2025年中考數(shù)學三輪沖刺：直線與圓的位置關系綜合解答題 強化練習題（含答案）

2025年中考數(shù)學三輪沖刺：直線與圓的位置關系綜合解答題強

化練習題

1.如圖，。。中，A3是。。的直徑，G為弦AE的中點，連接OG并延長交。。于

點、D,連接8。交AE于點/，延長AE至點C,使得FC=3C,連接6C.

3

（2）。0的半徑為5,tanA--,求ED的長.

4

2.如圖，在等腰△A6C中，AB=AC,以AB為直徑作。O交5C于E，過點3作

ZCBD=-ZA,過點。作CD_L3￡）于。.

2

（2）若CD=2,BC=26求OO的直徑.

3.如圖所示,AB是。。直徑，。。_1弦3（?于點F,且交。。于點E,S.ZAEC=ZODB.

笫1頁共31頁

(1)判斷直線和。。的位置關系，并給出證明；

(2)當48=10,BC=8時，求△OF2的面積.

4.如圖，己知AB是。。的直徑，直線BC與。。相切于點B,過點A作AD//OC交

于點D,連接CD.

(1)求證：CD是。。的切線.

(2)若AD=4,直徑A3=12,求線段BC的長.

5.四邊形ABCD內(nèi)接于。O,點P為AD、BC延長線的交點，NADC=90°+-ZP.

2

(1)求證：ZA=ZB.

(2)如圖2,點M為。0的中點，在線段AP上確定一點N,使M、N、A三點為頂

點的三角形與AAMC相似而不全等，并判斷在此情況下MN與。O的位置關系，證明

你的結論.

6.如圖，是。。的直徑.四邊形A8CD內(nèi)接于AO=CD,對角線AC與

交于點E，在BD的延長線上取一點/，使。歹=?！辏B接AF.

(1)求證：AE是。。的切線；

(2)若AE>=5,AC=8,求。。的半徑.

7.如圖，AABC內(nèi)接于0O,AD平分/BAC交BC邊于點E,交。O于點D,過點A

作AFLBC于點F,設。。的半徑為R,AF=h.

第2頁共31頁

(1)過點D作直線MN〃BC,求證：MN是。。的切線;

(2)求證:AB?AC=2R?h；

4R+Ar

(3)設NBAC=2a,求--------的值(用含a的代數(shù)式表示).

AD

8.如圖，在AA5C中，AB=AC,點D在BC上，BD=DC,過點D作。E_LAC,

垂足為E,O。經(jīng)過AB,。三點.

(1)求證：AB是。。的直徑；

(2)判斷DE與。。的位置關系，并加以證明；

(3)若。。的半徑為6,ABAC=60。，求DE的長.

9.如圖，在平行四邊形ABCD中，ZD=60°,對角線ACLBC,經(jīng)過點A,B,

與AC交于點M,連接AO并延長與。O交于點F,與CB的延長線交于點E,AB=EB.

(1)求證：EC是。O的切線；

(2)若AD=2，§\求AM的長(結果保留兀).

10.如圖，A5為。O的直徑，。為。。上一點，AOLCE,垂足為。，AC平分NZMB.

4

(2)若AD=4,cosZCAB=~,求A5的長.

第3頁共31頁

11.如圖，直徑為AB的。。交RtABCD的兩條直角邊BC,CD于點E,尸，且*=浙，

連接

（1）求證C。為。。的切線；

（2）當CF=1且/。=30。時，求。。的半徑.

12.如圖，nABCO中，NA8C的平分線2。交邊AD于點。，。。=4,以點。為圓心，

。。長為半徑作。。，分別交邊ZM、0c于點M、N.點E在邊8C上，0E交。。于點

G,G為MN的中點?

（1）求證：四邊形ABE。為菱形；

（2）已知cos/ABC=』，連接AE,當AE與。。相切時，求的長.

3

13.平行四邊形ABCD的對角線相交于點M,AABM的外接圓圓心。恰好落在AD邊

上，若/BCD=45。.

ci）求證：BC為。0切線;

（2）求/ADB的度數(shù).

第4頁共31頁

14.如圖，AC是。。的直徑，是。。的弦，點P是。。外一點，連接

PB,AB,NPBA=NC.

(1)求證：P3是。。的切線；

(2)連接。尸，交于點Q，若OPI/BC,且OP=6,。。的半徑為2,求的

長.

