安徽省安慶市2025屆高三年級下冊模擬考試（二模）數(shù)學試卷

安徽省安慶市2025屆高三下學期模擬考試(二模)數(shù)學試卷

學校：___________姓名：班級：考號：

一'選擇題

1.[2025屆?安徽安慶?二模]已知復數(shù)z=2-(i為虛數(shù)單位)，則|z|=()

2-i11

A.亞B.撞C正D.工

553

1.答案：B

2i（2+i）_4i-2_24.

解析：因為z=上-

2-i（2-i）（2+i）555

24.

所以忖=—+—1

55

故選：B.

2.[2025屆?安徽安慶?二模]已知集合人={%|0<%<4+1},

§={%|%2—3%+2<0卜若3口A，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.（-CO,2]C.[1,+CO）D.（1,+CO）

2.答案：C

解析：B={X|X2-3X+2<0}=（1,2）,

又A={x|0<x<a+l},所以a+122，得

故選：C.

3.[2025屆?安徽安慶?二模]若將函數(shù)/(x)=sin2x+cos2x的圖象向右平移(P個單

位，所得圖象關(guān)于原點成中心對稱，則(P的最小正值是()

A.-B.-C.—D.—

8484

3.答案：A

解析：/(x)=0sin〔2x+：1,

將函數(shù)/(x)的圖象向右平移(P個單位得/(x)=Qsi12x+：-29],

由該函數(shù)為奇函數(shù)可知2夕-弓=左兀/eZ，

即夕=包+二次eZ，所以0的最小正值為土

288

故選：A

4.[2025屆?安徽安慶?二模]已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S.,若a2a5=2/，且

%與2小的等差中項為：，則邑=()

A.33B.31C.17D.15

4.答案：D

解析：因為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為Sj設其公比為q(qwO),

由已知a2a5~9故。3“4=2g9所以%=2，/+2%=2x—，則=—9

故q=3%=L所以，冬=8,故＜q(i—/)

以2q-S4=F-

故選：D.

5.[2025屆?安徽安慶?二模]已知平面向量力，B，B=(-則'[Z=-T是％

在B方向上的投影向量為仁，3)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.答案：C

解析：由于|5卜亞，日在B方向上的投影向量*6='a'b萬

「h’F

若洛14，則-望=;，故，?1—1，

若癡=-1，則

故選：C.

6.[2025屆?安徽安慶?二模]函數(shù)/(%)=0.2由+匕的圖象經(jīng)過原點，且無限接近直

線y=2但又不與該直線相交,則（)

A.函數(shù)/（%）不具有奇偶性B.。=2

C.函數(shù)八%）的值域為（YO,2）D.函數(shù)〃尤）的單調(diào)遞增區(qū)間為［0,y）

6.答案：D

解析：函數(shù)〃尤）的定義域為R,且“-力=/（-%）,故函數(shù)”可為偶函數(shù)，A錯誤;

由函數(shù)”可的圖象過原點，有〃0）=0，即a+b=0,所以〃x）=a（2TH-1）,由于

-1<2第一"0，"X）的圖象無限接近直線y=2但又不與該直線相交，故。<0,且

0Wa（2?-1）<一。，故a=—2，于是B,C錯誤；

-2)-x+2,x>0

由上面的分析得出函數(shù)〃x）=-2-2%+2=<，顯然的單調(diào)遞增區(qū)間

-2l+x+2,x<0

為［0,+8），故D正確;

故選：D.

7.［2025屆?安徽安慶?二模］設事件A,3為兩個隨機事件，P（A）wO，P（8）w0,

且P（Z|可=P（5|A）,貝（1（）

A.P（JB|A）=P（B|A）B.P（B|A）=P（A|JB）

C.P⑷可=P（A|5）D.P（A|B）=P（B|A）

7.答案：B

解析：由P（X|B）=PGB|A）可得以些=以些，

P（B）P（A）

又P(AB)+P(AB)=P(B)nP(AB)=P(B)-P(AB),

所以。㈤期f(明=1P(如夕(明

P(B)P(A)P(B)P(A)'

所以-”=萼2，即p-T)二T，

P(A)P(B)P(A)P(B)

P(AB)P(AB)工曰-

0即n」~~-?于是尸A)=P(A|3).

P(A)P(B)

故選：B.

