2025年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)專練：第二節(jié) 圓的有關(guān)性質(zhì)

第二節(jié)圓的有關(guān)性質(zhì)

專題講練1圓的有關(guān)性質(zhì)（一）——利用圓周角計(jì)算

考點(diǎn)一弦、弧之間的關(guān)系

【典例1】（2024南開）已知AB為。。的直徑,NCAB=50。,點(diǎn)E在AB上，延長CE交。。于點(diǎn)D.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E是弦CD中點(diǎn)時(shí)，求/CDO的大??；

（2攻口圖2,當(dāng)AC=AE時(shí)，求NCDO的大小.

變式.（2023?泰州）如圖,。0中,B,C位于直線AO異側(cè),NAOB+州C=135°.

⑴求/C的度數(shù)；

（2）若。O的半徑為5,AC=8,求BC的長.

考點(diǎn)二圓心角與圓周角

【典例2］如圖，以正方形ABCD的邊CD為直徑，向正方形內(nèi)作半圓，在半圓上任取一點(diǎn)E,延長CE到點(diǎn)F,

使EF=CE.連接AF,求/AFC的大小.

C

變式.如圖,AB,CD是0O的弦,ABLCD,

(1)若/ADC=20。,求NBOD的度數(shù)；

⑵若/ADC=a，求/AOC+/BOD.

專題講練2圓的有關(guān)性質(zhì)（二）一垂徑定理、勾股定理

考點(diǎn)一過圓心作弦的垂線得中點(diǎn)用勾股

【典例1】（2024?山東）如圖.四邊形ABCD中,AB=2,BC=3,CD=6,/B=NC=90。.求過A,B,D三點(diǎn)的圓的半徑.

變式.如圖,ABLCD,且AB=CD,?0的半徑為5,AE=3BE,求AB的長

考點(diǎn)二結(jié)合圓心角與圓周角關(guān)系及垂徑定理計(jì)算

【典例2】如圖,△ABC內(nèi)接于。0,^ACB=135。,CD1AB3于點(diǎn)D,若AD=4,BD=6,則CD的長為（）

A.2B.3C.4D.5

C

變式.中國傳統(tǒng)玩具不倒翁（如圖1）,它的主體截面圖是由兩個(gè)大小不同的圓構(gòu)成的軸對稱圖形（如圖2）,測得不

倒翁的高度.AB=9cm,,上部分小圓半徑V-2cm,EF=275c科則底部大圓半徑R的長是（）

A.—cmB.2V3cmC.3cmD.V7cm

4

圖1圖2

專題講練3圓的有關(guān)性質(zhì)（三）一圓心角、圓周角

考點(diǎn)一結(jié)合等線段用勾股定理列方程

【典例】（2024?孝感）如圖,AB為。O的直徑，弦CDXAB于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作DB垂線交AB的延長線于點(diǎn)G,垂

足為點(diǎn)F,連接AC.

（1）求證:AC=CG;

⑵若CD=EG=8,求DB的長.

變式1.(2023?武漢)如圖,OA,OB,OC都是。O的半徑,/ACB=2/BAC.

⑴求證:/AOB=2/BOC;

B

(2)若AB=4,BC=V5,,求。O的半徑.

變式2.（2024.新洲）如圖,分別是以AB,AC為直徑的兩個(gè)半圓，其中AC是半圓O的一條弦，E是^"中

點(diǎn)，D是半圓-4DC中點(diǎn)若AB=6,DE=1,且AO3,則AC的長為（）

X.3+V3B.4+V3C.3+V2D.4+V2

考點(diǎn)二結(jié)合旋轉(zhuǎn)構(gòu)造特殊三角形用勾股定理

變式3.（2023?一初期中）如圖,AB是。O的直徑，點(diǎn)C,D在。0±,ZDOC=90°,AC=2.BD=2&則。。的半徑為

)

A.V3B.V5C,V2+1D.V10

專題講練4圓的有關(guān)性質(zhì)（四）一弧的中點(diǎn)問題

考點(diǎn)一遇弧中點(diǎn)，連圓心得垂直

【典例】（2023?武漢）如圖,AB是半圓O的直徑,C是…的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作弦BD的垂線，垂足為E.

(1)求證:CE=DE;

⑵若AD=DE=1,求AB的長.