15.如圖，△ABC中，ZACB=90°,。為A2上的一點，以CD為直徑的。。交AC于

E,連接BE交C￡)于P,交。。于F，連接。E/ABC=NEFD.

(1)求證：A8與。。相切；

(2)若AO=4,BD=6,則。。的半徑=；

(3)若PC=2PF,BF=a,求CP(用a的代數(shù)式表示).

16.如圖，在"BC中，AB=AC,點。在BC上，以02為半徑的。。經(jīng)過點A,交BC

于點。，連接AD,AD=CD.

(1)求證：AC為。。的切線；

(2)延長A。到點R連接交。。于點E,連接。E,若AF=4,BF=5,求。。

的半徑.

第5頁共31頁

17.如圖，^ABC內(nèi)接于。O,ZB=60°,CD是。O的直徑，點P是CD延長線上的一

點，且AP=AC.

試求：(1)求證：PA是。O的切線；

(2)若PD=3,求。。的直徑.

18.A2是AA3C的外接圓。。的直徑，尸是半徑02上一點，PE±AB^BC^F,交

AC的延長線于E,。是EE的中點，連接C。，

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)連交8C于G,若G為。。的中點，AC=6,求CE的長.

19.如圖，AB是。。的直徑，點D是。O上一點，NBAD的平分線交。O于點C,過

點C的直線與AD互相垂直，垂足為點E,直線EC與AB的延長線交于點P,連接BC,

已知PB:PC=1：石.

(1)求證：CP是。0的切線；

(2)若。。的半徑為r,試探究線段PB與r的數(shù)量關系并證明.

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20.如圖，四邊形Q4BC中，N043=NOCB=90°,BA=3C.以。為圓心，以。4為

半徑作。。.

(1)求證：6c是。。的切線.

(2)連接3。并延長交。。于點。，延長A。交。。于點E,與的延長線交于點F,

①補全圖形；

②若AT)=AC，求證：OF=OB.

第7頁共31頁

參考答案

1.解:

（1）???點G是AE的中點,

:.OD±AE

?;FC=BC

:.NCBF=NCFB

■.■ZCFB=ZDFG

:.ZCBF=ZDFG

-.■OB=OD

Z.ODB=NOBD

NODB+ZDFG=90°

.-.ZOBD+ZCBF=90°

即ZABC=90°

QOB是。。的半徑，

.?.BC是。。的切線

（2）連接AD

-：OA=5,tanA=—

4

:.OG=3,AG=4

:.DG=OD—OG=2

QAB是0。的直徑

:.ZADF=90°

■.■ZDAG+ZADG=90°,ZADG+ZFDG=90°

第8頁共31頁

:.ZDAG=ZFDG

:.ADAG~AFDG

DGFG

"AG~1)G

:.DG~=AGFG

.-.4=4FG,

:.FG=1

二由勾股定理可知：=

2.解:(1)證明：連接AE,

QAB是的直徑

:.ZAEB=9Q°,

AE±BC,ZABE+NBAE=90°

又?.?△ABC為等腰三角形

ZBAE=-ZBAC

2

又QNCBD=g/BAC

ZABD=ZABE+ZEBD=ZABE+ZBAE=90°

AB±BD,

Q08是O。的半徑

:.BD是OO的切線

(2)由(1)在等腰6c中，AE±BC,

:.BE=EC=-BC=y[3

2

第9頁共31頁

???CD，5D于點。.

:.ZCDB=ZABD=90°,

Q/CBD=/BAE,

:NBCD:YABE,

BCCD

*AB-BE

即球,

AB百

.-.AB=3

二。。的直徑為3.

3.

(1)解:直線和。。的位置關系是相切

證明：VZAEC=AABC,ZAEC=ZODB,

：.ZABC=ZODB,

?.?。心弦小，

：.ZOFB=90°,

：.ZDOB+ZABC^90°,

：.ZBOD+ZD=90°,

：.ZOBD=180°-90°=90%

：OB是半徑，

直線BO是。。的切線，

即直線BO和。。的位置關系是相切

(2)解：?！晔恰?。的半徑，BC=8,

：.BF=CF=—BC=4,/DFB=90°,連接AC,

2

:A8是圓的直徑，

第10頁共31頁

?:/D=NABC,

：.△ACBsABFD,

s”UcJ[6)9

,?AABC的面積是上x6x8=24,

2

32

...△DEB的面積是一，

3

32

答：△OFB的面積是一.

