2025年中考數(shù)學(xué)幾何解題方法復(fù)習(xí)：垂徑定理

第2節(jié)垂徑定理

一、知識梳理

（一）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.

如圖2-1所示，垂徑定理的條件與結(jié)論理解如下：

VAB是直徑,ABLCD于點E,

CE=DE,CB=DB,AC=AD.

（二）垂徑定理推論

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧.

圖2-1

【例】如圖2-2所示,AB是。O的弦，點C,D是直線AB上的兩點且AC=BD,求證:OC=OD.

證明:如圖2-3所示過點0作OELAB于點E.

VOEXAB,

；.AE=BE.

又：AC=BD,

/.CE=DE.

；.0E是CD的中垂線.

.*.OC=OD.

圖2-3

二、分層練習(xí)

1.下列判斷中正確的是（）.

A.長度相等的弧是等弧

B.平分弦的直線也必平分弦所對的兩條弧

C.弦的垂直平分線必平分弦所對的兩條弧

D.平分一條弧的直線必平分這條弧所對的弦

2.某蔬菜基地的圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖2-4所示,已知AB=16m,半徑0A為10m,則中間柱CD的高度為

A.6

B.4

C.8

D.5

圖2-4

3.如圖2-5所示，點A,B是＜30上的兩點,AB=10,點P是。。上的動點（點P與點A,B不重合）.連接AP,PB,過點

O分別作OE_LAP于點E,OF±PB于點F,連接EF,貝（］EF長為（）.

A.4

B.5

C.5.5

D.6

4.點P為。O內(nèi)一點，且OP=4.若。O的半徑為6,則過點P的弦長不可能為（）.

A.12B.2V30C.8D.10.5

5.劉徽是中國古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼

近圓來近似計算圓的面積.如圖2-6所示，設(shè)0O的半徑為2,若用0O的內(nèi)接正六邊形的面積來估計0O的面積，

則0O的面積約為（結(jié)果保留根號）.

圖2—6

6.如圖2-7所示，已知。0的半徑為2,四邊形ABCD為。0的內(nèi)接四邊形，且4。=2五,AB=2舊，則/DA

B的度數(shù)為（）.

A.1050

B.600

C.75°

D.70°

7.如圖2-8所示,/PAC=30。,在射線AC上順次截取AD=3cm,DB=10cm,以DB為直徑作。O交射線AP

于點E,F.

（1）求圓心。至IlAP的距離;

（2）求弦EF的長.

8.如圖2-9所示,AB是OO的直徑，弦CD交AB于點P,AP=2,BP=6,乙4PC=30。,則CD的長為（）.

X.V15

B.2V5

C.2V15

D.8

9.如圖2-10所示，在半徑為強的。0中，AB,CD是互相垂直的兩條弦，垂足為點P,且AB=CD=4,則0P的

長為（）.

A.1

B.V2

C.2

AB

D.2V2

10.如圖2-11所示，在平面直角坐標(biāo)系中,。P的圓心是（2,a）（a>2）泮徑為2，函數(shù)y=x的圖象被。P截得的弦AB

的長為2伺，則a的值是（）.

X.2V2

B.2+V2

C.2V3

D.2+V3

圖2-11

1L如圖2-12所示，△ABC外接圓的半徑為5,其圓心。恰好在中線CD上.若AB=CDJ[]AABC的面積為（）.

A.36

B.32

C.24

D.18

圖2-12

12.圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖2-13所示，油面寬AB為6dm,,再注入一些油后，油面AB上升Id

m,油面寬變?yōu)?dm,則圓柱形油槽直徑MN為（）.

A.6dm

B.8dmM]--?--HN

C.10dm

AB

D.12dm

13.如圖2-14所示，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點O為圓心的圓過點A(13,0),直線y=kx-3k+4與。O相交

于點B,C,則弦BC的長的最小值為.

1.解：A.等弧是能重合的兩條弧，長度相等的弧不一定是等弧，故錯誤；

B.被平分的弦不一定是直徑，故錯誤；

C.弦的垂直平分線必平分弦所對的兩條弧，正確；

D.平分一條弧的直徑必平分這條弧所對的弦，故錯誤.

故選C.

2.解：：CD是中間柱，

AC=BC,OC1AB.

1

EF||AB,EF=jAB=5.

