反比例函數(shù)與三垂直 同步練習（含答案）-2024-2025學年人教版九年級數(shù)學下冊

反比例函數(shù)與三垂直

一、知識梳理

如圖9-1和圖9-2所示，點B,C,E在同一直線上，AC=CD,AC±CD,ZB=ZE=90°,則有△ABC之ACED,

像這樣的圖形被稱為“三垂直”全等模型.

模型構造三步走：

①作一個等腰直角即AC=CD,AC±CD;

②作一條過直角頂點的直線1,即過點C作直線BE；

③過直角的兩個銳角頂點向直線1作垂線，即過點A,D作4B回BE于點B,DE_LBE于點E.

【例1】如圖9-3所示，正方形ACBE的邊長是強點B,C分別在x軸和y軸的正半軸上,B0=2,ED，x軸于

點D,ED的中點F在反比例函數(shù)y=久久〉0）的圖象上，則k=.

解：：正方形ACBE的邊長是V5,B0=2,

BC—BE=V5.

OC=<BC2-OB2=V5-4=1

ZCBE=90°,

/.ZOBC+ZEBD=90°.

圖

ZOBC+ZOCB=90°,9—3

ZOCB=ZEBD.

在小OBC和4DEB中，

Z-OCB=Z.EBD,

..^Z-BOC=Z.EDB,

BC=EB,

AAOBC^ADEB(AAS).

ABD=OC=1,DE=OB=2.

???OD=3.

二點E的坐標為(3,2).

?，點F是ED的中點，

.??點F的坐標為(3,1).

V點F在反比例函數(shù)y=：(%)0)的圖象上，

;.k=3xl=3.

【例2］如圖9-4所示，點A,B分別在反比例函數(shù)y=1(x)0)與y=￡

解得k=8.

二、分層練習

1.如圖9-6所示，點B為反比例函數(shù)y=<0,X<0)圖象上的一點，點A為x軸負半軸上的一點，連接

AB將線段AB繞點A逆時針旋轉90。,點B的對應點為點C.若點C恰好也在反比例函數(shù)y=:的圖象上點B,

C的縱坐標分別為4和1,則k=.

2.如圖9-7所示，ZAOB=90°,且OA,OB分別與反比例函數(shù)y=久久＞0)和y=-i(%＜0)的圖象相交于點

A,B,則sin/tMB的值為（）.

A4

A.-

5

B竺

7

「V21

C.—

7

D.—

2

3.如圖9-8所示，在RtAAOB中，ZAOB=90°,頂點A,B分別在反比例函數(shù)y=久久＞。)與y=寅久＜0)

的圖象上，則tan/BA。的值為.

4.如圖9-9所示，已知點A是反比例函數(shù)y=(在第一象限分支上的一個動點，連接A0并延長，交另一分支

于點B,以AB為邊作等邊△ABC,點C在第四象限，且點C的位置隨著點A的運動在不斷變化，但點C始終在

反比例函數(shù)y=g的圖象上運動，則k的值為

5.如圖9-10所示在等腰RSABC中，NB4C=90。,48=4C,且點B的坐標為（1,0）,點?的坐標為（0,2）,反

比例函數(shù)y=:的圖象經(jīng)過點A,則k=.

6.如圖9-11所示，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-1,0）,點B的坐標為（0,2）,將仆ABO沿直線AB

翻折后得到△ABC若反比例函數(shù)y=%x<0）的圖象經(jīng)過點C,則k=.

7.如圖9-12所示，反比例函數(shù)y=￡（盼0）的圖象經(jīng)過正方形ABCD的頂點C,D.若正方形的邊長為4,則k

的值為.

圖9-12

8.如圖9-13所示在矩形OACB中，點A的坐標為(3,a),點B的坐標為(b,2),點C在y軸的正半軸上.

若反比例函數(shù)y=:(久＞0)的圖象經(jīng)過點A,則m的值為.

9.如圖9-14所示，線段AB交x軸于點C,且點C為AB的中點，點B在反比例函數(shù)y=抑圖象上，點A

在反比例函數(shù)y=￡的圖象上，連接OA,OB.若4AOB的面積為3,則k=.

1.解：如圖14所示，過點C作CELx軸于點E,過點B作BFLx軸于點F.

?.?CE_Lx軸,BF_Lx軸,

I.ZAEC=ZBFA=90°.

ZBAF+ZABF=90°.

???由旋轉的性質可知，AB=AC,ZBAC=90°,

JZCAE+ZBAF=90°.

???ZABF=ZCAE.

AAABF^ACAE(AAS).

???AF=CE,BF=AE.

??,點B,C的縱坐標分別為4和1,

ACE=1,BF=4.

AAF=1,AE=4.

設點B的坐標為(x,4),則點C的坐標為(x-5,1).

??,點B,C在反比例函數(shù)y=￡的圖象上，

「?4x=x-5,解彳尋%=-|.

???點B的坐標為(―|，4)..??々=一學

2.解：如圖15所示過點A,B分別作AM_Lx軸于點M,BN_Lx軸于點N.

