河南省南陽市某校2025屆高三第二次調研考試數(shù)學試卷（解析版）

南陽市完全學校高三年級第二次調研考試

數(shù)學學科試題卷

考試日期：2025年2月14日

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

z=1+，eR)|_|_

1.已知復數(shù)2+1是純虛數(shù)，則口—()

155

A.—B.1C.—D.一

262

【答案】B

【解析】

【分析】利用復數(shù)的運算性質化簡，再利用純虛數(shù)建立方程求解即可.

1+ai(l+ai)(2+i)2—a2a+l.

【詳解】易知iw+一j故”三11r亍+丁1,

若Z是純虛數(shù)，則二=0,解得a=2,故2=口顯然目=1,故B正確.

故選：B

2.已知集合A=卜|—14尤<3},3={—/,/},若則實數(shù)f的取值范圍是()

A.[-1,0]B,[0,1]C.[-l,0)L(0,l]D.[-2,0)U(0,2]

【答案】c

【解析】

【分析】根據集合的包含關系列不等式，解不等式可得結論.

-l<r<3

【詳解】由得1WTW3,

tw-t

解得-IW/Wl且7片0,

故實數(shù)/的取值范圍是[―l,o)u(o/].

故選：C.

3.函數(shù)/(x)=[x-：]cos7U：的部分圖象大致為()

【答案】A

【解析】

【分析】先根據奇函數(shù)判斷排除B,C,在內選擇特殊值得/(01)<0排除D.

【詳解】函數(shù)“X)是定義域為(—8,0)U(0,+。)

函數(shù)"-x)=-f(x),/(x)是奇函數(shù),所以排除B,C,

又函數(shù)/(%)在原點附近的零點為g和1，可取大于。且接近于。的一個數(shù)，

如0.1,得〃0.1)=(0.1—10)cos(0.E)<0,所以排除D.

故選：A.

4.關于函數(shù)/(x)=2c°"+(g)c。"，下列結論錯誤的是()

A.函數(shù)/(%)的圖象關于y軸對稱B.函數(shù)/(%)的圖象關于直線x=］對稱

C.函數(shù)“X)的最小正周期為2兀D.函數(shù)〃尤)的最小值為2

【答案】C

【解析】

【分析】對A,利用偶函數(shù)定義判斷；對B,利用函數(shù)對稱性的定義判斷；對C,根據周期函數(shù)的定義判

斷；對D,令t=>*G1,2,則/(/)=/+；,利用基本不等式求出最小值.

【詳解】對于A,/(九)的定義域為R,

Z1XCOS(-x)Z1Xcosx

因為/(—X)=2C°S(T)+；=2C0SX+|=/(x),

所以/(九)是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)/(x)的圖象關于y軸對稱，故A正確;

對于B,對于任意的尤wR,

ZxCOS(K-X)Zx-cosxZxcosX

1CS11

/(兀一X)=23(nT)+；=2-°+28=/3,

所以函數(shù)/(X)的圖象關于直線x=T對稱，故B正確;

ZX-cosxZxcosx

對于C,因為/■(兀+X)=2g(n+x)+[gj+口1=(11J+2/㈤，

所以兀為函數(shù)的一個周期，故2兀不是函數(shù)/(%)的最小正周期，故C錯誤;

對于D,因為—IWCOSXWI,設/=2皿￡1,2

2

則/?")=￡+1，因為/+,當且僅當/=1，即/=1時等號成立，

ttt

所以函數(shù)f(x)的最小值為2,故D正確.

故選：C.

5.已知a>0,b>-l,>ln(Z?+l)=-ln(a+l),則。+29+1)的最小值為()

A.1B.2C.272-1D.2立+1

【答案】C

【解析】

【分析】根據對數(shù)的運算性質可得(。+1)(〃+1)=1,進而根據基本不等式求解最值.

【詳解】由ln(b+l)=—ln(a+l),可得ln[(a+l)伍+1)]=0,故(a+1)僅+1)=1,

^a+2(b+l}=a+-^—=a+l+—--1>+-1=2A/2-1,

')a+1a+1Va+1

當且僅當。=a—1，6=日一1時取等號，故。+2僅+1)最小值為20—

故選:C.

6.甲、乙兩名同學參加了班級組織的數(shù)學知識有獎競答活動，二人從各自的10道題中(這20道題均不相

同）各自獨立地隨機抽取2道題現(xiàn)場回答，已知在每人的10道題中，均有5道是代數(shù)題，5道是幾何題，

則甲、乙兩名同學抽取的4道題目中有且僅有2道代數(shù)題的概率為（）

251113

A.—B.-C.—D.一

812274

【答案】C

【解析】

【分析】根據組合數(shù)分別計算求解總的抽法和有且僅有2道代數(shù)題的抽法，再應用古典概型計算即可.

