǎng)；

（3）點(diǎn)。在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究/獷+區(qū)）的值是否存在最小值，如果存在，求出這個(gè)最小

值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

,麥K

（2025?陜西西安?一模）

7.如圖，△4BC與△/￡>￡均為等腰直角三角形，NB/C=/"￡>=90。.求證：ABAE咨ACAD.

（2025?上海松江?一模）

8.如圖，在△NBC中，AB=AC,ADIBC,BEVAC,垂足分別為點(diǎn)D,點(diǎn)

E.AF〃BC,交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)尸.

AECD

⑴求證：行=就

⑵求證：24B?AD=BF?BC.

（2025?上海松江?一模）

9.如圖，在△/BC中，/8=60°,BC=6,S^ABC=673.

（1）求43的長(zhǎng)；

（2）在8C邊上取一點(diǎn)。，使CD=2,連接4D,求/C4D的正切值.

（2025?上海崇明?一模）

10.己知中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,CDVAB,垂足為。，點(diǎn)廠(chǎng)是線(xiàn)段

試卷第7頁(yè)，共28頁(yè)

上一點(diǎn)(不與C、。重合)，過(guò)點(diǎn)B作尸交4尸的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)凡/￡與BC交于點(diǎn)

H,連接

冬川圖

(2)當(dāng)CE/48時(shí)，求C￡的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)△口舊是等腰三角形時(shí)，求CH的長(zhǎng).

模型03等邊三角形的性質(zhì)與判定

考I向I預(yù)I測(cè)

等邊三角形的性質(zhì)與判定在近年考試中綜合性較高，通常與全等三角形、相似三角形相結(jié)合

在各類(lèi)考試中以解答題為主.解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定，選用合適

的方法，靈活應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)和有關(guān)的輔助線(xiàn)問(wèn)題，利用等邊三角形來(lái)解決有關(guān)三角

形的線(xiàn)段和角的問(wèn)題

答I題I技I巧

等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的

邊角性質(zhì)為證明線(xiàn)段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同

樣具備三線(xiàn)合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.

等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱(chēng)軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有

30。角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等.

|題型學(xué)校I

11.如圖，點(diǎn)。、E分別是等邊三角形48c邊BC、NC上的點(diǎn)，且BD=CE,BE馬AD交

于點(diǎn)方.求證：AD=BE.

試卷第8頁(yè)，共28頁(yè)

A

）支式

（2024?四川南充?模擬預(yù)測(cè)）

12.如圖，在△N2C中，點(diǎn)E在8N的延長(zhǎng)線(xiàn)上，AE=AC,ZBAD=ZEAC,

（1）求證：AB=AD；

（2）若ZC平分NZME,AB=2,求8。的長(zhǎng).

（2023?浙江寧波?一模）

13.如圖所示為汽車(chē)內(nèi)常備的一種菱形千斤頂?shù)脑韴D，其基本形狀是一個(gè)菱形，中間通過(guò)

螺桿連接，轉(zhuǎn)動(dòng)手柄可改變N4OC的大小（菱形的邊長(zhǎng)不變），從而改變千斤頂?shù)母叨龋?/p>

A、C之間的距離）.經(jīng)測(cè)量，/ADC可在20。和160。之間發(fā)生變化（包含20。和160。），

AD=40cm.

A

（1）當(dāng)/4DC=120。時(shí)，求此時(shí)2D的長(zhǎng)；

⑵當(dāng)/NDC從20。變?yōu)?60。時(shí)，這個(gè)千斤頂升高了多少cm?（精確到0.1cm,

sin80°=0.98,cos80°=0.17,tan80°=5.67）

（2023?貴州黔東南?一模）

14.問(wèn)題提出：

已知：在△4BC中，BC=a,AC=b,以為邊作等邊三角形.探究下列問(wèn)題:

試卷第9頁(yè)，共28頁(yè)

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線(xiàn)的兩側(cè)時(shí),4=6=3,且44c8=60。，貝！|C￡>=

問(wèn)題探究:

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C位于直線(xiàn)的同側(cè)時(shí),a=b=6,且N/C8=90。，貝iJC￡)=

問(wèn)題拓展：

(3)如圖3,當(dāng)NNC8變化，且點(diǎn)。與點(diǎn)C位于直線(xiàn)42的兩側(cè)時(shí)，求CD的最大值及相

應(yīng)的//C5的度數(shù).