考點(diǎn)二連圓心與弧的中點(diǎn)雙勾股列方程

變式1.（2022?武漢）如圖，以AB為直徑的。O經(jīng)過△力BC的頂點(diǎn)C,AE,BE分別平分NB4C和NABC,AE的延

長線交。O于點(diǎn)D,連接BD.

⑴判斷△8DE的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）若AB=10,BE=2VIU,求BC的長.

變式2.（2023?四川）如圖,AB為。O直徑，弦CD回4B于E點(diǎn)CG為弦，交AB于H點(diǎn)CH=3HG,AB=2同,CD

=6,求BH的長.

專題講練5圓的有關(guān)性質(zhì)（五）——勾股定理

考點(diǎn)一利用半徑相等，雙勾股列方程求半徑

【典例1】如圖,AB是0O的直徑,C為圓上的一點(diǎn),D為弧BC的中點(diǎn)，連接BC,AD,過點(diǎn)C作AD的垂線交A

B于點(diǎn)E.若AB=5,AD=4,求BE的長.

變式.如圖，AB為半圓0的直徑，E為弦BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接AE,EF.若AE=BC,AB=2夕

則EF的長為.

考點(diǎn)二構(gòu)互補(bǔ)全等求半徑

【典例2】（2024.武漢）如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于。O,/ABC=6Oo,/BAC=NCAD=45o,AB+AD=2j0U。。的半徑

是（）

D*

2

變式.如圖，以AB為直徑作半圓。O,C是半圓的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，AB=5V2,PB=1,則PC的長是

()

S.2V2*6?3/

專題講練6圓的有關(guān)性質(zhì)（六）一圓內(nèi)接四邊形

考點(diǎn)一內(nèi)心問題與圓內(nèi)接四邊形

【典例1]（2024.河南）如圖,AB為0O的直徑,C,D在。。上.點(diǎn)E在AC上,CD=BC=CE.

(1)求/ADE的大??；

(2)若AB=4或,求DE的最大值.

變式.(2024.浙江)如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,AD<AC,/ADC<NBAD,延長AD至點(diǎn)E,使AE=AC,延長BA

至點(diǎn)F,連接EF,使/AFE=/ADC.

⑴若NAFE=6(T,CD為直徑，求NABD的度數(shù);

(2)求證:①EF〃:BC;②EF=BD.

考點(diǎn)二弧的中點(diǎn)與圓內(nèi)接四邊形

【典例2］如圖.AB為。O的直徑，AD=CD,AB=4,AD=1,求弦BC的長.

變式.如圖,AB為。O的直徑,C為。O上一點(diǎn)，半徑OD±BC于E,(CD=乘,AC=3,求BC股長.

第二節(jié)圓的有關(guān)性質(zhì)

專題講練1圓的有關(guān)性質(zhì)(一)——利用圓周角計(jì)算

【典例1】解:⑴：AB_LCD,；.NACD=40。，

ZAOD=80°,.\ZCDO=10°;

(2)VZACD=65°,.\ZAOD=130°,

???乙CDO=65°-50°=15°.

變式.解:(1)NAOB=2/C,3/C=135o,/C=45。；

⑵連接AB,AB=5vx作AM±BC于點(diǎn)M,BM=3vxBC=7企.

【典例2］解:連接AC交CD于點(diǎn)O,連接OE,OD,OE〃AF,

ZOEC=135°,.\/AFC=135°.

變式.解:(1)NBOD=140。;

(2)ZAOC+ZBOD=2(ZADC+ZBAD)=180°.

專題講練2圓的有關(guān)性質(zhì)(二)

—垂徑定理、勾股定理

【典例1］解過點(diǎn)O作OMJ_AB,MO交CD于點(diǎn)N,連接AO.OD,

設(shè)ON=x,

(3+x)2+I2=%2+52,

5

x=?

???/?=。2=府石=|相

變式.解:過。點(diǎn)作OMLAB于M點(diǎn),ON，CD于N點(diǎn)，連接OA,OD,

ZXAOM0△DON,ON=OM,

設(shè).BE=x,AE=3x,OM=x,

x2+(2x)2=52,x=V5,AB=4V5.

【典例2］A

解:過點(diǎn)。作OMLAB于點(diǎn)M,

；.AM=BM=OM=5,

CO=OB=5Vx

過點(diǎn)0作ONLCD交CD延長線于點(diǎn)N,

.*.CN=7,.".CD=7-5=2.