【詳解】甲、乙二人從各自的10道題中各自獨立地隨機抽取2道題，不同的抽法共有C：OC：O=45X45

（種），

其中有且僅有2道代數(shù)題的抽法共有C；C；?C；C；+2C|C|=25x33（種），

所以甲、乙兩名同學抽取的4道題目中有且僅有2道代數(shù)題的概率為上」=—.

45x4527

故選：C.

7.某農村合作社引進先進技術提升某農產品的深加工技術，以此達到10年內每年此農產品的銷售額（單

位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2024年）該公司該產品的銷售額為100萬元，則按

照計劃該公司從2024年到2033年該產品的銷售總額約為（）（參考數(shù)據：13°它13.79）

A.3937萬元B.3837萬元C.3737萬元D.3637萬元

【答案】A

【解析】

【分析】設該公司在2024年，2025年，…，2033年的銷售額（單位：萬元）分別為q,4,?,即），進而可

得%+1=1.3%—3（〃=1,2,,9）,根據配湊法、分組求和法求得正確答案.

【詳解】設該公司在2024年，2025年，…，2033年的銷售額（單位：萬元）分別為4,%,、。皿

依題意可得4+1=1.3%-3（〃=1,2,,9）,則q+i-10=1.3（%一10）（九=1,2,,9）,

所以數(shù)列T0｝是首項為90,公比為1.3的等比數(shù)列，

則10=90xl.3"T,即=90xl.3,,-1+10.

n,90x（1-1.31°）

則4+4++4o=10x10+——-----------100+300x（13.79-1）=3937，

1—1.3

故從2024年到2033年該產品的銷售總額約為3937萬元.

故選：A.

【點睛】方法點睛：對于遞推公式為a“+i=44+〃，常常通過構造等比數(shù)列的方法求得通項公式.

8.已知函數(shù)/(x)=e*-ln(x+l)-l,g(x)=lnx-ar,對Vx,e(-l,+8),3x2G(0,+OO),使得

/(%)2g(%)成立.下列結論正確的是()

A.玉°?。，2)，使得/'(不)=。

B.函數(shù)y=/(x)的最大值為0

C.。的取值范圍為：，+"]

D.過(0,0)作y=/(x)切線，有且只有一條

【答案】D

【解析】

【分析】利用單調性說明/'(%)=。的解判斷A,由導數(shù)求最值判斷B,由mx2G(0,+8),使得

g(%)W/(X)1nm求解判斷C，設切點坐標為(毛,%),代入所過點坐標求與,引入新函數(shù)，由導數(shù)確定方

程只有一個解與,從而判斷D.

詳解】對于A,f'(x]=ex———,

因為y=e，在(―1,+8)上單調遞增,y=——匚在(—1,+8)上單調遞增，

所以/'(x)=e*——匚在(—1,+8)上單調遞增，

X+1

又廣⑼=e。-一—=0,

所以當0<x<2時,/,(%)>/,(0)=0,故A錯誤；

對于B,由A的分析可知，當—1<%<0時，/，(x)</,(0)=0,

當x>0時，/,(x)>/,(0)=0.

所以/(%)在(-1,0)上單調遞減，在(0,+巧上單調遞增，

所以/(%)在x=0處取得最小值：/(0)=e°-ln(0+l)-l=0,無最大值，故B錯誤；

對于C,由前面分析知/(x)1mli=0,

由題可知：3%2e(0,+“)，使得g(x2)<0.

對于函數(shù)g(x)=lnx—ar,x＞0,

當x90時，g(九)一—8,

故無論°取什么值，均3?0,+8),使得g(x)WO,

則a的取值范圍為R,故C錯誤；

對于D,不妨設切點(為,^—111(天+1)—1),/'(%)=■——\

(1)

切線方程為y-p-ln(x0+l)-l]=寸———

、X。+1,

]、

把(0,0)代入可得：0—(1。一In(5+1)-1)=(0-七)，

X。+1,

即:(%0_1)e聞+ln(x0+1)H-------=0.

