平行四邊形（6大易錯(cuò)+5大壓軸）解析版-2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

平行四邊形（6大易錯(cuò)+5大壓軸）

01思維導(dǎo)圖

目錄

【易錯(cuò)題型】...................................................................................1

易錯(cuò)題型一矩形中的折疊問題..................................................................1

易錯(cuò)題型二菱形中的折疊問題................................................................11

易錯(cuò)題型三正方形中折疊問題................................................................18

易錯(cuò)題型四矩形中的最值問題.................................................................25

易錯(cuò)題型五菱形中的最值問題.................................................................28

易錯(cuò)題型六正方形中最值問題.................................................................33

【壓軸題型】..................................................................................39

壓軸題型一平行四邊形中的新定義型問題.......................................................39

壓軸題型二矩形中的新定義型問題.............................................................46

壓軸題型三菱形中的新定義型問題.............................................................55

壓軸題型四正方形中新定義型問題.............................................................61

壓軸題型五中點(diǎn)四邊形問題...................................................................69

02易錯(cuò)題型

易錯(cuò)題型一矩形中的折疊問題

例題：（24-25八年級(jí)上?四川成都?期末）如圖，在矩形紙片/BCD中，AB=6,8c=8,將矩形紙片折疊,

使點(diǎn)3與點(diǎn)。重合，點(diǎn)4折疊至點(diǎn)￡處，則GD的長(zhǎng)為.

E

A

IG\I

BHC

【答案】6.25

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與折疊問題、矩形與折疊問題

【分析】本題考查矩形中的折疊問題，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)；

設(shè)GD=x，根據(jù)翻折性質(zhì)和勾股定理可得（8-xp+62=x2,即可解得答案，

【詳解】?.?在矩形紙片N8CD中，4B=6,BC=8,

設(shè)G0=x,貝UG=8-x,

將矩形紙片折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)。重合，點(diǎn)4折疊至點(diǎn)E處，

/.DE=AB=6,AG=EG=8—%,/E=/B=90°,

在RtADEG中

EG'+DE2=GD2,

即（8—x）~+62=x2

解得x=6.25.

故答案為：6.25.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25八年級(jí)上?甘肅蘭州?期中）如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片N8CD折疊起來，使其頂點(diǎn)C與A重合，折

痕為EF.若AB=1,BC=2,貝！14F長(zhǎng)為.

BFC

【答案】f

4

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、折疊問題、解一元一次方程（一）一合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)、利用矩形的

性質(zhì)求角度

【分析】由矩形的性質(zhì)可得4=90。，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得"=設(shè)4F=x,則即=2-x,在RtA48尸

222

中，由勾股定理可得/爐+8尸2=/廣，gpi+（2-x）=x,解一元一次方程即可求出4尸的長(zhǎng).

【詳解】解：.??四邊形/BCD是矩形，

NB=90°,

由折疊可得，AF=FC,

2

設(shè)/b=x,則3/=8。一尸。=8。一4尸=2-x,

在RM48尸中，由勾股定理可得：

AB2+BF2=AF2,

即：F+（2-X）2=/,

解得：x=:，

4

AF=~,

4

故答案為：—.

4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握軸

對(duì)稱的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

2.（24-25九年級(jí)上?河南平頂山?期中）如圖，矩形48CO,48=20,4D=8,點(diǎn)尸為邊CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

將AAPD沿AP折疊得到△/尸0,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。，當(dāng)射線尸。恰好經(jīng)過N3的中點(diǎn)"時(shí)，OP的長(zhǎng)為.

【答案】4或16

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與折疊問題、矩形與折疊問題、根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，熟練掌握矩形中的翻折問題，并根據(jù)題意

分類討論是解題的關(guān)鍵.分兩種情況：①當(dāng)尸。的延長(zhǎng)線過N8的中點(diǎn)M時(shí)；②當(dāng)過48的中點(diǎn)出時(shí),

利用翻折性質(zhì)，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可.

【詳解】解：①當(dāng)P。的延長(zhǎng)線過的中點(diǎn)M時(shí)，如圖，

?.?四邊形ABCD是矩形,

.-.AB//CD,zZ)=90°,

ZDPA=ZMAP,

由折疊得=DP=PQ,AD=AQ=8,ND=NPQA=90°,

2MPA=2MAp,

3

PM=AM,

vAB=20,河是的中點(diǎn)，

：.PM=AM=

在Rt-40/中，QMJAM?-AQ?=6,

,-.DP=QP=PM-QM=10-6=4-

②當(dāng)尸。過的中點(diǎn)M時(shí)，如圖，

同①），nJPM=AM=10,AQ—AD=8,

在RtA/QN中，QM=y]AM2-AQ2=6,

.-.DP=QP=PM+QM=10+6=16；

故答案為：4或16.

