江西省南昌市某中學2024-2025學年高一年級下冊3月月考數(shù)學試題（原卷版+解析版）

南昌二中2024-2025學年度下學期高一數(shù)學月考（一）

命題人：

一、單選題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分。在每個小題給出的四個選項中，有

且只有一個選項符合題目要求。）

（北師大版第二冊第25頁）

1化5-」5）是角a終邊上的一點，貝gsinc=（

1.已知點

4334

B.-D.

5543

2.函數(shù)y=的定義域為（

,,71

A.E,E+—,keZB.IK7l,k7l+—左eZ

I4

,兀,兀，,71,71,

C.kit—,knH—,keZD.K7l---,knH—?左GZ

I42I44

3.為了推動國家鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某地積極響應(yīng)，不斷自主創(chuàng)新，培育了某種樹苗，其成活率為0.8,現(xiàn)采用

隨機模擬的方法估計該樹苗種植3棵恰好3棵都成活的概率.先由計算機產(chǎn)生1到5之間取整數(shù)值的隨機數(shù),

指定1至4的數(shù)字代表成活，5代表不成活，再以每3個隨機數(shù)為一組代表3次種植的結(jié)果.經(jīng)計算機隨機模

擬產(chǎn)生如下20組隨機數(shù)：321、453、142、234、511、454、352、115、243、535、422、134、

315、521、451、144、332、254、212、523,據(jù)此估計，該樹苗種植3棵恰好3棵都成活的概率為

（）

A0.4B.0.45C.0.5D.0.55

4.為了得到了=cos〔2x—；“勺圖象，只要把y=cos2x的圖象上所有的點（）

A.向右平行移動J個單位長度B.向左平行移動9個單位長度

OO

7T71

C.向右平行移動一個單位長度D.向左平行移動一個單位長度

44

5.勒洛三角形是一種定寬曲線，它是德國機械工程專家勒洛首先進行研究的，其畫法是：先畫一個正三角

形，再以正三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就

是勒洛三角形，如圖所示，若正三角形ABC的邊長為4,則勒洛三角形的面積為（）

A

A.4n）B.4TI-2A/3C.8兀一gD.8兀一8月

（北師大版必修二第75頁）

6.己知函數(shù)/'（x）=；（sinx+cosx）—Jsinx—cosx|,則其最大值與最小值之差為（）

A.—變+1B.72-1C.也+1D.72+1

22

7.已知函數(shù)/（x）=Asin（0x+0）（A>O,o>O,闡<］）的部分圖象如圖所示，C為圖象與丁軸的交點，B

為圖象與x軸的一個交點，且出。=返.則函數(shù)/（%）的一條對稱軸方程可能為（）

22

\7C7C7C7C

8一會在上單調(diào)遞增，且對任意XC,都有/（x）20,則。

（“L_63」|_94_

取值范圍為（）

「4I3

A-,2B.r[2,6]C.—,2

一3」/

二、多選題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分）

9.近日，數(shù)字化構(gòu)建社區(qū)服務(wù)新模式成為一種時尚.某社區(qū)為優(yōu)化數(shù)字化社區(qū)服務(wù)，問卷調(diào)查調(diào)研數(shù)字化

社區(qū)服務(wù)的滿意度,滿意度采用計分制（滿分100分），統(tǒng)計滿意度繪制成如下頻率分布直方圖，圖中A=3。，

則下列結(jié)論正確的是（）

A.a=0.01B.滿意度計分的眾數(shù)為75分

C.滿意度計分的75%分位數(shù)是85分D.滿意度計分的平均分是76

10.己知的斜邊長為1,則其內(nèi)切圓半徑取值可能為（）

1111

A.-B.—C.—D.一

3456

（人教版必修一第241頁）

11.如圖，一個半徑為3米的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)1.5圈，筒車的軸心。距離水面的高度為1.5米.設(shè)

筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d（單位：米）（在水面下則d為負數(shù)），若以盛水筒p剛浮出水面時

