2025年中考數(shù)學(xué)考點專練：函數(shù)圖象的理解（含答案）

函數(shù)圖象的理解

專題講練1圖象的理解（一）——由動點確定函數(shù)圖象

考點一由實物運動確定圖象

【典例1]（2024.武漢）如圖，一個圓柱體水槽底部疊放兩個底面半徑不等的實心圓柱體,向水槽勻速注水.下列

圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時間t的函數(shù)關(guān)系的是（）

變式.（2022?武漢）勻速地向一個容器內(nèi)注水，最后把容器注滿.在注水過程中，水面高度隨時間的變化規(guī)律如圖

所示（圖中為一折線）.這個容器的形狀可能是（）

考點二由動點的運動確定圖象

【典例2】如圖，點P從菱形ABCD的頂點A出發(fā)，沿A-D-B以Icm/s的速度勻速運動到點B,點P運動時,

APBC的面積y（cm2）隨時間x（s）變化的關(guān)系圖象是（）

變式1.（2024.江西）將常溫中的溫度計插入一杯60℃的熱水（恒溫）中，溫度計的讀數(shù)y（℃）與時間x（min）的關(guān)系用

變式2.如圖，在矩形ABCD中,AB=8cm,AD=12cm,AC與BD交于點O,M是BC的中點.P,Q兩點沿著B-C-

AD

D方向分別從點B,點M同時出發(fā)，并都以Icm/s的速度運動，當(dāng)點Q到達D點時，兩，顰呼戈彈在P,Q

兩點運動的過程中,與公OPQ的面積S隨時間t變化的圖象最接近的是（）3^^、

專題講練2圖象的理解（二）一數(shù)形結(jié)合〈中考熱點1）

考點一正比例函數(shù)的理解，由圖象確定交點個數(shù)

【典例1】（2023?江岸模擬）某函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)0<x<a時，在該函數(shù)圖象上可找到n個不同的點（x】,y1）,

n

（x2,y2）”..,（xn,yn）,使得勺=§=…=卻則的最大取值為（）

A.5B.6C.7D.8

y

Oax

變式.（2024.武漢模擬）如圖是小勤同學(xué)利用計算機軟件畫出的函數(shù)y=1告+6（公0）的圖象，發(fā)現(xiàn)該圖象與x

4

軸交于點（1,0）,則k的值為（）3

2

X

A.lB.2D.4-u

234x

考點二用圖象法由交點個數(shù)確定參數(shù)范圍

【典例2】“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微.”數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法.若關(guān)于x的方程\x

I-2=與有三個不相等的實數(shù)根，且三個實數(shù)根的和為正數(shù)，則k的取值范圍是（)

A.0<k<lB.k>lC.-l<k<0D.k<-l

22

變式.已知關(guān)于x的一兀三次方程a久3+bx+ex-k=0的解為%!=-3,X2=1,x3=2,請運用函數(shù)的圖象,

數(shù)形結(jié)合的思想方法，判斷關(guān)于x的不等式a爐+bx2+次一1>0的解集為（）

A.-3<x<l或x>2B.-3Vx<0或l<x<2

C.x<-3或l<x<2D.x<-3或0<x<l或x>2

專題講練3圖象的理解（三）——分析圖象求參數(shù)范圍〈中考熱點2>

考點一復(fù)合函數(shù)問題

【典例】函數(shù)%,y2在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則在該平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=%+為

的大致圖象是（）

考點二分析圖象性質(zhì)

變式1.在函數(shù)圖象與性質(zhì)的拓展課上，小明同學(xué)借助幾何畫板探索函數(shù)y=|%+l|[x-0的圖象，請你結(jié)合

函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)，分析他所得的函數(shù)圖象是（）

ABCD

變式2如圖,y=爐+7n/+n（m；n為常數(shù)）圖象如圖所示，則m,n的值滿足（）

A.m>0,n>0B.m>0,n<0C.m<0,n>0D.m<0,n<0

變式3.（2024?武漢改編）如圖是利用計算機軟件繪制函數(shù)y=-^-（k,a為常數(shù)）的圖象，則k,b的值滿足______

\x-a）L

變式4.函數(shù)y=5+*a,b為常數(shù)，且a>0,b<0）的大致圖象是（）

ABCD

專題講練4圖象的理解（四）一圖象與動點問題〈中考熱點3〉

考點一最值問題與函數(shù)圖象結(jié)合

【典例】（2023?遂寧）如圖在△ABC中,AB=10,BC=6,AC=8,點P為線段AB上的動點以每秒1個單位長度的速

度從點A向點B移動倒達點B時停止過點P作PMLAC于點M,作PNXBC于點N,連接MN,線段MN的長

度y與點P的運動時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則函數(shù)圖象最低點E的坐標(biāo)為（）

A.（5,5）B.吟C仔高嗚，5）

考點二比值問題與函數(shù)圖象相結(jié)合

變式1.（2023?河南）如圖1,點P從等邊三角形ABC的頂點A出發(fā),沿直線運動到三角形內(nèi)部一點，再從該點

沿直線運動到頂點B.設(shè)點P運動的路程為x（/=%圖2是點P運動時y隨x變化的函數(shù)圖象，則等邊三角形A

BC的邊長為（）

A.6B.3C.4V3D.2V3

變式2.（2023?武威）如圖1,正方形ABCD的邊長為4,E為CD邊的中點.動點P從點A出發(fā)沿AB-BC勻速運

動，運動到點C時停止設(shè)點P的運動路程為x,線段PE的長為y,y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則點M的坐