3.（23-24八年級(jí)下?遼寧大連?期中）如圖，在矩形/BCD中，AB=6,BC=8,E是邊3c上一點(diǎn)，將

沿4E折疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)尸處，連接CF.當(dāng)尸為直角三角形時(shí)，CE的長(zhǎng)是.

【答案】5或2

【分析】本題考查的是折疊變換的性質(zhì)，掌握折疊變換是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的

形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.當(dāng)ACE尸為直角三角形時(shí)，需要分類討

論：分/。/=90。與NCE尸=90。兩種情況，通過勾股定理列方程求解.

【詳解】解：當(dāng)/Q花=90。時(shí)，A,F,C三點(diǎn)共線，

4

設(shè)BE1長(zhǎng)為x,則C￡=8-x,

由翻折可得￡尸=3尸=x,AF=AB=6,

由勾股定理的AC=762+82=10，

.-.CF=AC-AF=10-6=4,

?：/CFE=/B=90。,

；.EF?+FC?=EC?,

222

即X+4=（8-X）,

解得x=3,

.?.CE=8-3=5.

當(dāng)NCE尸=90。時(shí)，四邊形48環(huán)為正方形,

/.BE=AB=6,

；.CE=8—6=2.

故答案為：5或2.

4.（24-25八年級(jí)上?江蘇宿遷?期中）在矩形紙片48cz（中，48=6,SC=8,將矩形紙片沿折疊，點(diǎn)A

落在點(diǎn)E處，設(shè)。E與2c相交于點(diǎn)尸，

（1）判斷△8〃尸的形狀，并說明理由；

（2）求昉的長(zhǎng).

【答案】（1）△2D9是等腰三角形，理由見解析

25

⑵BF].

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、矩形與折疊問題、勾股定理與折疊問題

5

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、等角對(duì)等邊.

（1）由矩形的性質(zhì)得出乙4=90。，AD//BC,AD=BC=8,推出=由折疊的性質(zhì)可得：

BE=AB=6,DE=AD=8,ZE=AA=90°,AADB=AEDB,推出8尸=￡＞尸；

（2）設(shè)BF=DF=x,則E尸=。E-。尸=8-x,再由勾股定理計(jì)算即可得出答案.

【詳解】（1）解：△8。尸是等腰三角形，理由如下，

■.?四邊形4BCD是矩形，

NN=90。，AD//BC,AD=BC=8,

：.ZADB=ZDBC,

由折疊的性質(zhì)可得：BE=AB=6,DE=AD=8,ZE=ZA=90°,ZADB=ZEDB,

■.NDBC=ZEDB,

BF=DF,

ABZ）尸是等腰三角形；

（2）解：設(shè)BF=DF=x,貝1|所=。石一。尸=8-x,

在RtZXBEF中，

由勾股定理得8"+斯2=3尸2,即62+四一=一,

解得：X=254，

4

.麗25

4

5.（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐：小紅在學(xué)習(xí)了圖形的折疊相關(guān)知識(shí)后，對(duì)矩形的折疊進(jìn)行了探究,

已知矩形/BCD中，48=10,BC=8,P為8c上一點(diǎn)，將ANBP沿直線⑷3翻折至的位置（點(diǎn)8落

在點(diǎn)E處）.

當(dāng)點(diǎn)E落在邊CD上時(shí)，利用尺規(guī)作圖，在圖①中作出滿足條件的圖形（即△/￡尸的位置，不寫作法，保留

作圖痕跡），此時(shí)OE=；

（2）【問題探究】

6

如圖②，PE與CD相交于點(diǎn)尸，/E與CD相交于點(diǎn)G,且/C=FE,求證：BP=5CP；

(3)【拓展延伸】

已知。為射線A4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△臺(tái)。。沿。。翻折，點(diǎn)8恰好落在直線。。上的點(diǎn)9處，求2。的長(zhǎng).

【答案】(1)作圖見解析，6；

(2)見解析；

⑶4或16.

【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問題、矩形與折疊問題、作垂線(尺規(guī)作圖)、勾股定理與折疊問題

【分析】本題主要考查矩形與折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握矩形與折疊

的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E在CD上，可得折線2尸是成的垂直平分線，由此可作圖，根據(jù)矩形的性質(zhì)，折

疊的性質(zhì)可得AB=AE=10,ZD=90°,由勾股定理即可求解；

(2)由翻折的性質(zhì)得=/￡=48=10,NE=NB=90。,設(shè)BP=EP=x,貝i]PC=8—x,

AGEF=APCF(.ASA^,可得GE=PC=8—x,GC=EP=x,DG=CD—GC=10—x,

/G=/E-G￡=10-(8-x)=x+2,在RIA/DG中，由勾股定理

20204

解得x=y，CP=S--=~,由此即可求解；

(3)分兩種情況：如解圖所示，點(diǎn)。在線段AB上時(shí)；如解圖所示，點(diǎn)。在氏4延長(zhǎng)線上時(shí)；根據(jù)矩形、折

疊，勾股定理即可求解.