變式.A

解:連接EOi,EC)2，則由對稱性可得OIO21EF,

曰EH=加=Wcm,

又???。擔(dān)=yjO1E2-EH2=1,

BH=AB-AH=9-2-l=6cm,

在RtAEHO2中，

22

02E=EH+02H2,

???R2=3+(6-/?產(chǎn)

?,?/?=—cm.

4

專題講練3圓的有關(guān)性質(zhì)(三)——圓心角、圓周角

【典例】⑴證明:NA=NCDF=/G,

；.AC=CG;

⑵連接OD,設(shè)。O的半徑為艮在4ODE中,DE=4,OE=R-2,

???R2=42+(R-2產(chǎn)

：.R=5.

變式1.⑴證明：由圓周角定理得，乙4cB=^AOB,ABAC=［乙BOC.?:乙4cB=2ABAC,：./AOB=2/BOC.

(2)解:過點(diǎn)O作半徑ODJ_AB于點(diǎn)E,交。O于點(diǎn)D,則Z.DOB=^AOB,AE=BE,

'：ZAOB=2ZBOC,

ZDOB=ZBOC,.1.BD=BC,

VAB=4,BC=V5

；.BE=2,DB=遮在RtABDE中,YNDEB=90。，

DE=yjBD2-BE2=1,

在RtABOE中,：/OEB=90。，

OB2=(OB-I)2+22,

OB=1，,即。。的半徑是j

變式2.D

解:延長DE交AC于點(diǎn)F過。點(diǎn),

設(shè)EF=x,，AF=x+l,

0F=3-x,在RtAAOF中，

(3-x)2+(x+l)2=32,

x=XC=4+V2.

變式3.D

專題講練4圓的有關(guān)性質(zhì)(四)一弧的中點(diǎn)問題【典例】解:⑴略;

⑵方法1：如圖2,連接BC,設(shè)BE=x,：AB是直徑；.NADB=90。,在RtAABD,AB2=AD2+BD2,AD=DE=1,A

B2=l+(l+x)2.

在RtACEB中，BC2=CE2+BE2CE=DE=1,.-.BC2=1+x2,

???AB=20B=V2BC,1+(1+x)2=2(1+x2),解得的=2,?=。(舍去)，:AB2=1+(1+2/=10,.-.

AB=710.

方法2:在BD上取BF=AD,AADCABFC,EF=DE=1,AB=V10

變式1.解：(1)等腰直角三角形，證明略；

(2)連接OC,CD,OD,OD交BC于點(diǎn)F.

ZDBC=ZCAD=ZBAD=ZBCD,

/.BD=DC,OB=OC,Z.OD垂直平分BC,又BE=2710,BD=2底AB=10,.\BD=2遮,OB=OD=5,設(shè)OF=t,

2

貝!]DF=5-t,52-t2=(2V5)-(5-t)2,t=3,BF、=4,BC=8.

變式2解作GMLAB于M點(diǎn)，連接CO,GO,

???CE=3,R=V10,

.\OE=1,AGHM(^ACHE=>MG=1.

2

設(shè)MH=x,EH=3x,OH=3x-1^OM=4x-1,l2+(4x-I)2=(V10)0x=1,BH=2+V10.

專題講練5圓的有關(guān)性質(zhì)(五)——勾股定理

【典例1]解:連接0D交BC于M點(diǎn),連接BD,

設(shè)OM=x,DM=2.5-x,

2.52—x2=32—(2.5—x)2,

77

x=一,???AC=AE=

io15'

Dzrr718

55

變式.VTo

解:連接AC,OE,OF,設(shè)OF交AC于點(diǎn)M則四邊形OECM是矩形.設(shè)CE=BE=a，貝(]AE=BC=2a,；.AC2=AE2-

CE2=3a2,.?.在RtAABC中,.3a2+(2a)2=(2V7),a=2(舍負(fù)值),

AC=V3a=2V3,OE=CM=|XC=?.在RtAOEF中，EF=y/OE2+OF2=V10.

【典例2]A

解:延長AB至點(diǎn)M,使BM=AD,連接CM,

.?.△DAC注△BMCJACMCMMA/2

連接OA,OC,NAOC=120。，

V2=V3R,/?=-y.

變式.D