廣東省廣州市天河區(qū)2025屆高三年級下冊綜合測試（二）數(shù)學試題（含解析）

2025屆天河區(qū)普通高中畢業(yè)班綜合測試(二)

數(shù)學

本卷滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學校、姓名、班級、座位號和考生號

填寫在答題卡相應(yīng)的位置上，再用2B鉛筆把考號的對應(yīng)數(shù)字涂黑.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相

應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆或涂改液.不

按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是，則匯=()

A.]+2iB.|-2iC.2+iD.-2+i

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法以及共朝復數(shù)的定義，可得答案.

【詳解】由題意可得：=12i,則i二ii：l+2i)--2+i.

故選：D.

2.滿足卜卜：+2?3=0|，7/1卜3,-1.01,3；的集合A的個數(shù)為()

A.3B.7C.8D.15

【答案】B

【解析】

【分析】由一元二次方程以及集合之間的包含關(guān)系，可得答案.

【詳解】由「+2L3=(I，整理可得(X+3](X1|=0,解得X=-3或，

第1頁/共22頁

則卜35二4|-3,-1,0,1,3；,設(shè)8=卜3』，所以浮{TO,3},可得/-1=7.

故選：B.

3.已知，為等差數(shù)列??.：的前“項和，若L，S,,75成等比數(shù)列，且」，=5,則數(shù)列:《,：的公差d=（）

A.-1B.2C.5D.2或5

【答案】B

【解析】

【分析】由等差數(shù)列的通項公式和求和公式，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，解方程可得首項和公差，進而得到

所求值.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列：〃,二的公差為d,

由心，S,,75成等比數(shù)列可得s；=15a.*0,

即（5%+1Od「=75（q+2d）H0,

（%+2d「=314+2d|H0①，

又。，=5，即-3J=5②，

由①②解得ai=-1

故選：B.

4.函數(shù)/（X）=E（J：+I：X）的圖象大致為（）

【答案】A

【解析】

【分析】先判斷出/U）為奇函數(shù)，排除BD；再根據(jù)當*趨向于-X時，/U）趨向于0,C錯誤，A正確.

L——ln（J./+1+工）

【詳解】J.1+1?x>0恒成立,故/（、?）='1的定義域為R，

e*+e'x

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In(J-+1-x)In(+1+x)In(Jx，+1+x)

""e'*+cveJ+c'1c1+e->""

故/(X)為奇函數(shù)，BD錯誤；

當x趨向于+x時，r=e+e的增長速度遠大于J=ln("x：+1+x)的速度,

故〃丫)_+"')趨向于。,C錯誤，A正確.

e1+C"1

故選：A

22

5.己知雙曲線=-匚=1(。>0,6>0)的離心率為石，其中一條漸近線與圓('-2)'+(1?-3)'=1交于4,

8兩點，則"=()

I小2M代

A.-B.—C.—^―D.------

5555

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的離心率求出漸近線方程，再借助點到直線距離公式求出弦心距，進而求出弦長作答.

【詳解】圓(*-2)'+(]-3-=1的圓心門3,半徑r=1,

222Al：hb

由雙曲線乂-、=l(a>0,6>0)的離心率為逐，得巴二:一=1+(—>=(、?)',解得一=2,

a-b'ira"

于是雙曲線的漸近線方程為J=±2x,即，±r=0,

12x2+317

當漸近線為？一「二4時，點d到此直線距離d'==丁>1，即直線一,r二0與已知圓相離,

，V2-：+I：2，

不符合要求,

12x2-31J5

當漸近線為2x-丫=。時，點七3)到此直線距離d=品：一=一r<1,則直線2一「()與己知圓相

力"5

第3頁/共22頁

交,

所以弦長1,48|=2，-,1-g=+.

故選：D

6.某廠生產(chǎn)一批圓臺形臺燈燈罩，燈罩的上下底面都是空的，圓臺兩個底面半徑之比為1”，高為16cm,

母線長為20cm,如果要對100個這樣的臺燈燈罩外表面涂一層防潮涂料，每平方米需要100克涂料，則共

需涂料（）

A.240x克B.320n克C.7201克D.1440n克

【答案】C

【解析】

【分析】先求圓臺的底面半徑，計算圓臺的側(cè)面積，即可得到答案.