(2024?貴州黔東南?二模)

15.如圖，等邊三角形/8C的邊長(zhǎng)為2,是NC邊的中線(xiàn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段8。上，連接

AE,將/￡繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線(xiàn)段4尸，連接CF.

(1)【動(dòng)手操作】

在圖①中畫(huà)出線(xiàn)段/尸，CF,并寫(xiě)出一對(duì)全等的三角形：_；

(2)【問(wèn)題探究】

如圖②，若點(diǎn)￡從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。，試探究點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)路徑并求出它的長(zhǎng)度;

(3)【拓展延伸】

連接。尸，在(2)的條件下，試求下周長(zhǎng)的最小值.

模型04相似三角形的性質(zhì)與判定

考I向I預(yù)I測(cè)

試卷第10頁(yè)，共28頁(yè)

三角形相似的判定及綜合應(yīng)用該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在與

圓結(jié)合或者利用相似求長(zhǎng)度、類(lèi)比探究題型，具有一定的綜合性和難度.解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵

是熟練應(yīng)用三角形的判定方法，兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似；兩組邊對(duì)應(yīng)成比例及其

夾角相等，兩個(gè)三角形相似；三組邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似.解答本題的關(guān)鍵是熟練

掌握相似三角形的判定定理以及數(shù)形結(jié)合和方程思想的應(yīng)用.

答I題I技I巧

相似三角形在求線(xiàn)段的長(zhǎng)度和線(xiàn)段的比中經(jīng)常使用，解決問(wèn)題要分清問(wèn)題中已知的線(xiàn)段和角

與所證明的線(xiàn)段或角之間的聯(lián)系；在應(yīng)用三角形相似的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和

公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線(xiàn)構(gòu)造三角形；

［題型王＜5'1

,典例

16.如圖，在四邊形4B8中，ZA=90°,連接80,過(guò)點(diǎn)C作CE//8,垂足為E,CE

交BD于點(diǎn)、F,Zl=ZABC.

(1)求證：/2=/3；

(2)若Z4=45°.

①請(qǐng)判斷線(xiàn)段8C,8。的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

②若BC=13,AD=5,求斯的長(zhǎng).

＞變式

(2024?陜西渭南?模擬預(yù)測(cè))

17.如圖，在△4BC中，=90°,。的平分線(xiàn)8。交/C于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作。ELAD交

BC于氤E.

試卷第11頁(yè)，共28頁(yè)

D

ti

⑴求證：ACDESACBD；

(2)若48=240=6,求線(xiàn)段BE的長(zhǎng).

(2025?重慶大渡口?模擬預(yù)測(cè))

18.如圖，在口4BCD中，對(duì)角線(xiàn)/C與AD相交于點(diǎn)。，NC4B=ZACB,過(guò)點(diǎn)B作

交NC于點(diǎn)E.

(1)求證：AABOSABEO；

(2)若NB=10,NC=16,求OE的長(zhǎng).

(2023?浙江寧波?三模)

19.如圖，在四邊形N8CZ)中，AB//CD,zB=9Q°,AB=4,CD=2,BC=m,P為線(xiàn)

段2C上一動(dòng)點(diǎn)，且和8、C不重合，連接尸/,過(guò)P作尸EJ.P4交CL(所在直線(xiàn)于￡.

(1)請(qǐng)找出一對(duì)相似三角形，并說(shuō)明理由；

⑵若點(diǎn)尸在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E總在線(xiàn)段CD上，求加的取值范圍.

(2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))

20.【教材呈現(xiàn)】下面是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材78頁(yè)的部分內(nèi)容.

試卷第12頁(yè)，共28頁(yè)

A例如圖，在△ABC中，D、E分別是邊8C、A8的中點(diǎn)，AD、CE相

六手占八七工GEGD1

A父于點(diǎn)G-求證：無(wú)=罰="

BDc證明連接瓦〉

請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程.

證明：連接助，

(1)如圖②，在中，/ACB=90°,AC=6,D、￡分別是邊/3、8c的中點(diǎn)，

CD、/E相交于點(diǎn)G.若GO=g,則8C=.

(2)如圖③，在△NBC中，D、E分別是邊43、8c的中點(diǎn)，CD、/E相交于點(diǎn)G.過(guò)點(diǎn)

G作GF〃BC交4B于點(diǎn)、F,如果△4BC的面積是9,那么AQFG的面積是.

