2025年中考數(shù)學核心基礎知識-2025年中考數(shù)學沖刺復習

查漏知識01初中數(shù)學中考必備基礎知識點

知識點概覽

目錄

知識點一數(shù)與式....................................................1

知識點二方程與不等式..............................................6

知識點三函數(shù).....................................................10

知識點四圖形性質(zhì).................................................19

知識點五圖形變化.................................................32

知識點六統(tǒng)計與概率..............................................39

必記核心知識點

知識點一數(shù)與式

一、有理數(shù)相關概念與運算

一、正數(shù)和負數(shù)

（1）概念正數(shù)：大于。的數(shù)叫做正數(shù).負數(shù)：在正數(shù)前面加上負號“一”的數(shù)叫做負數(shù).

注：o既不是正數(shù)也不是負數(shù)，是正數(shù)和負數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù).

（不是帶“一”號的數(shù)都是負數(shù)，而是在正數(shù)前加“一”的數(shù).）

（2）意義：在同一個問題上，用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量.

二、有理數(shù)

（1）概念：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù).

整數(shù)：正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù).

分數(shù)：正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù).（有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù).）

注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)，負數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負整數(shù)，負整數(shù)和零統(tǒng)稱為非

正整數(shù).

（2）兩種分類：

⑴按正、負性質(zhì)分類:⑵按整數(shù)、分數(shù)分類:

”正整數(shù)

Y

L整數(shù)I0

有理數(shù)［負整數(shù)

分數(shù)｛正分數(shù)

負分數(shù)負分數(shù)

二、數(shù)軸及相反數(shù)與絕對值

1.數(shù)軸的三要素：原點，正方向，單位長度;

2.實數(shù)與數(shù)軸上的點--對應；

3.a的相反數(shù)是-a,如果a、6互為相反數(shù)，貝Ua+b=O,當°厚0時，y=-1；

b

4.在數(shù)軸上，一個數(shù)表示的點到原點的距離就是這個數(shù)的絕對值，互為相反數(shù)的兩個數(shù)表示的點到原點的

距離相等;

5.絕對值的性質(zhì):

a(a>0)

(1)|a|=<0(。=0),

-a{a<0)

（2）一個數(shù)的絕對值是非負數(shù)，即時20；

三、近似數(shù)與科學記數(shù)法

1.精確度：近似數(shù)的最后一位表示這個數(shù)的精確度；

2.科學記數(shù)法規(guī)則：?xlO",其中l(wèi)Va<10,力為整數(shù)，當。>1時，〃等于。的整數(shù)位數(shù)減去1；當0<°<1

時，”等于a的左起第一個非零數(shù)至小數(shù)點之間（包含第一個非零數(shù)）的數(shù)字個數(shù)的相反數(shù)；

四、實數(shù)大小比較

1.法則：正數(shù)大于0,負數(shù)小于0,正數(shù)大于負數(shù)，兩個負數(shù)，絕對值大的反而??；

2.數(shù)軸比較：在數(shù)軸上，左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)；

四、有理數(shù)的運算

1.運算順序：先算乘方與開方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面的，再算括號外面的；

2.運算律：加法交換律和結(jié)合律，乘法交換律和結(jié)合律，乘法分配律；

3.指數(shù)易的運算：a°=l,/P=-V，（awO）,當〃為正偶數(shù)時，（-1）行1,當〃為正奇數(shù)時，（-1）〃=-1；

五、非負數(shù)的性質(zhì)

1.常見的非負數(shù)：|a|>0,a2">0,^>0；

2.非負數(shù)就是正負數(shù)和零，非負數(shù)的最小值是0；

3.非負數(shù)的和是非負數(shù)，積是非負數(shù)；

4.若〃個非負數(shù)的和為0,那么這〃個數(shù)都為0；

二、實數(shù)

一、實數(shù)及分類

正整數(shù)

自然數(shù)

整數(shù)0

正實數(shù)

有理數(shù)負整數(shù)實數(shù)|o非負數(shù)

1.實數(shù)，

正分數(shù)