【詳解】(1)解：作圖如圖所示，將A/8尸沿直線小翻折至的位置(點(diǎn)B落在點(diǎn)E處)，點(diǎn)E落在

邊CD上，

D7c

.?.△/EP即為所求的三角形,

:折疊,

.?.N5=/E=10,

?.?四邊形是矩形,

,?.z￡>=90°,

在RMDE中，DE=yjAE2-AD2=7102-82=6，

7

DE-6,

故答案為：6.

(2)證明：由翻折的性質(zhì)得AP=EP,AE=AB=1Q,/E=/B=90。,

/E=/C,

設(shè)BP=EP=x,則尸C=8-x,

在AGE尸和APCF中，

'NE=NC

<EF=CF,

ZGFE=NPFC

二.AGE戶均PCP(ASA),

GF=PF,GE=PC=8-X,

GC=EP=x,

DG=CD-GC=10-x,NG=/E-GE=10-(8-x)=x+2,

在RM4DG中，由勾股定理得，82+(10-X)2=(X+2)2,

2020

解得'=k，即第==，

33

3/2-0

-3203

c￥4-——X—=5,

3一34

..BP=5CP.

(3)解：分兩種情況:

如解圖所示，點(diǎn)。在線段上時(shí),

由翻折的性質(zhì)得/C05=/C。'，B'C=BC=8,BQ=B'Q,NCB'Q=NB=90。,

NCB'D=90。,

..DB'=^CD2-BrC2=7102-82=6,

8

?.?四邊形288是矩形,

CD//AB,

NDCQ=NCQB,

ZDCQ=ZCQD,

:.QD=CD=\Q,

:.BQ=B'Q=QD-DB'=\0-6=4,

如解圖所示，點(diǎn)。在A4延長(zhǎng)線上時(shí),

DB'=yJCD2-B'C2=A/102-82=6,

^BQ=B'Q=x,貝l]DQ=x_6,AQ=x-10,

???/BAD=90°,

^DAQ=90°,

在RtZk/D。中，由勾股定理得，82+(X-10)2=(X-6)2,

解得x=16,即30=16,

綜上所述，2。的長(zhǎng)為4或16.

6.(24-25八年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí))在矩形紙片488中，AB=3,8c=4.

(1)如圖①，將矩形紙片折疊，點(diǎn)8落在對(duì)角線/C上的點(diǎn)E處，則CE的長(zhǎng)為

(2)如圖②，點(diǎn)"為48上一點(diǎn)，將△5cA/沿CW翻折至AECA/,旌與4。相交于點(diǎn)G,CE與相交于

點(diǎn)尸、且MG=GF,①證明："MGAEFG.②求氏位的長(zhǎng)

(3)如圖③，將矩形紙片N3C。折疊，使頂點(diǎn)8落在4。邊上的點(diǎn)E處，折痕所在直線同時(shí)經(jīng)過/2、BC

9

(包括端點(diǎn))，請(qǐng)直接寫出DE的最大值和最小值.

【答案】⑴2

17

⑵①見解析②

G)DE的最大值為近，最小值為1

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與折疊問題、矩形與折疊問題

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)

和全等三角形的判定與性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵.

(1)在Rt448C中，由勾股定理得出/C=5,由折疊得NE=4B=3,從而可求出CE；

(2)由ASA證明ANMG0AEFG,得出GM=G尸，AF=ME=BM=x,EF=AM=3-x,因此

DF=4-X,CF=x+1,在Rt△。尸C中，由勾股定理得出方程(X+1『=(4-X)2+32,解方程即可；

(3)當(dāng)折痕所在直線經(jīng)過點(diǎn)/時(shí)，此時(shí)DE最小=40-48=4-3=1；當(dāng)折痕所在直線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，DE

最大，CE=CB=4,由勾股定理得?！?療.