模型05三角形的翻折問(wèn)題

考I向I預(yù)I測(cè)

三角形的折疊問(wèn)題在近年主要以填空及綜合性大題的形式出現(xiàn)，一般屬于多解型問(wèn)題，難度

系數(shù)較大.三角形的折疊問(wèn)題注意折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，在多解題型中，準(zhǔn)確

畫(huà)出折疊后的圖形是我們解題的關(guān)鍵.結(jié)合三角形相關(guān)的性質(zhì)及判定定理與推論和其它幾何

的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題.

答I題I技I巧

折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊

和對(duì)應(yīng)角相等.在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問(wèn)題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這

樣便于找到圖形間的關(guān)系.首先清楚折疊和軸對(duì)稱(chēng)能夠提供給我們隱含的并且可利用的條

件.解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線(xiàn)段長(zhǎng)為X,然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)用含X的代數(shù)式

表示其他線(xiàn)段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.我們運(yùn)用

方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知數(shù).

試卷第13頁(yè)，共28頁(yè)

|題型學(xué)＜5,l

21.【操作觀(guān)察】

如圖，在四邊形紙片/BCD中，AD//BC,ZJSC=90°,BC=8,AB=12,AD=13.

折疊四邊形紙片NBC。，使得點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'始終落在"。上，點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為玄，折痕

與4B,CD分別交于點(diǎn)M,N.

【解決問(wèn)題】

⑴當(dāng)點(diǎn)C'與點(diǎn)A重合時(shí)，求*赫的長(zhǎng)；

⑵設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)A8相交于點(diǎn)尸，當(dāng)乙4FC'=24DC時(shí)，求NC'的長(zhǎng).

,麥K

（2025?湖南長(zhǎng)沙?一模）

22.如圖，將平行四邊形紙片/BCD沿一條直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)。落在點(diǎn)G

處，折痕為

⑴求證：△EBC學(xué)△尸GC；

⑵若/ECB=30。，44=120。，試判斷尸的形狀，并說(shuō)明理由.

（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）

3

23.已知在△4BC中，4B=4C=5,tanB=—，點(diǎn)。在邊BC上，滿(mǎn)足AD=3DC.動(dòng)點(diǎn)尸

4

從點(diǎn)&出發(fā)，以每秒5個(gè)單位的速度沿折線(xiàn)8-/-C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，且不與△/BC的頂點(diǎn)重

合.把A3尸。沿尸D翻折，得到△37V）.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為小＞0）.

試卷第14頁(yè)，共28頁(yè)

B'

A

D

(1)8C的長(zhǎng)為.

⑵求點(diǎn)尸到BC的距離(用含f的代數(shù)式表示).

(3)當(dāng)夕。與等腰△4BC的腰垂直時(shí)，求f的值.

(4)當(dāng)aBPD與AB，PD拼成的圖形為三角形時(shí)，直接寫(xiě)出/的值.

(2024?內(nèi)蒙古包頭?模擬預(yù)測(cè))

24.操作：如圖①在正方形/BCD中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將沿NE折疊后得到

△/FE,點(diǎn)尸在正方形A8CD內(nèi)部，延長(zhǎng)4尸交CD于點(diǎn)G,易知尸G=GC.

探究：若將圖①中的正方形改成矩形，其他條件不變，如圖②，那么線(xiàn)段G/與GC相等

嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

拓展：如圖③，將圖①中的正方形42。改為平行四邊形，其他條件不變，若｛3=3,

4。=4,則△/GD的周長(zhǎng)為.

(23-24九年級(jí)下?廣東汕頭?階段練習(xí))

25.綜合與實(shí)踐：折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動(dòng)之一，通過(guò)折紙我們既可以得到許多美麗的

圖形，同時(shí)折紙的過(guò)程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí).折一折：把邊長(zhǎng)為6的正△4VD三角形紙

片,其沿直線(xiàn)G"折疊，使點(diǎn)/落在點(diǎn)H處，分別得到圖①、圖②.

填一填，做一做：

試卷第15頁(yè)，共28頁(yè)

（1）圖①中陰影部分的周長(zhǎng)為

⑵圖①中，若/HGN=80。，貝=

（3）圖①中的相似三角形（包括全等三角形）共有一對(duì)；

（4）如圖②，點(diǎn)H落在邊4。上，若嘿=2,則受=_

ADAH~

模型06三角形與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

考I向I預(yù)I測(cè)

三角形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題探究（手拉手、半角模型）該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng),

有一定難度，本專(zhuān)題重點(diǎn)分析旋轉(zhuǎn)中的兩類(lèi)全等模型（手拉手、半角、對(duì)角互補(bǔ)模型），結(jié)

合各類(lèi)模型展示旋轉(zhuǎn)中的變與不變，并結(jié)合經(jīng)典例題和專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練深度分析基本圖形和歸納主

要步驟，同時(shí)規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學(xué)的綜合解題能力.