【詳解】作圓臺的軸截面如圖：

DEC

AG

梯形48co為等腰梯形，取上、下底面的中心分別為E、F,再取"?中點G,連接4G,

ED1

則RiaGEF中，因為=—,所以EG-AD-20cm,EF=16cm,所以GF=DE=12cm.

AF2

所以"=24cm.

所以燈罩的側(cè)面積為：Jt-（12+24|x20=720ncm:.

所以100個燈罩的外表面面積為：IDOx'2（Iicm;,20rir.'.

又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料LU】xI0Q=720x克.

故選：C

7.已知函數(shù)/。）=4sin?K+<p）（/>0M>0，M|<1）的部分圖象如圖所示，。為圖象與r軸的交點，R

為圖象與'軸的一個交點，且|8C|=孚.若實數(shù)占，。滿足/5）/川=7,則〃/+3=（）

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2卜...z>

A.-1B.OC.￡D.2

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象確定A的值，再利用8、C兩點坐標及距離公式求出C點縱坐標，進而確定少，

然后求出儂得到函數(shù)表達式，最后根據(jù)MrrMi；：--4計算/（A,+&）.

【詳解】由正弦函數(shù)/x）=，4sin（sx+<p）（/>0.3>0,|引<：）的圖象可知，/=2,

則：I；I=?§In（wr+?I.

己知8（：,0）,設(shè)門。,晨」，根據(jù)兩點間距離公式，因為8C|=亭，

所以「W+（o-『J=唱,即（［『+￡=（率）2，

解得乂.=-6（由圖象可知。點縱坐標為負）.

因為在/⑴w+fI的圖象上，所以/(0)=2sin<p=-&,

Bn.>/2

即sin(p=----，

2

It7t.7t

又因為<?|<三，所以?=-二，則/(K)=2sin(sx-1).

244

因為在/(.t)=2sin((ox-；)的圖象上，所以2sin(-(o-^)=0,

57i5，兀2,R、2knit

即120)-4-=kit,AeZ,—2(0=￡兀+—4,(i)=—5(jlir+—4)=-5—+—10,keZ

T5T『27r2JI兀

由圖象可知，二<7(7為函數(shù)周期)，r<10,又7=—,所以一(10,a)>-,

42(0(05

當￡=1時，3=；+白=；滿足條件，所以/(x)=2sin(；x-；).

510224

因為/(x)的最大值為2,最小值為「2,

第5頁/共22頁

已知八『一|一二-4,所以/(E),一個為2,一個為-2.

不妨設(shè)/(為)=2,/(X/I=-2,則;內(nèi)-J=24必+；,kyeZ,解得$=44+彳；

2422

JC兀?*>,兀tr.fl

-.r--=2A.7r--,*sI,解得工=4刈一不

2:42L

所以X[+毛=4(4+A,)+1.

將、+毛=%左+魚)+1代入/(幻=2§皿二1-二)得：

24

f(xt+x,)=2sin[—(4(￡+t2)+l)--]=2sin(2(Jt.+^,)x+—--)=2sin(—)=-J2

24244

故選：c.

8已知『>.4">7：.設(shè)。=log,7,A=2log72+log73,c=iog925,則()

A.a<b<cB.c<a<bC.卜---<<uD.b<a<c

【答案】D

【解析】

【分析】由題意整理對數(shù)式，根據(jù)已知的大小關(guān)系，結(jié)合對數(shù)的運算律與公式，可得答案.

【詳解】由題意可得b=log/2,c=

因為5'>3"，4">7：,所以兩邊取對數(shù)整理可得Iogj5>與，log,7〈與，所以"<c

又a=log47=萼>1,/>=log712Inl2a_(In7尸

In4In7bIn4In12

r—,,,.In4+In12In48In49,.…，一，

且Vin4In12<---------=----<----=In7,即In41nl2<(In7)",

222

所以:>1,a>h,所以

b

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)TinI,門”為/(x)的導函數(shù)，則()

A.曲線r=/⑴在(0?川川處的切線方程為一」

B./(x)在區(qū)間(口.7?上單調(diào)遞增

/(x)在區(qū)間(7,0)上有極小值

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D.在區(qū)間（-X,T）上有兩個零點

【答案】BC

【解析】

【分析】求出函數(shù).門門，再利用導數(shù)的幾何意義求解判斷A；結(jié)合單調(diào)性、極小值意義判斷BC；求出零

點個數(shù)判斷D.

