2024年高考數(shù)學一輪復習專題8.1線性規(guī)劃練習含解析

PAGEPAGE18.1線性規(guī)劃【套路秘籍】【套路秘籍】千里之行始于足下一．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax＋By＋C>0直線Ax＋By＋C＝0某一側的全部點組成的平面區(qū)域不包括邊界直線Ax＋By＋C≥0包括邊界直線不等式組各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分二.線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標函數(shù)關于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等線性目標函數(shù)關于x，y的一次解析式可行解滿意線性約束條件的解(x，y)可行域全部可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題留意事項：最優(yōu)解和可行解的關系最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不肯定是最優(yōu)解．最優(yōu)解有時唯一，有時有多個．可行域的推斷方法1.直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線；特別點定域：若直線不過原點，特別點常選原點；若直線過原點，則特別點常選取(0,1)或(1,0)來驗證．2.利用“同號上，異號下”推斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域：對于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，則有①當B(Ax＋By＋C)>0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的上方；②當B(Ax＋By＋C)<0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的下方．【修煉套路】【修煉套路】為君聊賦《今日詩》，努力請從今日始考向一截距型【例1】已知變量x，y滿意約束條件x+y-1≤03x-y+1≥0x-y-1≤0，則【答案】2【解析】作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）由z=2x+y得y=-2x+z，平移直線y=-2x+z，由圖象可知當直線y=-2x+z經過點A時，直線y=-2x+z的截距最大，即z最大.由x+y-1=0x-y-1=0，解得x=1y=0，即A1,0將A1,0代入z=2x+y，得z=2×1+0=2，即z=2x+y【套路總結】【套路總結】線性規(guī)劃問題的解題方法幾何法(1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平行直線系中過原點的那一條直線；(2)平移——將直線平行移動，以確定最優(yōu)解的對應點的位置；(3)求值——解方程組求出對應點坐標(即最優(yōu)解)，代入目標函數(shù)，即可求出最值．二．代入法(1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平行直線系中過原點的那一條直線；(2)求點——聯(lián)立方程求交點坐標(3)求值——將交點代入目標函數(shù)，進行比較，結果最大就是最大值，結果最小就是最小值．三．截距型：形如z=ax+by，求這類目標函數(shù)的最值常將函數(shù)z=ax+by轉化為直線的斜截式：y=-abx+z【舉一反三】1．若變量x,y滿意約束條件x≤1x+y≥03x-2y+5≥0，z=2x-y，則【答案】-3【解析】由約束條件作出可行域，如下圖陰影部分ΔABC，由z=2x-y有y=2x-z，令z=0,y=2x是經過原點的直線，將此直線向左上方平移時，當經過B點時，直線y=2x-z的縱截距最大，此時z的值最小，由x+y=03x-2y+5=0得B(-1,1),求得z=2x-y=-32．已知實數(shù)x,y滿意2x+3y-6≥0x-y+2≤0x≤4，則【答案】-4【解析】作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，聯(lián)立2x+3y-6=0x-y+2=0，解得A(0,2)，化目標函數(shù)z=x-3y+2為y=由圖可知，當直線y=13x-13z有最大值為z=0-3×2+2=-4.考向二斜率型【例2】（1）已知不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－2≥0，,3x＋y－8≤0，,x＋2y－1≥0，))則z＝eq\f(y,x＋1)的最大值與最小值的比值為。