%o+1

令丸(x)=(x-l)e*+ln(x+l)H——彳，%＞一1,

x1XX1

//(%)=xeH——彳-=xex+萬~“e+-------7

x+1)X+1)(x+l)-

X1C

因為e+;~~刀＞°對》＞—1恒成立,

(X+1)

所以當一1<無<0時，〃(x)<0,當x>0時，"(x)>0,

故h(x)在(-1,0)上單調遞減，在(0,+“)上單調遞增,

又可0)=0,

所以可力只有一個零點0,

1

即只有%=0時,(x0-1)e*+In(x0+1)+=0成立,

%+1

故過(0,0)作y=/(x)的切線，有且只有一條，故D正確.

故選：D.

【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化:

一般地，已知函數(shù)y=/(x),xe[a,5|,y=g(x),xc[c,d]

(1)若V不￡[〃,，|,Vx2e[c,d],總有/(入)<g(±)成立，故/⑴2(g^L；

⑵若“e[a,可，叫e[c,d],有/(%)<g(巧)成立,故/⑺皿<g(w)111ax；

⑶若叫e[a,可，叫e[c,d],有/(%)<g(w)成立,故/(%L1VgKL；

⑷若若“?[。,可，叫e[c,d],有/(%)=g(%)，則/(%)的值域是g(x)值域的子集.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題有多個選項符合題目要求，全部選

對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.互不相等的一組樣本數(shù)據為，％,七，%，七成等差數(shù)列，公差為2,則下列選項中正確的是()

A.x2,%3,x4,x5的平均數(shù)等于X1,x3,x5的平均數(shù)

B.%,%,%,x4,x5的上四分位數(shù)和下四分位數(shù)之差為2d

C.從西,々，為，匕，毛這5個數(shù)中任選3個數(shù)，這3個數(shù)成等差數(shù)列的概率為g

D.若石,%，%，％,的標準差為2,可得d=yf2

【答案】AC

【解析】

【分析】根據平均數(shù)、四分位數(shù)、等差數(shù)列性質以及方差等概念，通過對每個選項計算分析來判斷其正確

性.

【詳解】對應A選項，首先看:(玉+々+七+/+%)，根據等差數(shù)列下標性質知道

*+々+%+/+%)=35七=卬所以A選項正確.

對于B選項，當dNO時，這5個數(shù)按從小到大排列，上四分位數(shù)是乙，下四分位數(shù)是馬，此時上四分位

數(shù)和下四分位數(shù)之差為％-%=2d.

當d<0時，這5個數(shù)按從大到小排列，上四分位數(shù)是3，下四分位數(shù)是5，此時上四分位數(shù)和下四分位

數(shù)之差為％-%4=-2d,所以B選項錯誤.

?5!5x4x3!,八

對于C選項，從5個數(shù)中選3個數(shù)的組合數(shù)C—-=-=10種.

3!(5-3)!31x2x1

而%x2,x3,x4；x3,x4,x5；%,吃,％5這4組能構成等差數(shù)列，所以這3個數(shù)成等差數(shù)列的概率為

442

6？=布=《，C選項正確.

對于D選項，已知/中…SR”—+(及7+(%-￡聲，因為

xx=x3-2d,x2=x3-d,x4=x3-\-dfx5=x3+2d,代入可得

52=g(4屋+/+0+屋+412)=2屋.

又已知$2=4,即2d2=4,所以d=±J5,D選項錯誤.

故選：AC.

x2+4%一5x<1

10.已知函數(shù)y(x)=<2]+；>]，若X1<X2<X3，且/(石)=/(%2)=/(七)=帆，則()

A./(%)在(—2,2)上單調遞增

B.—2<m<21n2—1

C.若石+%=—4,則一9<相<0

D.若相<0,則%]+犬2+工3>-1

【答案】ACD

【解析】

【分析】分段函數(shù)，當XN1時由導函數(shù)得到函數(shù)單調性和極值，當％<1時是一個二次函數(shù)的一部分，由此

作出函數(shù)大致圖像，由函數(shù)圖像對各個選項進行判定即可.

92—x

【詳解】當XN1時，/(x)=21ax-%+l,則r(x)=——1=——，

由/'(X)=。可得x=2,則尤’/'(%)，"X)關系如下表所示：

X[L2)2(2,+8)

/'(X)+0—

單調遞極大值：單調遞

/(X)

增21n2—l減

〃1）=°，當％f+C0時,8.

當x<l時，/（X）=X2+4X-5=（X+2）2-9,其圖像是關于直線x=—2對稱且開口向上的二次函數(shù)圖

像的一部分，當x.1時，/（x）fO.

故可作出/（%）的大致圖像如圖所示.