【詳解】依題意，（111=r+cosI,

對于A,門0|=?,川））=I,所求切線方程為?二21+1,A錯誤；

對于B,當X>0時，/'（<）=e'+COSK>1+cos,r20,/（X）在區(qū)間（ktI上單調(diào)遞增，B正確；

對于C,.「=e',v=cosx在，：71）I上都單調(diào)遞增，則函數(shù)門口在（7加上單調(diào)遞增，

/'（一兀）=/"一1<0，/,|0）=2,則存在唯一A0G（一縱0）,使得/'（.%）=0,

當一兀<x</時，廠（1）<。；當入<r<Q時，/'（.【）>。，因此八工）在I,處取得極小值，C正確；

對于D,由選項C知，,門H在（7,山上有唯一零點，又/'（01=2,

當x>0時，/'（x）=e"+cosx>1+cosxNO，即Vx20,/,<J>>0?

因此在區(qū)間（-L-T）上有1零點，D錯誤.

故選：BC

10.某校高三年級在一次考試后，為分析學生的學習情況，從中隨機抽取了200名學生的成績，整理得到如

圖所示的頻率分布直方圖.為進一步分析學生的成績分布情況，經(jīng)計算得到這200名學生中，成績位于

[80,90）的學生成績方差為13.75,成績位于：90,1（刈的學生成績方差為7.75.則（）

A.a=0.005

B.估計該年級學生成績的中位數(shù)約為76.14

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C.估計該年級在80分及以上的學生成績的平均數(shù)為87.50

D.估計該年級在80分及以上的學生成績的方差為31

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項利用各長方形的面積之和為1可求。；B選項利用中位數(shù)左邊的直方圖的面積等于0.5即可

列式求解；C,D選項利用平均數(shù)和方差的計算公式進行求解即可.

【詳解】對于A選項，在頻率分布直方圖中，各長方形的面積之和為1,

JH!j(2<j+3<i+7<j+6fl+2d)x|0=200A：I,解得a=().005,故A正確；

對于B選項,前兩個矩形的面積之和為+3?)x10=50a=0.25<(I5,

前三個矩形的面積之和為(+2a+I*I。二12du=0.6>0.5,

設(shè)該年級學生成績的中位數(shù)為，〃，則M￡(7()”01,

根據(jù)中位數(shù)的定義可得Q.?5?(■-1.135=0.5,解得??77.14,

所以，估計該年級學生成績的中位數(shù)約為77.14,故B錯誤；

對于C選項，估計成績在80分以上的同學的成績的平均數(shù)為

6ac*2a_

7——x?5+_-丁x95=87.5分，故c正確；

6a+2a6a+2a

對于D選項，估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為

[[13.75+(87.5-85)口+曾.75+(87.5-95)J]=31,故D正確.

故選：ACD.

11.如圖，已知正方體45co-44CA的棱長為2,點〃為?的中點，點p為底面上的動點

A.滿足A/P，平面BD4的點P的軌跡長度為￡

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B.滿足囚〃1"的點尸的軌跡長度小于JF

C.存在點尸滿足=90°

D.存在點尸滿足P.4+P”4

【答案】AC

【解析】

【分析】構(gòu)造面面平行，確定尸點軌跡，求其長度，判斷A的真假；確定尸的軌跡，根據(jù)弧長與弦長的關(guān)

系判斷B的真假；取特殊點驗證C的真假；轉(zhuǎn)化為兩點之間直線段最短求+戶”的最小值，可判斷D的

真假.

【詳解】對A：如圖：

取中點E,C./J中點/，連接EF.ME."?,則易證平面M"‘平面此時以戶,平面

BDA，

故MP平面8ZM時，”點的軌跡為線段￡F.