8.［2025屆?安徽安慶?二模］已知曲線C：y2—爐=1，直線/：y=Ax+i,若/與c有

三個交點，且一個交點平分另兩個交點連成的線段，貝1)()

A.k=B.&；=—3C.左=3D.k=出

8.答案：A

rv2_3=1

解析：顯然C與/交于點A(O,1),由,得—左2爐_2依=0,

y=kx+l

得為2一人2%一2左=0或尤=0,設另外兩個點為3(%,%),/°),

則王+々=獷，x,x2=-2k,不妨設%<9，

已知一個交點平分另兩個交點連成的線段，

當石<0<%2時，藥+%2=0，止匕時左=0，則％1々=0，不合題意；

當0<X］<&時，2*=々，得'2左=：%"=-2k,解得k=一我■

又石+工2=A2,所以用<%<0不成立，

故選：A.

二、多項選擇題

9.［2025屆?安徽安慶?二模］某市為了了解一季度居民的用水情況，隨機抽取了若

干居民用戶的水費支出(單位：元)進行調(diào)查，將所得樣本數(shù)據(jù)分為4組：［20,30),

［30,40),［40,50),［50,60］,整理得頻率分布直方圖如圖所示，則()

I頻率/組距

0.036------------1—?

0.024---------T—

0.010———

O2030405060支出/元

A.樣本中水費支出位于區(qū)間［50,60］的頻率為0.03

B.按分層抽樣，從水費支出位于區(qū)間［20,30)和［50,60］的用戶中共抽取16戶，則應從

水費支出在［20,30)的用戶中抽4戶

C.水費支出的中位數(shù)的估計值為45

D.若從該市全體居民用戶中隨機抽取5戶，以事件發(fā)生的頻率作為概率，則水費支出

位于區(qū)間［30,50）的用戶數(shù)的估計值為3

9.答案：BD

解析：因1-（0.01+0.024+0.036）xl0=0.3，

所以樣本中支出在設0,60］的頻率為0.3,A錯誤;

—16x-=4-B正確：

0.334

因Q5—（0.1+0.24）=0.16，中位數(shù)的估計值為40+費xl0a44.4,C錯誤;

記抽出的5戶中一季度水費支出位于區(qū)間［30,50）的用戶數(shù)為X,0.24+0.36=0.6，根

據(jù)題意可知X?3（5,0.6），￡（X）=5x0.6=3，D正確.

故選:BD.

10.［2025屆?安徽安慶?二模］如圖，在正三棱柱ABC-45］G中，AB=①，

5A=1,點P為正三棱柱表面上異于點用的點，則（）

A.存在點P,使得尸用，3G

B.直線2瓦與平面B4GC所成的最大角為45。

C.若P,A,BjG不共面，則四面體PA51G的體積的最大值為無

6

D.若=0,則點P的軌跡的長為3&+27t

6

10.答案：ACD

解析：對于A選項，當點P為中點時，

兩.西=［；而+甌［網(wǎng)+不）=,；配+函）網(wǎng)+西

=-1+0+0+1=0-所以P與，3G，故A正確；

對于B選項，當點P位于點A時，NAgG=60。為直線尸片與平面所成角，故

B錯誤；

對于C選項，當點P位于點A（或棱上）時，點P到平面AB1G的距離最遠，此

時四面體p44cl的體積最大，以點A為例，

此時Vp-ABC=/-MG=匕-4“,=1,四絡，故C正確；

對于D選項，若PB[=&.，如圖，

在棱上取點。，使3￡>=1，在棱AB上取點E使鹿=1，

則點尸的軌跡由圓弧AE，CDDE構(gòu)成，

且其所在圓的半徑依次為44=0，45=也，BD=1^

圓心角依次為45。，45。，60°-

圓弧AE，C,D-DE的長分別為叵，叵，烏，

11443

故點尸的軌跡的長為逑壁兀，故D正確；

6

故選：ACD.

11.[2025屆?安徽安慶?二模]若實數(shù)七,々滿足爐=2-X],々1nx2=1-2々，則（）

A.0<X]<；B.X2（2-%1）=1C.X2<D.4—石<；

11.答案：ABD

解析：設函數(shù)/（"=/+%-2,顯然為增函數(shù)，

/（0）=-1<0，/[<）=/_|〉0，由已知/（玉）=0,故0<X]<g，故A正確；

./.In-1,,1

由％21叫=1-2%2，有匕巧+1口---2=0，故再=1口一,

-%/

則。為=，，故々(2-石)=1，故B正確；

由0<ln—<—,得,故九2>王，故C錯誤；

x222Je

由％2(2—%)=]得/=2,貝!J%—芯=々H-----2,

X2X2

1

由于!</<1，得Oc4-----2<—,故D正確.