分數(shù)負實數(shù)

負分數(shù)

無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)

2.常見的無理數(shù)：開不盡方的數(shù)，消不掉"的數(shù)，有一定規(guī)律的無限不循環(huán)小數(shù);

二、平方根與立方根

1.平方根：如果尤2=。（。20）,那么尤叫做。的平方根，記作：x=±y[a;

正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根;

2.算術(shù)平方根：a的算術(shù)平方根是20）,y/a>0;

3.立方根：如果V=a,那么x叫做。的立方根，記作：x=W；

正數(shù)的立方根是正數(shù)，零的立方根是零，負數(shù)的立方根是負數(shù)，于是有：可工=-服；

4.平方與開平方互為逆運算，立方與開立方互為逆運算，開方與乘方互為逆運算；

三、代數(shù)式與因式分解

一、代數(shù)式及相關概念

1.代數(shù)式：用運算符號把數(shù)與字母連結(jié)而成的式子叫做代數(shù)式.要按照代數(shù)式的書寫規(guī)則寫代數(shù)式.

2.單項式：數(shù)與字母的乘積的代數(shù)式叫單項式.單獨的一個數(shù)或字母與是單項式.單項式里面的數(shù)字因數(shù)叫

估單項式的系數(shù)，單項式里面所有字母因數(shù)的指數(shù)和叫做單項式的次數(shù).

3.多項式：幾個單項式的和叫多項式.多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù).沒有字母的項叫常

數(shù)項.

4.整式：單項式和多項式統(tǒng)稱整式.可以按要求對整式進行升幕排列或降幕排列.

二、整式的運算

1.幕的運算法則：

(1)同底數(shù)的塞相乘：d"

(2)同底數(shù)的幕相除:葭二屋=。*"(。40)；

(3)幕的乘方：("=/；

(4)積的乘方：(aby=anbn；

2.整式的加減法則

(1)去寸舌號，去則：+(a+Z?+c)=a+匕+c,—(a+6+c)=—a—b—c；

(2)同類項：所含字母相同，相同字母的指數(shù)也相同；

合并同類項法則：ax-bx+cx=(a-b+c)x.

3.整式的乘除法則

(1)單項式乘單項式：系數(shù)相乘，同底數(shù)的幕相乘；

(2)單項式乘多項式：m(a+b+c)=ma+mb+me-

(3)多項式乘多項式：(加+〃)(。+匕)=加0+〃力+7旭+〃6；

(4)單項式除單項式：系數(shù)相除，同底數(shù)的累相除；

(5)多項式除以單項式：(.a+b+c)-^m=a^m+b^m+c^m

4.乘法公式

(1)平方差公式：(a+6)(a-b)="2-〃；

(2)完全平方公式：(a±b)2=a2±lab+b1；

5.因式分解的基本方法

(1)提公因式法

公因式的確定：

系數(shù)：取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；

字母：取各項相同的字母；

指數(shù)：取各項相同字母的最低次數(shù)；

提公因式法則：am+bm+cm=m(a+b+c)；

(2)運用公式法

平方差公式：a2-b2=(a+b){a-V)；

完全平方公式：tz2+2ab+b2=(a±b)2；

(3)十字相乘法：x2+(p+q)x+pq={x+p\x+q)；

(4)分組分解法：分組后有公因式，分組后能用公式.

四、分式

一、分式的概念

A

1.分式：形如了，其中A、8表示兩個整式，8中含有字母，B松,這樣的式子叫做分式；

D

AA

2.分式有意義的條件：分式高有意義，則8邦；分式高無意義，則8=0；

DB

A

3.分式的值為零的條件：分式鼻的值為0,則A=0且%0；

A

4.分式的值為整數(shù)的條件：分式三的值為整數(shù)，且A、B都是整數(shù)，則A是8的倍數(shù)，8是A的約數(shù).