因為正方體棱長為2,所以EF=JT,故A正確;

對B：如圖：

因為MP'=A/C；+G產(chǎn)，且附耳="，所以pG|=逐，此時P點軌跡為以C1為圓心，半徑為后的

圓在正方形內(nèi)的部分，易得'分別為4。，入8,中點，

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所以|.W；V|=41,故劣弧MX的長度大于。，故B錯誤;

當p為正方形X4CQ中心時，|JA/|=72:+22+1=3.|歷尸|=475=6，|4P|=jm=』，

所以|.4P『+|MP『=|4M『，所以乙4PM=90°,故C正確；

對D：如圖：

做“點關(guān)于平面4燈D的對稱點”‘，則V'在直線上，且（陽［=1,連接4W'，

則|叫+|P心|叫+|叼NI，1'且.卜研二=同＞4故D錯誤?

故選：AC

【點睛】關(guān)鍵點點睛：對B選項，一定要弄清楚P點的軌跡.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知單位向量d,；滿足J?.6.c=0,則Q￡=.

【答案】一:

2

【解析】

【分析】由題意作圖，根據(jù)平面向量線性運算的幾何意義，結(jié)合數(shù)量積的定義式，可得答案.

【詳解】由題意，作等腰ABC,且48=，C=1,記8c的中點為。，連接WD，如下圖：

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由圖可知［方=：(］京+.4弓|=；W+c)=-［右，

由；為單位向量，則I而1=-J》=］,

在等腰ABC中，易知4。1BC,

在RtA.408中，sin8=^=!,則-8=30,即一84C=12(),

AB2

所以a，c=AB-AC=|j4fi|1|jc|-cosZBi4C=—.

故答案為：.

13.某校舉辦一年一度的田徑運動會，其中田賽含跳高、跳遠、三級跳遠、標槍和鉛球等5個項目，徑賽含

100米、110米欄、400米、1000米等4個項目.某班為選拔優(yōu)秀運動員，在班內(nèi)組織選拔賽，要求同學們積

極報名參賽，每位同學田賽與徑賽各至少報名1個項目，且每人至多報3個項目，則每位同學的報名方案

共有種.(用數(shù)字作答)

【答案】90

【解析】

【分析】由分類加法、分步乘法計數(shù)原理以及組合的計算即可得解.

【詳解】當只報兩個項目，由題意：CC,=2O；

若報3個項目，由題意：C；C+CC=7O；

所以共有90中，

故答案為：90

14.已知/1r)=In—ar,g(.vI=e1ax,若對任意LE0-z，，都存在受《(a+x,)，使得

/(xjg(工)=,則實數(shù)a的取值范圍為.

-1］

【答案】。+一,+8

【解析】

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---------=—7/(X)P(V)

【分析】由/但爾(工)=4七得再貼2.設(shè)F(x)=U_L,G(X)=?，求導，分析函數(shù)單調(diào)性,

XX

x2

求兩個函數(shù)的值域，再根據(jù)函數(shù)值域的包含關(guān)系求。的取值范圍.

/(*)_1

詳解】由/(E)g(三)=王與得陽g(*),

x2

TSF(X)=^^=--a,x€(O.-x),則F'(x)=,

XXX*

當0<x<e時，r(r)>0,則F(.t)在(0、e)上單調(diào)遞增；

當T>e時，f'itxo,則F⑴在(e.7)上單調(diào)遞減；

所以“立心=F(e)=--a.

e

且當XT0時，F(xiàn)(11->1；當XT+工時，F(xiàn)\x)-?a,

(I,

故/(K)的值域為卜8,；一。;

設(shè)G(x)=^^=《-a,x€(O,-i),則Gh)：一，!!,

XXX

當0<.V<1時，G'IxI<(I,則6(11在。I)上單調(diào)遞減；

當x>l時,G'(i)>0,則在(1,+x)上單調(diào)遞增；

所以G(x)皿=G(I)=e-",

且當XT0時，G(Tr；當X-?+，時，G(”T?r,

故G(H的值域為|e-u,T)；

依題意，”(x)的值域是二一的值域的子集.

(，(x)

顯然awe,若“<e,則J的值域為|‘o.」一，不合題意，舍去；

G(x)Ie-a.

若a>e,則「的值域［-。一'-u(0,+r),

G(x)\e-a

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(\\1

則需「⑴的值域；rC-X,——u(O.+x),貝打a>e,解得。之?+.

e」Ie-flJU-aK去e

綜上，實數(shù)。的取值范圍為e+；，+8).

f(xjI.