【詳解】(1)解：???矩形紙片4BC￡>中，AB=3,BC=4,

???AC=dAB?+BC?=>/32+42=5，

由折疊得，點(diǎn)3落在對(duì)角線NC上的點(diǎn)￡處，

AE=AB=3,

.?.CE=AC-AE=5-3=2,

故答案為：2；

(2)解：①證明：由折疊得/5=/5=90。=/4

在AGAM和4GEF中，

Z=NE

<ZAGM=ZEGF,

GM=GF

.?.△G/M^aGEb(ASA),

②設(shè)

由折疊的性質(zhì)得：BM=EM=x,CE=BC=4,

?MGAM%AGEF,

/.AG=EG,

10

：.AG+GF=EG+MG,BPAF=EM,

AF=ME=BM=x,EF=AM=3—x,

DF二AD-AF=4—xjCF=CE—EF=4—(3—x)=x+l,

在RtAD/C中，由勾股定理得：CF2=DF2+CD2,

.-.(X+1)2=(4-X)2+32,

12

解得：X=

5

(3)解：當(dāng)折痕所在直線經(jīng)過點(diǎn)/時(shí)，如圖所示：

止匕時(shí)。E最小=AD-/E=AD-/B=4-3=1；

當(dāng)折痕所在直線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，如圖所示：

此時(shí)。E最大，CE=CB=4,

由勾股定理得：DE=y/CE2-CD2=A/42-32=J7，

■■DE的最大值為近，最小值為1.

易錯(cuò)題型二菱形中的折疊問題

例題：（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，菱形中，尸為48中點(diǎn)，44=60。，折疊菱形

使點(diǎn)C落在。P所在的直線上，得到經(jīng)過點(diǎn)D的折痕DE,則NDEC的大小為。.

11

【答案】75

【知識(shí)點(diǎn)】利用菱形的性質(zhì)求角度、折疊問題、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等邊三角形的判定和性質(zhì)

【分析】此題考查了翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，以及內(nèi)角和定理的綜

合運(yùn)用.連接2。，由菱形的性質(zhì)及乙4=60。，得到三角形為等邊三角形，尸為的中點(diǎn)，進(jìn)而求出

47X7=90。，由折疊的性質(zhì)得到NCOE=NPO￡=45。，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出所求角的度數(shù).

【詳解】解：如圖，連接5。,

?.?四邊形為菱形，4=60。,

NC=N/=60°,AB=AD,

為等邊三角形,

一.?尸為48的中點(diǎn)，

NDPA=90°,

■.■AB//CD,

ZPDC=ZDPA=90°,

由折疊的性質(zhì)得到ZCDE=NPDE=45°,

在AOEC中，ZD￡C=180°-(ZCZ>￡+ZC)=75°.

故答案為：75.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)￡為菱形/BCD中48邊上一點(diǎn)，連結(jié)。E,DE=DA,將菱形沿DE

折疊，點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在BC邊上，則的度數(shù)為.

12

【答案】72。/72度

【知識(shí)點(diǎn)】利用菱形的性質(zhì)求角度、折疊問題

【分析】由將菱形沿DE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸，DE=DA,得D4=DE=DF,得

ZA=NDE4=NDEF=NDFE=x,由尸，得NDFC=NC=乙4=x,得/BEF=/BFE=180°-2x,

ZB=180-ZA=180°-X,得180-2.x+180-2x+180-x=180,即可得N/=x=72。.本題主要考查了圖形的折

疊，菱形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確應(yīng)用折疊的性質(zhì).

【詳解】解：：將菱形488沿。E折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸，DE=DA,

:.DA=DE=DF,

AA=ZDEA=NDEF=NDFE=x,

DC=DA=DF,

NDFC=ZC=ZA=x,

:./BEF=/BFE=180°-2x,=180-//=180°-x,

180—2x+180—2,x+180—x=180,

:.ZA=x=72°.

故答案為：72°.

2.（23-24八年級(jí)下?江蘇南京?期中）如圖，菱形紙片4BCQ的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E在邊48上，將紙片沿CE折

疊，點(diǎn)2落在8'處，CB'1AD,垂足為F.若ZB=60。，則BE的長(zhǎng)是.

【答案】2石-2

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)、二次根式的除法、折疊問題

【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的

13

應(yīng)用，二次根式的除法運(yùn)算，掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵；證明N3CE=45。，過點(diǎn)E作EGL2C于

點(diǎn)G,再利用等腰直角三角形的性質(zhì)與含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)一步解答即可.

【詳解】解：???在菱形中，CD=BC=2,

AD//BC,

-：CB'±AD,

；"BCB'=90°,

又由折疊有N8CE=NB'CE，且NBCE+ZB'CE=NBCB'=90°,

NBCE=45°,

過點(diǎn)E作EG，8c于點(diǎn)G,

："EGB=NEGC=90°,

：.ZCEG=90°-NBCE=90°-45°=45°,

NCEG=ZBCG,

；.EG=CG,

設(shè)CG=xcm,則￡G=xcm,BG=BC-CG=2-x,

?.?在菱形48a）中，^5=60°,

ZBEG=30°,

BE=2BG,EG=y[3BG,

X=A/3（2-X）,

解得：x=3-V3，

..,=隼=4=道-1,

V3V3

:.BE=2BG=2^-2.