2

2%22

故選：ABD.

三、填空題

12.[2025屆?安徽安慶?二模]已知圓C]:%2+y2+4x—4y—l=0與圓

。2：/+/—2x+2y—7=0相交于兩點A,B,則四邊形4。田。2的面積等于?

12.答案：9

解析：由已知,圓G：(x+2y+(y-2)2=9,圓6：(1)2+3+1)2=9,

圓心G：(—2,2),半徑八=3,圓心G：(l,—1)，半徑4=3,

法一：如圖，準確畫圖，容易發(fā)現(xiàn)四邊形AGBC2是邊長為3正方形，其面積為9；

法二：將兩圓方程相減，可得公共弦所在直線的方程為：

x—y+l=O,G到A3距離為d=上了d=地，所以網(wǎng)=32,

V1+1222

即IAB|=3四,又IQCJ=^(-2-1)2+[2-(-1)]2=3屈,

所以，四邊形ACyBC2的面積S=^AB\-\CXC^=9.

故答案為：9.

13.[2025屆?安徽安慶?二模]數(shù)列｛。"｝滿足％=1,an+l=a^+2an>貝U使得

M+l>2025的最小正整數(shù)n的值為..

13.答案:6

解析：因為a.=a；+2%,所以4+i+l=+1戶ln(an+1+1)=21n(an+1)>

又q+l=2,所以ln(a〃+l)為以也2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以山(4+1)=2"力!12,所以4,=22"一'—1，則使得向口=石出>2025，

計算得〃最小正整數(shù)值為6,

故答案為：6.

14.[2025屆?安徽安慶?二模]將3個1,3個2,3個3共9個數(shù)分別填入如圖3x3

方格中，使得每行、每列的和都是3的倍數(shù)的概率為.

14.答案：—

70

解析：將3個1,3個2,3個3共9個數(shù)填入一共有C；C：C：=1680種方法.

每行，每列的和為3的倍數(shù)有兩種可能：

①每行或每列的數(shù)字相同，有2A；=12種方法，

②每行或每列的數(shù)字1,2,3各一個，有A；C；=12種方法.

所以每行，每列的和都是3的倍數(shù)的概率為。=0±=工.

168070

故答案為：±,

70

四、解答題

15.[2025屆?安徽安慶?二模]Deepseek席卷全球引發(fā)了AI浪潮.某中學為豐富學生

個性化學習生活，組織成立Deepseek應用學生社團組織，成立數(shù)據(jù)運用、模型設計、

場景分析、遷移學習等四個學生社團并計劃招募成員，由于報名人數(shù)超過計劃數(shù)，將

采用隨機抽取的方法確定最終成員.下表記錄了四個社團的招募計劃人數(shù)及報名人數(shù).

計劃人報名人

社團

數(shù)數(shù)

數(shù)據(jù)運用50100

模型設計60m

場景分析n160

遷移學習160200

甲同學報名參加這四個學生社團，記自為甲同學最終被招募的社團個數(shù)，已知

p(^=o)=—,p(^=4)=—.

''40V'10

⑴求甲同學至多獲得三個社團招募的概率;

(2)求甲同學最終被招募的社團個數(shù)的期望.

15.答案：⑴上

10

(2)2.3

解析：(1)由于事件“甲同學至多獲得三個社團招募”與事件“J=4”是對立的,

所以甲同學至多獲得三個社團招莫的概率是1-P(J=4)=l-[9

To

(2)解法1：設甲同學被數(shù)據(jù)運用，模型設計，場景分析，遷移學習等各社團招葛依

次記作事件A,B,C,D由題意可知,

50、1

=0)=P(ABCD)=1-TooJX

40

5060n1601

P^=4)=P(ABCD)=___x__x___x____

100m16020010

又》z〉60，“<160，解得機=120，〃=80，

則P(J=1)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)

_J_j_J.J_1111j_j_j_j_ill

P記=3)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)

_j_j_j_j_j_j_j_4j_j_j_4114_

3

PC=2)=l_PC=0)_PC=l)_PC=3)_PC=4)=d，

o

所以4的分布列為:

01234

173131

P

4040840W

173131

E⑷=0x—+lx—+2x-+3x—+4x—=2.3.

