湖北省武漢市經(jīng)開區(qū)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案）

湖北省武漢市經(jīng)開區(qū)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

姓名：班級：考號：

題號——總分

評分

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.式子用V在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則X的取值范圍是（）

A.%>3B.%>3C.%<3D.%<3

2.下列運算正確的是（)

A.V2+V3=V5B.V3xV5=VT5C.V24+V6=4D.3V3-V3=3

3.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.1,2,3B.3,4,5C.1

OD.V3,V4,V5

4.如圖，=ABCD中，ZB+ZD=1OO°,則NA=()

C.100°D.130°

5.如圖，在長方形ABC。中，點E是CD上一點，連接ZE,沿直線4E把△40E折疊，使點。恰好落在邊BC上

的點F處.若AB=8,CE=3,則折痕AE的長度為（）

A.5V3B.10C.5V5D.15

6.由矩形（非正方形）各內(nèi)角平分線所圍成的四邊形一定是（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

7.下列各命題中，原命題成立，而它逆命題不成立的是（）

A.平行四邊形的兩組對邊分別平行

B.矩形的對角線相等

C.四邊相等的四邊形是菱形

D.直角三角形中，斜邊的平方等于兩直角邊的平方和

8.我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做“中點四邊形”.若一個四邊形ABC。的“中點四

1

邊形”是一個菱形，則四邊形ABCD一定滿足（)

A.是菱形B.對角線相等

C.對角線垂直D.對角線互相平分

9.如圖，在矩形ABCD中，對角線力C、BD相交于點。，乙BDC=2乙ADB,AE平分NBAD交BC邊于點E,點

產(chǎn)是AE的中點，連接OF,AB=1,貝UFO的長度為（）

A.孚B.JC.V3-1D.

10.如圖，四邊形ABC。中，AC,8。是對角線，AABC是等邊三角形，ZA￡）C=30°,AD=4,BD=6,則

CO的長為（）

A.3V2B.4C.2V5D.2713

二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）

1LJ（-4猿=----------

12.計算：V18-V32+2V2.

13.^ABC^,AB=4V5,4C=5,高AD=4,則底邊BC的長是.

14.如圖一只螞蟻從長為4cm,寬為3cm,高為2cm的長方體紙箱A點沿紙箱爬到3點，那么它爬行的最短

路線的長是cm

15.如圖，在正方形ABCD中，AB=4,點。是對角線AC的中點，點。是線段QA上的動點（點Q不與點

O,A重合），連結(jié)BQ,并延長交邊4。于點E,過點。作FQ1BQ交CD于點尸，分別連結(jié)BF與EF,BF交對角

線47于點G,過點C作CH||QF交BE于點H,連結(jié)以下四個結(jié)論：①BQ=QF；②ADEF周長為8；

③乙BQG=LBEF,④線段AH的最小值為2有-2.其中正確的結(jié)論是.（填序號）

2

AED

F

r

16.如圖，在矩形ABC。中，AB=6,4。=10,E為CD的中點，若P、Q為BC邊上的兩個動點，且PQ=2,則

線段4P+QE的最小值為.

三、解答題(共8小題，共72分)

17.計算：

(1)(V20+V18)-(V8-V125)⑵鬧—6悠+2%.

18.已知％=竺也/=與1求下面各代數(shù)式的值:

(1)x2+3xy+y2

19.如圖，在團ZBCD中，BD是它的一條對角線，過2、C兩點分別作力E1BD,CFlBDfE.F為垂足.

求證:

3

(1)DE=BF.

(2)四邊形ZFCE是平行四邊形.

20.已知：如圖，在△ABC中，AB=13,AC=20,BC=21,AD±BC,垂足為點D.

(1)求BD、CD的長;

(2)求△ABC的面積.

21.如圖，在團ABCD中，AE1BC于點E,延長3c至尸點使CF=BE,連接AF,DE,DF.

(1)求證：四邊形AMD是矩形;

(2)若48=6,DE=8,BF=10,求AE的長.

22.如圖是由小正方形組成的8X7網(wǎng)格，每個邊長為1的小正方形的頂點叫做格點.正方形ABCD四個頂點

都是格點.點E的坐標為(3,3).僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程線用虛線，結(jié)果線用

實線表不.