故答案為：26-2.

3.（23-24八年級(jí)下?河北邢臺(tái)?期中）如圖，在菱形紙片/BCD中，ZA=60°.

14

(1)zc=°,

(2)點(diǎn)￡在2c邊上，將菱形紙片48CD沿?！暾郫B，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C',且。C'是48的垂直平分線,

則/DEC的大小為。.

【答案】6075

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，垂直平分線的定義.

(1)直接根據(jù)菱形的對(duì)角相等即可求解；

(2)如圖，由垂直平分線的定義得到4=90。，從而4。。=30。，由菱形的性質(zhì)得到/COC'=/1=90。,

從而由折疊有NCr)￡=NC'r)￡=gNCDC'=45。，因此乙4￡>￡=75。，再根據(jù)菱形的對(duì)邊平行即可求解.

【詳解】解:(1)???四邊形N3CD是菱形，

NC=N/=60°.

故答案為：60

(2)如圖,

?；C'D是AB的垂直平分線，

Z1=90°,

//DC'=90°-4=90°-60°=30°,

「在菱形/BCD中，AB//CD,

ZCDC=Z1=90°,

由折疊可得NCDE=NC'DE=-ZCDC=-x9Q°=45°,

22

；.NADE=ZADC+NC'DE=30°+45°=75°,

???在菱形48CD中，AD//BC,

：.NDEC=ZADE=75°.

故答案為：75

15

4.（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?假期作業(yè)）如圖，將菱形紙片折疊，使點(diǎn)A恰好落在菱形對(duì)角線的交點(diǎn)。

處，折痕為所.若菱形的邊長(zhǎng)為2,2/=120。，求斯的長(zhǎng).

【答案】V3

【知識(shí)點(diǎn)】利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)、折疊問題、用勾股定理解三角形、與三角形中位線有關(guān)的求解問題

【詳解】解：如圖，連接

ACLBD,AC平分NBAD.

ZBAD=120°,ZBAC=60°,

ZABO=90°-60°=30°,：.AO=-AB=-x2=1

22

根據(jù)勾股定理，得BO=DO=5

:沿E尸折疊后點(diǎn)A與點(diǎn)。重合，，M_L4C,E尸平分40.

AC±BD,EFUBD,二￡尸為△48。的中位線，

:.EF=；BD=；x（拒+5=5

5.（23-24八年級(jí)下?遼寧營(yíng)口?期末）八年一班的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師發(fā)給每名同學(xué)一個(gè)菱形紙片

（NB/C>90。），要求同學(xué)們沿一條直線折疊，探究圖中的結(jié)論.

圖1圖3

同學(xué)們?cè)谶?。上取點(diǎn)E,連結(jié)班，將這個(gè)紙片沿BE翻折，點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為尸，如圖1所示.

16

小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)尸落在邊AD上時(shí)，ZEFD=2ZABD.

小紅發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)￡是ND的中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)。尸.若已知48和DF的長(zhǎng)，則可求BE的長(zhǎng).

問題提出與解決：

同學(xué)們根據(jù)小明和小紅的發(fā)現(xiàn)討論后提出問題，請(qǐng)你回答問題.

問題：在菱形4BCD中，ZBAC>90°,點(diǎn)E是邊4D上一點(diǎn)，將沿3E翻折得到AFBE.

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在邊5。上時(shí)，求證：ZEFD=2ZABD：

(2)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E是4D的中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)。尸，若43=8,DF=6,求成的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

⑵歷+3

【知識(shí)點(diǎn)】利用菱形的性質(zhì)證明、折疊問題、全等的性質(zhì)和ASA(AAS)綜合(ASA或者AAS)、用勾股

定理解三角形

【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、折疊

的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

⑴根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊對(duì)等角得到=根據(jù)折疊的性質(zhì)得到4=N2,Z3=Z4,利用

三角形內(nèi)角和定理即可證明結(jié)論；

(2)過點(diǎn)/作于H,EKLFD于K.利用中點(diǎn)和折疊的性質(zhì)得NE==斯=；x8=4.由等腰

三角形的性質(zhì)得到FK=KD=；xFD=；x6=3,勾股定理得到EK=」EF？-FK?=一3?=用.證明

AAHEAEKD(AAS)，則4H=EK=5,勾股定理求出3〃=歷，HE=3,即可得到答案.

【詳解】(1)證明：???四邊形是菱形，

AB=AD

???/ABD=ZADB,

而4=N2,/3=/4,

17

...ZEFD=/2+N4=/I+/3=(180°-//)=NABD+ZADB=2/ABD.

(2)解：過點(diǎn)4作4H_LBE于H,EKLFD于'K.

