2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：代數(shù)式、整式與因式分解

微專(zhuān)題03代數(shù)式'整式與因式分解

考點(diǎn)精講

構(gòu)建知識(shí)體系

，一加減運(yùn)算

i?妥；一|整代的運(yùn)算的運(yùn)算川,-

J乘怯運(yùn)算N卜囚式分密

列代數(shù)式）特殊I'I應(yīng)用

,一t_.相反（一i一k

[乘法公式卜:4公式法I

考點(diǎn)梳理

L代數(shù)式（6年6考）

用加、減、乘、除及乘方等運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做

弋?dāng)?shù)式的概念

代數(shù)式

列代數(shù)式找出問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系及公式，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示一

（1）直接代入法：把已知字母的值代入代數(shù)式，并按原來(lái)的運(yùn)算順序計(jì)算求值

（2）整體代入法（整體思想）：①觀察已知條件和所求代數(shù)式的關(guān)系；

代數(shù)式求值

②將所求代數(shù)式變形后與已知代數(shù)式成倍數(shù)關(guān)系，一般會(huì)用到提公因式法、平

方差公式、完全平方公式

2.整式的有關(guān)概念（6年2考）

⑴整式有關(guān)概念

[T?次敕為2+3=5

系數(shù)耳引兒,

概念：由數(shù)字與字母或字母的①所組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式.單獨(dú)一個(gè)數(shù)字或

單項(xiàng)式字母也是單項(xiàng)式；

單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)；

單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)之和

概念：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式；

多項(xiàng)式

多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，如的次數(shù)是②

⑵同類(lèi)項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的③也相同的項(xiàng).所有常數(shù)項(xiàng)都是同類(lèi)項(xiàng)一

3.整式的運(yùn)算（6年4考）

（1）幕的運(yùn)算

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超導(dǎo)文字表達(dá)符號(hào)表示

同底數(shù)累相乘底數(shù)不變，指數(shù)相加am-an=am+n(rn,〃都是正整數(shù))

同底數(shù)會(huì)相除底數(shù)不變，指數(shù)相減amjran-c^~\a=^,m,〃都是正整數(shù)，且加＞〃)

募的乘方底數(shù)不變，指數(shù)相乘(am)n=amn(rn,n都是正整數(shù))

積的每個(gè)因式分別乘方，

積的乘方(ab)n=anb'\n為正整數(shù))

再把所得的累相乘

⑵整式的運(yùn)算

①整式的加減，可歸結(jié)為去括號(hào)與合并同類(lèi)項(xiàng)

②單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算：把系數(shù)、同底數(shù)累分別相乘作為積的因式，單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指

數(shù)作為積的因式

③多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算法則：m(a+6+c)=/na+"z0+/nc；

(m-\-b)=ma~\-mb~\-na-\-nb

平方差公式：(a+b)(a—b)=@

(3)乘法公式

完全平方公式:色土人尸二⑤

4.因式分解(6年2考)

⑴概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式

(2)方法：①提取公因式法：ma-\-mb=m(a+b)；

②公式法：a2—b2=(a-\-b)(a—b),a2±2ab-\-b2=(a±b)2

5.非負(fù)數(shù)(6年2考)

(1)常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)類(lèi)型有次，1|,VF(c>0)

⑵若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)的值均為0,如：若/+"I+VF=0,則有a2=0,I

bI=0,Vc=0,即a=b=c=0

練考點(diǎn)

1.下列對(duì)代數(shù)式一3x的意義表述正確的是()

A.—3與x的和

B.-3與x的差

C.-3與x的積

D.—3與x的商

2.(1)已知尤=—1,則f+2x=；

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(2)已知2a—6=1,則代數(shù)式8a—4。+2的值為.

3,已知一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是2,次數(shù)是3,則這個(gè)單項(xiàng)式可以是()

A.3/B.2m3n

C.—2X2〉D.2a3

4.]3y2是次單項(xiàng)式.

5.計(jì)算：

(1)―2x+x—;

2A3—x3=;

;

⑶(—2/)3=；

(4)2X2-(X—1)=;

(5)(x-l)(2x+1)=;

⑹(x+2)2=;

(x+2)(x-2)=.

6.分解因式：

(l)xz—xy=;

(2)2/-8=;

(3)X2+4X+4=.