圖1圖2

(1)在圖1中,以4E為邊畫I2AECF；

(2)在圖1中，在CF上畫點使得BM=DP；

(3)在圖2中，在BC上畫點G,使得ZEAG=45。

(4)直接寫出GE與x軸交點的橫坐標；

23.在菱形ABC。和菱形BEFG中，AABC=^EBG=60°,XB=6,BE=2.

(1)如圖1,若點E、G分別在邊AB、BC上，點尸在菱形/BCD內(nèi)部，連接DF,直接寫出DF的長度

為;

(2)如圖2,把菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)戊。(0<a<360),連接CG,判斷DF與CG的數(shù)量關(guān)系,

并給出證明；

5

(3)如圖3,①把菱形BEFG繼續(xù)繞點3順時針旋轉(zhuǎn)，連接GD,。為DG的中點，連接C。、E0,試探究C。

與E0的關(guān)系；②直接寫出菱形BEFG繞B點旋轉(zhuǎn)過程中CO的取值范圍.

24.在平面直角坐標系中，四邊形O4CE為矩形，A(m,O),E(O,n),連接AE.

(1)如圖1,4B平分NC4。交y軸與點3,交CE于點。，直接寫出點B、C、。的坐標：

B(,)C(,)D(,)；

(2)如圖1,在(1)的條件下，口為BD的中點，求乙4EC+ZB0F的值，并直接寫出算的值；

(3)如圖2,點M從。點出發(fā)沿射線。E運動，點N從A點出發(fā)沿A。運動，P、Q分別為EN、AM的中

點，若M、N兩點以相同的速度同時出發(fā)運動，當m=4,n=2時，直接寫出當EN+4M有最小值時PQ的長

度.

6

答案解析部分

L【答案】D

【解析】【解答】解：：式子用不在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

3-%之0,

解得，x<3.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件是被開方數(shù)非負，列出不等式，求解即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：A、或與苗不是同類二次根式，不能合并，故錯誤；

B、V3xV5=V15,故正確；

C、V24V6-V4=2?故錯誤；

D、3V3-V3=2百，故錯誤.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)同類二次根式的概念可判斷A；根據(jù)二次根式的乘除法法則可判斷B、C；根據(jù)二次根式的減法

法則可判斷D.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：A、因為仔+22=5H32=9,所以這組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意；

B、因為32+42=25=52,所以這組數(shù)是勾股數(shù)，符合題意；

C、上人不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；

6o10

D、V3,V4,愿不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意.

故答案為：B.

【分析】如果三個正整數(shù)滿足較小兩個的平方和等于最大數(shù)據(jù)的平方，則這組正整數(shù)就是一組勾股數(shù)，根據(jù)

勾股數(shù)的定義逐項分析即可.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

AZB=ZD,

VZB+ZD=100°,

.\ZB=ZD=50°,

AZA=180°-ZB=130°.

故答案為：D.

【分析】平行四邊形對角相等，鄰角互補，據(jù)此解答即可.

7

5.【答案】C

【解析】【解答】解：由折疊可得DE=EF,AAFE=ZD=90°,

在長方形ABCD中，CD^AB8,AD=BC,

???CE=3,

DE=EF=DC—CE=8—3=5,

.?.在Rt△CEF中，由勾股定理得FC=7EF2-CE2=V52-32=4,

設(shè)AD=x,貝!JBF=久一4,

.?.在RtAABF中，由勾股定理得比2=82+(X-4)2,

解得久=10,

:.AD=10,

.??在Rt△ADE中，由勾股定理得AE=<AD2+DE2=V102+52=5而，

故答案為：C.

【分析】根據(jù)CE=3求出DE=EF=5,利用勾股定理求出FC,設(shè)力0=久，貝！JBF=x—4,然后在Rt△ABF

中，利用勾股定理求出40=10,再在RtZiADE中利用勾股定理計算即可.

6.【答案】D

.\ZABE=ZBAF=45°.

AZl=Z2=90°.

同理可得NGMO=NMON=ZONG=90°,

四邊形GMON為矩形.