3

4.解：

(1)如圖，連接OD,則Q4=OB=OD

:.ZDAO^ZADO

QAD//OC

ZDAO=NBOC,ZADO=NDOC

:.ZBOC=ZDOC

直線BC與相切于點B

:.ZOBC=9Q°

OD=OB

在/\COD和ACOB中，＜ZDOC=ZBOC

OC=OC

:.LCOD工配OB(SAS)

:.ZODC=ZOBC=90°

又：。。是。。的半徑

.?.CD是。。的切線；

第11頁共31頁

(2)如圖，連接BD

由圓周角定理得：ZADB^90°

\-AD=4,AB=12

BD=\IAB--AD~=>/122-42=872，OB=gAB=|xl2=6

ZBOC=ZDAB

在△OCB和八450中,

ZOBC=ZADB=90°

OBBC6=5C

'AD=~BD,即不建

解得BC=12&.

5.

(1)證明：VZADC=ZP+ZDCP,又/ADC=90°+—ZP.

2

；./P+/DCP=90°+—ZP.化簡得，NDCP=90°-—ZP,

22

又NPDC=180°-(90°+—ZP)=90°-—ZP,

22

NDCP=NPDC,.\PD=PC,

又；四邊形ABCD內(nèi)接于。O,

.-.ZADC+ZB=ZADC+ZPDC=180°,

.-.ZPDC=ZB,

同理，ZDCP=ZA,所以，NA=/B.

第12頁共31頁

D

(2)解：點M為°C的中點，.,.ZCAM=ZMAP,

當NAMNi=NAMC時，△AMNi之△AMC,不合題意，舍去.當NAMN?=NACM時,

此時AAMN2s^ACM且不全等.MN2為。。的切線.如圖所示輔助線，EM為直徑，

NECM=90°=ZECA+ZACM,

又NECA=NEMA,

NEMN2=NEMA+NAMN2=NECA+NACM=90°,OM為半徑，

；.MN2為。O的切線.

B一

6.解：(1)證明：QAB是。。的直徑，

.?.ZAD5=90°，

AD±EF,ZBAD+ZABD=90°

又,：DF=DE,

:.AF=AE,

:.ZFAD=ZEAD.

?：AD^CD,

:.ZFAD=ZEAD=ZACD=ZABD,

ZFAB=ZFAD+ZBAD=ZBAD+ZABD=90°，

是。。的切線.

(2)如圖，連接OD,交AC于M,

第13頁共31頁

C

E

-.AD^CD,

AD=CD

ODLAC,AM=CM=^AC=^,

AD=CD=5，

在HADMC中，DM=yJCD--CM2=3-

設。。的半徑為r,

在RfAAMO中，ME=r-3,

???AO2=AM2+OM2>

r2=42+(r—3)2，

25

解得：r=一，

6

25

???。。的半徑為

6

7.解：(1)證明：如圖1,連接OD,

MDN

圖1

:AD平分NBAC,ZBAD=NCAD,??.麗=徐

又：OD是半徑，.?.OD_LBC,

VMN/7BC,/.OD±MN,MN是。0的切線；

第14頁共31頁

(2)證明：如圖2,連接AO并延長交。。于H,

：AH是直徑，.-.ZABH=90°=ZAFC,

又?.?/AHB=NACF,

/.△ACF^AAHB,

?A。AF

"AH~AB'

AB?AC=AF?AH=2R?h；

(3)如圖3,過點D作DQJ_AB于Q,DP±AC,交AC

延長線于P,連接CD,

：NBAC=2a,AD平分NBAC,

.?.ZBAD=ZCAD=a,；?BD=CD，，BD=CD,

VZBAD=ZCAD,DQXAB,DP±AC,，DQ=DP,

/.RtADQB^RtADPC(HL),ABQ=CP,

VDQ=DP,AD=AD,

/.RtADQA^RtADPA(HL),；.AQ=AP,

AB+AC=AQ+BQ+AC=2AQ,

AQAQAB+AC

VcosZBAD=,AD=--------,-------------=AQ=2cosa.