（2）已知實數(shù)x，y滿意x-2y-4≤0y+1≥0y-lnx≤0（3）在平面直角坐標系中，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤0，,x－y≤0，,x2＋y2≤r2))(r為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積為π，若x，y滿意上述約束條件，則z＝eq\f(x＋y＋1,x＋3)的最小值為?！敬鸢浮浚?）－eq\f(8,3)（2）2（3）－eq\f(7,5)【解析】（1）如圖所示，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－2≥0，,3x＋y－8≤0，,x＋2y－1≥0))所表示的平面區(qū)域為圖中的陰影部分，易知z＝eq\f(y,x＋1)表示平面區(qū)域內的點與定點P(－1,0)連線的斜率．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－8＝0，,2x－y－2＝0，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))故A(2,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－8＝0，,x＋2y－1＝0，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1，))故B(3，－1)，數(shù)形結合知AP的斜率最大，此時z＝eq\f(y,x＋1)最大，故zmax＝eq\f(2,3)；BP的斜率最小，zmin＝－eq\f(1,4).故z＝eq\f(y,x＋1)的最大值與最小值的比值為－eq\f(8,3).（2）作出可行域，如圖陰影部分（含邊界），z=x+y+1x=1+y+1x，其中y+1x表示可行域內的點(x,y)與定點P(0,-1)連線的斜率，由y=lnx得y'=1x，設切點為(x0,（3）作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由題意，知eq\f(1,4)πr2＝π，解得r＝2.z＝eq\f(x＋y＋1,x＋3)＝1＋eq\f(y－2,x＋3)，表示可行域內的點與點P(－3,2)連線的斜率加上1，由圖知當可行域內的點與點P的連線與圓相切時斜率最?。O切線方程為y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，則有eq\f(|3k＋2|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq\f(12,5)或k＝0(舍去)，所以zmin＝1－eq\f(12,5)＝－eq\f(7,5).【套路總結】【套路總結】一．利用線性規(guī)劃求最值，用圖解法求解的步驟(1)作可行域；(2)將目標函數(shù)進行變形；(3)確定最優(yōu)解；(4)求最值．二．斜率型形如【舉一反三】1．已知變量x，y滿意x-2y+4≥0x≤2x+y-2≥0，則A.[14,1]B.[1【答案】B【解析】由約束條件x-2y+4≥0x≤2聯(lián)立x-2y+4=0x+y-2=0，解得x=0y=2，即聯(lián)立x=2x+y-2=0，解得x=2y=0，即y+1x+2的幾何意義為可行域內的動點與定點C(-2,-1)∵kBC=0-(-1)2-(-2)=142.已知(x，y)滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1，))則k＝eq\f(y,x＋1)的最大值為________．【答案】1【解析】畫出可行域如圖陰影部分(含邊界)：因為k的幾何意義為可行域內的點P(x，y)與定點A(－1，0)連線的斜率，則由圖象可知AB的斜率最大，其中B(0,1)，此時k＝eq\f(1,0＋1)＝1.考向三距離型【例3】（1）若變量x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,x－2y＋6≥0，,x≤2，))則z＝(x－1)2＋y2的最大值為。（2）若x，y滿意約束條件x+y-2≤0x-2y+1≤02x-y+2≥0，則【答案】（1）17（2）1【解析】（1）z＝(x－1)2＋y2表示點(x，y)與點P(1,0)間距離的平方．畫出約束條件所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，易知P(1,0)與A(2,4)間的距離最大，因此zmax＝(2－1)2＋42＝17.（2）作可行域，則Z=x2+【套路總結】【套路總結】形如Z=（z-a)2+（y-b)2表示的是可行域中的隨意一點（x,y)與（a,b)兩點間距離的平方1．