開始計算時間，則d與時間八單位:秒）之間的關(guān)系為d=Asin（of+。）+K[A〉0,?！?,一萬＜。＜萬J,

兀

A.A=3B.(p-——

6

40_

C.盛水筒出水后至少經(jīng)過§秒就可到達最低點D.盛水筒P在轉(zhuǎn)動一圈的過程中，尸在水中的時間

為1秒

三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）

（北師大版必修二第151頁）

12.已知sinx+cosx=L,貝Usir?x+cos’尤=

2

（人教版必修一第195頁）

1O

13.sin(--x)=—,_E0<x<—,則cos(--1x)二

3323

eA+l,x<0

14.已知函數(shù)={2I,^(x)=x2-ax+2,若y=g(/(x))有6個零點，則。取值范

圍為_________

四、解答題(本大題共5小題，共77分)

15.已知/(%)=2sin(2%-1)

兀9兀

(1)用五點法畫出了(X)在上簡圖(要有作圖痕跡);

OO

7T

(2)求函數(shù)/(%)在工￡［0,,］上的值域。

4

16.已知角。為第三象限角，且tano=—

3

(1)求——以運——的值;

2sina-3cosa

sin(兀一a

(2)化簡求值:

3兀兀

tan(兀+cr)tan("+a)sin(2兀-cr)sin(--a)

17.已知函數(shù)/(x)=cos(2s+0“|dwB的周期為兀，［-，°)為它的一個對稱中心?

(1)求函數(shù)/(九)的解析式及其單調(diào)增區(qū)間;

JTSJT

⑵若關(guān)于X的方程"(切2+帆./(6_2加=0在-內(nèi)，五上有實數(shù)根，求實數(shù)加的取值范圍.

18.已知函數(shù)〃%)=13!1。彳3>°)與函數(shù)8(%)=85西的部分圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為8.

(1)求0的值;

(2)若函數(shù)/z(x)=a*+i-/(。>0,且a/l),對任意玉e[—1,1],存在9?-2,2],使得

h(x^<f(x^,求a的取值范圍

(人教版必修一第256頁)

357

19.英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：sinx=%-—+-———+...,其中〃!=1X2X3X4X-~X〃，此公式

3!5!7!

被編入計算工具，計算工具計算足夠多的項就可以確保顯示值的精確性。

(1)估算sin0.5值(采用四舍五入法，結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)

(2)此外該公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當時，sinx<x,

333

siwc>x-—,sin%<x--+—(解答本題時，這些不等式根據(jù)需要可以直接使用).

3!3!5!

(i)證明：當時，2sinx-x>0；

(ii)設(shè)/(%)=—2siiu,若區(qū)間[a,可滿足以下條件：①abWO；

②當/(九)定義域為[a,可時，值域也為[a,句，則稱區(qū)間可為/(%)的“封閉區(qū)間”.試問

/(x)=-2si!U是否存在“封閉區(qū)間”？若存在，求出/(九)的所有“封閉區(qū)間”，若不存在,請說明理由.

南昌二中2024-2025學年度下學期高一數(shù)學月考（一）

命題人：

一、單選題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分。在每個小題給出的四個選項中，有

且只有一個選項符合題目要求。）

（北師大版第二冊第25頁）

個，-3

1.已知點155J是角a終邊上的一點，貝|sina=（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義來求解sina的值.

【詳解】已知點,可得r=^（|）2+（-1）2=1

_4

由三角函數(shù)定義sine=）,可得：.54

rS1H6Z=——=——

15

故選：A.

2.函數(shù)y=—_的定義域為（）

A.+kwZB.（kTi,kTl+-

keZ

7兀7兀,7C,7C,

C.kit—,kitH—%GZD.kn----,kjtH—,kGZ

I42I44

【答案】C

【解析】

【分析】求解不等式l-tanx-：20即可.

【詳解】由題意1—tanX—：>0,得tan[x-；<1,

7C7C7C7E7C

所以kit----<x----<knH—,左eZ,得kji—<xWku—,大eZ,

24442

（兀兀

故所求函數(shù)的定義城為|E-丁,左兀+不，左GZ,

I42j

故選：C.