404084010

解法2：設甲同學被數(shù)據(jù)運用，模型設計，場景分析，遷移學習等各社團招募依次記

作事件A，B,C,D由題意可知,

&4=0)=~麗麗)=[-^^義1

40

5060n1601

P^=4)=P(ABCD)=-------X—X--------X---------

100m160200To

又加〉60，〃<160，解得力=120，n=80-

設甲同學報名數(shù)據(jù)運用，模型設計，場景分析3個社團，最終被招募的社團個數(shù)X,

由于其被招募的概率均為;，所以X服從二項分布，故X?3。]];甲同學被遷移學

習社團招募的概率為土，最終被遷移學習社團招募的個數(shù)為匕則r也服從二項分

5

布，

y~1,1,從而j=x+y,

,,14

^E（（^）=E（X+y）=E（X）+E（y）=3x-+lx-=2.3.

16.[2025屆?安徽安慶?二模]在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

且bsinB-asinA=asinC?

（1）證明：B=2A；

⑵若角C為銳角，且a=l，ZiABC的面積為貴，求邊長6的大小.

4

16.答案：（1）證明見解析

（2%二"

解析：（1）證法1：由正弦定理得，si/g-sin2A=sinAsinC.

?「sin（B+A）-sin（B-A）=（sinBcosA+cosBsinA）（sinBcosA-cosBsinA）

二（sinBcosA）2-（cosfisinA）2=sin25（^l-sin2A）-^1-sin25）sin2A=sin25-sin2A，

sin（B+A）-sin（B-A）=sinA-sinC，即sinC-sin（B-A）=sinA-sinC,

?/A,Ce（0,7i）,「.sinCwO，sinA>0,故sin（5-A）=sinA>0,

???A5￡（0,TI），

B—A=A或_B-A=JI-A?

5=2A或3=兀（舍），故5=2A.

證法2：由正弦定理得，Z?2_〃2=QC，

由余弦定理得，〃=〃2+，_2accosB=a2+ac9

?'-c2—2accosB=ac9即2acosB=c—a，

2sinAcosB=sinC-sinA=sin（A+5）—sinA=sinAcosB+cosAsinB-sinA,

sin（B-A）=sinA.

vAG（0,7i）,「.sinA>0，即sin（5—A）>0，

???0<B-A<n^

?-B—A=A或i_B-A=TI-A9

「?5=24或5=兀（舍），故5=2A.

（2）由§=d,得工〃0sinC=—?即asinC=—,

4242

sinAsinC=—sinB=sinAcosA，

2

AG（0,7i）,/.sinAw0,故sinC=cosA,

C￡[0,5]sinC>0,即cosA>0,故人三/耳）,

C=--A,即C+A=4,故3=工，A=-=-^

22224

△ABC為等腰直角三角形,

a=1>b=y/2a=V2,

17.[2025屆?安徽安慶?二模]如圖，在矩形ABC。中，A5=6，BC=4,E為AD

中點，R在CD邊上，且CF=2"，將入DEF沿EF翻折至APFF，得到五棱錐

P—ABCFE，”為PB中點.

⑴求證：〃平面PCF：

(2)若平面PEF,平面ABCFE，求直線40與平面PC尸所成角的正弦值.

17.答案：(1)證明見解析

⑵①

15

2

所以AE//3Q且AE=BQ,

所以四邊形ABQE為平行四邊形，

所以E0/AB,又FCIIAB，所以EQ〃歹C，

因為EQ.平面PCP，所以EQ〃平面PCF，

在△尸BC中，M,。分別為pg,的中點，所以MQ/PC,

因為MQ<Z平面PPC，所以MQ〃平面P6，

因為石。0〃。=。，EQu平面EMQ,MQu平面EMQ,

所以平面EMQH平面PCF，

又石Mu平面EMQ，所以EM〃平面PCV；

(2)取E_F中點。，連接0P，如圖所示，

因為在矩形ABCD中，AB=6，5c=4，CF=2DF，

所以在Rt^PE/中，PE=PF=2,POLEF，且尸0=應，

因為平面PEP,平面ABCFE，且平面尸石戶「平面ABCEE=EF，

所以PO_L平面ABCFE，以。為坐標原點，OP所在直線為z軸，并過。點分別作與

平行的直線為x軸，與A5平行的直線為V軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

根據(jù)題意可得：P(0,0,A/2),4(3,—1,0)，5(3,5,0)-

C(-l,5,0).F(-1,1,0).Mgg與

所以而=卜1』,一庭),岳=(0,T,0)，

設平面PC尸的法向量為為=(x,y,z),

有1—x+y—0z=。，所以卜=-&z,

-4y=0y=0

取Z=l，得平面PCF的一個法向量為為=卜0,0,1),

又:W=設直線AM與平面per所成角的。，

I222)