若x,y滿意約束條件x-y+2≥0x+y-4≤0y≥2，則【答案】1【解析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，x2則由圖象知D到直線BC：x-y+2=的距離最小，此時最小值d=|-0-3+2|2則（x+2）2+（y+3）2的最小值為d2=（12）2=12，故答案為：2．設變量x，y滿意約束條件x+y≤4,3x-2y≥6,y≥-1,則【答案】9【解析】由約束條件作出可行域，(x-1)2+y2的取值范圍就是可行域里面的點與點（1，0）的距離的平方的取值范圍，最小值為點（1，0）到直線3x-2y=6的距離的平方等于913考向四含有肯定值型【例4】已知實數(shù)x，y滿意條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－7≥0，,x＋3y－13≤0，,x－y－1≤0，))則z＝|2x－3y＋4|的最大值為。【答案】6【解析】不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－7≥0，,x＋3y－13≤0，,x－y－1≤0))表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中A(2,1)，B(1，4)．設t＝2x－3y，平移直線y＝eq\f(2,3)x，則直線經過點B時，t＝2x－3y取得最小值－10，直線經過點A時，t＝2x－3y取得最大值1，所以－6≤t＋4≤5，所以0≤z≤6.所以z的最大值為6.【套路總結】【套路總結】線性規(guī)劃中的目標函數(shù)中若含有肯定值，則解題時可依據(jù)點到直線的距離公式求解，在求解過程中須要留意對目標函數(shù)進行相應的變形，使之變?yōu)榫嚯x的形式，如ax+by+c=a2【舉一反三】1．已知實數(shù)x、y滿意條件x-y+2≥0x+y-4≥02x-y-5≥0，則A.45B.49C.【答案】A【解析】可行域如圖,B(3,1),C(7,9)，則y-5x+2表示可行域內的點與A（-2，5）連線斜率，其范圍為[kAB,k2．已知點Px,y滿意x-y+1≥0x+y-1≤0x≥0【答案】2,+∞.【解析】畫出不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示．∵2x+y-6+∴2x+y-6+y-2x+8表示可行域內的點到直線2x+y-6=0和2x-y-8=0的距離之和的5倍，結合圖形可得由2x-y-8=0x+y-1=0解得x=3y=-2，所以點A的坐標為此時2x+y-6+由2x+y-6=0x+y-1=0解得x=5y=-4，所以點A的坐標為此時2x+y-6+∴2x+y-6+故得2x+y-6+y-2x+8的取值范圍為考向五實際運用【例5】某部門為實現(xiàn)對某山村的精準扶貧，利用該山村的特產水果建廠生產A，B兩種飲品.生產1噸A飲品，需1小時，獲利900元；生產1噸B飲品，需1小時，獲利1200元.每天B飲品的產量不超過飲品A產量的2倍，每天生產B飲品的時間不低于生產A飲品的時間.若每天生產兩種飲品的總量至多4噸，則該廠每天的最大獲利為__________元．【答案】4400【解析】設每天A,B兩種飲品的生產數(shù)量分別為x,y，目標函數(shù)為z=900x+1200y，則有2x-y≥0x-y≤0可行域為三直線三交點為A0,0z=900x+1200y變形為y=-3平移直線y=-3當直線y=-34x+即當x=43,y=83最大獲利zmax=4【舉一反三】1．現(xiàn)某小型服裝廠鎖邊車間有鎖邊工10名，雜工15名，有7臺電腦機，每臺電腦機每天可給12件衣服鎖邊；有5臺一般機，每臺一般機每天可給10件衣服鎖邊.假如一天至少有100件衣服須要鎖邊，用電腦機每臺需配鎖邊工1名，雜工2名，用一般機每臺須要配鎖邊工1名，雜工1名，用電腦機給一件衣服鎖邊可獲利8元，用一般機給一件鎖邊可獲利6元，則該服裝廠鎖邊車間一天最多可獲利__________元．【答案】設每天支配電腦機和一般機各x，y臺，則一天可獲利z=12×8x+10×6y=96x+60y，線性約束條件為x+y≤102x+y≤1512x+10y≥1000＜x≤7，0＜y≤5??，畫出可行域（如圖），

2,。甲、乙兩種食物的維生素含量如下表：維生素A(單位/kg)維生素B(單位/kg)甲35乙42分別取這兩種食物若干并混合，且使混合物中維生素A，B的含量分別不低于100,120單位，則混合物重量的最小值為________kg.【答案】30【解析】設甲食物重xkg，乙食物重ykg，∵維生素A，B的含量分別不低于100,120單位，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y≥100，,5x＋2y≥120，,x≥0，,y≥0，))作出可行域如圖陰影部分所示(含邊界)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝100，,5x＋2y＝120，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝10，))即A(20,10)，混合物重z＝x＋y，平移直線z＝x＋y，由圖知，當直線過A(20,10)時，z最小值為20＋10＝30.