3.解:：OE，AP于點EQFLPB于點F,

；.AE=PE,PF=BF.

AD=BD=^AB=|x16=8(m).

?.?半徑OA為10m,

故選B.

OD=7OA2-AD2=6(m),

CD=OC-OD=10-6=4(m).

故選B.

4.解:如圖7所示過點P作OP,AB,則AB是過點P最短的弦.

VOP±AB,

/.AP=BP.

；OP=4,。。的半徑為6,

.?.在RtAAOP中，AP=V62-42=2層,AB=45/5.

圖7

由于8V4病,所以過點P的弦長不可能為8.

故選C.

5.解如圖8所示，連接OA,OB,過點O作OMLAB于點M.由題意可得，^AOB=360°+6=60°.

VOA=OB=2,

???AOAB為等邊三角形.AB=2.

/.AM=BM=1.

...在RtAAOM中，。M=V22-l2=V3,

SAAOB=3x2xV3-V3.

OO的面積約為6sA40B=6V3.

6.解如圖9所示，作OELAB于點E,OF±AD于點F.

VOEXAB,OF±AD,

???AE=145=V3MF=\AD=V2.

;在RtAAOE中，cos^OAE=—=—,

：.ZOAE=30°.

?.?在中，cos^OAF,

1RtAAOF15OA21

JZOAF=45°.

JZDAB=ZOAE+ZOAF=30°+45°=75°.

故選C.

7.解:⑴如圖10所示，過點O作OH±EF于點H.

VOB為。O的直徑，且DB=10cm,

二?OD=5cm.

OA=OD+AD=3+5=8cm.

???在RtAOAH中,NOAH=30。,

AD\OBC

1

OH=-OA=4(cm),

即圓心O到AP的距離為4cm.圖10

(2)如圖10所示，連接OF.

VOHXEF,

AEH=HF.

???在R3OHF中，HF=-JOF2-OH2=V52-42=3,

???EF=2HF=6(cm).

8.解:如圖11所示，作OH±CD于點H,連接OC.

VOH±CD,

.\HC=HD.

,.?AP=2,BP=6,

AAB=8.

??.OA=4.

.\OP=OA-AP=2.

???在RtAOPH中,NOPH=NAPO30。，

???OH=-0P=1.

2

?.?在RtAOHC中,OC=4,OH=1,

CH=VOC2-OH2=V15,CD=2CH=2V15

故選C.

9.解如圖12所示，作OELAB于點EQFLCD于點F,連接OD,OB.

VOE±AB,OF±CD,

???AE=BE=-AB=2,DF=CF=-CD=2.

22

?.?在RtAOBE中,(OB=遍,BE=2,

OE=VOB2-BE2=1.

圖12

同理可得,OF=1.

VAB±CD,OE=OF=1,

四邊形OEPF為正方形.

OP=y[2OE=V2.

故選B.

10.解如圖13所示過點P作PEXAB于點E,PC±x軸于點C,交AB于點D,連接PA.

VPE±AB,AB=2V3,(OP的半徑為2,

AE=^AB=W,PA=2.

.??根據(jù)勾股定理得，PE=卜_(a2=1

點A在直線y=x上，

JZAOC=45°.

???ZDCO=90°,

???ZODC=45°.

.??△OCD是等腰直角三角形,OC=DC=2.

JZPDE=ZODC=45°.

ZDPE=ZPDE=45°.

???DE=PE=1.

???PD=V2.

IOP的圓心是(2,a),

???a=PD+DC=2+y[2.

故選B.

11.解如圖14所示，連接OAQB,則OA=OB=OC=5.

???圓心O恰好在中線CD上,AB=2AD,

JCD±AB.

設(shè)AD=x,貝!!CD=AB=2x,OD=CD-CO=2x-5.圖14

??,在RtAOAD中，。標(biāo)+AD2=。壽,即(2%一5)2+M=52,解得=4,冷=。(舍去),

CD=AB=2x=8.

一11

S^ABC=]48,CD=-x8x8=32.

故選B.

12.解如圖15所示，過點O作AB的垂線，垂足為點E,交CD于點F,連接OA,OC.

,.?AB=6dm,CD=8dm,

由垂徑定理得，AE==3dm,CF=^CD=4dm.設(shè)OE=xdm,則OF=(x-l)dm.