D

二、分式的基本性質(zhì)

AA.MA-M

i.分式的基本性質(zhì)：=其中g(shù)0；

BBMB+M

2.分式的符號法則：^=4=-Z7=-7；

3.最簡分式：分子和分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式；

4.通分：把異分母的分式化為與原分式的值相等的同分母的分式；

5.約分，把分子和分母中的公因式約去；

三、分式的運算

adacbdac±bd

1.分式的加減法:——土——=—土—=--------

bcbebebe

2.分式的乘除法：詈*,ad_ac_ac

bcbebcbdbd

3.分式的乘方：(》"="；

五、二次根式

1.二次根式：形如其中420,這樣的式子叫做二次根式;

2.二次根式有意義：二次根式有意義的條件是a20；

3.二次根式的性質(zhì):

(1)(A/O)2=a；

(2)雙重非負性：Go,a>0；

a(a>0)

(3)A/?=同=<0(〃=0)；

-a(a<0)

4.二次根式的運算

(1)二次根式的乘除法

白?布=y[ab(a>0,Z?>0),4ab=?,枇(a>0,Z?>0)；

當書心0力>0)，[a_4a

(。>0,b>0)

(2)最簡二次根式：被開方數(shù)不含開得盡方的因數(shù)和因式，被開方數(shù)不含分母，分母不含二次根式;

(3)同類二次根式：化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式；

(4)二次根式的加減法

m-Ja±ny[a=(m±n)y/a(a>0)

(5)有理化

有理化因式：兩個二次根式的積是有理數(shù)或整式，這兩個二次根式互為有理化因式;

分母有理化：化掉分母中的二次根式，稱為分母有理化；

知識點二方程與不等式

一、一次方程及其應用

一、等式的性質(zhì)

ab

1.基本性質(zhì)：如果。=6,那么a土c=6土c,ac=be,.—=—(cw0).；

cc

2.對稱性：如果a=6,那么6=a；

3.傳遞性：如果a=6,b=c,那么a=c；

二、一元一次方程

1.方程：含有未知數(shù)的等式，叫做方程；

2.方程的解：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解；

3.一元一次方程：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1,這樣的整式方程叫一元一次方程；

4.一元一次方程的解法：去分母，去括號，移項，合并同類項，化系數(shù)為1；

5.一般形式：ax+6=0(aw0)；當a=o,6=0時，解為任意數(shù)；當。=。，厚0時，無解;當今。，唯一解;

三、二元一次方程(組)

1.二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，含未知數(shù)的項的次數(shù)是1,這樣的整式方程叫二元一次方程；

2.二元一次方程組：共含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程組成的方程組，叫做二元一次方程組；