VAF.BE、DK、CJ為矩形ABCD四角的平分線,

.".△DOC,AAMD,ABNC是等腰直角，

AOD=OC

VAD=BC.

.*.△AMD^ABNC,

；.NC=DM,

.\NC-OC=DM-OD,

8

即OM=ON,

矩形GMON為正方形，

故答案為：D.

【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)求出NGMO=NMON=NONG=90。，可得四邊形GMON為矩形，然后證明ADOC,

△AMD,△BNC是等腰直角三角形，求出OM=ON,可得矩形GMON為正方形.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：A、平行四邊形的兩組對邊分別平行，成立，逆命題為兩組對邊分別平行的四邊形是平

行四邊形，符合題意，不符合題意；

B、矩形的對角線相等，成立，逆命題為對角線相等的四邊形是矩形，不成立，符合題意；

C、四邊相等的四邊形是菱形，成立，逆命題為菱形的四條邊相等，成立，不符合題意；

D、直角三角形中，斜邊的平方等于兩直角邊的平方和，成立，逆命題為兩邊的平方和等于第三邊的平方的三

角形為直角三角形，成立，不符合題意；

故答案為：B.

【分析】根據(jù)命題的定義對每個選項一一判斷即可。

8.【答案】B

【解析】【解答】解：如圖，四邊形ABCD的中點四邊形EFMN是菱形，

；.EN=EF,

二?點E,F,M,N分別為的中點，

AEF是^ACD的中位線，EN是4ABD的中位線，

11

.'.EF=^AC,EN=^BD,

.?.AC=BD,即四邊形ABCD一定滿足對角線相等，

故答案為：B.

【分析】如圖，四邊形ABCD的中點四邊形EFMN是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得EN=EF,然后由三角形中位

線定理可得EF=*C,EN=&BD,進而可證AC=BD,即四邊形ABCD一定滿足對角線相等.

9.【答案】D

【解析】【解答】解：?四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點O,AB=1,

11

：.^BAD=Z.ADC=/.ABC=90°,0A=0C=^AC,OB=OD=^BD,=BD,CD=AB=1,AD||

9

BC,

：.OA=0C=OD,

U：^BDC+^LADB=90°,且乙BDC=24ADB,

：.2^ADB+/LADB=90°,

：.^ADB=30°,

:.乙ODC=^ADC-^ADB=60°,

???△OCD是等邊三角形，

AOA=OC=CD=1,

：.AC=2OC=2,

ABC=yjAC2-AB2=V22-l2=信

???力E平分/BAD交3c邊于點E,

A^BAE=^DAE=^BAD=45%

A^BEA=4B4E=45。，

：.BE=AB=1,

：?EC=BC-BE=聲一1,

??,點尸是ZE的中點，點。是AC的中點，

..F0=-EC=^-

故答案為：D.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到ZBAD=^ADC=乙ABC=90°,OA=OC=^AC,OB=OD=^BD,且ZC=

BD,CD=AB=1,AD||BC,證明△OCD是等邊三角形，貝iJOZ=OC=CD=L得到AC=20C=2,用勾

股定理算出BC,判斷出△ABE是等腰直角三角形，則BE=AB=1,由線段的和差算出CE的長，最后由中

位線定理即可得到答案.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：如圖所示，將小BCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACE,連結(jié)DE,

E

10

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知DC=EC,ZDCE=ZACB=60°,BD=AE=6,

則ADCE為等邊三角形，

VZADC=30°,

AZADE=90°,

.".AD2+DE2=AE2,

.,.42+DE2=62,

.\DE=CD=2V5,

故答案為：C.

【分析】將△BCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACE,連結(jié)DE,則ADCE為等邊三角形，AADE為直角三

角形，進而求出DE的長即可.

n.【答案】4

【解析】【解答】解：|(-4)2=|-4|=4.

故答案為：4.

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)=㈤”可得答案.

12.【答案】V2

【解析】【解答】解：V18-V32+2V2

=3V2-4V2+2V2

=V2?

故答案為：V2.

【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)將各個二次根式的性質(zhì)化為最簡二次根式，再合并同類二次根式即可.