答I題I技I巧

在解決三角形與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)要找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)中心；確定以旋轉(zhuǎn)中心為頂點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)角所在

的兩個(gè)三角形不是全等就相似，全等的常用方法SAS；學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三

角形解決問(wèn)題；同時(shí)還要數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析、解答

|霞型:￥：<5,1

＞共創(chuàng)

26.在△4BC中，AC=BC,N/CB=120。，點(diǎn)。是N8上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與43重

合），以點(diǎn)。為中心，將線(xiàn)段。C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線(xiàn)DE.

試卷第16頁(yè)，共28頁(yè)

ccC

N

M

AD\B

EEE

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當(dāng)N4CQ=15。時(shí)，求N5。石的度數(shù)；

(2)如圖2,連接班，當(dāng)0。<乙4。。<90。時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？如果不變求，

的度數(shù)；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖3,點(diǎn)M在CD上，且C":MZ)=3:2,以點(diǎn)。為中心，將線(xiàn)CN逆時(shí)針轉(zhuǎn)120。得

到線(xiàn)段CN,連接EN,若/。=4,求線(xiàn)段EN的取值范圍.

,支式

(2023?山西大同?模擬預(yù)測(cè))

27.綜合與實(shí)踐課上，李老師讓同學(xué)們以“等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).

數(shù)學(xué)興趣小組將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形COD按圖1的方式

擺放，NAOB=NCOD=9G°,隨后保持“。臺(tái)不動(dòng)，將△C。。繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

?(00<a<90°),連接8C,/。，延長(zhǎng)BC交/。于點(diǎn)該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請(qǐng)

你幫忙解答：，

【初步探究】

(1)如圖1,直接寫(xiě)出線(xiàn)段8C和/。的關(guān)系：.

(2)如圖2,當(dāng)CD〃臺(tái)。時(shí)，則々=.

【深入探究】

(3)如圖3,當(dāng)0。<a<90。時(shí)，連接OM,興趣小組認(rèn)為不僅(1)中的結(jié)論仍然成立，而且

在△CO。旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,NCMO的度數(shù)不發(fā)生變化，請(qǐng)給出推理過(guò)程并求出ZCMO的度數(shù).

【拓展延伸】

(4)如圖3,試探究線(xiàn)段之間是否存在某種特定的數(shù)量關(guān)系，若存在，直接寫(xiě)

出數(shù)量關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

試卷第17頁(yè)，共28頁(yè)

AAA

28.綜合與實(shí)踐在中，乙4。8=90。,/。=1,8。=2.

問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

（1）如圖1,將△C4B繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到ACDE,連接N。，BE,線(xiàn)段

與BE之間的數(shù)量關(guān)系是,AD與BE的位置關(guān)系是

類(lèi)比探究

（2）如圖2,將△C48繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)任意角度得到ACDE,連接4D,BE,線(xiàn)

段/。與BE之間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系與（1）中的結(jié)論是否一致？請(qǐng)說(shuō)明理由.

遷移應(yīng)用

（3）如圖3,將△C4B繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度得到ACDE,當(dāng)點(diǎn)。落到邊4B上時(shí)，連接

BE,求線(xiàn)段3E的長(zhǎng).

（2025?湖北?模擬預(yù)測(cè)）

29.旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運(yùn)動(dòng)中的一種重要變換，通常與全等三角形等數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合來(lái)解決實(shí)

際問(wèn)題，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在研究三角形旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，進(jìn)行如下探究：如圖①，△MJC

和ADWN均為等腰直角三角形，NBAC=ZMDN=90°,。為8C的中點(diǎn)，△。兒W繞點(diǎn)。旋

轉(zhuǎn)，連接NM,CN.

（1）【觀(guān)察猜想】在A(yíng)ZMW旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，4W與CN的數(shù)量關(guān)系為二

（2）【實(shí)踐發(fā)現(xiàn)】如圖②，當(dāng)點(diǎn)M,N在△NBC內(nèi)且C,M,N三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，求證：

CM-AM=42DM;

試卷第18頁(yè)，共28頁(yè)

⑶【解決問(wèn)題】若△4BC中，AB=5在A(yíng)DWN旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)/且C,M,N

三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，直接寫(xiě)出DM的長(zhǎng).