--------=-;——rf(x)e(r)

【點睛】關(guān)鍵點點睛：由/但)8(三)=王與得為g(±).設(shè)「(卜)=-----，G(x)=-------,對任意

XX

Xj

號￡0-),都存在七e(O,-H?),使得/(內(nèi))g(￡)=芭巧就轉(zhuǎn)化成F(x)的值域是KT的值域的子集.

G(K)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15..48。的內(nèi)角4.8.C的對邊分列為,已知b-a=2acosC.

(1)證明：C=2J；

(2)若點。是.48邊上一點，CD平分/4C8,CD=1,且“CD的面積是△8C0面積的2倍，求a.

【答案】(1)證明見解析

⑵a=—

2

【解析】

【分析】(1)由正弦定理邊化角得到sin4nsin(C-Ji,再結(jié)合角的范圍即可求證；

(2)通過得到b=2a及,4。=28。，進而求出8。=、.法一：由C0S/40C=-C0S/8DC

即可求解；法二：由①=,直+三cA,平方求解；法三：由正弦定理,「二八二；求解即可；

33sin(7r-3A)sinA

【小問1詳解】

因為/)-a=2ocost',由正弦定理得sinBsinJ=2sinAcost',

在4BC中,有$inB=sin(J+C),所以sin"+C}?sin』=2sin」cosC,

gpsinAcosC?cosAsinC-sinA=2sinAcosC,

所以sin/=$inCcos4cosCsinA,即sin」二§in(C-，I,

因為0<』<,-n<C-.4<x,所以』二。/,或d+(C-二x(舍去)，

第13頁/共22頁

所以c=2J.

【小問2詳解】

VCD平分/ACB,Z.4CD=ZBCD

?.A.4CD的面積是△8C0面積的2倍，

&-ACCDs\n/.ACD

..△彳co=2_________________=---=2,Wflb=2a,

S&BCD-BCCDsinZBCDBC

2

S—AD,hAD

設(shè)A3邊上的高為九又產(chǎn)2=彳--=—=2,即d/)=2BD,

'△BCDLBDh

2

：C=2.4,：,ZACD=ZBCD=A,AD=CD=\,BD=-.

以下有不同解法.

解法一：

AD2+DC2-AC2BD2+DC2-BC2

vCQSZ.ADC=-cosZBDC

2ADDC_2BDDC

即*

12

2

解法二：

9

在中由余弦定理得，(?：=/+b：-2obcos/，C8，BP-=a2+4a2-4a2cosZACB@

4

由,4D=2BD.則而=+又b=2a,

..CD2=(-C4+-CB):,gpl=-a2+-a:+-a:cosZJCB(2)

33999

由①②聯(lián)立得，a=—

2

解法三：

在.48C中由正弦定理得，一，=」一

sinBsinA

sin(jt-3J)sinA

第14頁/共22頁

2aa2

sin2/cos彳+cos24sin4sinA2sin.4cos-A+(2cos-A-l)sinAsinA

cosA=±—,又A為中較小的角，.C=24=：,則8=三，二“=3.

26322

16.如圖1所示，在平行四邊形中，BA1ED,垂足為A,EA=AD-AB2,將AE,48沿,48

折到6戶.48的位置，使得二面角P-X8-。的大小為60°,如圖2所示，點”為棱48的中點.

(1)證明：平面PdD1平面/8C。；

(2)證明：PM一CD；

3PN

(3)若點N在棱PC上，且直線PC與平面所成角的正弦值為5,求?(.的值.

【答案】(1)證明見解析

I

(2)證明見解析(3)-

【解析】

【分析】(1)根據(jù)條件，先證481平面Pd。，進而可得面面垂直；

(2)法一：通過證明線面垂直推出線線垂直；法二：建立空間直角坐標系，利用空間向量證明線線垂直;

PN

(3)利用空間向量，根據(jù)已知的線面角確定N點的位置，再求p(.的值.

【小問1詳解】

由題意可知，圖2中/I8，P4,18L4C,P.-fnAD=-I,Pd.PDu平面Pd。，

所以481平面PX。.