3.二元一次方程組的解法：代入消元法，加減消元法；

4.一般形式：ax+by=O（ab^O）；

四、一次方程（組）的應用

1.列方程解應用題的一般步驟：審題，設未知數(shù)，列方程（組），解方程（組），檢驗并寫解；

2.常見類型及關系式：

（1）購買問題：單價x數(shù)量=總價；

（2）變化率問題：初量x（1土變化率）=末量；

（3）利潤問題：售價=標價x折扣，銷售額=售價x銷售量，利潤=售價-進價，利潤=進價x利潤率，總利潤=

單位利潤x數(shù)量=總銷售額-決成本；

（4）工程問題=工作效率x工作時間；

（5）行程問題：路程=速度x時間；

（6）順水和逆水問題：順水速度=靜水速度+水速，逆水速度=靜水速度-水速；

二、分式方程及其應用

1、分式方程：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。它的一般解法是：

（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母

（2）解所得的整式方程

（3）驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應該舍去；若不等于零，就是原方程的根。

3、分式方程的特殊解法

換元法：換元法是中學數(shù)學中的一個重要的數(shù)學思想，其應用非常廣泛，當分式方程具有某種特殊形式，

一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法。

三、一元二次方程

一、一元二次方程的概念

1.一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程；

2.一般形式：ax2+bx+c=0（a0）；

3.特殊解：當x=l時，有a+b+c=0；當x=-l時，有a-b+c=0；當x=0時，有c=0；

二、一元二次方程的解法

1.直接開平方法

(1)形如潑+c=O(aw0,ac<0),解得：x=±.--；

Va

(2)形如(x+加A="(九>0),解得：x=-m+4n

2.配方法

(1)配方法的一般步驟：移項，化二次項系數(shù)為1,配方，寫成標準形式，用直接開平方法求解；

(2)配方的策略：當二次項系數(shù)為1時，加上一次項系數(shù)的一半的平方；

3.公式法

(1)求根公式：*—4歐；

2a

(2)公式法的步驟：將方程化為一般形式，確定a、b、c的值，計算〃-4ac的值，當按一4女>0時，代入求

根公式計算；

4.因式分解法

(1)形如依2+法=0(。W0),左邊提公因式分解因式；

(2)形如a(x+加)2-/7(X+〃)2=0,左邊用平方差公式分解因式；

(3)形如x?+2〃xr+/=。，左邊用完全平方公式分解因式；

(4)形如尤?+(p+q)x+pq=O,左邊用十字相乘法分解因式；

三、一元二次方程根的判別式

1.根的判別式：b2-4ac；

2.判別方法：

b2-4ac的值的正負ax1+bx+c=O(a^O)的根的情況

方程有兩個不相等的實數(shù)根：x="￡lac

b2-4ac>0

2a

h

b2-4ac=0方程有兩個相等的實數(shù)根：x=-不

2a

b2-4ac<0方程沒有實數(shù)根

四、一元二次方程根與系數(shù)的關系

一兀二次方程：ax2+bx+c=0>

(1)條件：a^O,b2-4ac>0,方程的兩個根為%,三;

bc

（2）結(jié)論：玉+兀2=--，%.%2=一；

aa

四、一元二次方的應用

一、增長率問題

基本關系：（1）增長率=增長量+基礎量xlOO%,

（2）<?x（l+x）2=b,其中。是初量，。是末量，x是增長率；

（3）ax（l-x）2=b,其中。是初量，6是末量，x是降低率；

二、利潤問題

基本關系：（1）利潤=售價-進價=進價x利潤率；（2）銷售額=售價x數(shù)量；（3）部利潤=單位利潤x銷量;

三、幾何問題

基本關系：（原長+長的變化量）（原寬+寬的變化量）=變化后的長方形的面積；

四、傳播問題

基本關系：ax（l+x）2=b,。表示最初數(shù)量，b表示傳播后的數(shù)量，x表示每輪傳播的數(shù)量；

五、一元一次不等式及其應用

一、不等式的性質(zhì)

1.若a>b,貝!|a土c>b土c；

2.若a>b,c>0,則aobc

3.若a>b,c<0,則ac<bc；

4.若a>b,則b<a；

5.若a>b,b>c,則a>c；

二、解集及數(shù)軸表示

1.不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值；

2.不等式的解集：不等式的所有解組成的集合；

3.數(shù)軸表示：含等于就用實心圓，不含等于就用空心圓；

三、解不等式（組）

1.一元一次不等式的解法

（1）解題步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，化系數(shù)為1;

（2）數(shù)軸表示：大于向右，小于向左；

2.一元一次不等式組的解法

（1）解題步驟：分別求出每個不等式的解集，再結(jié)合數(shù)軸或口訣確定不等式組的解集；

(2)解集的確定：

口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無處找；

四、不等式的應用

1.找不等關系：至少，至多，不高于，不低于，大于，小于，超過，不超過，等;

2.建立不等式或不等式組，求出解集后，有時需要求出具體的解。

知識點三函數(shù)

一、平面直角坐標系與函數(shù)的概念

一、坐標與位置

1.象限內(nèi)點的坐標特征：第一象限(+,+),第二象限+),第三象限第四象限(+,-);

2.坐標軸上的點的坐標特征：x軸上的點的坐標(a,0),y軸上的點的坐標(0,b)；

3.平行于坐標軸的直線上的點的坐標特征

(1)平行x軸的直線上的點的縱坐標相同;

(2)平行y軸的直線上的點的橫坐標相同;

