第三章 二次函數(shù) 綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)卷（含答案）-魯教版五四制九年級(jí)數(shù)學(xué)

第三章二次函數(shù)綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)

一、選擇題(每題3分，共30分)

2.若函數(shù)y=(m2+m)^"2-2m-1是關(guān)于x的二次函數(shù)，則機(jī)的值是()

A.2B.-1或3C.-1D.3

3.二次函數(shù)y=X2-2x-3的圖象如圖所示，當(dāng)y<0時(shí)，自變量x的取值范圍是

()

A.-1<x<3

B.x<-1

C.x>3

D.x<-1或x>3

4.[2025?北京順義區(qū)月考]把二次函數(shù)y=3f的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上

平移1個(gè)單位，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為()

A.y=3(x-2>+1

B.y=3(x+2)2-1

C.y=3(x-2)2-1

D.y=3(x+2)2+1

5.[2025?煙臺(tái)招遠(yuǎn)市月考]已知二次函數(shù)y=aRaHO)和一次函數(shù)y=bx+

的圖象如圖所示，貝U函數(shù)y=ax2+bx-C的圖象可能是()

6.已知點(diǎn)A(a,2),B(b,2),C(c,7)都在拋物線y=(x-1)2-2上，點(diǎn)A在點(diǎn)B

左側(cè)，下列選項(xiàng)正確的是()

A.若c<0，則a<c<bB.若c<0，則a<b<c

C.若c>0，則a<c<bD,若c>0,則a<b<c

7.[2024?天津]從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度以單位：m)與小球的運(yùn)

動(dòng)時(shí)間/(單位：s)之間的關(guān)系式是h=30/-5404/46).有下列結(jié)論：

①小球從拋出到落地需要6s；

②小球運(yùn)動(dòng)中的高度可以是30m；

③小球運(yùn)動(dòng)2s時(shí)的高度小于運(yùn)動(dòng)5s時(shí)的高度.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

8.某物理興趣小組對(duì)一款飲水機(jī)的工作電路展開研究，如圖①，將變阻器R的

滑片從一端滑到另一端，繪制出變阻器R消耗的電功率尸隨電流/變化的關(guān)

系圖象，如圖②所示，該圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條拋物線的一部分，則變阻器

R消耗的電功率P最大為（

A.160WB.180W

C.200WD.220W

9.如圖①，車前大燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈所在的位置

合適時(shí)，燈光會(huì)沿著水平方向反射出去，此時(shí)我們稱燈的位置為拋物線的"焦

點(diǎn)”.拋物線的焦點(diǎn)位置有一種特性：如圖②，拋物線上任意一點(diǎn)〃到焦點(diǎn)

A的距離AM的長(zhǎng)，等于點(diǎn)M到一條平行于x軸的直線I的距離MN的長(zhǎng)若

拋物線的表達(dá)式為y=%?+3,則此拋物線的焦點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）

A.（0,3）B.（0,4）c/o,習(xí)D/O,

第9是）《第10O

10.[2024?日照]已知二次函數(shù)了=加+法+（:3。0）圖象的一部分如圖所示，該函

數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1,0）,對(duì)稱軸為直線x=2.對(duì)于下列結(jié)論：①aA<0；②a

+c=b；③多項(xiàng)式ajr+bx+c可因式分解為（x+1）（%-5）；④當(dāng)m>-9a時(shí)，

關(guān)于x的方程a^-+bx+c=m無實(shí)數(shù)根.其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題（每題3分，共18分）

11.函數(shù)y=—T0的自變量的取值范圍是________.

-3x

12.若二次函數(shù)y=（。-6）/有最小值，則a的值可以是______.

13.[2024?濟(jì)寧]拋物線y=爐-6x+12向下平移左個(gè)單位.若平移后得到的拋物

線與x軸有公共點(diǎn)，則上的取值范圍是____.

14.[2025?臨沂河?xùn)|區(qū)月考]已知二次函數(shù),=加+2,+l（tz<0）,當(dāng)MWXWO時(shí),

y有最大值1-。和最小值1,則m的取值范圍是____.