考向六含有參數(shù)型【例6】已知實數(shù)x，y滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1≤0，,x＋y－5≤0，,4x＋y－8≥0，))若目標函數(shù)z＝x＋ay取得最小值的最優(yōu)解有多數(shù)多個，則z＝x＋ay的最大值為________．【答案】eq\f(7,2)【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，易得A(3,2)，B(1,4)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)，\f(4,5))).當a＞0時，y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(1,a)z，作直線l0：y＝－eq\f(1,a)x，平移l0，易知當直線y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(1,a)z與4x＋y－8＝0重合時，z取得最小值的最優(yōu)解有多數(shù)多個，此時a＝eq\f(1,4)，當直線過點A時，z取得最大值，且zmax＝3＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)；當a≤0時，數(shù)形結合知，目標函數(shù)z＝x＋ay取得最小值的最優(yōu)解不行能有多數(shù)多個．綜上所述zmax＝eq\f(7,2).【舉一反三】1.設關于x，y的不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋1>0，,x＋m<0，,y－m>0))表示的平面區(qū)域內存在點P(x0，y0)，滿意x0－2y0＝2，則m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))【答案】C【解析】圖中陰影部分表示可行域，要求可行域內包含y＝eq\f(1,2)x－1上的點，只須要可行域的邊界點(－m，m)在y＝eq\f(1,2)x－1下方，也就是m<－eq\f(1,2)m－1，即m<－eq\f(2,3).故選C.2.設x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥a，,x－y≤－1，))且z＝x＋ay的最小值為7，則a＝()A．－5 B．3C．－5或3 D．5或－3【答案】B【解析】依據(jù)約束條件畫出可行域如圖1中陰影部分所示：可知可行域為開口向上的V字型．在頂點處z有最小值，頂點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,2)，\f(a＋1,2)))，則eq\f(a－1,2)＋aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)))＝7，解得a＝3或a＝－5.當a＝－5時，如圖2.圖1圖2虛線向上移動時z減小，故z→－∞，沒有最小值，故只有a＝3滿意題意．故選B.3.若x，y滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,mx－y≤0，,3x－2y＋2≥0，))且z＝3x－y的最大值為2，則實數(shù)m的值為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C．1 D．2【答案】D【解析】若z＝3x－y的最大值為2，則此時目標函數(shù)為y＝3x－2，直線y＝3x－2與3x－2y＋2＝0和x＋y＝1分別交于A(2,4)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(1,4)))，mx－y＝0經過其中一點，所以m＝2或m＝eq\f(1,3)，當m＝eq\f(1,3)時，經檢驗不符合題意，故m＝2，選D.4．實數(shù)對(x,y)滿意不等式組x-y-2≤0,x+2y-5≥0,y-2≤0,則目標函數(shù)z=kx-y當且僅當x=3，y=1時取最大值，則A.(-∞,-12)∪[1,+∞)B.(-1【答案】C【解析】：如圖所示：，得到如圖的△ABC及其內部，其中A（1，2），B（4，2），C（3，1）

設z=F（x，y）=kx-y，將直線l：z=kx-y進行平移，

可得直線在y軸上的截距為-z，因此直線在y軸上截距最小時目標函數(shù)z達到最大值

∵當且僅當l經過點C（3，1）時，目標函數(shù)z達到最大值