4.象限角平分線上的點的坐標特征

(1)點尸(尤，y)在第一、三象限角平分線上，則尸為

(2)點尸(x,y)在第二、四象限角平分線上，則工=寸；

二、坐標與平移、對稱

1.對稱點的坐標特征

(1)點、P(a,b)關于無軸對稱點的坐標為(a,-b)；

(2)點P(a,b)關于y軸對稱點的坐標為(-a,b)；

(3)點尸(a,b)關于原點對稱點的坐標為(-a,-6)；

(4)點、P(a,b)關于直線x=機對稱點的坐標為(2m-a,b)；

(5)點P(a,b)關于直線對稱點的坐標為(a,2m-b)；

(6)點、P(a,b)關于直線y=x對稱點的坐標為(b,a)；

(7)點尸(a,b)關于直線y=-x對稱點的坐標為(也-a)；

2.平移點的坐標特征：左減右加橫坐標，上加下減縱坐標；

三、坐標與圖形

1.線段中點的坐標公式：中點的坐標=線段兩個端點的坐標的平均數(shù);

2.坐標與距離

（1）點P（a,6）到x軸的距離為同，到y(tǒng)軸的距離為例，到原點的距離為舊而；

（2）坐標軸上兩點之間的距離

無軸上兩點之間的距離：A（X],0）、B（x2,0）,則至=上—司，

y軸上兩點之間的距離：ACO,%）、BdO,%），則鉆=|/—力|；

（3）與坐標軸平行的直線上兩點之間的距離

與x軸平行的直線上兩點之間的距離：AG1,y）、B（巧，y）,貝U，45=|%一刈，

與y軸平行的直線上兩點之間的距離：A（x,%）、BG,為），則=

22

（4）坐標軸內(nèi)任意兩點之間的距離：A[4，％）、B（巧，為），則AB=y/（^1-x2）+（yl-y2）；

四、坐標與函數(shù)

1.函數(shù)的概念：兩個變量x和y,如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說y是尤的函數(shù)，

x是自變量；

2.函數(shù)的三種表示：列表法，圖象法，解析法；

3.自變量的取值范圍

（1）使解析式有意義：分母不等于零，開偶次方時被開方數(shù)是非負數(shù)，零指數(shù)和負整數(shù)指數(shù)幕的底數(shù)不能

等于零；

（2）使實際問題有意義；

4.函數(shù)圖象：以自變量的值為橫坐標，對應的因變量的值為縱坐標，在平面直角坐標系中描點，這些點形成

的圖象就是函數(shù)圖象；畫函數(shù)圖象一般有三步：列表，描點，連線.

二、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

一、一次函數(shù)的概念

1.一次函數(shù)：用自變量的一次整式表示的函數(shù)；

2.一般形式：y=kx+b（鼠b為常數(shù)，原0）；

3.正比例函數(shù)：y=kx（左為常數(shù)，原0）；

二、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.系數(shù)K、b對圖象的影響

K的正負B的正負圖象經(jīng)過的象限函數(shù)的增減性

b>0第一、二、三象限

K>0y隨x的增大而增大

b<0第一、三、四象限

b>0第一、二、四象限

KvOY隨X的增大而減小

b<0第二、三、四象限

2.兩條直線的位置關系

直線％=3+4與直線%=占%+%的位置關系:

系數(shù)鼠》之間的關系直線的位置關系

k、—k?兩直線平行

左？左2-1兩直線垂直

4=瓦兩直線交于y軸上同一點

3.特殊直線

(1)x軸：直線產(chǎn)0；

(2)y軸：直線x=0；

(3)與無軸平行的直線：直線產(chǎn)a(a為常數(shù))；

(4)與y軸平行的直線：直線(a為常數(shù))；

(5)第一、三象限的角平分線所在的直線：直線產(chǎn)x；

(6)第二、四象限的角平分線所在的直線：直線尸-無；

4.直線的幾何變換

(1)直線的平移規(guī)律：左加右減自變量，上加下減因變量；

(2)直線的對稱規(guī)律：

關于x軸對稱，自變量無不變，因變量y變?yōu)橄喾磾?shù)；

關于y軸對稱，自變量x變?yōu)橄喾磾?shù)，因變量y不變；

關于原點對稱，自變量x變?yōu)橄喾磾?shù)，因變量y變?yōu)橄喾磾?shù)；

三、待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式

1.設：設一次函數(shù)的解析式為>=h+萬

2.歹！J：代入兩點坐標或兩組變量的值，得到二元一次方程組;