又dBu面』BCD,所以平面PXD，平面

【小問2詳解】

解法一：由平面幾何知識可知，8。，在圖2中取A。中點。，連接MO,PO,

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X

因為M為AB中點，所以"0BD,WO1CD,

因為dBlPX，ABVAD,所以/P/fZ)為二面角P-X8-D的平面角，

所以NP.4O=m,則八PAD為等邊三角形，所以尸014。.

又平面P,40，平面ABC。，交線為AD,所以P01平面ABC。，所以P01CD.

又POn\10=。,且P。。C平面加O,所以CDi平面尸MO.

又PMc平面PMO,所以PM-CD.

解法二：因為18IP/,ABLAD,所以NP/0為二面角P-48-。的平面角，所以=

以A為原點，AB,所在直線為無，y軸，平行于尸。的直線為z軸，建立空間直角坐標系.

則4(0,。,0),5(2.0.01,CU.4.0),0(0.2.01,P(Q,\,y/3),-V(1,0,0),

則麗=(I,-L—6),CD=[2,2,O|,

所以K3-不力=IXI-2)+1X2-0=0,

所以PM-CD.

【小問3詳解】

以A為原點，AB,A。所在直線為無，y軸，平行于尸。的直線為z軸，建立空間直角坐標系.

則1(2,0,1),C(2,4,?),0(0,2,0),P(O,l,>/3),M(1,0,0),

設(shè)AR=IT(04141),面AMN的法向量為萬-E「.：)，而=(1,0.0),

麗="+/定=(0,1,6)+/(2.3,-6)=(2人3/+1.6一6/),

n,AM=0.1—0/廠廠、

唱蘇=0=尿1)尹("?砂m取八二-6則“=(。,/33T.

_,_.In-PCI473

又PC=(2,3,-6),所以cos〈mPC〉=—=-1-...------------

?同因風硒二靠而萬

第16頁供22頁

334。

因為直線PC與平面AMN所成角正弦值為:，所以彳=一=7二二、------

447167(73/-V3):*(3/-1)-

解得/=(，|0</<1),/=：,

PN13

當R時，直線PC與平面AMN所成角的正弦值為二.

17.甲乙兩人輪流投擲質(zhì)地均勻的骰子，第一輪甲先后投擲兩次，接著乙先后投擲兩次，依此輪流每人連續(xù)

投擲兩次.

(1)甲先后投擲兩次，在第一次擲出偶數(shù)點的條件下，求甲兩次擲出的點數(shù)之和大于6的概率；

(2)若第一輪甲連續(xù)兩次擲出的點數(shù)均為偶數(shù)，則甲獲勝.同時比賽結(jié)束；否則，由另一人繼續(xù)投擲，直到

有人連續(xù)兩次擲出的點數(shù)均為偶數(shù)，則此人獲勝且比賽結(jié)束.求甲獲勝的概率.(注：若。<P<?,當

〃T+%時，p*看作0)

2

【答案】(1)§.

4

(2)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)條件概率公式，先確定事件A和8,再分別計算P(48)和P3I,進而求得P(8X).

(2)通過設(shè)甲獲勝的概率為P,分析甲在不同輪次獲勝的情況，借助等比數(shù)列求和公式計算.

【小問1詳解】

設(shè)事件4="甲第一次擲出偶數(shù)點”，事件8：“甲兩次擲出的點數(shù)之和大于6”，

樣本空間4)=>m.n,/m.ne；1,2.3.4.5.6：[,

樣本空間包含的樣本點個數(shù)為"。1=6x6=36,且每個樣本點都是等可能的.

A=\\in,n\\me；2.4,6；.neJ.2.3.4.5.6J,ni-Ii-3>：6=1X,

HJi.(4,4M4J),(4,6),(6,]M6,2),|6Jl,l6.4|.|6,5M6.6)；,="，

1Q1121

所以救小腎1=1,(或尸/人黨=9|)

2

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即在甲第一次擲出偶數(shù)點的條件下，兩次擲出的點數(shù)之和大于6的概率為彳.