7.(1)若Ix-1I+Jy-l=O,則x+2y的值為;

(2)若N+1+Jy+2=1,則孫的值為;

(3)J2-x+Jx-2=0,則x的值為.

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)1列代數(shù)式及求值(6年6考)

例1(人教七上習(xí)題改編)根據(jù)題意列代數(shù)式：

(1)原量a增加10%為;比原量a的九倍多根為；

(2)原價(jià)a的8折為;

(3)尤個(gè)單價(jià)為a元的商品與y個(gè)單價(jià)為b元的商品總價(jià)為元;

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（4）每天完成的工作量為a,則要完成m的工作量所需天數(shù)為;

（5）一月份的產(chǎn)值為a萬(wàn)元，二月份的產(chǎn)值比一月份減少了加％,三月份的產(chǎn)值比二月份增加

了“％,則三月份的產(chǎn)值為萬(wàn)元.

例2求下列代數(shù)式的值：

⑴已知N+x—2=0,則2x2+2x的值；

（2）已知x+y=3,xy=2,則（工一丁產(chǎn)的值為；

（3）（2024成都）若加，"為實(shí)數(shù)，且（機(jī)+4>+Jn—5=0,則（根+”）2的值為.

考點(diǎn)2整式的有關(guān)概念（6年2考）

例3（2024佛山南海區(qū)一模）單項(xiàng)式3r3表示球的體積，其中兀表示圓周率，「表示球的半徑,

下列說(shuō)法正確的是（）

A.系數(shù)是%次數(shù)是3B.系數(shù)是孑，次數(shù)是3

C.系數(shù)是￡次數(shù)是4D.系數(shù)是京，次數(shù)是4

變式1（2024廣元）如果單項(xiàng)式一_?陟3與單項(xiàng)式2犬>2-”的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，則在平面直角

坐標(biāo)系中點(diǎn)（加，〃）在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

考點(diǎn)3整式的運(yùn)算（6年4考）

例4（2024煙臺(tái)）下列計(jì)算結(jié)果為a的是（）

A.a2-a3B.a,2-ra2C.a3-ha3D.（a2）3

例5（人教七上習(xí)題改編）計(jì)算：

（1）（1+尤）（1—%）+%（%+2）；

（2）已知產(chǎn)一盯一5=0,求（3孫S—G%3}?）;?盯+x（2%一））的值.

考點(diǎn)4因式分解（6年2考）

例6（北師七上習(xí)題改編）因式分解：

⑴4辦2—=；

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(2)4xy2—4x2y_y3—；

⑶⑦—4)①+l)+3p=.

變式2(2024中山模擬)下列因式分解正確的是()

A.%2—x=x(x+l)B.a2—3a—4=a(a—3)—4

C.a2+Z?2—2aZ?=(a+/?)2D.x2—y2=(x+y)(x—y)

考點(diǎn)5規(guī)律探索(2019.16)

例7根據(jù)下列數(shù)式規(guī)律，回答問(wèn)題：

⑴等差類(lèi)有一列數(shù)1，3,5,7,9,…，依照此規(guī)律，則第〃(佗1)個(gè)數(shù)是；

(2)等比類(lèi)有一列數(shù)3,9,27,81,243,…，依照此規(guī)律，則第〃(定1)個(gè)數(shù)是;

⑶遞增類(lèi)有一列數(shù)1，2,4,7,11,…，依照此規(guī)律，則第冏(定1)個(gè)數(shù)是；

(4)周期類(lèi)有一列數(shù)一1,1,—1,1,—1,…，依照此規(guī)律，則第〃(瘧1)個(gè)數(shù)是；

(5)平方類(lèi)按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：次，4a3,9a，16宗，…，則第〃個(gè)單項(xiàng)式是.

例8根據(jù)下列圖形規(guī)律，回答問(wèn)題：

⑴圖形個(gè)數(shù)固定累加把白色正方形按圖①所示的規(guī)律拼圖案，則第5個(gè)圖案中白色正方形的

個(gè)數(shù)是;

truLTLTLIUULTLI

例8題圖①

⑵圖形個(gè)數(shù)遞增累加如圖②都是由同樣大小的圓點(diǎn)按一定規(guī)律組成，則第8個(gè)圖形中圓點(diǎn)的

個(gè)數(shù)是;

23

例8題圖②

⑶圖形個(gè)數(shù)為兩種變化之和如圖③都是由同樣大小的正三角形按照一定規(guī)律組成，則第〃個(gè)

圖形中正三角形的個(gè)數(shù)是.