13.【答案】11或5

【解析】【解答】解：分兩種情況討論：

①如圖1所示，此時三角形為銳角三角形，

在RtAABD中，由勾股定理可知BD=7AB2一A￡)2=J(4V5)2-42=8?

在Rt△ACD中，由勾股定理可知CD=y/AC2-AD2=V52-42=3，

此時BCBD+CD=11；

11

②如圖2所示，此時三角形為鈍角三角形,

在Rt△ABD中，由勾股定理可知BZ)=7AB2-=J(4V5)^-4^=8，

在RtAZCD中，由勾股定理可知CO=yjAC2-AD2=回一在=3,

此時BC=BD—CD=5；

綜上所述，底邊BC的長是11或5.

故答案為：11或5.

【分析】分兩種情況討論：①如圖1所示，此時三角形為銳角三角形，在RtAABD中，由勾股定理算出

BD,再在RtAACD中，由勾股定理算出CD,進而根據(jù)BC=BD+CD計算即可；②如圖2所示，此時三角形

為鈍角三角形，在RtZkABD中，由勾股定理算出BD,再在R3ACD中，由勾股定理算出CD,進而根據(jù)

BC=BD-CD計算即可，綜上即可得出答案.

14.【答案】V41

【解析】【解答】解：當如圖1所示時，

AB=7(3+4)2+22=V53(cm),

當如圖2所示時,

圖2

AB=7(2+3)2+42=V41(cm),

當如圖3所示時,

12

AB=J(2+針+32=V45(cm),

VV41<V45<V53，

J它所行走的最短路徑的長是V5Icm.

故答案為：V41.

【分析】先分三種情況將圖形展開，再根據(jù)兩點之間線段最短，分別利用勾股定理計算，再比較大小即可.

15.【答案】①②④

【解析】【解答】解：???BQ_LFQ,

;?乙FQB=乙BCD=90°,

?,?點8,點G點尸，點。四點共圓，

:.乙QFB=乙QCB=45°,乙QBF=乙QCF=45°,

?"QBF=乙QFB,

:?BQ=FQ,故①正確；

如圖，延長D4至N使4V=CF,連接3N,

BC

VCF=AN/BAN=乙BCF=90。,力B=BC,

：.△ABN=△CBFQSAS),

：.BF=BN/ABN=乙CBF,

??"QBF=45°,

：.^ABE+A.CBF=45°f

9：^ABE+^ABN=45°,

乙EBN=乙EBF=45°,

又?：BE=BE,BF=BN,

：.△BEF皂△BEN(SAS),

：.EF=EN,

：.△DET的周長=DE+DF+EF=DE+DF+EN=DE+DF+AE+CF=AD+CD=8,故②正確;

?:CH||FQ,

：.^BHC=乙BQF=90°,

?,?點”在以3。為邊的圓上運動,

13

如圖，以BC為直徑作圓，取3c的中點P,連接4P,PH,

：.BP=2=HP,

--AP=7AB2+BP2=V16+4=2遍，

在AAHP中，AH>AP-HP,

當點”在AP上時，A”有最小值為2曲-2,故④正確;

如圖，連接EG,

.?.點A,點瓦點產(chǎn)，點E四點共圓，

Z.BAC=乙BEG=45°,

"BEG=AEBF=45°,乙EGB=90°,

：.EG=BG,

'-BE=同G,

■:乙BEG=乙BFQ=45°,

.?.點E,點產(chǎn)，點G,點。四點共圓，

，乙BQG=ABFE,乙BGQ=ABEF,故③不正確.

故答案為：①②④.

【分析】通過證明點3，點C,點冗點Q四點共圓，可得“FB="CB=45。，“BF="CF=45。，可

證BQ=FQ,故①正確；由‘S4S”可證AABN三△CBF,ABEF^ABEN,可得EF=EN,由線段的和差關(guān)系

可得ADEF的周長為8,故②正確；由題意可得點”在以BC為邊的圓上運動，則當點”在AP上時，4”有最

小值為2%-2,故④正確；通過證明點E,點尸，點G,點。四點共圓，可判斷③.

14

16.【答案】V145

【解析】【解答】解：在40上截取線段ZF=PQ=2,作尸點關(guān)于BC的對稱點G,連接EG與BC交于一點即為

。點，連接FQ，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H

點.