3.為了推動國家鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某地積極響應(yīng)，不斷自主創(chuàng)新，培育了某種樹苗，其成活率為0.8,現(xiàn)采用

隨機模擬的方法估計該樹苗種植3棵恰好3棵都成活的概率.先由計算機產(chǎn)生1到5之間取整數(shù)值的隨機數(shù),

指定1至4的數(shù)字代表成活，5代表不成活，再以每3個隨機數(shù)為一組代表3次種植的結(jié)果.經(jīng)計算機隨機模

擬產(chǎn)生如下20組隨機數(shù)：321、453、142、234、511、454、352、115、243、535、422、134、

315、521、451、144、332、254、212、523,據(jù)此估計，該樹苗種植3棵恰好3棵都成活的概率為

（）

A.0.4B.0.45C.0.5D.0.55

【答案】B

【解析】

【分析】找出20組隨機數(shù)中代表該樹苗種植3棵恰好3棵都成活的數(shù)據(jù)，結(jié)合古典概型的概率公式可得結(jié)

果.

【詳解】由題意可知，20組隨機數(shù)中代表該樹苗種植3棵恰好3棵都成活的數(shù)據(jù)有：

321、142、234、243、422、134、144、332、212,共9組，

9

所以，該樹苗種植3棵恰好3棵都成活的概率為P=—=0.45.

20

故選：B.

4.為了得到y(tǒng)=cos12x—；］的圖象，只要把y=cos2x的圖象上所有的點（）

A.向右平行移動J個單位長度B.向左平行移動9個單位長度

OO

7T7T

C.向右平行移動一個單位長度D.向左平行移動一個單位長度

44

【答案】A

【解析】

7T

【分析】將丁=<?5（2工-一）變形為y=cos2（九-0）的形式，從而確定平移的方向和單位長度.

-4

jrjr

【詳解】將y=cos(2x——)變形為y=cos2(%——)

48

jr

對于函數(shù)丁=?。52X，要得至Ijy=cos2（x——）的圖象，根據(jù)“左加右減”的原則，需要將y=cos2x的

8

圖象上所有的點向右平行移動2TT個單位長度。

8

TT7T

只要把y=cos2x的圖象上所有的點向右平行移動儲個單位長度，就可得到y(tǒng)=cos（2x-^）的圖象?

故選：A.

5.勒洛三角形是一種定寬曲線，它是德國機械工程專家勒洛首先進行研究的，其畫法是：先畫一個正三角

形，再以正三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就

是勒洛三角形，如圖所示，若正三角形ABC的邊長為4,則勒洛三角形的面積為（）

A.411-43B.4兀一2月C.871-A/3D.8兀一8石

【答案】D

【解析】

【分析】利用扇形的面積公式求出三個扇形面積，再減去兩個VA3C的面積即可.

1]兀Qjr

【詳解】因為正三角形ABC的邊長為4,所以任意一個扇形的面積為一。r2=-x—義42=——,

2233

又因為是正三角形，易得高Zi=ACsin60°=2jL

則S=工3。71=工義4*26=4/，

所以勒洛三角形的面積S=3xg—2義4石=8兀一8指.

故選：D

（北師大版必修二第75頁）

6.已知函數(shù)/(x)=g(sinx+cosx)-"sinx-cosx|,

則其最大值與最小值之差為（)

A.一.1

B.72-1c*D.y/2+l

【答案】c

【解析】

【分析】化簡函數(shù)/(%)的解析式，利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求出/(X)的最大值和最小值,

即可得解.

【詳解】因為sinx-cosx=

jrjrSjr

當2防i<x~—<24兀+兀(％￡Z)時，即當2防i+a<x<2kji+—^k￡Z)時,

兀

sin%-cosx=A/2sinx--NO,即sinxNcosx，

止匕時，/(x)=^(sinx+cosx)-^(sinx-cosx)=COSXG

一1萬

當2E—7i<2防i(左￡Z)時，即當2團一[〈尤<2E+：(左￡Z)時,

sinxvcosi,

九-

此時,sinx+cos%)+g(sincos%)=sinxw

所以，函數(shù)〃x)的值域為T#，即/MLL小一?