???點A在反比例函數(shù)y=沁〉0)的圖象上，

*e,^AAOM=3X3=3.

...點B在反比例函數(shù)y=~^(x<0)的圖象上，

S^BON=3X4=2?

圖15

ZAOB=90°,

/.△BON^AOAM.

2_S^BON_3曰口AO_布

0-S^AOM~9艮布-

???在RtAAOB中，設OB=2m,貝！］OA=gm,

AB=y/OA2+OB2=yflm.

.c4nOB2m2V7

???smZ-OAB=—==——.

ABV7m7

故選B.

3.解：如圖16所示，過點A作AC"軸于點C,過點B作BDLx軸于點D,則/BDO=NACO=90。.

???頂點A,B分別在反比例函數(shù)y=i(%)0)與y=(x<0)的圖象上，

SRBDO=2'ShAOC=2-

,/ZAOB=90°,

ABDO^AOCA.

(―)2=包皿=5,即—=V5.

VAOJSAOACAO

圖16

tanZ.BAO=—=V5-

4.解：連接OC,如圖17所示，過點A作AELy軸于點E,過點C作（CF回y軸于點F.

.反比例函數(shù)y=：關于原點對稱，

???點A與點B關于原點對稱.

.*.OA=OB.

又「△ABC是等邊三角形，

/.OC±AB,ZBAC=60°.

tanzOXC=*=V3,gpOC=百。4

圖17

；AE_Ly軸，CF_Ly軸，OC_LAB,

ZAEO=ZOFC,ZAOE=90°-ZFOC=ZOCF.

AAEO^AOFC.

.AE_EO_AO

''OF~FC~OC

???OC=V3OX,

OF=V3X￡,FC=y/3EO.

設點A的坐標為(a,b).

點A位于第一象限，

AE=a,OE=b.

???OF=WAE=V3a,FC=V3FO=,b.

???點A在反比例函數(shù)y=用勺圖象上，

?*.ab=l.

???FC?OF=V3b-V3a=3ab=3.

設點c的坐標為(X,y).

??,點C位于第四象限，

FC=x,OF=-y.

AFCOF=x-(-y)=?xy=3.

/.xy=-3.

?..點c在反比例函數(shù)y=E的圖象上，

.,.k=xy=-3.

5.解：過點A作AH，x軸于點H,過點C作（CG團4”于點G,如圖18所示,

貝崎NAHB=NCGA=90。.

ZAHB=90°,

ZABH+ZBAH=90°.

ZBAC=90°,

ZBAH+ZCAG=90°.

???乙ABH=Z.CAG.

又TAB二AC,

圖18

AAABH^ACAG（AAS）.

.*.AH=CG,BH=AG.

設BH=m.

??,點B的坐標為（1,0）,點C的坐標為（0,2）,

AOB=1,OC=2.

.*.CG=OB+BH=l+m.

??.GH=OC,即l+m+m=2,解得m毛

13

???BH=-AH=-.

2f2

..?點A的坐標為（|-|）.

???點A在反比例函數(shù)y=￡的圖象上，

6.解如圖19所示過點C作CD軸于點D,過點B作BE町軸且與DC的延長線相交于點E.

由折疊可知，AO=AC=1,BO=BC=2.

ZE=ZCDA=ZACB=90°,

.,.ZECB+ZEBC=90°,ZECB+ZACD=90°.

/.ZEBC=ZACD.

AACD^ACBE.

.CDAC1

設CD=m,貝!jBE=2m,CE=2-m,AD=2m-l.

22222

?..在RtAACD中,由勾股定理得（CD+AD=4c2,即m+（2m-l）=1,解得恤=^,m2=0（舍去）,

4R

/.CD=-,BE=OD=-.

55

???點c的坐標為

?..點c在反比例函數(shù)y=司勺圖象上，

8432

k—-X-

25

7.解：如圖20所示，作CE，x軸于點E,DF，y軸于點F,設點A的坐標為(0,m),點B的坐標為(n,0).

??.四邊形ABCD為正方形,

???BC=BA,ZABC=90°.

ZABO+ZCBE=90°.

ZABO+ZOAB=90°,

JZCBE=ZOAB.

ZAOB=ZBEC,

AAAOB^ABEC(AAS).

OA=BE=m,OB=CE=n.

點c的坐標為(m+n,n).

:同理可證，AAOB0Z\DFA(AAS).

/.OA=DF=m,OB=AF=n.

，點D的坐標為(m,m+n).

.反比例函數(shù)y=1(k>0)經(jīng)過正方形ABCD的頂點C,D,

(m+n)n=m(m+n),即m=n.

???OA2+OB2=AB2,

m2+n2=42,即m2+m2=16,解得m=2^2.

..?點c的坐標為(4A/2-2V2).

k=4V2x2V2=16.

8.解:如圖21所示，過點A作AEJ_y軸于點E,過點B作BF團y軸于點F.

VAE±y$fi,BFlyffl,

ZAEC=ZBFO=90°.

?..四邊形OACB為矩形，

.*.AC=BO,AC〃OB.

ZACE=ZBOF.

AACE^ABOF(AAS).