∴直線l的斜率應介于直線AC斜率與直線BC斜率之間，∵∴k的取值范圍是[-5．已知實數(shù)x,y滿意x-y+2≥0,x+y≥0,5x-y-6≤0.若z=x+my的最小值是-5，則實數(shù)A.-4,6B.-74,6C.【答案】B【解析】由z=x+my得y=-1作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：∵z=x+my的最小值是-5，∴此時z=x+my=-5，此時目標函數(shù)過定點Q-5,0作出x+my=-5的圖象，由圖象知當m>0時，直線z=x+my經過B時，取得最小值-5；當m<0時，由平移可知當直線y=-1mx+由x-y+2=05x-y-6=0，解得A2,4同時A也在直線x+my=-5上，代入可得m=-7由5x-y-6=0x+y=0，解得B1,-1同時B也在直線x+my=-5上，代入可得m=6.則實數(shù)m取值的集合是-76．已知實數(shù)x,y滿意2x+y-2≥0x+2y-4≤0x-y-1≤0，且(k-1)x-y+k-2≥0恒成立，則實數(shù)【答案】4.【解析】：畫出2x+y-2≥0x+2y-4≤0直線k-1x-y+k-2=0過定點-1,-1若(k-1)x-y+k-2≥0恒成立，可行域在直線下面，當直線過0,2時，k-1有最小值2+11k最小值為4，故答案為4.【運用套路】【運用套路】紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行1._______．【答案】eq\f(14,3)【解析】約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,x＋y≤3，,y≤2x－1))對應的可行域如圖陰影部分(含邊界)所示：當目標函數(shù)所在直線過點A時，z取得最大值，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,y＝2x－1，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(5,3)))，此時x＋2y＝eq\f(4,3)＋eq\f(10,3)＝eq\f(14,3).2.________．【答案】3【解析】畫出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，由z＝x＋eq\f(1,3)y得y＝－3x＋3z，作出直線y＝－3x，并平移該直線，當直線y＝－3x＋3z過點A(2,3)時，目標函數(shù)z＝x＋eq\f(1,3)y取得最大值為2＋eq\f(1,3)×3＝3.3．若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,2x＋y－3≤0，,y≥1，))則eq\f(y＋1,x＋2)的最小值為________．【答案】eq\f(2,3)【解析】畫出x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,2x＋y－3≤0，,y≥1))的可行域如圖陰影部分所示(含邊界)．eq\f(y＋1,x＋2)的幾何意義為可行域內的動點P(x，y)與定點Q(－2，－1)連線的斜率，當P位于B(1,1)時，直線PQ的斜率最小，此時kmin＝eq\f(1＋1,1＋2)＝eq\f(2,3).4．已知點(x,y)滿意2x-y≥12x+y≤72x+3y≥5，則【答案】-1【解析】如圖所示：yx的幾何意義表示可行域內的點到原點O(0,0kOC=-145．已知實數(shù)x，y滿意y≥1y≤2x-1x+y≤m，假如目標函數(shù)z=x-y的最小值為-1【答案】5【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，聯(lián)立直線方程y=2x-1y=-x+m可得交點坐標為：A由目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最小值，據(jù)此有：m+13-2m-16．設點(x?，??y)滿意約束條件x-y+3≥0x-5y-1≤0【答案】12【解析】點（x，y）滿意約束條件&x-y+3≥0&x-5y-1≤0的三角形ABC區(qū)域，可知x∈Z，y∈Z，則這樣的點共有12個．設x，y滿意約束條件xy≥0,x+y≤2,則z=2x+y【答案】-4,4【解析】直線x+y=-2與x軸交于A(-2,0)點，與y軸交于B(0,-2)點，直線x+y=2與x軸交于C(2,0)點，與y交于D(0,2)點，題中約束條件對應的可行域為ΔAOB,ΔCOD兩個三角形區(qū)域，移動直線y=-2x+z，可知直線過點A時截距取得最小值，過點C時截距取得最大值，從而得到zmin=2×(-2)+0=-4,8．已知實數(shù)x，y滿意約束條件x-y+2≥0x+y+k≥0x≤1，且z=x+2y的最小值為3，則常數(shù)【答案】-2.【解析】：畫出約束條件x-y+2≥0由x+y+k=0x-1=0可得x=1將z=x+2y變形為y=-1平移