△7\

△ZXAAAZXAA

例8題圖③

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真題及變式

命題點(diǎn)1代數(shù)式求值（6年5考）

1.（2021廣東5題3分）若Ia—WI+^9a2-12ab+4爐=0,貝|ab=（）

A.V3B.1C.4V3C.9

2.（2020廣東13題4分）若Ja—2+Ib+1I=0,則（。+。）2°2。=.

3.（2020廣東14題4分?人教八上習(xí)題改編）已知x=5—y,孫=2.計(jì)算3尤+3廠4盯的值

為.

4.（2021廣東15題4分.北師八下習(xí)題改編）若總且OVxVl,則％2—妥=.

變式

4.1變思維方式——直接平方變?yōu)榛?jiǎn)后整體帶入

已知工——，那么斗土的值為

yxx—yxy

命題點(diǎn)2整式的有關(guān)概念（6年2考）

5.（2022廣東12題3分）單項(xiàng)式3盯的系數(shù)為.

6.（2020廣東12題4分）如果單項(xiàng)式3/y與一5x5；”是同類(lèi)項(xiàng)，那么m+n=.

命題點(diǎn)3整式的運(yùn)算（6年4考）

7.（2024廣東5題3分）下列計(jì)算正確的是（）

A—2c5—clOR八8?萬(wàn)2———4

A.a-a——aD.ci~ci——a

C.~2a+5a=laD.(a2)5=a10

8.(2021廣東4題3分?人教八上習(xí)題改編)已知9m=3,27n=4,32m+3n=()

A.1B.6C.7D.12

9.(2020廣東18題6分?人教八上習(xí)題改編)先化簡(jiǎn)，再求值：(%+y)2+(x+y)(x—y)~2%2,其中

x=^2,y=y[3.

命題點(diǎn)4因式分解（6年2考）

10.（2023廣東11題3分）因式分解：％2—1=.

11.（2020廣東11題4分）分解因式：盯一x=.

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命題點(diǎn)5規(guī)律探索（2019.16）

12.（2019廣東16題4分）如圖①所示的圖形是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，且每個(gè)角都是直角，長(zhǎng)度如圖

所示，小明按圖②所示方法玩拼圖游戲，兩兩相扣，相互間不留空隙，那么小明用9個(gè)這樣的

圖形（圖①）拼出來(lái)的圖形的總長(zhǎng)度是（結(jié)果用含公人代數(shù)式表示）.

第12題圖

拓展訓(xùn)練

13.（2024東莞模擬）如圖，已知NMON=30。，點(diǎn)Ai,A2,A3,…，在射線ON上，點(diǎn)囪，史,

B3,在射線0M上，△A1B1A2,△A2及A3,△4及心…均為等邊三角形，若04=1,則

△A2019B2019A2020的邊長(zhǎng)為.

第13題圖

新考法

14.［代數(shù)推理］（2024珠海模擬）杰杰是一位密碼翻譯愛(ài)好者，在他的密碼手冊(cè)中，有這樣一條信

息：a—b,x—y,x+y,a-\-b,^—y2,分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：海、愛(ài)、我、珠、麗、

美,現(xiàn)將（——產(chǎn)）次—@2一,2）/因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）

A.我愛(ài)美B.珠海美麗C.愛(ài)我珠海D.美我珠海

15」數(shù)形結(jié)合］（北師七下復(fù)習(xí)題改編）如圖①，有兩個(gè)正方形A,B,現(xiàn)將3放在A的內(nèi)部如圖

②所示，將A,3并排放置后構(gòu)造新的正方形如圖③所示.若圖②和圖③中陰影部分的面積分別

為1和12,則正方形A,B的面積之和為（）

A.11B.12C.13D.14

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16.［跨信息技術(shù)學(xué)科］日常生活中我們常使用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，而計(jì)算機(jī)程序使用的數(shù)是二進(jìn)

制數(shù)(只有數(shù)碼0和1),它們兩者之間可以互相換算，如將二進(jìn)制數(shù)1001記為(1001)2,換算

成十進(jìn)制數(shù)應(yīng)為：(1001)2=1x23+0x22+0x21+1x20=9,按此方式，將二進(jìn)制(101)2換算成十

進(jìn)制數(shù)為.