選項A：結合圖像可知，〃龍）在（-2,2）上單調遞增，故A正確；

選項B：當/（石）=/（%2）=/（七）=，"時，一9<m<21n2—1,故B錯誤；

選項C：當%+%=-4時，—9<帆<0,故C正確；

選項D：當m<0時，%+々=-4,

因為/（3）=2山3—2>0，所以/>3，故石+%+為>一1，故D正確.

故選：ACD.

11.在平面直角坐標系xOy中，已知點〃（T,0）,N（4,0）,滿足1PMi-|PN|=16的動點尸的軌跡為曲線

Q.則下列結論正確的是（）

A,若點（。力）在曲線。上，則點（氏-。）和（一。,一5）也在曲線Q上

B.點尸的橫坐標的取值范圍是[—32,32]

C.曲線。上點的縱坐標的最大值為2

D.曲線。與圓C:（X—4）2+/=4只有一個公共點

【答案】AC

【解析】

【分析】設點的坐標結合兩點間距離公式再結合點在線上判斷A,化簡結合根式范圍判斷B,應用二次函數(shù)最

值判斷C,結合函數(shù)對稱性判斷公共點得出D.

【詳解】選項A：設P(羽y),由題意可知點P的軌跡方程為聞丁^^^4)2+/=16.

點(。,一萬)滿足+4/+(一、『?J(a—4)2+(一、『=J(a+4/+/?{(a-4)。+/=16，

點(一a,―/?)也滿足J(-a+4)2+(一1)2.J(_q_4y+(_/)-=-^(?+4)2+b2-^a-4-Y+b2=16，故A

正確.

選項B：將曲線。的方程小+盯+小小-盯+丁=16兩邊同時平方得

2

(r+y+16)~=64(4+4),

整理得/=8,%2+4—16=一(1)2+4一4『+4?0,解得+4e[2,61

所以4<_?+4<36，解得T0〈尤<4五，故B不正確.

選項C：由選項B知/=8五2+4—%2—16=—(J/+4—4『+4,故當〈丁+4=4,

即*=±24時，/取得最大值4,所以>的最大值為2,故C正確.

選項D：由(％—4『+y2=4,得y=4—(%—4『，代入產=8岸百—V一仄，化簡整理得4x=15,

解得x=E，

4

由選項A知曲線。關于X軸對稱，所以曲線a與圓C有兩個公共點，故D不正確.

故選：AC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設a+6收=(1+0『(其中。、beQ),則。=.

【答案】239

【解析】

【分析】利用二項展開式計算(1+行」的值，即可得出。的值.

7

【詳解】因為0+后)7=i+c>Vi+c；?(0J+c；?(后?++C;.(V2)

=239+169后=。+沙后，其中。、b0,

故a=239.

故答案為：239.

13.若直線/：丁=左（1—2）與雙曲線C：］-\-=1恰好有一個交點，則直線/的斜率為

【答案】土立或土屋

35

【解析】

【分析】聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，然后根據方程解得個數(shù)討論求解.

【詳解】將y=Hx—2）代入雙曲線方程三一$=i中得到：—_^（x_2r=1,

9797

展開整理得（7—9k2）x2+36k2x—36左？—63=0.

當7—942=0時，即左=土也時，方程變?yōu)橐淮畏匠?，此時直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線

3

恰好有一個交點.

當7—9左2Wo時方程（7—9左2）12+36左2%一36左2—63=0是二次方程，

若直線與雙曲線恰好有一個交點，則判別式A=（3642>一4（7—9左2）（—36/—63）=0,

展開得到：1296左4—0296/+1260左2—1764）=0.

0176449

進一步化簡為—1260左2+1764=0，則左=

126035

解得左=±廬=±二=土叵.

Y35A5

故答案為：土也或土舟.

35

14.已知平面四邊形A3CD中，AB=1,BC=2,CD=3,ZM=4，則該平面四邊形ABC。面積的

最大值為

【答案】2底

【解析】

【分析】先根據余弦定理可得6cos?！猚os3=5,進而表示出四邊形ABC。面積S=sin5+6sin。，進

而得至"2+52=37-12cos（B+D）,進而求解.