|W-n|

則sing=cos,AM用

|AAf|-|n|

2W

15

所以直線A"與平面PCV所成角的正弦值為迎.

15

18.[2025屆?安徽安慶?二模]已知拋物線C：f=2加(p>0)的焦點R也是橢圓

22

土+工=1的一個焦點，過R的直線交。于A,3兩點.

P3

(1)求拋物線C的方程：

⑵求證：拋物線C在A,3兩點處的切線互相垂直；

⑶設M為線段A3的中點，以線段4以為直徑的圓交拋物線C在A處的切線于點P,

試判斷網(wǎng)幽是否為定值，并證明你的結(jié)論.

|AP『

18.答案：⑴爐=4>

⑵證明見解析

(3)網(wǎng)上耳=4為定值，證明見解析

|AP|2

解析：(1)易知，拋物線C:f=20；(p>O)開口向上，且焦點坐標為，￡1，

22

所以橢圓土+匕=1的焦點也在y軸上，則4=3，投=p

P3

由(j=3-p，解得：P=2,所以拋物線C的方程為必=分.

(2)因為直線與拋物線有兩個交點，所以其斜率必存在，

設直線AB的方程為丁=Ax+l,；

,[y=kx+\,

由19ox--4乙一4=0，貝!]石々=一4

對y=工/求導得y'=—x>

'4-2

設拋物線。在A,5兩點處的切線斜率分別為刈k2=^x2,

貝Uk[k?——Xyx_%2=_=一]，

即拋物線。在A,5兩點處的切線互相垂直.

(3)

解法1：由(2)可知AP：y=：石(x—xj即y=gx[X_：x；,

則AP與x軸的交點坐標為Q]],。]，

J

F^|AB|.|AF|=AB-AF=(%2-%1,y2-y1)-(-%1,l-j1)

/22、(2、

=-%；%2+x^+(y2-y1)(l-y1)=-jqx2+xf+芋一---1一-j-

1-H■八代）

二儲+4丫

16x1

而=[f]

1說?網(wǎng):

AP=W-cosZAM2=

Ll+「-x：￥（x；+4）（、3

=432=32=廿+為

區(qū)+dJ,（x；+4）8xJ

V4164

（x；+4）364x；

，|AP|216k（eq，

所以眄磔為定值.

|AP『

解法2：設拋物線在A,3兩點的切線乙，L,切線交點為T,

故小尸夫好一$；,4：尸夫2尸入；,

聯(lián)立解得T點坐標為［生產(chǎn)，卓］,

由(2)知西々=一4,T點坐標為［”^,一1

且ZA7B=90°，所以MP//BT，

嚼喘三即"

,77兀+%

因為左至=21二&二卓所以""左X-

玉一124

即ABJ_FT，故在RtZXABT中，AABTs^ATF，

所以用=惴’BPM-M=K=4MS

所以?；?4為定值.

解法3：因為心8==&=%4^，

玉一%24

故|4創(chuàng)=忱_々。+［七上:=|…|用片聲"

=|x—X|J"1+"2-2西工2-_("1一-

2

又|AP|=H+1='J，所以|人鄴|4川=(占+)

XU-X|

2

IATI=1—丫j+(X+1)2=+1)2

3

/、2/27

14(片+4

%H--+—+1

41X])14)16k

即|ABHAF|=|AT「，

由(2)知NA7B=90。，所以MP//BT，

即|叫小刀，

故町治4

|AB|.|AF|

所以4為定值.

\AP\2

19.[2025屆?安徽安慶?二模]定義在同一數(shù)集/上的函數(shù)工(%),力⑴，力⑴按

一定順序排成一列，稱為數(shù)集/上的函數(shù)列，記為｛力(x)｝,〃eN*.力(x)的導函數(shù)為

力’(%),

⑴若｛力(X)｝滿足力(x)=｝",x?O，y)，〃eN