???￡是的中點(diǎn)，

.-.AE=DE=EF=-xS=4.

2

又?:EKLFD,

；.N3=/4,FK=KD=-xFD=-x6=3,

22

???EK=^EF2-FK2=A/42-32=布-

■■■Z1=Z2,/3=/4,

而/l+/2+/3+/4=180°,

.?.2/2+2/3=180。，Z2+Z3=90°,

即EK1BE.

而力XJ_5E,

AH//EK,

..NHAE=Z4,

Ifj]ZAHE=ZEKD=90°,AE=ED,

.?.△4HE咨AEKD(AAS),

???AH=EK=yfy

而BH=y/AB2-AH2=M-(V7)2=&4-7=后,

HE=y/AE2-AH2="一(⑺2=J16-7=M=3,

???BE=BH+HE=5+3.

易錯(cuò)題型三正方形中折疊問題

18

例題：（2024?上海浦東新?三模）如圖，在正方形48CD的邊48上取一點(diǎn)E,連接CE,將ABCE沿CE

翻折，點(diǎn)B恰好與對(duì)角線/C上的點(diǎn)尸重合，連接。尸，若BE=2,則ACD尸的面積是.

【答案】3血+4/4+3a

【分析】本題考查翻折變換、正方形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí).由折疊可得

EF=BE=2,NCFE=NEBC=9Q°,且NE4E=45。，可得4F=2,NE=2夜即可求對(duì)角線AD的長(zhǎng)，則

可求ACD尸面積.

【詳解】解：如圖，連接8。交/C于。,

V43CD為正方形,

ZABC=90°,4B=BC,AC1BD,DO=BO,ZBAC=45°.

?「△BCE沿CE翻折,

:.BE=EF=2,BC=CF,ZEFC=ZEBC=90°,ZBAC=45°,

ZEAF=ZAEF=45°,

AF=EF=2,

/E=2也，

AB=2>/2+2=BC=CF,

BD=4+2V2，

OD=2+42.

：.S&CDF=^xCFxDO=3y/2+4.

故答案為：3>/2+4.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?江蘇鎮(zhèn)江?期中）如圖，在正方形48CD中，/5=10,E是8c的中點(diǎn)，將A48E沿/E

對(duì)折至A47芯，延長(zhǎng)￡尸交DC于點(diǎn)G,則。G的長(zhǎng)是（）

19

10

A.4B.—C.3

3口I

【答案】B

【分析】本題主要考查勾股定理的綜合應(yīng)用以及翻折變換的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).利用翻折變

換對(duì)應(yīng)邊關(guān)系得出48=/尸，BE=EF,NB=NAFE=90。,利用HL定理得出RS/OG且RS4FG,由全

等三角形的性質(zhì)得出DG=FG,設(shè)。G=/G=x,則GC=10-x,利用勾股定理得出6爐=。62+?！?,進(jìn)

而求出DG即可.

【詳解】解：如圖，連接/G,

AB=BC=CD,ND=ZB=NBCD=90°,

???將"BE沿AE對(duì)折至AAFE,

:.AB=AF,BE=EF,Z5=ZAFE=90°,

:.AD=AF,ZD=ZAFG=90°f

二.RtA^DG^RtA^FG(HL),

DG=FG,

DG=FG—x,則GC=10-x,

???￡為CB的中點(diǎn)，

/.CE=BE=EF=5,

EG=5+x,

在RtACEG中，

由勾股定理，^CE2+CG2=GE2,

;.52+(10-x)2=(5+x>,

20

解得X*

:.DG=—

3

故選：B.

2.（23-24八年級(jí)下?安徽滁州?期末）如圖1,正方形/BCD的邊長(zhǎng)為3,￡為8邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重

合）.將△4DE沿4E對(duì)折至△/FE,延長(zhǎng)E尸交邊3c于點(diǎn)G,連接4G.

（2）如圖2,若E為CD的中點(diǎn)，則CG=.

【答案】45。/45度2

（分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)得到AADE注4AFE,得到N4DE=NAFE=90°,AD=AF=AB,證明

△ABG%LAFG,即可證明.

（2）根據(jù)AABG咨AAFG得到DE=EF,FG=BG,設(shè)CG=x,貝ij

3

DE=跖=C￡=/,FG=BG=3-x,根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】（1）???正方形/BCD,沿/E對(duì)折至△/尸E,

:AADE咨AAFE，

ZADE=ZAFE=NABG=ABAD=90°,AD=AF=AB,NDAE=ZFAE,

[AF=AB

[AG=AG

.?.A/8G之A/尸G(HL),

；"FAG=ZBAG,

ZEAG=ZEAF+ZFAG=-NDAF+-ZBAF=-ABAD=45°,

222

故答案為：45°.