ADcosaAD-------

cosa

(1)連接OD,由角平分線的性質(zhì)可得NBAD=NCAD,可得標=而，由垂徑定理可得

第15頁共31頁

OD±BC,可證ODLMN,可得結論；(2)連接AO并延長交。。于H,通過證明

ACAF

△ACF^AAHB,可得——=——，可得結論；(3)由“HL”可證Rt^DQB0RtZiDPC,

AHAB

RtADQA^RtADPA,可得BQ=CP,AQ=AP,可得AB+AC=2AQ,由銳角三角函數(shù)可

得AD=3-,即可求解.

cosa

8.

(1)證明：連接AD,

VAB=AC,BD=DC,

.,.AD±BC,

AZADB=90",

；.AB為圓O的直徑；

(2)DE與圓O相切,

理由為：連接OD,

VO,D分別為AB、BC的中點，

，OD為AABC的中位線，

/.OD//BC,

VDEXBC,

；.DE_LOD,

：OD為圓的半徑，

；.DE與圓O相切；

(3)解：VAB=AC,ZBAC=60°,

.??△ABC為等邊三角形，

；.AB=AC=BC=12,

連接BF,

：AB為圓。的直徑，

第16頁共31頁

.'.ZAFB=ZDEC=90°,

AAF=CF=6,DE〃BF,

???D為BC中點，

???E為CF中點，即DE為ABCF中位線，

在Rt^ABF中，AB=12,AF=6,根據(jù)勾股定理得:

BF=65貝IJDE=1~BF=3G

9.(1)證明：連接OB,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

???NABC=ND=60。，

VACXBC,

???ZACB=90°,

AZBAC=30°,

VBE=AB,

AZE=ZBAE,

NABC=NE+NBAE=60。，

???NE=NBAE=30。，

VOA=OB,

???NABO=NOAB=30。，

.?.ZOBC=30°+60°=90°,

AOBXCE,

???EC是。。的切線；

(2),?,四邊形ABCD是平行四邊形,

???BC=AD=25

過O作OH_LAM于H,

第17頁共31頁

則四邊形OBCH是矩形，

，OH=BC=2B

OH

；.0A=--------7=4,NAOM=2NAOH=60°,

sin60

.60-yrx44〃

AM的長度=———=-?

loll3

10.

(1)證明：連接oc,

-：AD±CE

：.ZADC=90"

.1.Zl+Z4=90°

：AC平分NDAB

：.Z1=Z2

又AO=OC,

Z2=Z3

.?.Z1=Z3

Z4+Z3=90°

即ZOCD=90°

故OCLCD,OC是半徑

，CE是。O的切線；

(2)連接BC,

VAB是直徑，

ZACB=90°

：AC平分NDAB,/1=N2

AD4

在RtZXADC中，cos/l=——=cosZCAB=-

AC5

又AD=4

第18頁共31頁

???AC=5

*AC54

在RSABC中，cosZ7CAB===—

ABAB5

■25

??AB——.

4

11.解：⑴連接OF,

..c

-AF二EF，

???NCBF=NFBA,

VOF=OB,

ZFBO=ZOFB,

???點A、O、B三點共線，

???NCBF=NOFB,

ABC/7OF,

.\ZOFC+ZC=180°,

VZC=90°,

AZOFC=90°,即OF_LDC,

???CD為。。的切線；

(2)連接AF,

TAB為直徑，

???ZAFB=90°,

???ZD=30°,

???NCBD=60。，

?AF二EF，

：.ZCBF=ZDBF=—ZCBD=30°,

2

第19頁共31頁

在RtMC產(chǎn)中，CF=1,ZCBF=30°,

ABF=2CF=2,

在RtAAFB中,NABF=30。，BF=2,

1

AAF=—AB,

2

AAB2=(^-AB)2+BF2,

3

即一AB2=4,

4

：.AB=—,

3

。。的半徑為名8；

3

12.

解：(1)證明：?「G為MN的中點，

,ZMOG=ZMDN.

???四邊形ABCD是平行四邊形.

J.AO//BE,ZMDN+ZA=1SO°,

：.ZWG+ZA=180°,

：.AB//OEf

???四邊形ABEO是平行四邊形.