（2025?山東泰安?模擬預(yù)測(cè)）

30.如圖1,在等腰RtZ\48C中，ZABC=90°,AB=CB,點(diǎn)。，E分別在4B,C8上,

DB=EB,連接NE,CD,

圖1

⑴求證：CD=2BF,CD±BF；

⑵將的8￡繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.

①請(qǐng)直接寫(xiě)出BF與CD的位置關(guān)系:

②求證：CD=2BF.

?真題裁煉

（2023?遼寧大連?中考真題）

31.如圖，在△NBC和△/￡>￡中，延長(zhǎng)BC交。￡于尸，BC=DE,AC=AE,

//CV+//￡O=180°.求證：AB=AD.

（2024?山東濟(jì)南?中考真題）

試卷第19頁(yè)，共28頁(yè)

32.如圖，在菱形/BCD中，AE1CD,垂足為垂足為尸.

求證：AF=CE.

（2024?江蘇常州?中考真題）

33.如圖，B、E、C、尸是直線(xiàn)/上的四點(diǎn)，AC,相交于點(diǎn)G,AB=DF,AC=DE,

BC=EF.

⑵連接AD,則AD與I的位置關(guān)系是.

（2024?遼寧?中考真題）

34.如圖1,在水平地面上，一輛小車(chē)用一根繞過(guò)定滑輪的繩子將物體豎直向上提起.起始

位置示意圖如圖2,此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A到所在直線(xiàn)的距離4C=3m,ACAB=60°；停止位置

示意圖如圖3,此時(shí)測(cè)得NC03=37°（點(diǎn)C,A,。在同一直線(xiàn)上，且直線(xiàn)與平面平行，

圖3中所有點(diǎn)在同一平面內(nèi).定滑輪半徑忽略不計(jì)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中繩子總長(zhǎng)不變.（參考數(shù)據(jù):

sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75,V3?1.73）

tlK

圖I陽(yáng)2IN3

⑴求48的長(zhǎng)；

（2）求物體上升的高度CE（結(jié)果精確到0」m）.

試卷第20頁(yè)，共28頁(yè)

（2024?山東日照?中考真題）

35.如圖，以口488的頂點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)、E,再分別以點(diǎn)A,

E為圓心，大于:/￡的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)尸，畫(huà)射線(xiàn)3/，交/。于點(diǎn)G,交CD

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

（1）由以上作圖可知，N1與N2的數(shù)量關(guān)系是

⑵求證：CB=CH

（3）若A8=4,AG=2GD,ZABC=60°,求^助的面積.

（2023?北京?中考真題）

36.在△4BC中、N3=/C=a（0o<a<45。），/M_LBC于點(diǎn)。是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)

（不與點(diǎn)〃，C重合），將線(xiàn)段DM繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線(xiàn)段。E.

⑵如圖2,若在線(xiàn)段3M上存在點(diǎn)尸（不與點(diǎn)2,M重合）滿(mǎn)足。/=。。，連接/E,EF,

直接寫(xiě)出ZN斯的大小，并證明.

（2024?山東東營(yíng)?中考真題）

37.在RtZXASC中，ZACB=90°,AC=1,BC=3.

EEA

C圖1°C圖2E

圖3

⑴問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

試卷第21頁(yè)，共28頁(yè)

如圖1,將△C48繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到ACDE,連接4D,BE,線(xiàn)段4D與BE

的數(shù)量關(guān)系是,AD與BE的位置關(guān)系是；

⑵類(lèi)比探究

將△C4B繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)任意角度得到ACDE,連接NO,BE,線(xiàn)段與股的

數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系與（1）中結(jié)論是否一致？若AD交CE于點(diǎn)、N,請(qǐng)結(jié)合圖2說(shuō)明理由；

（3）遷移應(yīng)用

如圖3,將△C48繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一定角度得到ACDE,當(dāng)點(diǎn)。落到4B邊上時(shí)，連接BE,求線(xiàn)

段BE的長(zhǎng).

（2024?甘肅蘭州?中考真題）

38.綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景，探究動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何問(wèn)題，

如圖，在△4BC中，點(diǎn)”，N分別為AB,/C上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且=

【初步嘗試】（1）如圖1,當(dāng)△/BC為等邊三角形時(shí)，小顏發(fā)現(xiàn)：將M4繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

120°得至UMD,連接3。，則=請(qǐng)思考并證明：

【類(lèi)比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M(jìn)一步探究：如圖2,在△NBC中，

AB=AC,ZBAC=90°,AEJLMN于點(diǎn)、E,交3C于點(diǎn)R將以4繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得

到連接D4,DB.試猜想四邊形/尸3。的形狀，并說(shuō)明理由；

【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3,在△N2C中，AB=AC=4,

ZBAC=90°,連接BN,CM,請(qǐng)直接寫(xiě)出2N+CM的最小值.