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考點(diǎn)精講

①乘積②3③指數(shù)④屋一廿⑤。2±2"+/

練考點(diǎn)

1.C

2.(1)-1；(2)6

3.D

4.5

5.(1)—X；/；(2)x4；x6；(3)—8x6；(4)2^—2x2；(5)2x2—x~l；(6)x2+4x+4；%2—4

6.(l)x(x-v)；(2)2(x—2)(x+2)；(3)(x+2)2

7.(1)3；(2)0；(3)2

高頻考點(diǎn)

例1(l)tz(l+10%)；tzn+m；

(2)0.8a；(3)(ax+by)；(4)：；

(5)a(l-m%)(l-hn%)

例2(1)4；【解析】V%2+%-2=0,：.JC2+X=2,：.2X2+2X=2(X2+X)=2X2=4.

(2)1；【解析】?.?(x—y)2=/—2xy+y2=(x+y)2—4盯，.,.當(dāng)％+丁=3,孫=2時(shí)，原式=3?

—4X2=9—8=1.

(3)1【解析】(m+4)2+Jn—5=0,機(jī)+4=0且〃-5=0,解得—4,〃=5,；.(m+

n)2=(-4+5)2=1.

例3B【解析】，/的系數(shù)是，，次數(shù)是3.

變式1D【解析】?.?單項(xiàng)式一一勺3與單項(xiàng)式2x4,2-“的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，...單項(xiàng)式—0^3

與單項(xiàng)式2%4廣〃是同類(lèi)項(xiàng)，gm=4,2—〃=3,解得m=2,〃=—1,??.點(diǎn)(加力在第四象限.

例4D【解析】?jī)捍?/=層+3=。5,故A選項(xiàng)不符合題意；：3.。12+后=。12-2="0,故B選

項(xiàng)不符合題意；C.a3+a3=2ai,故C選項(xiàng)不符合題意；D.(/＞二/y二不，故D選項(xiàng)符合題

思.

例5解：⑴原式ul—f+N+Zx

=1+2%；

(2)原式=丁2-212+2%2-孫=y2一孫，

y1—孫—5=0,原式=5.

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例6(l)a(2x+y)(2x—y)；

(2)-y(2x—y)2；

(3)(p+2)(p-2)

(1)M^=G(4X2—y2)=tz(2x+y)(2x—y)；(2)原式=-ydd—dxy+y2)：—yQx—yp；(3)

原式MpZ—Sp—d+Spu/—dMg+z)⑦-2).

變式2D【解析】A.原式=x(x—1),故本選項(xiàng)不符合題意；B.原式=(a—4)(a+l),故本

選項(xiàng)不符合題意；C.原式=(。一。)2,故本選項(xiàng)不符合題意；D.原式=(x+y).(x—y),故本選項(xiàng)

符合題意.

例7(1)2〃一1；(2)3"；(3)|/—)+1；(4)(—1)"；(5)層a#］

例8(1)18；(2)36；(3)3〃+2

真題及變式

1.B【解析】?「Ia—V3I+19a2—12ab+4b2=Ia—V3I+/(3a—2b)2=0,

a=V3&60

(a—A/3—0

，解得b3V3--*-^=V3X—=-.

(3a—2b=0

2

2.1［解析］：la-2+Ib+1I=0,...卜―2=0,解得］_2+o=°

N5+1=0kb=-l

=1.

3.7【解析】Vx=5-y,??.x+y=5,又：孫=2,二原式=3(x+y)—4盯=3X5—4X2=15

-8=7.

4..—65【解析】?.”+%=/,??.(x—32=(x+》-4=(當(dāng)2—4=空，?.,0Vx<l,.，.x—工<0

36x6xx636x

?1_5

??%~—二/一專(zhuān)=（九+$（，一》=￡乂（—1）=—1|.

%6

x2+y2(x~y)2+2xy

變式4.13［解析］—工=上，...□=上，.?.孫=(X—>)2,.?2+2=

yxx~yxyx-yxyxyxy

=理=3

xy

5.3

6.4【解析】?.,單項(xiàng)式3x?y與一5%3,"是同類(lèi)項(xiàng)，.,.m=3,n=l,.*.m+n=3+l=4.

7.D【解析】逐項(xiàng)分析如下:

選項(xiàng)逐項(xiàng)分析正誤

A