15.如圖，拋物線y經(jīng)過平移得到拋物線丁=?2+法，其對(duì)稱軸與兩段拋物

線所圍成的陰影部分的面積是8,則拋物線y=ax1+bx的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

3

16.[2025?濟(jì)南萊蕪區(qū)月考]如圖，拋物線y=-/+2x+3與x軸交于A,3兩點(diǎn)

（A在3的左側(cè)）,直線I與拋物線交于A,C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2,

點(diǎn)P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸與點(diǎn)A,C不重合），過點(diǎn)P作y軸的平

行線交拋物線于點(diǎn)E,則線段PE的最大值為.

三、解答題（17?19題每題9分，20?22題每題10分，23題15分，共72分）

17.某二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)X、縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表：

X.??-4-3-112

55

???020

y-2-2

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在圖中畫出此二次函數(shù)的圖象；

（3）結(jié)合圖象可知當(dāng)-4<x<0時(shí)，y的取值范圍為

18.實(shí)行垃圾分類，關(guān)系廣大人民群眾生活環(huán)境，關(guān)系節(jié)約使用資源，也是社會(huì)

文明水平的一個(gè)重要體現(xiàn).為改善城市生態(tài)環(huán)境，某公司為配合國(guó)家垃圾分

類入戶的倡議，設(shè)計(jì)了一款成本為每個(gè)10元的多用途垃圾桶投放市場(chǎng)，經(jīng)

試銷發(fā)現(xiàn),銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）符合一次函數(shù)關(guān)系，且當(dāng)x=12時(shí),

y=96,當(dāng)x=20時(shí)，y=80.

⑴若該公司獲得利潤(rùn)為W（元）,試寫出利潤(rùn)W（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)

表達(dá)式；

⑵若物價(jià)部門限定該產(chǎn)品的銷售單價(jià)不得超過30元，那么銷售單價(jià)定為多少

元時(shí)才可獲得最大利潤(rùn)？

19.如圖所示,拋物線”的頂點(diǎn)為（3,2）,與x軸交于A,3兩點(diǎn)，且A（1,0）.

⑴求V的表達(dá)式及A,B間的距離；

⑵將x軸向下平移n個(gè)單位后得到新坐標(biāo)系,此時(shí)x軸與拋物線交于C,。兩

點(diǎn)，且CD=8.求新坐標(biāo)系下拋物線產(chǎn)的表達(dá)式及n的值.

20.小茗同學(xué)準(zhǔn)備用一段長(zhǎng)為50m的籬笆在家修建一個(gè)一邊靠墻的矩形花圃（如

圖①中矩形ABCD）,墻長(zhǎng)為25m.設(shè)花圃的一邊3c為xm.

⑴花圃的面積能為300n?嗎？若能,請(qǐng)求出x的值；若不能,請(qǐng)說明理由.

⑵如圖②，為方便進(jìn)出，小茗同學(xué)決定在3c邊上留一處長(zhǎng)為am（0<a<4）的門,

且最終圍成的花圃的最大面積為325m2，問a的值為多少？

5

21.如圖，點(diǎn)A,3在二次函數(shù)y=*的圖象上,已知點(diǎn)A,3的橫坐標(biāo)分別為

-2和4,直線A3與y軸交于點(diǎn)C,連接Q4,0B.

⑴求直線A3的函數(shù)表達(dá)式；

⑵求MOB的面積；

22.【生活情境】

為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對(duì)景觀帶中一個(gè)長(zhǎng)AD=4m,寬

AB=1m的長(zhǎng)方形水池ABCD進(jìn)行加長(zhǎng)改造（如圖①,改造后的水池ABNM

仍為長(zhǎng)方形，以下簡(jiǎn)稱水池1）.同時(shí)，再建造一個(gè)周長(zhǎng)為12m的長(zhǎng)方形水

池ERGH（如圖②，以下簡(jiǎn)稱水池2）,且EF=DM.