標(biāo)為（）

A.(4<2V3)B.(4,4)C.(4,2V5)D.(4.5)

專題講練5圖象的理解（五）一由圖象確定方程的解〈中考熱點4>

考點一圖象法解一元二次方程

【典例1］根據(jù)下面表格中的對應(yīng)值：

X3.233.243.253.26

ax2+bx+

-0.06-0.020.030.09

c

判斷方程ax2+bx+c0（a*O,a,b,c為常數(shù)）的一個解x的范圍是（）

A.3.22<x<3.23B323Vx<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3,26

考點二利用圖象法解絕對值方程

【典例2】某班數(shù)學(xué)興趣小組對函數(shù)y=/一2|久|的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下.

（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)值如下表：

5

X-3-2-10122.53

2

35m-10-1053

y44

其中,m=:

⑵根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另

一部分；

⑶利用表格與圖象指出，當(dāng)x取何值時，函數(shù)值y隨x的增大而增大；

⑷進一步探究函數(shù)圖象.

①求方程/-2|久|=2的實數(shù)根的個數(shù)；

②關(guān)于x的方程/一2|%|=。有4個不等的實數(shù)根時，求a的取值范圍.

變式.關(guān)于X的方程|/一4x|=a.

(1)有四個不等實根，求a的值；(2)僅有兩個不等實根，求a的值.

考點三參變分離法，解決唯一公共點問題，畫圖是關(guān)鍵

【典例3]拋物線y-x2-3與直線y=2x-5m在-2gxW2只有一個公共點，求m的范圍.

圖象的理解

專題講練1圖象的理解(一)—由動點確定函數(shù)圖象

【典例1】D變式.A【典例2】A變式1.C變式2.B專題講練2圖象的理解(二)一數(shù)形結(jié)合〈中考熱點1〉

【典例1]A

解：設(shè)左="=...="=底卜中0),

XiX2xn

則在該函數(shù)圖象上可找到n個不同的點(Xi,yi),(X2,y2),...(xn,yn),這n個不同的點也都在y=kx的圖象上，

正比例函數(shù)y=kx(k邦)與該函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知，正比例函數(shù)y=kx的圖象與該函數(shù)圖象最多有5

個交點，則n的最大值為5.'

的冼A3A

故選:A.o|ax

變式.D

提示：由圖象知a=3,b=-l,-.\*-11=0,解得k=4.

【典例2]A

解：由IxI-2=g導(dǎo)k=(|x|-2)x,

設(shè)f(x)=(因-2)x,則〃久)=｛，：二作出函數(shù)外)的圖象如圖：

由圖象知若關(guān)于X的方程|"-2=g有三個不相等的實數(shù)根，且三個實數(shù)根的和為正數(shù)，則0<k<l.

故k的取值范圍是:0<k<l.故選:A.

變式.C

解：令y=ax3+bx2+ex—,關(guān)于x的一元三次方程ax3+bx2+ex—k2-。的解為=-3,%2=1

，△=2,y=ax3+b/+ex一左2的圖象與x軸的交點為(-3,0),(1,0),(2,0),又1??y=ax3+b

/+ex-1的圖象與x軸的交點不含(0,0),

當(dāng)x=0時，y=-fc2<0,

作出函數(shù)圖象如圖：

當(dāng)y>0時,(ax3+bx2+ex—k2>0,

此時x<-3或l<x<2.故選C.

專題講練3圖象的理解(三)

-分析圖象求參數(shù)范圍〈中考熱點2>

【典例】B

解：71-aix2+瓦％+ci>

2

y2=a2x+b2x+c2,

瓦<0,b2<0,a1>0,a2>0,|q|<|c2I,

a=+a2>0,c=c1+c2<0,

b-i+匕2c

???X=B->0.

—2(a1+a2)

變式1.C

解:當(dāng)x=0時，y=10+1|x(0-01

2

當(dāng)y=0時，0=|x+1|xx-l.

貝?。輝+l=0或x—1=0,

解得x=-l或%=，故選C.

變式2.C

解:當(dāng)x=0,y=n,故n>0.

當(dāng)x>0,y的值有正有負，也有0.故m<0.

變式3.k<0,a<0

解:當(dāng)x>0時y<0,故k<0;

x-a邦，故xra,而a<0.

變式4.B

解：令：y=0,則+用=0.

%H0,???ax3=-b,

x=-3fj>0,B,D符合；

當(dāng)x<0,y<0,故只有B.

專題講練4圖象的理解（四）

----圖象與動點問題〈中考熱點3>

【典例】C

解：過點C作CD±AB于點D,連接CP,先利用勾股定理的逆定理證明小ABC是直角三角形，即ZC=90°,

進而利用等面積法求出=K則可利用勾股定理求出4。=號;再證明四邊形CMPN是矩形彳導(dǎo)至（JMN=CP,故當(dāng)

點P與點D重合時,CP最小，即MN最小，此時MN最小值為傳，金.

變式1.A

解：令點P從頂點A出