(2)根據(jù)(1)得△ADEWAAFE，△/2G0△/尸G,

：.DE=EF,FG=BG,

設(shè)CG=x,

21

3

則DE=EF=CE=3，F(xiàn)G=BG=3—x,

39

EG——卜3—x——x,

22

解得x=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握性質(zhì)和

定理是解題的關(guān)鍵.

3.(23-24八年級(jí)下?江蘇無錫?期中)如圖，點(diǎn)￡是正方形Z8CD的邊CD上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與C、。重合),

連接8E,將ABCE沿BE翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處.

(1)當(dāng)。尸最小時(shí)，的值為」

(2)如圖2,連接/尸并延長(zhǎng)，交8E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，/8G4的大小是否變化，若變

化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求N2G4的值；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接DG,試探索5G、DG、/G之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案］⑴"1

(2)/BG4為45°,理由見解析

(3)GB+DG=^2AG

【分析】(1)當(dāng)B,F,。三點(diǎn)共線時(shí)，。尸有最小值，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出答案；

(2)過點(diǎn)8作于點(diǎn)〃，則Nl=90。，證出N/TOG=45。，則可得出結(jié)論；

(3)過點(diǎn)A作交G8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，則NQ/G=90。，證明AQ/B四AG/D(SAS),得出

DG=BQ,則可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：???將A3CE沿BE翻折，

BC=BF,CE=EF,NC=NEFB=90°,

■：DF+BF>BD,即DFNBD-BF,

22

.??當(dāng)8,F,。三點(diǎn)共線時(shí)，。尸有最小值，

此時(shí)/￡7*=90。，

如圖，設(shè)CE=EF=x,

???四邊形/BCD是正方形，

ZBDC=45°,

ADEF=90°-ABDC=90°-45°=45°=/BDC,

???DF=EF=x,

■■DE=^EF2+DF2=y/EF2+EF2=也EF=叵x，

DE.CE=A/2X:x=收:1.

故答案為：V2:l;

理由如下：

過點(diǎn)B作4G于點(diǎn)H,

Z1=90°,

???四邊形/BCD是正方形，

AB=BC=CD=DA,ZC=Z.ABC=ABAD-ND=90°,

???將△3C￡沿班翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，

.?./2=/3,BC=BF,

又???BC=BA,

**.BF=BA,

又???BHLAG,

.?.N4=N5,

XvZ2+Z3+Z4+Z5=ZABC=90°,N2=/3,

.?.2/3+2/4=90。，

N3+N4=45。，

23

即ZHBG=45°,

又「Z1=90°,

ZBGA=90°-ZHBG=90°-45°=45°；

(3)BG+DG=42AG-

理由如下：

過點(diǎn)A作/。_LNG,交G3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，NQ4G=90。，

又?.?/0G/=45°,

ZGQA=90°-ZQGA=90°-45°=45°=ZQGA,

：.QA=GA,

???NQZG=90°,

?.QG=ylQA2+AG2=飛AG?+AG2=&G,

VZQAG=/BAD=90°,

???ZQAG-/BAG=ZBAD-/BAG,

即ZQAB=/GAD,

在△045和△G/。中，

AQ=AG

<ZQAB=ZGAD,

AB=AD

.-.AQAB^AGAD(SAS),

：.DG=BQ,

BG+DG=BG+BQ=QG=42AG,

即BG+DG=42AG-

24

圖3

易錯(cuò)題型四矩形中的最值問題

例題：（23-24八年級(jí)下?江蘇淮安?階段練習(xí)）如圖，在矩形/BCD中，￡為對(duì)角線ZC上與4C不重合的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作E尸，AB與點(diǎn)REG，2c于點(diǎn)G,連接。E,FG,若48=3,BC=4,則尸G的最小

值_____.

12

【答案】y

【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，三角形面積的求解等知識(shí)，連接班，過

點(diǎn)3作5"L/C,根據(jù)已知可證明四邊形RBGE為矩形，得到FG=8E,當(dāng)5EL/C時(shí)最短，BE最短,

此時(shí)尸G=3E最短，利用三角形等面積法求出3H即可得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，連接BE,過點(diǎn)8作

.-.ZFBG=90°,AC=^AB-+BC2=A/32+42=5-

???四邊形”GE為矩形，

FG=BE,

25

當(dāng)3E14C時(shí)最短，BE最短,此時(shí)/G=3E最短,

.?.EG=2〃時(shí)最短，

5.=-ABBC=-ACBH,

ZASADsUr22

ABBC3x412

/.BH=-------=----=——,

AC55

12

故答案為：y.