???3。平分NA3E,

???ZABO=ZOBE,

又?：NOBE=/AOB,

：.ZABO=ZAOB,

：.AB=AOf

第20頁共31頁

，四邊形ABE。為菱形；

（2）如圖，過點。作OPLB4,交8A的延長線于點P,過點。作。。,8c于點Q,設AE

交0B于點尸,

則/B40=/ABC,

設45=A0=0E=x,則

1

cosZABC——，

3

1

cosAPAO=—,

3

.PA1

??---=—，

AO3

1

.'.PA——x,

3

。尸=。。=漢lx

一3

當AE與。。相切時，由菱形的對角線互相垂直，可知尸為切點,

...由勾股定理得:=82,

解得：X=2y/6.

.??AB的長為2#.

13.

（1）證明：連接0B,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

/.ZBAD=ZBCD=45°,

.\ZBOD=2ZBAD=90°,

VAD/7BC,

.".ZDOB+ZOBC=180°,

第21頁共31頁

.'.ZOBC=90°,

AOBXBC,

???BC為。O切線;

(2)解：連接OM,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

ABM=DM,

VZBOD=90°,

AOM=BM,

VOB=OM,

AOB=OM=BM,

???ZOBM=60°,

???NADB=30°.

14.

解：(1)證明：連接05,如圖所示:

〈AC是。。的直徑，

???ZABC=90°,

：.ZC+ZBAC=90°,

;OA=OB,

：.ZBAC=ZOBA,

■:/PBA=/C,

：.ZPBA+ZOBA=90°,

即尸3_L03,

???尸8是。。的切線；

(2)解：???。0的半徑為2,

第22頁共31頁

A0B=2,AC=4f

???OP//BC,

：.ZCBO=ZBOPf

*.?OC=OB,

：.ZC=ZCBO,

:?/C=/BOP,

又??,NABC=NPBO=90。,

bABCsxPBO,

BCAC口口BC4

OBOP26

15.

解：(1)VZACB=90°

???ZCBE+ZCEB=90°

VZABC=ZEFD,

NABC=NCBE+NFBD

NEFD=NFDB+NFBD

NCBE二NFDB

ZCEB=ZCDF

JZCDF+ZFDB=90°

即ZCDB=90°

第23頁共31頁

???AB與。O相切.

(2)VZACD+ZBCD=90°

ZACD+ZA=90°

AZBCD=ZA

VZBCD=ZADC=90°

AACBD^AADC

.CDAD

**CD

，CD2=AD?BD=4x6=24

???CD=2的

即。。的直徑為2痛

???。。的半徑為八.

故答案為.

(3)YCD是。O的直徑

???ZCFD=90°

,ZCDF+ZDCF=90°

???ZCDB=90°

ZCDF+ZFDB=90°

:.NDCF二NFDB

???NEBONFDB

???NEBC=NDCF

APCF^APBC

?PCPF_1

PB~PC~2

???PB=2PO4PF

?.?PB=BF+PF

11

APF=-BF=-a

33

2

APC=2PF=-a

3

第24頁共31頁

2

故答案為一〃.

3

16.

解：（1）證明：如圖，連接04.

9

：AB=ACf

：.ZABC=ZC.

9：AD=DC,

：.ZDAC=ZCf

：.ZABC=ZDAC

U：OA=OD,

：.ZOAD=ZODAf

??,5O是直徑，

：.ZBAD=90°f

：.NA5O+NOZM=90。，

AZDAC+ZOAD=90°,即NOAC=90。，

：.OA_LCA,

???。4是。。的半徑，

???AC為。O的切線.

(2)在Rt^AB尸中，由勾股定理得：AB=YIBF2-AF2=752-42=3

：.AC=AB=3.

ZAOD=2ZABC,ZABC=ZC,

：.ZAOD=2ZACB,

VZOAC=90°,

???ZAOD^ZACB=90°,

.,.ZC=30°.

第25頁共31頁

在R30AC中，ZOAC=90°,

「OA

??tanC=-----,

AC

(?A=AC*tanC

3tan30°

=，

???。0的半徑為班.

17.

(1)證明：連接OA,

VZB=60°,

/.ZAOC=2ZB=120°,

XVOA=OC,

???ZOAC=ZOCA=30°,

又TAP=AC,

AZP=ZACP=30°,

???ZOAP=ZAOC-ZP=90°,

AOAXPA,

???PA是。。的切線；

(2)在RtZkOAP中，

ZP=30°,

APO=2O