【小問2詳解】

C11C1

若甲第一輪獲勝，概率為=上

6x64

若甲第二輪獲勝，即第一輪投擲后兩人的兩個點數(shù)均不都為偶數(shù)，第二輪甲投擲后的兩個點數(shù)都為偶數(shù),

概率為P、=(1---)x(1—)x—=(—)'x一；

44444

若甲第三輪獲勝，即前兩輪投擲后兩人的兩個點數(shù)均不都為偶數(shù)，第三輪甲投擲后的兩個點數(shù)都為偶數(shù),

概率為P\=(T)4x—；

44

由以上可得，若甲第〃I。2I)輪獲勝，即前〃1輪投擲后兩人的兩個點數(shù)均不都為偶數(shù)，

第〃輪甲投擲后兩個點數(shù)都為偶數(shù).概率為2二x!=(：廣x：；

4444

于是，P,P,P.,…,P,組成一個以;為首項，(：尸為公比的等比數(shù)列.

44

4n戶/"1

所以R+R+A+…+5=44

1?（7）：

4

c44

則當〃T+”時，P=-,故甲獲勝的概率為亍.

18.已知點M(QJ),N(O，T)是圓。：./+/=/(r>0)與橢圓C：1+4=l(a>b>0)的公共點，且

o*b

點M,N和橢圓的一個焦點相連構(gòu)成一個等腰直角三角形.

(1)求廠的值和橢圓C的方程；

(2)過點〃的直線/分別交圓O和橢圓C于A,8兩點.

(i)若=4J,求直線/的方程；

3

(ii)P是C上一點，直線MP斜率為相，直線N4斜率為小ni=-n,求A8Mp面積的最大值.

5

【答案】(l)r=l,y+y:=l.

(2)G)…或］:-<+?.(ii);而

4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題設(shè)，可輕松確定『的值及橢圓方程.

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(2)6)設(shè)直線：r=h+l,分別與圓及橢圓的方程聯(lián)立，可求出A,8點的坐標，再根據(jù)

=4VI列式，可求人的值，得到直線的方程.

3

(ii)先根據(jù)(i)中的結(jié)論，結(jié)合用=己〃，可得直線，li經(jīng)過定點，再設(shè)直線/汨方程，與橢圓方程聯(lián)立,

2

利用弦長公式得|/科，表示出的面積，結(jié)合“對鉤函數(shù)”的單調(diào)性求最大值.

【小問1詳解】

因為點N是圓。與橢圓C的公共點.所以r=1,b=\.

又M,N和橢圓的一個焦點是等腰直角三角形的三個頂點.

所以c=l，』=JT，所以橢圓C的方程為=1.

【小問2詳解】

(i)因為過點M的直線/交圓。和橢圓C分別于A,2兩點,

所以直線的斜率存在，則可設(shè)直線/的方程為?=b+IU*01,

y=+l,

,,一4仁-2K+1

由.得（2A-+1）.v-+4kx=0.則可得.

—+y~=l2k'+12k+l

2

A7JZH4-2k—k~+1

同理，由「、、r解得叱x

.....—4%—2JI~■*1一21—jk*+1

又已知點M（0.1）,則v已8=（<i-1）,時/=（一^,與1-1）,

21+12卜+1尸+1卜+1

_______必-1k

因為3W8=4M/n3x^-=4x^-,

24+1公+1

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因為kH0，所以心±1,所以直線的方程為，二一?或I=7+I.

133

(ii)解法一：根據(jù)題意可知NA1MAy設(shè)J=￡,則〃二一，由〃】二一〃，得出z〃&=—，

k22

由(i)可得8(二同理得p(3L,2二)

2^+12A-+12/n2+l2m2+1

由對稱性可得網(wǎng)經(jīng)過y軸上一定點NO,”，由P,B,T三點共線可得：

-2k2+1-2m”

%=%，從而2&+'=-5H，

*TAr*f

2r+12〃J+1

整理可得：+1)+2K-1=?2刑+1)+2旖-1

化簡可得：(女-州|(2加射—+2m&+1)=(),

311

因為陰HK,mk=-一，所以/=所以直線尸5過定點(0,一二).

222

設(shè)印q,y),B(x2,y2),則S.、”,《=-.可，顯然PB斜率存在，設(shè)%地=$

#(2?+1)X2-2?-|=0,忖—卜理*?

2||”=0

令J16s'+6=狗2而，所以2s?+1=里=~，所以"2~q22.

Oqc

23l

(/26時4+二單調(diào)遞增.,/=遙，即s=0時，三角形面積有最大值一聲，

<74

綜上：當PB斜率為0時三角形MPB面積有最大值’>76.

4