因此，函數(shù)/(%)最大值與最小值之差為等—(—1)=1+#.

故選：C.

7.己知函數(shù)/(x)=Asin(ox+e)(A>0,o>0,[d<1)的部分圖象如圖所示，C為圖象與y軸的交點，B

返.則函數(shù))(%)的一條對稱軸方程可能為()

為圖象與x軸的一個交點，且忸q=

2

22

【答案】D

【解析】

【分析】由圖像求出。的取值，再求解出了(%)的周期T,再結(jié)合對稱中心點8與周期求出對稱軸.

【詳解】由正弦函數(shù)/(x)=Asin(0x+°)(A>O,0>O,[d<'|)的圖象可知，4=2，

則/(x)=2sin(s+cp).

己知3(1,0),設(shè)。(0,孔)，根據(jù)兩點間距離公式，因為|2。|=孚，

解得yc=—夜(由圖象可知C點縱坐標為負).

因為。(0,—&)在/(%)=2$111(3+0)的圖象上，所以/(0)=2sin0=—后，

即sine=~~~，

j?jI'JI

又因為|夕|<3,所以0=—/,則/(x)=2sin(Ox—w).

57T571

因為3(—,0)在/(x)=2sin(ox——)的圖象上，所以2sin(-co——)=0,

2424

口“5兀，5，兀2,，兀、2knn

即-0)=k?,kwZ,-G)=knH—,CD——(kti—)=------1----,左eZ.

242454510

T527r2TITI

由圖象可知，—<—(7為函數(shù)周期)，T<10,又7=——，所以一<10,G>—,

42a)co5

當左=1時，0=」+2=2滿足條件，所以/(x)=2sin(^x—2).

510224

所以/(%)對稱軸方程滿足一x----=ki?—，(kE.Z),

242v7

3

解得尤=2左+］,（左￡Z）,

7

則當k=1時，為X—

2

故選：D

\7C7C7C7C

（s一*在上單調(diào)遞增，且對任意XC,都有/（x）?0,則。

。/L_63J|_94_

的取值范圍為（）

「413

A.-,2B.r[2,6]C.-,2D.

【答案】c

【解析】

兀//兀c—r-/口①兀兀/兀/①兀71

【詳解】由一<九4—，①>0可傳------<cox—<----------，

6366636

..—71-,/CDTI兀COTI兀/兀_,,_

依寇a忌----H2kli?--------<---------V—\-2kit,左￡Z,

266362

解得一2+12左〈口<2+6左，左eZ（*）.

71717T71

又彳一:4彳=;―^又G>0,,則0<口06,

362㈤

故由（*）得，左=0時，即0<口<2①.

‘?！?=①兀兀,兀/①兀71

由一V九V—，得------Vcox?----------,

9496646

因?qū)θ我鈞e［四，工］,都有/（尤）20,則2EV處—二<處—二<兀+2版,左eZ,

949646

314

解得一+18左《0<—+8匕左eZ,

23

..314

因為0<&>W6,故左=0時，即一—②.

23

一3-

綜合①，②，可得。的取值范圍為-,2.

故選：C

二、多選題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分）

9.近日，數(shù)字化構(gòu)建社區(qū)服務(wù)新模式成為一種時尚.某社區(qū)為優(yōu)化數(shù)字化社區(qū)服務(wù)，問卷調(diào)查調(diào)研數(shù)字化

社區(qū)服務(wù)的滿意度，滿意度采用計分制（滿分100分），統(tǒng)計滿意度繪制成如下頻率分布直方圖，圖中b=3。，

則下列結(jié)論正確的是（）

A.a=0.01B.滿意度計分的眾數(shù)為75分

C.滿意度計分的75%分位數(shù)是85分D.滿意度計分的平均分是76

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)頻率之和為1即可求解A,根據(jù)眾數(shù)，中位數(shù)以及平均數(shù)的計算即可分別求解BCD.