【建立模型】

設(shè)ER=DM=xm(0<x<6)，水池1的總面積為yim2水池2的面積為丁2m2.yl

與x和>2與x兩個(gè)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖③，兩個(gè)函數(shù)圖

象的交點(diǎn)分別是點(diǎn)C'和點(diǎn)

(1)分別求出州與X,>2與X的函數(shù)表達(dá)式；

【問題解決】

(2)求水池2面積的最大值；

⑶當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，求x的取值范圍；

【數(shù)學(xué)抽象】

(4)在圖④的圖象中，尸是此拋物線上一點(diǎn)，。是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存

在以點(diǎn)C',D',P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出

點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

23.[2024?東營(yíng)]如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線丁=9+加:+c與x軸交

于A(-1,0),3(2,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

(不與點(diǎn)A,B,C重合).

⑴求拋物線的表達(dá)式；

(2)當(dāng)點(diǎn)D在直線BC下方的拋物線上時(shí)，過點(diǎn)D作y軸的平行線交BC于點(diǎn)E,

設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t,DE的長(zhǎng)為I,請(qǐng)寫出I關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫出

自變量/的取值范圍；

7

S&DEF

(3)連接AD,AD所在直線交5c于點(diǎn)R,連接AE,求^一的最大值.

S^AEF

答案

一、l.A2,D3.A4.D5.C6.D

7.C【點(diǎn)撥】令〃=0,則30/-5尸=0,解得h=0,fe=6,.,.小球從拋出到落

地需要6s,故①正確h=30/-5?=-5(/-3)2+45..小球運(yùn)動(dòng)的最大

高度為45m，，小球運(yùn)動(dòng)中的高度可以是30m,故②正確；當(dāng)/=2s時(shí)，〃

=30x2-5x22=40(m);當(dāng)/=5s時(shí)，〃=30x5-5x52=25(m).V40>25,

小球運(yùn)動(dòng)2s時(shí)的高度大于運(yùn)動(dòng)5s時(shí)的高度,故③錯(cuò)誤.故選C.

8.D【點(diǎn)撥】?.?該圖象是經(jīng)過原點(diǎn)(0,0)的一條拋物線的一部分，且過點(diǎn)(1,

165),(4,0)..?.該拋物線的對(duì)稱軸為直線/=2..?.設(shè)拋物線的表達(dá)式為P=

165=。(1-2產(chǎn)+左，a=-55,

。(1-2)2+左，??/解得｛.\P=-55x(/-2)2+

0=a(4-2產(chǎn)+左，,=220,

220.-：a=-55<0，，當(dāng)/=2時(shí),電功率P有最大值為220,即變阻器R消

耗的電功率P最大為220W,故選D.

9.C【點(diǎn)撥】設(shè)拋物線y=++3與y軸交點(diǎn)為C,/與y軸交于點(diǎn)3,A(0,a),

；療+3),則。4=a,根據(jù)“焦點(diǎn)”定義可知AC=BC,AM=MN,,：點(diǎn)

C為拋物線頂點(diǎn),/.C(0,3),：.OC=3,：.AC=BC=a-3,：.OB=6-a,

:.N(m,6-a),易得AM2=廿+

22

|jm2+3-,MW：g加2+q_3).由A〃="N,得AM?=W2,.,.機(jī)2+

22

+3_a)=(表2+_3),整理，得7n2(2a-7)=0,當(dāng)機(jī)=0時(shí)，M點(diǎn)與

C點(diǎn)重合；當(dāng)機(jī)于0時(shí)，2a-7=0,解得a=叁，焦點(diǎn)A的坐標(biāo)為［o,3

A

10.C【點(diǎn)撥】由題圖可知a<0,c>0,-五>0,：.b>0,：.abc<0,故①正確；

,/函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),...口-6+c=0,即a+c=0,故②正確；..,二次

9

函數(shù)的圖象與X軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1,對(duì)稱軸為直線X=2一?.二次

函數(shù)的圖象與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，，多項(xiàng)式ax2+bx+c=a(x+

_b

D(x-5),故③錯(cuò)誤；??.函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=-^=2,：.b=-4a.

a+c=b,/.c=-5〃.;當(dāng)％=2時(shí)，y有最大值,此時(shí)y=4a+2b+c=4a

-8a-5a=-9〃,：?當(dāng)m>-9a時(shí)，拋物線y=a^+bx+c與直線y=m無交

點(diǎn)，即關(guān)于x的方程axL+bx+c=m無實(shí)數(shù)根，故④正確.綜上，①②④正

確.故選C.