AF=PQ=2,AF||PQ,

???四邊形APQF是平行四邊形,

YE為CD邊的中點，

11

:.DE=EC=^CD=^AB=3,

■■■/點與點G關(guān)于BC對稱，

BC垂直平分FG,

1

CH=^GF=AB=6,

：.GH=DF=AD-AF=10-2=8,EH=EC+CH=3+6=9,ZH=90°,

-,-EG=y/EH2+GH2=V145-

???線段ZP+QE的最小值為VUK，

故答案為：V145.

【分析】在4。上截取線段AF=PQ=2,作P點關(guān)于BC的對稱點G,連接EG與BC交于一點即為。點，過A

點作FQ的平行線交BC于一點，即為尸點，則此時4P+EQ=EG最小，據(jù)此求解即可.

17.【答案】（1）解：原式=（2逐+3/）一（2四一5遍）

=2V5+3V2-2V2+5V5

=7v5+V2;

（2）解：原式=2岳一6X平+2%里

372V%

,—72%72%

=2V2%-6X—彳—I-2%------

6x

—2A/2X—V2x+2A/2X

15

—3V2x-

【解析】【分析】(1)先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡二次根式，再去括號，合并同類二次根式即可；

(2)先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡二次根式，計算乘法，再合并同類二次根式即可.

18.【答案】(1)解：...久=^￥，y=與西,

.??%+y=V7;xy=1.

???x2+3xy+y2

=(%+y)2+xy

=(V7)2+1

=8；

(2)解：

_x2+y2

xy

2

_(x+y)-2xy

一xy

_(⑺2-2X1

=1

=5.

【解析】【分析】(1)首先根據(jù)二次根式的加減法法則及乘法法則得到％+y=V7,xy=1,然后將/+3%y+

步利用完全平方公式變形代入求解即可；

(2)將*+(通分，然后利用完全平方公式變形，最后代入求解即可.

y人

19.【答案】(1)證明：???四邊形力BCD是平行四邊形，

???AD||BC,AD=BC,

???Z.ADE=Z-CBF,

vAE1BD,CF1BD,

??.匕AED=4CFB=90°,

AED=△CFB(AAS)f

???DE=BF.

(2)W：VAAED=ACFB,

???AE=CF,

???^AEF=乙CFE=90°,

???AE||CF,

16

???四邊形AFCE是平行四邊形.

【解析】【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD〃:BC,AD=BC,從而可用AAS證明△4E0三△CFB,即

可得出結(jié)論；

(2)由AZEO三ACFB,得到4E=CF,由乙4EF=NCFE=90。，推出4E||CF,即可由一組對邊平行且相等

的四邊形是平行四邊形證明結(jié)論.

20.【答案】(1)解：設(shè)BD=x,貝UCD=21-x,

VADXBC,

AZADB=ZADC=90°,

在RtAABD中，由勾股定理，得AD2=AB2-BD2,

.\AD2=132-x2,

在RtAACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-CD2,

.\AD2=202-(21-x)2,

132-x2=202-(21-x)2,

解得x=5,即BD=5,

.,.CD=21-x=21-5=16；

(2)解：在R3ABD中，

由勾股定理，得AD=〃B2-B￡)2=12,

SAABC=|BC?AD=1X21X12=126.

【解析】【分析】(1)設(shè)BD=x,則CD=21-x,在RtAABD中，由勾股定理，得AD2=132-x2.在RtAACD

中，由勾股定理，得AD2=202-(21-x)2,依此列出方程求出x,進一步得到CD的長；

(2)在RtAABD中，由勾股定理，得AD的長，再根據(jù)三角形面積公式即可求解.

21.【答案】(1)證明：?.?CF=BE,

；.CF+EC=BE+EC.

即EF=BC.

：口ABCD中，AD〃BC且AD=BC,

；.AD〃EF且AD=EF.

四邊形AEFD是平行四邊形.

VAEXBC,

ZAEF=90°.

二四邊形AEFD是矩形；

(2)解：：四邊形AEFD是矩形,DE=8,

；.AF=DE=8.