[10。+0.15+0.35+10"10。=1a=0.01

【詳解】對于A,《,°，解得1,ccc，故A正確;

b=3ab=0.03

對于B,由圖可知，70—80段的頻率/組距值最大，所以眾數(shù)為70+8°=75,故B正確;

2

對于C,前三組的頻率之和為0.1+0.15+0.35=0.6<0.75,前四組的頻率之和為0.6+0.3=0.9>0.75,則75%分

位數(shù)me[80,90),故a=80+”二竺義10=85,所以C正確;

0.9—0.6

對于D,x=55x0.1+65x0.15+75x0.35+85x0.3+95x0.1=76.5,故D錯誤;

故選：ABC.

10.己知的斜邊長為1,則其內(nèi)切圓半徑取值可能為（）

111

A.-BC.一D.-

3-:56

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)三角形斜邊長以及勾股定理可得。2+方2=1，再由等面積法可得廠=-------,利用基本不等

a+b+1

1

式和函數(shù)單調(diào)性計算可得2+2叵，即可求出結(jié)果?

【詳解】設(shè)兩直角邊長為且。>03>0；

顯然1+步=1，

即a?+Z?2=122ab，可得—；

2

設(shè)RtAABC的內(nèi)切圓半徑為廠,

根據(jù)等面積法可得-r(a+b+l)=-ab,因此r=他

2'72a+b+1

abab111

所以a+b+124ab+l2,1<1y2+2夜，

向就[癡+1尸

當且僅當。=6=正時，等號成立；

2

1111，即士工符合題意;

易知2+272，6<2+272

56

故選：CD

（人教版必修一第241頁）

11.如圖，一個半徑為3米的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)1.5圈，筒車的軸心。距離水面的高度為1.5米.設(shè)

筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d（單位：米）（在水面下則d為負數(shù)），若以盛水筒P剛浮出水面時

開始計算時間，則d與時間八單位:秒）之間的關(guān)系為d=Asin+Q)+K[A〉O,0〉0,——<—I,

則下列說法正確的是（）

兀

A.A=3B.（0-——

6

40

C.盛水筒出水后至少經(jīng)過一秒就可到達最低點D.盛水筒尸在轉(zhuǎn)動一圈的過程中，尸在水中的時間

3

為1秒

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)d的最大值為4.5,最小值為-1.5可求得AK的值，可得選項A正確；根據(jù)/=0時d=0

可得選項B正確；令d=-1.5求出/的值可得選項C錯誤；由1W0求出/的范圍可得選項D正確.

【詳解】由題意得，［的最大值為3+1.5=4.5,最小值為1.5—3=—1.5,

，A+K=4.5A=3

,解得<,選項A正確.

—A+K=—1.5/Y—1.3

設(shè)函數(shù)的最小正周期為T,由筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)1.5圈可得T=」=——，故。=歪,

co1.520

d—3sinI—t(p1+1.5,

120T

=0時，d=3sin0+1.5=0,??.sin0=——,

7T7T7E

----<0<—,(p—.......,選項B正確.

226

.(兀兀)

由B得，d=3sinIZ-——I+1.5,

令d=-1.5,得3sin1———j+1.5=—1.5,故sin—TI=一1，

12。6J12。6J

—二=里+2版,左eZ,故。=埋+40上次eZ,

20623

令左=0得，^―,故盛水筒出水后至少經(jīng)過或秒可到達最低點，選項c錯誤.

33

由dWO,得3sin[=/—1]+L5W0,得sin[^7-w]<一彳，

771，兀71Uli7”

-----\~2左兀<—t?-----\~2kit,keZ,

62066

QA

解得吧+40k4%?40+40左/wZ,

3

盛水筒尸在轉(zhuǎn)動一圈的過程中，P在水中的時間為40-色=絲秒，選項D正確.

33

故選：ABD.