2

二、ll.x<212.9(答案不唯一)13尼3

14.-2<m<-1【點(diǎn)撥】,二次函數(shù)y=ax1+2ax+1=a(x+I)2-<7+l(tz<0),

該函數(shù)圖象開口向下,對(duì)稱軸是直線x=-1,...當(dāng)x=-1時(shí)，該函數(shù)取得

最大值為1-a.V當(dāng)m<x<0時(shí)，y有最大值1-a和最小值1,當(dāng)關(guān)=0時(shí)，y

=1,根據(jù)對(duì)稱性得，當(dāng)x=-2時(shí)，y=1,-2<m<-1,故答案為-2<m<

-1.

15.(2,-4)【點(diǎn)撥】如圖，設(shè)平移后所得新拋物線的對(duì)稱軸和兩拋物線相交于

點(diǎn)A和點(diǎn)B，連接OA,0B，由平移的性質(zhì)和拋物線的對(duì)稱性可知a=1力<0,

2

S阻影=SLOAB,.*.y=a￡+bx=x+bx=

(x+界-1,.,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為-3，-*點(diǎn)B的坐標(biāo)為-y,.'.AB=y+

乙I-乙I-乙I-T

/?2,卜1b

女=缶，點(diǎn)。到AB的距離為_2,?,SAAOB=2-2,2=8,解得b=-4./.點(diǎn)A

的坐標(biāo)為(2,-4).

9

16.4【點(diǎn)撥】對(duì)于y=-f+2%+3,令y=0,貝！］-f+2x+3=0,解得xi=3,

X2=-1,.,.A(-1,0).*.,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，將X=2代入y=-x2+2x+3,

得y=3,I.C(2,3).設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=履+。，把A(-1,0),

0=-k+b,k=1,

C(2,3)的坐標(biāo)代入，得，解得???直線AC的函數(shù)表達(dá)

3=2k+b,b=l,

式為y=x+L.,.可設(shè)點(diǎn)P(m,m+1)(-l<m<2)，則點(diǎn)E(m,-m2+2m+3),

2

rI+',???當(dāng)加=J時(shí),

PE=-nr+2m+3-m-1=-nr+m+2=m~2,

PE的長(zhǎng)度最大,最大值為/9故答案為京9

三、17.【解】⑴由題意,設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x+3)(x-1),

???二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,2),

，二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-；(%+3)(x-1)=-^(x+1)2+2.

⑵畫出圖象如圖所示.

11

(3)-|<y<2

18.【解】⑴設(shè)銷售量y(個(gè))與銷售單價(jià)式元)之間的一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b.

,當(dāng)x=12時(shí)，y=96,當(dāng)x=20時(shí)，y=80,

12k+b=96,k=-2,

解得彳-'-y=-2x+120,

20左+Z?=80,[b=120,'

W=(x-10)(-lx+120)=-2x2+140x-1200.

(2)W=-2X2+140x-1200=-2(x-35)2+1250.

???立30,拋物線開口向下,在直線x=35的左側(cè)，丁隨x的增大而增大,

??.當(dāng)x=30時(shí),W有最大值.

答：銷售單價(jià)定為30元時(shí)才可獲得最大利潤(rùn).

19?【解】⑴設(shè)拋物線vi的表達(dá)式為＞=a(x-3)2+2,

將點(diǎn)A(1,0)的坐標(biāo)代入，得0=4a+2,解得＜2=-1,

???拋物線yi的表達(dá)式為V=-/-3)2+2.

根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性，得3(5,0),

J.AB=5-1=4.

⑵由題意得，”=-|(x-3)2+2+n,

令y2=0，貝卜T(x-3產(chǎn)+2+〃=0,

解得％=342〃+4,

CD=2y2〃+4=8,解得n=6,

.".y2=-T(x-3)2+8.