17

VAB=6,BF=10,

???AB2+AF2=62+82=100=BF2.

???ZBAF=90°.

VAEXBF,

.'.△ABF的面積年AB?AF=；BF?AE.

,/<T:_AB^AF6X824

【解析】【分析】(1)先根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等得AD〃:BC且AD=BC,進而根據(jù)一組對邊平行且

相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AEFD是平行四邊形，再證明NAEF=90。，根據(jù)有一個內(nèi)角為90。的平

行四邊形是矩形即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)矩形的對角線相等得AF=DE=8,從而利用勾股定理的逆定理證明△ABF是直角三角形，由三角形

的面積即可得出AE的長.

22.【答案】(1)解：如圖，回4ECF為所求；

(2)解：連接EF,取格點H,使得HF=HE,連接PH并延長交CF于點M,連接BM,DP,

PE||FM,AE=CF,

APEH=AMFH,

■：HF=HE/PHE=乙FHM,

■■.APEH三△MFH(ASZ),

FM=PE,

???AB||CD,

18

???乙DEF=Z.BFE,

???"EH=乙MFH,

???Z-AED=Z-CFB,

DE=BF,

.*.△PED三△MFB(SAS),

???BM=DP,

如圖，點M為所求；

(3)解：如圖，點G為所求;

【解析】【解答］(1)解：如圖，目力ECR為所求；

(2)解：連接EF,取格點使得HF=HE,連接PH并延長交CF于點連接

???四邊形4ECF是平行四邊形，

???PE||FM,AE=CF,

???乙PEH=乙MFH,

???HF=HE/PHE=乙FHM,

PEH=△MFH^ASA),

???FM=PE,

???AB||CD,

???乙DEF=乙BFE,

???乙PEH=乙MFH,

???Z-AED=Z-CFB,

???DE=BF,

.-.APED三△MFB(SZS),

??.BM=DP,

如圖，點〃為所求；

19

(4)解：如圖，在(3)的基礎(chǔ)上，連接GE,則Q(—4,—2),E(3,3),力(一3,4),

設(shè)直線4G的解析式為y=kx+b,

???點。為QE的中點，

.—4+3_1-2+3_1

''^~=~2f^~=29

1I

???0(-2，力

得6=-%+b

將點。，點A的坐標代入y=kx+b,

(4=-3k+b

Z7

—k-

J--5

解得I1

b-

V--5

?,?直線力G的解析式為y=-耳％—百，

令y=-2,則_<%一卷=—2,

解得：%=3,

9

:，G(y-2),

設(shè)直線GE的解析式為y=krx+br,

，9ir

將Ga—2),以3,3)代入、=人久+〃，得：-2=#+",

3=3k+b

r=35

解得：,一%,

(b=-T

???直線GE的解析式為y=—竽，

令y=o,則碧%一孕=o,

1Z4

解得：x=果，

故答案為：果.

【分析】(1)由格點的特點，在AB上取格點憶使得CE=力凡CEIIZF,即回力ECF為所求;

20

(2)連接EF,由格點的性質(zhì)，取格點H,使得HF=HE,即點”為國AECF對角線的交點，連接PH并延長交

CF于點M,連接BM,DP,用ASA證明△PEHdMFH,得到FM=PE,再用SAS證明△PEDdMFB,得

到BM=DP,即點M為所求；

(3)由格點的性質(zhì)，取格點Q,使得4Q=4瓦NQZE=90。，即△QE4是等腰直角三角形，連接QE,利用格

點的性質(zhì)，取格點R,連接QR,ER,QC,RC,RC交QE于點、O,由矩形的性質(zhì)得到點。為QE的中點，連接4。并

延長交BC于點G,得到NE4G=45。，即點G為所求；

(4)在(3)的基礎(chǔ)上，連接GE,直線4G的解析式為y=-3久-:，再求出點G的坐標，再求出直線GE的解

析式為y=II久一竽，令y=0,求出x的值即可.