三、填空題(本大題共3個小題，每小題5分，共15分)

(北師大版必修二第151頁)

12.己知sinx+cosx=2，則sin4x+cos,xu

2

23

【答案】二

32

【解析】

【分析】sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=l-2(sinxcosx)2,然后將條件兩邊平方即

可得出答案.

［詳解］sin4x+cos4%=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=l-2(sinxcosxf,

sinx+cosx)2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+2sinxcos%=J，

323

所以sin%cos%=-,所以l-2(sin九cos%)?=一

832

23

故答案為：—.

32

（人教版必修一第195頁）

-i0

13.sin(y-x)=-,且0＜兀＜言，貝！Jcos(T+%)=

【答案一半

【解析】

7T27r

【分析】依據(jù)（9-x）+（-1+x）=?,使用整體代換以及平方關(guān)系計算即可.

【詳解】由（5—九）+（年+%）=?，所以COS（?+X）=COS乃一（3一1）=-COS（y-X）

因為0＜%＜￡,所以一工＜工一九〈工，所以cos(二一%)=Jl-sin2(至一元)二久

26333V33

耳匚a,2兀、.n、20

Kr以cos(—+%)=-cos(y-x)=----

故答案為：一豆1

3

'eA+l,x<0

14.已知函數(shù)/'（%）={2I,g（x）=x2-ax+2,若y=g（/（x））有6個零點，則。的取值范

\x—4x+3,x>0

圍為_________

【答案】，逝,]]

【解析】

【分析】作出函數(shù)圖象，進行分析，因為g（x）=*—依+2=0最多有兩個零點，根據(jù)一個零點對應(yīng)

/（九）最多4個解，用數(shù)形結(jié)合討論各種情況，根據(jù)一元二次方程根的分布即可得出結(jié)果.

【詳解】由題可得函數(shù)圖象，當左=0或2（左<3時，/（X）=左有兩個解;

當0＜女＜1時，/(%)=左有4個解；當1〈左＜2時，/(%)=上有3個解;

當上23時，/(x)=左有1個解；因為g(x)=*—融+2=0最多有兩個解.

因此，要使y=g(/(%))有6個零點，則g(x)=*一依+2=0有兩個解，設(shè)為女「與?則存在下列幾種

情況：

/(x)=K有2個解，/(%)=內(nèi)有4個解，即勺=0或2＜匕＜3,0(左2＜1，顯然g(0)H。，則此時應(yīng)

g(o)〉o

2>0

g⑴<011

滿足＜X，即,一;，解得

g⑵<06—2a<0I3

11—3d>0

方⑶〉0

=%有3個解,/(%)=占有3個解，設(shè)左〈質(zhì)即1＜匕＜2,l＜k2＜2,

'g⑴=3-a＞0

則應(yīng)滿足＜藍°，a€(2應(yīng),3］綜上所述，a的取值范圍為卜"-

四、解答題(本大題共5小題，共77分)

71

15.已知/(%)=2sin(2%-1)

兀9兀

(1)用五點法畫出/(X)在上簡圖(要有作圖痕跡);

OO

7T

(2)求函數(shù)/(x)在xe［0,g］上的值域。

【答案】(1)作圖見解析

(2)^—^2,2^

【解析】

【分析】（1）根據(jù)五點法.列出區(qū)間的兩端點及區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值點及零點，列表描點，連線可得.

（2）由（1）中函數(shù)圖象結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)論.

小問1詳解】

71

令1=2%--,利用y=sint的圖象取點法畫圖；列表如下

4

713K5兀7兀9兀

X

8~8~8~8~8

713兀

2x--0712兀

42~2

y=2sin〔2x—；］

020-20

作在xe吟，筌］上的圖如下

88

n

2-1—?—

【小問2詳解】

7,

71

-百

-

由函數(shù)/（?在工￡［。,電］上單調(diào)遞增，在九￡［稱,￡］上單調(diào)遞減，而/（0）=—后，/4乃）=2,

8828

嗎）=也得/（X）值域為［-72,2］.