鞏固訓(xùn)練

1.（22-23九年級(jí)上?江蘇南京?期末）如圖，在矩形中，AB=2,AD=4,點(diǎn)、E,尸分別為40、CD

邊上的動(dòng)點(diǎn)，且的長(zhǎng)為2,點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為8。上一動(dòng)點(diǎn)，則P4+PG的最小值為.

【答案】472-1

【分析】本題考查了軸對(duì)稱一最短路線問題，判斷出G點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

由即=2,點(diǎn)G為￡尸的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出DG=1,所以G是以。為圓心，以1為

半徑的圓弧上的點(diǎn)，作A關(guān)于3c的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'D,PA',由尸4+PG+Z>G240,推出當(dāng)D,G,尸,4共線

時(shí)，取+尸6=尸/'+尸6的值最小，根據(jù)勾股定理求得力力=4后,從而得出巴4+尸3的最小值.

【詳解】?.?E尸=2,點(diǎn)G為E廠的中點(diǎn)，

DG=l,

?.G是以。為圓心，以1為半徑的圓弧上的點(diǎn),

PA'+PG+DG>A'D,

26

???當(dāng)D,G,P,Af共線時(shí)，PA+PG=PA+PG的值最小，

??,AB=2,AD=4,

AA=4，

A'D=ylAA'2+AD2=472，

:.PA+PG>A'D-DG=442-1，

:.PA+PG的最小值為4JI-1;

故答案為：4V2-1.

2.（2024?西藏日喀則?二模）如圖，矩形/BCD中，AB=4,2C=6,點(diǎn)P是矩形/BCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且

【答案】4亞

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱解決線段和最小的問題，過點(diǎn)P作〃/3,交于點(diǎn)

交2c于點(diǎn)N,根據(jù)$^^=25^8，得到4加=2地＞,點(diǎn)尸是線段上W上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)C關(guān)于血W的

對(duì)稱點(diǎn)C',連接則尸C+PD的最小值為C7）的長(zhǎng)，勾股定理求解即可.

【詳解】解：過點(diǎn)P作跖V〃48,交4。于點(diǎn)交2C于點(diǎn)N,

,矩形/BCD,AB=4,BC=6,

.-.CD=AB=4,AD=BC=6,AB\\CD,AD\\BC,ZABC=/BCD=90°,

：.MN//AB//CD,

四邊形ABNM,CDMN均為矩形，

SB=~AB-BN,S.PCD=-CDCN,

△1尸MAb2>△2

..c7v

,2dPAB一=4&PCD，

27

BN=2CN,

.-.CN=-BC=2,

3

作點(diǎn)C關(guān)于MV的對(duì)稱點(diǎn)C',連接C'D,C'P,貝！J：CC=2CN=4,PC+PD=PC+PD>CD,

在RtACCi）中，C'D=4CC2+CD2=472，

.?.PC+P。的最小值為4亞.

故答案為：4拒

易錯(cuò)題型五菱形中的最值問題

例題：（23-24八年級(jí)下?重慶沙坪壩?期中）如圖，菱形48CD的周長(zhǎng)為8,NZMC=30。，E是48的中點(diǎn)，P

是對(duì)角線/C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則尸E+P3的最小值是.

【答案】V3

【分析】此題考查軸對(duì)稱確定最短路線問題，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)

連接8。，DE,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，△4BD是等邊三角形，再證明A4D尸也可得PZ）=尸2,從

而得到尸E+PB的最小值為DE的長(zhǎng)，再由￡是的中點(diǎn)，可得DE，4B,/E=；4B=1,然后根據(jù)勾股定

理可得即可求解.

【詳解】解：如圖，連接助，DE,

???四邊形A8CD是菱形，周長(zhǎng)為8,ZDAC=30°,

；.NDAB=2NDAC=60°,ZDAP=ZBAP,AB=AD=2,

.?.△/即是等邊三角形，

在AADP和“BP中，

AP=AP,ZDAP=ZBAP,AB=AD,

28

AADP知ABP，

PD=PB,

PE+PB=PE+PD>DE,

^PE+PB的最小值為DE的長(zhǎng)，

???￡是48的中點(diǎn)，

.-.DE±AB,AE=^AB=1,

???DE=ylAD2-AE-=V3，

即PE+P5的最小值為6.

故答案為：出.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024九年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在菱形/BCD中，E,尸分別是邊8,8c上的動(dòng)點(diǎn)，連接

AE,EF,G,H分別為NE,E尸的中點(diǎn)，連接G".若/8=45。，8c=26,則G”的最小值是一

【答案】逅

2

【分析】連接/尸，利用三角形中位線定理，可知當(dāng)//」3C時(shí)，4尸最小，求出//最小值

即可求出.

【詳解】解：連接2尸，如圖,

???四邊形