23.【答案】⑴4V3

(2)解：FD=V3CG,證明如下：

過點。作DMIIFG,過點G作GMIIDF,過點(：作?？桑琈G,

則：四邊形DMGF為平行四邊形，

：.DF=MG,DM=GF,

?.?菱形ZBC。，菱形EBGF,AABC=/.EBG=60°,

：.AD||BC,BE||GF,"DB=^ABC=乙EBG=60°,CD=BC,BG=GF=DM

：.BE||DM,Z1=Z2,/.DCB=180°-AADC=120°,

."3=乙DMN,

Vzl=^ADM+Z.DMN,Z2=Z3+乙CBE

：.^ADM=乙CBE,

J.^CDA+AADM=^CBE+^EBG,即：4CDM=ACBG,

XVCD=BC,BG=DM,

*??△CDMCBG,

ACM=CG/DCM=乙BCG,

；?匕MCG=乙BCG+乙BCM=乙DCM+乙BCM=乙DCB=120°,

?"CMG=乙CGM=1(180。-120°)=30%

21

VCN1MG,

DF=MG=2NG,CN=^CG,

?**NG=VCG2-CN2=”CG，

：.DF=V3CG;

(3)解：①延長C。至點“，使0C=。"，連接AC,AH,HE,HG,延長BA,交CH于點Q,

:?。是DG的中點，

：.0D=OG,

又,：乙DOC=NHOG,

*??△DOC=△GOHf

：.GH=CD,乙OCD=COHG,

：.CD||HG,

???菱形ABC。，

：.AB||CD,AD||BC,AB=BC=CD=DA,Z.ADC=/.ABC=60°,

：.AB||HG,GH=CD=AB,△ABC為等邊三角形，

???四邊形力HGB為平行四邊形，乙BAC=乙ACB=60°,AC=AB=BC,

乙

：.AH||BGtAH=BG,Z-CAQ=180°-CAB=120°,

：ZHAQ=^ABG,

?；BG=BE,

：.AH=BE,

?"BE=乙ABC+匕ABG+(EBG=120°+4ABG,乙HAC=匕HAQ+/.CAQ=4HAQ+120°,

:.乙CBE=4HAC,

又「力"=BE,AC=BC,

22

??△HA.C=△EBC9

：.CH=CE,乙HCA=^ECB,

，乙HCE=乙HCA+Z-ACE=乙BCE+LACE=LACB=60°,

.?.△CHE為等邊三角形，

?：OC=OH,ZHEC=60。，

：.OE1OC,ACEO=30°,

.'.oc=專CE,

：.OE=V3OC;

@2<OC<4.

【解析】【解答】(1)解：連接力C,EG,BF,DB,AC,BD交于點0,EG,BF交于點、H,

?菱形ABC。，菱形E8GF,

11

."ABD=乙CBF=^ABC=30°,￡,EBF=(GBF="EBG=30°,AC1BD,EG1BFfBD=2OB,BF

2HB,

???點E、G分另I在邊力B、BC±,

:ZABD=^ABF=30°,

???B,凡。三點共線，

■:BE=2/EBF=30°,

i

.'.HE=^BE=1,BH=,HE=W，

'.BF=2BH=2遮，

同理：BD=2OB=243OA=2X畤AB=6g，

：-DF=BD-BF=4V3;

故答案為：4V

(3)@'：BC=AB=6,BE=2,

：.BC-BE<CE<BC+BE,即：4<CF<8,

'：OC==CE,

23

A2<0C<4.

【分析】（1）連接4C,EG,BF,DB,AC,交于點。，EG,BF交于點H,根據(jù)菱形的性質(zhì)，證明B,F,0三點共

線，求出BD,BF的長，用BD—BF即可求出DF的長度；

（2）過點。作。MilFG,過點G作GMIIDF,過點C作CN1MG,得到四邊形。MGF為平行四邊形，證明△

CDM=△CBG,得至UCM=CG/DCM=乙BCG,進而求出ZMCG=乙BCG+乙BCM=乙DCM+Z.BCM=

ZDCB=120%利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；

（3）①延長C。至點“，使。C=OH,連接aC,AH,HE,HG,延長BA,交CH于點Q,先證明△DOC三△GOH,

推出四邊形ZHGB為平行四邊形，再證明△/MC三AEBC,推出△CHE為等邊三角形，利用等邊三角形的