4

16.已知角。為第二象限角，且tano=—

3

一、4sin2a鉆/古

(1)求---------------的值;

2sina-3cosa

sin(兀一a

（2）化簡求值:

37r7c

tan(兀+?)tan(-+a)sin(2兀-cr)sin(——a)

【答案】（1）y

4

(2)

5

【解析】

43

【分析】(1)根據(jù)平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求出sincr=—g,cos?=--,代入即可;

(2)利用誘導公式化簡即可得出答案.

【小問1詳解】

sina+cosa=1

由題得,sin。4，又角。為第三象限角,

----=tana=一

、cosa3

4316

解得sina=一COSCL---,所以原式=

55T

【小問2詳解】

sincr-sincr-cos?sincr-sincr.4

-------------------------=----------=smer=

原式.cosa/.、sin。5.

taner-------(-sina)-cosa

-sin。

17.已知函數(shù)/(x)=cos(2&x+0“|dwm的周期為兀，為它的一個對稱中心.

(1)求函數(shù)/(九)的解析式及其單調(diào)增區(qū)間;

JT5九

(2)若關(guān)于％的方程"(切2+%/⑺—2加=。在一五，石上有實數(shù)根，求實數(shù)加的取值范圍.

cos12x—g),單調(diào)增區(qū)間:

【答案】(1)/(%)=--+fet,-+H(kGZ)

1212v7

(2)mG[0,1]

【解析】

7T

【分析】(1)根據(jù)周期和對稱點，得出口=1,夕=-二，即可得出解析式和單調(diào)增區(qū)間;

(2)參變分離，構(gòu)造函數(shù)，將方程解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)換成圖像交點個數(shù)問題.

【小問1詳解】

由T==兀，得0=1,

2①

因為(葛,。)為它的一個對稱中心,所以2*；兀+夕=]+左兀(左￡2),

所以。二-----卜kn(keZ),

6

又二，所以夕=_],所以/(x)=cosbx_g],

2616J

jl5兀71

令一71+2左兀V2xV2kli=>-----\-kuV%<ku,kGZ,

61212

57t7C

所以單調(diào)增區(qū)間：-----卜kit,---Hkit(左￡Z)；

1212、7

【小問2詳解】

,兀),5兀，口兀C兀，2兀,,I,rc兀

由--WxW—，得—<2%--<—,故—<cos2x---VI,

12123632{6J

因此函數(shù)y=/(X)的值域為一g」.

設(shè)/=/(%)=cos!2%--^-I,則%e

2''

jr5冗

要使關(guān)于x的方程"（切2+時⑺—2機=0在-五，五上有且僅有一個實數(shù)根,

產(chǎn)15

即加=----在％￡--4有且僅有一個實數(shù)根，令〃=2-1￡1,—

2-tL2JL2j

則加J=（2-"）.="+士一4在〃￡|"1，7]有且僅有一個實數(shù)根,

2—tnnL2_

45「r

即丁=加與y=〃+——4在1,-有且僅有一個交點，由圖像可知加G[0,1].

18.已知函數(shù)〃%）=tantyx3>°）與函數(shù)g（x）=cos<?x部分圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為8.

(1)求0值;

(2)若函數(shù)/z(x)=，+i-a?"(。>0,且"1),對任意玉存在/?-2,2],使得

/2(X,)</(X2),求。的取值范圍

JT

【答案】(1)。=—

8

(2)0<。<1或l<aW2

【解析】

JTIdL

【分析】(1)根據(jù)/(x)=tan(0x)定義域為{x|——+—,k&Z},利用此性質(zhì)結(jié)合圖形中直線x的位置

2a>co

求出”.

(2)求出/(x)在給定區(qū)間的最大值后，將/?(%)通過換元轉(zhuǎn)化為關(guān)于f的二次函數(shù)y=G-產(chǎn)，根據(jù)。的取

值范圍討論二次函數(shù)在不同區(qū)間上的單調(diào)性，進而求出最大值并判斷是否滿足