【詳解】連接AC，由余弦定理得,

AC2=AB2+BC2-2ABBCCOSB=AD2+DC2-2AD-DC-cosZ)，

BPI2+22-2xlx2xcosB=42+32-2x4x3xcos￡>，

即6cos。一cos5=5,

又四邊形ABCD的面積S=SABC+SADC——AB-BC-sinBH—AD-DC?sinD

=—xlx28111.8+—x4x3sinD=8111.8+68^D,

22

則S2+52=(sin3+6sinZ))~+(6cosZ)-cosB)-=37+12(sinBsinD-cosBcosZ))

=37-12cos(B+D),

即S?=12—12cos(5+￡>)W24,即5<2幾，

當且僅當5+。=兀時，等號成立，

所以平面四邊形ABCD面積的最大值為2指.

故答案為：2#).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.小明設計了一款虛擬電子射擊游戲，游戲規(guī)則如下：參與者手持一把彈槽數(shù)為5的左輪手槍來射擊目

標，在任意一個彈槽內裝填一顆子彈，然后隨機轉動左輪使其中一個彈槽對準槍口開槍射擊，規(guī)定：若該

彈槽有子彈則一定能擊中目標，若該彈槽為空槽則子彈射擊不出去，從而無法擊中目標.一次射擊結束后，

若未能擊中目標，則隨機在剩余的任意一個空彈槽內裝填一顆子彈，并隨機轉動左輪使其中一個彈槽對準

槍口重復射擊，直至擊中目標為止.已知轉動到任意槽位的概率均相等，且在所有彈槽內填滿子彈就一定能

擊中目標，記參與者擊中目標共需要射擊X次.

(1)求P(X=1)和P(X=2)的值；

(2)求X的所有可能取值;

(3)求X的分布列.

1Q

【答案】（1）P（X=1）=-,P（X=2）=—

（2）1,2,3,4,5

（3）分布列見解析

【解析】

【分析】（1）利用分步乘法計數(shù)原理求解概率即可.

（2）結合題意求出所有符合條件的取值即可.

（3）先求出所有情況下的概率，再求解分布列即可.

【小問1詳解】

由題意可得，P（X=1）=|,

【小問2詳解】

由題意可得X的所有可能取值為1，2,3,4,5.

【小問3詳解】

x"

625

故X的分布列為

X12345

18369624

P

525125625625

16.記VABC的內角A,B,C的對邊分別是b,c,已知Q+Z?=2ccosB

（1）證明：C=2B；

（2）若VABC為銳角三角形，求」一的取值范圍.

bsmB

【答案】（1）證明見解析

(2)(2,2⑹

【解析】

【分析】(1)由已知條件及正弦定理可得sinA+sinB=2sinCbos5,結合三角形內角和定理及兩角和的正

弦公式可得sinB=sin(j)，最后結合8,C的范圍可證得結論.

(2)由已知條件及(1)可求出Be,然后利用正弦定理及二倍角公式化簡所求式，進而得到結論.

【小問1詳解】

由正弦定理及a+Z?=2ccosB，知sinA+sinB=2sinCcosB,

即sin(B+C)+sinB=2sinCbosB,

所以sinB=sinCcosB-sinBcosC=sin(C-B),

所以3=0—5或3+C—3=71,

因為8,Ce(O,7i),所以3=。一5,即C=2A

【小問2詳解】

由(1)知C=25,A=n-3B,又VABC為銳角三角形,

兀71

所以0<2B<—,0<7i-3B<-,

22

故所以史得1<--—<，

(6^)3tanB

c_sinC_sin2B_2siaBcosB扁平2間

bsinBsin2Bsin2Bsin2B

17.如圖，在平面四邊形ABC。中，AB//DC,是邊長為2的正三角形，。。=3,。為45的中

點，將△49。沿0。折到的位置，PC=V13.

(1)求證：POYBD-,

(2)若石為PC的中點，求直線班與平面PDC所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵至

5

【解析】

【分析】（1）首先證明PDLCD,即可得到從而得到08,平面POD,即可證明05,00,

再證明OPL平面30。。，即可得證；

（2）建立空間直角坐標系，求出平面PDC的法向量與直線助的方向向量，再由空間向量法計算可得.