20.【解】⑴能.四邊形ABC。為矩形,

：.AB=CD,AD=BC.

籬笆總長(zhǎng)為50m,BC的長(zhǎng)為xm,

50-x

二?AB=CD=-2-m.

50-x

由題意，得不一y-=300,

解得xi=20,%2=30(不合題意,舍去).

???題圖①中花圃的面積能為300m2,此時(shí)x的值為20.

⑵設(shè)花圃的面積為Sn?.依題意，得S=g(50-x+d)x=-%+1(50+

a)x(0<x<25).

0<。<4,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=25+f,

a

???25<25+]<27?

又-3<°，拋物線開口向下，

...當(dāng)尤=25時(shí)，S有最大值.

-1x252+1(50+0)x25=325,解得a=1.

?"的值為1.

21.【解】(1)VA,3是拋物線y=52上的兩點(diǎn),且橫坐標(biāo)分別為-2和4,

???當(dāng)x=-2時(shí)，y=%(-2產(chǎn)=1;

當(dāng)x=4時(shí)，y=1x42=4.

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,1),點(diǎn)3的坐標(biāo)為(4,4).

設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b,

把點(diǎn)A(-2,1),3(4,4)的坐標(biāo)代入,

-2k+b=l,\k=\,

得解得彳久

耿+人=4,〔0=2.

直線AB的表達(dá)式為y=2x+2.

13

(2)對(duì)于直線y=|x+2,

當(dāng)x=0時(shí)，y=2,二.C(0,2),「?OC=2.

??S^AOB~S^AOC+SLBOC~]x2x2+/x2x4—6.

(3)如圖,作點(diǎn)C(0,2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C(0,-2),連接AC交無軸于點(diǎn)P,

連接PC，則此時(shí)PA+PC的值最小，最小值為AC的長(zhǎng).

設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=mx+n,

把點(diǎn)C(0,-2),A(-2,1)的坐標(biāo)代入,

得解得V2

-2=0+〃，?=-?

3

，直線AC的表達(dá)式為y=--2,

34

令y=0,則0=-牙-2,解得x=-W,

，0)

止匕時(shí)PA+PC的最小值為AC=#+(1+2)2=V13.

22.【解】(1)VA￡)=4m,￡)M=xm,/.AM=(x+4)m.

又?「AB=1m,

.\yi=1x(%+4)=x+4(0<x<6).

,??長(zhǎng)方形水池EFGH的周長(zhǎng)為12m,

：.EF+EH=6m.

又EF=xm,/.EH=(6-x)m,

".yi=x(6-x)=-x2+6x(0<x<6).

(2)>2=-x2+6x=-(x-3)2+9,

V-l<0,0<x<6,

.,.當(dāng)x=3時(shí)，,2有最大值，最大值為9,

???水池2面積的最大值為9n?.

y=x+4,

(3)聯(lián)立方程組得x2-5x+4=0,

y=-%2+6x,

解得xi=1,X2=4,.\C(1,5),。'(4,8),

由圖③知，當(dāng)0<%<1或4a<6時(shí),水池1的面積大于水池2的面積.

(4)存在以點(diǎn)C,D',P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,

0)或(0,0)或(2,8).

【點(diǎn)撥】?；丁2=-f+6x=-(X-3)2+9,

的對(duì)稱軸為直線x=3,即點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為3.

由題意,設(shè)P(m,-m2+6m),

分三種情況：

當(dāng)CP為對(duì)角線時(shí)，貝U1+機(jī)=4+3,解得機(jī)=6,

"(6,0)；

當(dāng)C。為對(duì)角線時(shí)，則1+3=m+4,解得m=0,

???P2(0,0)；

當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，貝U1+4=3+機(jī)，解得機(jī)=2,

，/3（2,8）.

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綜上，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,0)或(0,0)或(2,8).

23.【解】⑴.??拋物線產(chǎn)/+法+c與％軸交于A(-1,0),3(2,0)兩點(diǎn),

1-b+c=0,b=-1,

???,解得

4+2Z?+c=0,[c=-2,

???該拋物線的表達(dá)式