（2024?山東煙臺(tái)?中考真題）

39.在等腰直角△4BC中，44cB=90。，AC=BC,。為直線(xiàn)8c上任意一點(diǎn)，連接

AD.將線(xiàn)段繞點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得線(xiàn)段E。，連接BE.

試卷第22頁(yè)，共28頁(yè)

A

A

【類(lèi)比探究】

（2）當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，先在圖2中補(bǔ)全圖形，再探究線(xiàn)段BE與CD的數(shù)量

關(guān)系并證明；

【聯(lián)系拓廣】

（3）若/C=8C=1,CD=2,請(qǐng)直接寫(xiě)出sinNEC。的值.

（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）

40.數(shù)學(xué)老師在課堂上給出了一個(gè)問(wèn)題，讓同學(xué)們探究.在中，

乙?=90°,ABAC=30°,點(diǎn)D在直線(xiàn)8C上,將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段AE,

過(guò)點(diǎn)E焊EF〃BC,交直線(xiàn)AB于點(diǎn)F.

（1）當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段8C上時(shí)，如圖①，求證：BD+EF=AB；

分析問(wèn)題：某同學(xué)在思考這道題時(shí)，想利用40=/￡構(gòu)造全等三角形，便嘗試著在43上截

^AM=EF,連接。通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，最終證出結(jié)論：

推理證明：寫(xiě)出圖①的證明過(guò)程：

探究問(wèn)題：

（2）當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段5c的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖②：當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段C3的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖

③，請(qǐng)判斷并直接寫(xiě)出線(xiàn)段8。，EF,N3之間的數(shù)量關(guān)系；

拓展思考：

試卷第23頁(yè)，共28頁(yè)

(3)在(1)(2)的條件下，若AC=6拒,CD=2BD,則EF=

夠摸強(qiáng)港用

41.基礎(chǔ)鞏固：

(1)如圖①，在△ABC和△/￡)￡中，AB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE,求證：

AAE8-DB；

嘗試應(yīng)用：

(2)如圖②，在△NBC和中，AB=AC,AD=AE,ABAC=ADAE=90°,B,D,E三

點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，AC與BE交于點(diǎn)、F,若尸為NC中點(diǎn).

①求/8EC的度數(shù)；

②過(guò)點(diǎn)A作/GL5E于點(diǎn)G,若CE=2,求的面積；

拓展提高：

(3)如圖③，在△ABC和△NOE中，AB=AC,DA=DE,ABAC=AADE=90°,BE與CA

交于點(diǎn)尸，DC=DF,ABC廠(chǎng)的面積為32,連接EC,補(bǔ)全圖形，求力尸的長(zhǎng).

42.在RtZ\48C中，ABAC=90°,4D是斜邊8c上的高.

⑴證明：AaBDYCBA；

(2)若N8=6,BC=1Q,求8。的長(zhǎng).

43.旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運(yùn)動(dòng)中的一種重要變換，通常與全等三角形等數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合來(lái)解決實(shí)

際問(wèn)題，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在研究三角形旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，進(jìn)行如下探究：如圖①，

和ADWN均為等腰直角三角形，ABAC=ZMDN=90°,。為8C的中點(diǎn)，ADMN繞點(diǎn)、D旋

轉(zhuǎn)，連接NM,CN.

(1)【觀(guān)察猜想】在A(yíng)OMN旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，與CN的數(shù)量關(guān)系為二

(2)【實(shí)踐發(fā)現(xiàn)】如圖②，當(dāng)點(diǎn)M,N在△NBC內(nèi)且C,M,N三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，求證：

試卷第24頁(yè)，共28頁(yè)

CM-AM=42DM;

(3)【解決問(wèn)題】若△/BC中，AB=5在A(yíng)/MW旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)=6且。，M,N

三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，直接寫(xiě)出。M的長(zhǎng).