【小問1詳解】

依題意△A8D是邊長為2的正三角形，。為A3的中點，所以ODLAB,

所以OOLPO,ODLBO,PD=2,CD=3,PC=^，

則PQ2+CQ2=PC2,所以？DLCD,又ABIIDC,即05〃DC,所以

又ODcPD=D,ORPDu平面POD,所以06J_平面POD,

因為OPu平面POD,所以03,OP,

又OBOD=O,。^，。。匚平面^。。。，所以OP,平面50￡>C,

又瓦）u平面30。。，所以PO,5￡）；

【小問2詳解】

如圖建立空間直角坐標系，則8（1,0,0）,P（O,O,1）,D（0,^,0）,C（3,73,0）,E

〈乙乙）

所以BE=，DC=（3,0,0）,DP=（0,-y/3,l）,

設平面PDC的法向量為〃=（無y,2）

|BE-H|_73_V15

設直線BE與平面PDC所成角為凡貝Ijsin'=

KH=Z2~

2

所以直線班與平面PDC所成角的正弦值為巫

5

Z,

C

OBX

18.已知動圓6：(》+2)2+、2=/8〉0)與動圓。2：(%—2)2+3；2=42〉0),滿足k一用=2石，記G

與C?公共點的軌跡為曲線T,曲線T與x軸的交點記為43(點A在點2的左側).

(1)求曲線T的方程；

(2)若直線/與圓/+產=3相切，且與曲線T交于耳，舄兩點(點耳在y軸左側，點尸2在>軸右側)?

#,和>X分別交于Q1，。2兩點，證明：|421卜|理22卜

(i)若直線/與直線y=-

(ii)記直線APX,BP?的斜率分別為h，k2,證明：W是定值.

2

【答案】(1)—-y2=l

3-

(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據定義確定曲線T為雙曲線，求解a,b,c即可；

(2)(i)設直線方程與雙曲線方程聯(lián)立結合韋達定理線段片鳥的中點即為線段Q2中點得解；(ii)運用

斜率公式表示k『h，結合韋達定理求解.

【小問1詳解】

設圓C1，C?的交點為則陽。2|=。

因為卜―2|=26，所以\MCi|-|MC2||=2A/3<\CXC2\=4,

故點M的軌跡(曲線T)是以G，a為焦點的雙曲線，

從而2a=2\/^，a"+b2=4>即。=?$/§■，b=1,

2

故曲線T的方程為Z—y2=].

3-

【小問2詳解】

(i)要證山。舊2勾，

只要證線段44的中點與線段Q2的中點重合.

設片(百，％),P2(x2,%)，其中%<0<%，

由條件，直線/的斜率存在，設/的方程為y=Ax+機

因為直線/與圓爐+/=3相切,

所以一^^=B,即m2=30+左

，1+產

y=kx+m

聯(lián)立《X22_，消去>并整理得（3公—1）9+66x+（3〃+3）=0,

I3,

3%2一1/0

A=36mV-4（3V-l）（3m2+3）=12（加2—3左2+1）=48〉。

6mk

所以《

123左2—1

3m2+3

xx=——；----<0

123k2-1

從而線段PB的中點橫坐標為五土至=用二

21一3左

'-￥”和y=交點的橫坐標分別為一儡和儡'

又直線y=kx+m與直線

y/3mA/3OT

則線段QI。2中點的橫坐標為1+6k+I-布k_3km

2~l-3k2

所以%QIH&22|?

3m+3

（ii）由條件為<0<々，xt%2=2<0,即3左2—1<0,

3k—1

所以《?42=-^~f=---左■療

再+A/3x?-73

（kX[+m）（Ax2+m）

22

kxrx2+mk（%i+x2）+m

xxx2+A/3（%2-玉）-3

22

k（3m+3）6m2k22

-----------5---------5---Fm

3左2—13左2—1

3m2+312

3k2+\-3k2~

222222

3mk+3k工-6mk+3mk~~m

3療+3—12—9左2+3

342_療_一3

3/一6-9左2-§

即左1卷為定值-1.

【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交（過定點、定值）問題的常用步驟：

（1）得出直線方程，設交點；

（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到一元二次方程；

（3）寫出韋達定理；

（4）將所求問題關系轉化為韋達定理的形式；

（5）代入韋達定理求解.

19.己知函數(shù)/（x）=e1點匕（4，a）（〃eN*）均為曲線y=/（x）圖象上的點，且

a〃+i+4=6"+3,an+l>an.

（1）當。尸3時，證明：｛%—3科是等比數(shù)列；

（2）求偽的取值范圍；

（3）證明：直線5匕+1的斜率隨〃的增大而增大.

【答案】（1）證明見解析；

39

⑵（”一）；

（3）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）根據給定的遞推公式，變形并結合等比數(shù)列定義判斷即得.

(2)由遞推公式分別求出%1，。2&，將4+1〉4等價轉化求出4范圍，進而求出4的范圍.

aX

卜_Ap%+l_pnQ—巳與

(3)直線44+1的斜率為左=4±^=一J,構造函數(shù)g(x)=-------,利用導數(shù)確定函數(shù)的單調性,