44.材料閱讀：小明在學(xué)習(xí)完全等三角形后，為了進(jìn)一步探究，他嘗試用三種不同方式擺放

一副三角板(在ZUBC中，ZABC=90°,AB=BC；中，NDEF=90°,

NEDF=30°),并提出了相應(yīng)的問(wèn)題

發(fā)現(xiàn):

(1)如圖①，將兩個(gè)三角板互不重疊地?cái)[放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)8擺放在線(xiàn)段。尸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)

A作AM±DF,垂足為點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)C作CN_LDF,垂足為點(diǎn)N,易證/\ABM沿/\BCN,

AM=2,CN=1,則TW=9；

類(lèi)比:

(2)如圖②，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)8在線(xiàn)段0E上且頂點(diǎn)/在線(xiàn)段EP上時(shí),

過(guò)點(diǎn)C作CP_LOE,垂足為點(diǎn)尸，猜想PE,CP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

拓展:

(3)如圖③，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)/在線(xiàn)段。E上且頂點(diǎn)8在線(xiàn)段￡尸上時(shí),

過(guò)點(diǎn)C作CG_L砂，交EE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,若ZE=5,8￡=1,連接CE,補(bǔ)全圖形，求

的面積.

45.(1)如圖1,在△N8C中,AABC=90°,BHLAC于點(diǎn)、H,求證：AAHBs4BHC；

試卷第25頁(yè)，共28頁(yè)

4BE

(2)如圖2,已知448c=/D=90。，E為BD上一點(diǎn),,且NE=AB,若工片==，求"的

BC5CD

值;

(3)如圖3,在四邊形4BCD中，ZDAB=ZABC=90°,AB=BC,E為邊CL?上一點(diǎn)，且

DE

AE=AB,BEVCD,求——的值.

CE

A

D

B

①

③

⑴如圖1,在△N2C中，ZABC=90°,在上取一點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)。作45的垂線(xiàn)。E交/C

4B

于點(diǎn)E.若皿=3,OE=4’求就的值.

(2)如圖2,在(1)的條件下，將繞點(diǎn)N按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度(點(diǎn)E在△ABC

的內(nèi)部)，連結(jié)82CE,求總的值.

CE

(3)如圖3,在(2)的條件下，延長(zhǎng)CE交8。于點(diǎn)尸，交N8于點(diǎn)G,求sin/BFC的值.

47.已知RtZXASC中，ZC=90°,乙8=30。，48=4,點(diǎn)￡、廠(chǎng)分別在邊NC、邊8C上

(點(diǎn)E不與點(diǎn)/重合，點(diǎn)廠(chǎng)不與點(diǎn)5重合)，連接ER將△CE尸沿著直線(xiàn)所翻折后，點(diǎn)C

恰好落在邊AB上的點(diǎn)D處，過(guò)點(diǎn)D作DM上AB,交射線(xiàn)AC于點(diǎn)M.設(shè)ND=x,

CF

-二y.

CE

試卷第26頁(yè)，共28頁(yè)

GAn

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，求中的值；

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)〃在線(xiàn)段ZC上時(shí)，求歹關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；

(3)當(dāng)笑=:時(shí)，求的長(zhǎng).

CA2

48.【提出問(wèn)題】如圖1,在等腰△ABC中，AB=AC,分別以N8,NC為邊作等邊

和等邊A/。，DC與BE相交于點(diǎn)尸，連接CE.

圖1圖2圖3

【初步探究】

(1)如圖1,連接。2,求證：^ADB=/\AEC.

【深入探究】

(2)如圖2,將△NDC沿NC翻折得到A4D'C,連接BD',類(lèi)比(1)的探究方法發(fā)現(xiàn):

結(jié)論①：三△4BC；

結(jié)論②：BD'//CE.

請(qǐng)證明結(jié)論②.

(3)如圖3、在(2)的情況下將線(xiàn)段48沿NE翻折得到線(xiàn)段連接AF,試判

斷線(xiàn)段9少與4尸的位置關(guān)系.

49.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境

“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問(wèn)題：如圖1,RtZ^ASC中，ZABC=90°,BD為4c邊

上的中線(xiàn)，將沿射線(xiàn)8c的方向平移，得到其中點(diǎn)4B,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別

為E、F,G.如圖2,當(dāng)線(xiàn)段既經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí).連接DG,GC,請(qǐng)判斷四邊形DFCG的形

試卷第27頁(yè)，共28頁(yè)

狀，并說(shuō)明理由.

圖1

數(shù)學(xué)思考

(1)請(qǐng)回答老師提出的問(wèn)題；

深入探究

(2)老師將圖2中的△斯G繞點(diǎn)廠(chǎng)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△PF。，其中點(diǎn)￡,G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

分別為P,Q,線(xiàn)段尸尸，。尸分別與邊8。交于點(diǎn)/，N.如圖3,當(dāng)尸時(shí)，讓同學(xué)們

提出新的問(wèn)題.

①“勤學(xué)小組，，提出問(wèn)題：試猜想線(xiàn)段尸M和的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②“善思小組”提出問(wèn)題：若中，AB=6,BC=8,請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)四邊形DNFC的面

積.

請(qǐng)解答上述兩個(gè)小組提出的問(wèn)題.

試卷第28頁(yè)，共28頁(yè)

1.(1)見(jiàn)解析

⑵N/CE=60°

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明△/CE是等

邊三角形是解答的關(guān)鍵.

(1)直接根據(jù)全等三角形的判定證明結(jié)論即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NC=/E,ZCAE=ABAC=6Q°,再證明是等邊三

角形，利用等邊三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)證明：在ZUBC與△/￡)￡中，

AB=AD

<NB=ND,

BC=DE

所以人48(7也”?！?5人5)；

(2)解：因?yàn)椤?8C四△/￡?￡,ZBAC=60°,

所以/C=/E,ZCAE=ZBAC=60°,

所以是等邊三角形.

所以NNC￡=60。.

2.見(jiàn)解析

【分析】本題考查了角平分線(xiàn)的定義，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，由角

平分線(xiàn)的定義和等腰三角形的性質(zhì)可得NDEC=N8,進(jìn)而由SAS可得△￡>四絲△4C8,據(jù)

此即可求證，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】證明：???CB=C￡,

ZB=ZBEC,

?:EC平分/BED,

ZDEC=/BEC,

；.NDEC=ZB,

在△OCE和△NCB中，

DE=AB

</DEC=ZB,

CE=CB

ADCEmAACB(SAS),

答案第1頁(yè)，共82頁(yè)

???/D=ZA.

3.見(jiàn)詳解

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記全等三角

形的判定定理與性質(zhì).由。石〃4C,根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出/9必=/A4C,又

BD=CA,DE=AB,利用"S即可證明絲,從而得到￡5=3。.

【詳解】證明：???O￡〃4C,

AEDB=ABAC

在2EB與A4BC中,

AC=DB

</EDB=ABAC,

AB=DE

FDEB%ABC(SAS),

/.EB=BC.

4.(1)115°

⑵見(jiàn)解析

【分析】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理:

(1)由三角形外角的性質(zhì)可得出答案；

(2)證明△胡尸絲△C/5(SAS),得出EF=BC.

【詳解】(1)ft？：-AD1BC.

.-.Z^DC=90°.

vZC=25°,

ZEAF=ZADC+ZC=115°；

(2)證明：在△ZBC中，ZB=40°,ZC=25°,

???/CAB=180°-Z5-ZC=115°.

；"EAF=/CAB.

在△￡/尸和△C45中，

AE=AC

<ZEAF=/CAB,

AF=AB

答案第2頁(yè)，共82頁(yè)

.?.AE4尸出AC/3(SAS),

：.EF=BC.

5.(1)見(jiàn)解析；

⑵6.

【分析】⑴根據(jù)NADF=ZCDE可證NADE=ZCDF,利用ASA可證AAEDACFD；

(2)根據(jù)乙4=90。，?！?2/石可知//。后=30。，NAED=60。，根據(jù)。E1|8C可知

ZB=ZAED=60°,根據(jù)取ACFD可證NCFD=60。、CF=AE=2,所以可證

DF\\BE,所以四邊形8成中是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知8尸=?！?4,所

以BC=6.

【詳解】(1)證明：?.?/40尸=/。?！?

ZADF-ZEDF=ZCDE-ZEDF,

NADE=ZCDF,

ZADE=ZCDF

在和ACED中，YD=CD,

ZA=NC

:."ED知CFD(ASA)；

(2)解：DE=2AE=4,4=90。，

sinZ.AEB=—,

2

ZADE=30°,AE=2,

NAED=90°-ZADE=90°-30°=60°,

???DE||BC,

NB=ZAED=60°,

由(1)得：AAED%CFD,

AE=CF=2,ZAED=ZCFD=60°,

ZCFD=ZB,

:.DF\\BE,

XvDE||SC,

，四邊形BEDF是平行四邊形，

答案第3頁(yè)，共82頁(yè)

.-.BF=DE=4,

BC=BF+CF=4+2=6,

即8C的長(zhǎng)為6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判