3.解：解方程組；

4.寫：將左、b的值代入>=去+萬，寫出解析式；

四、一次函數(shù)與方程、不等式

1.一次函數(shù)與方程

（1）一次函數(shù)、=依+。與x軸的交點的橫坐標就是方程區(qū)+b=0的解；

fy,=k,x+b,

（2）直線優(yōu)與直線必=履尤+久的交點就是方程組,的解；

2.一次函數(shù)與不等式

一次函數(shù)、=履+8位于x軸上方對應部分的橫坐標取值范圍就是不等式質(zhì)+6>0的解集;

三、一次函數(shù)的應用

一、利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實際問題的一般步驟

1.理解分析題，將文字語言或函數(shù)圖象中的點的坐標轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言；

2.根據(jù)條件中的等量關系確定一次函數(shù)解析式及自變量的取值范圍；

3.利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；

二、待定系數(shù)法的實際應用

1.根據(jù)題意，確定函數(shù)的類型，根據(jù)類型設解析式；

2.從題中找出兩組變量的值，把值代入解析式構(gòu)建方程組；

3.解方程組，并寫出解析式；

三、一次函數(shù)與方程、不等式綜合應用

1.這類題一般閱讀量大，情境較復雜，關鍵是讀懂題意，理清自變量、因變量；

2.將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，從而建立函數(shù)模型；

四、反比例函數(shù)

一、反比例函數(shù)的概念

k

1.反比例函數(shù)：形如y=—（K為常數(shù)，身0）的函數(shù)；

x

2.反比例函數(shù)的形式：

（1）一般形式：>=（后0）；

X

（2）特殊形式：xy=k,y=kxx,（Kr0）；

二、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.K對圖象的影響

K的正負圖象所在的象限函數(shù)的增減性

K>0第一、三象限在每個象限內(nèi)，y隨尤的增大而減小

K<0第二、四象限在每個象限內(nèi)，y隨尤的增大而增大

2.反比例函數(shù)的圖象的對稱性

(1)雙曲線是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x或y=-無；

(2)雙曲線是中心對稱圖形，對稱中心是原點；

三、K的幾何意義

(1)過雙曲線＞=：上任意一點，分別引x軸、y軸的垂線，兩垂線與坐標軸所圍成的矩形的面積為可；

(2)可越大，圖象越遠離原點；

四、反比例函數(shù)的實際應用

構(gòu)建反比例函數(shù)的解析式，結(jié)合反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解決實際問題.

五、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

一、二次函數(shù)的概念

1.二次函數(shù)：用自變量的二次整式表示的函數(shù)；

2.一般形式：y=ax1+bx+c,(a、b、c為常數(shù)，存0)；

3.特殊形式

(1)頂點式：y=a(x-h)2+k,(存0)；

(2)交點式：y=a(x-x1)(x-x2),(存0)；

二、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1.y=的圖象和性質(zhì)

a的正開口方頂點坐

對稱軸增減性最值

負向標

當x＜。時，y隨X增大而減?。划敓o＞0時，y隨X最小值

〃>0向上

增大而增大；二0

V軸(直線x=0)(0,0)

。<0向下當x＜o時，y隨x增大而增大；當x＞Q時，y隨x最大值

增大而減??；二0

2.y=公2+c的圖象和性質(zhì)

。的正開口方頂點坐

對稱軸增減性最值

負向標

當x<o時，y隨x增大而減??；當x>0時，y隨x最小值

〃>0向上

增大而增大；-C

y軸(直線x-o)(0,C)

當尤時，y隨x增大而增大；當尤>0時，y隨x最大值

4<0向下

增大而減??；-C

2.y=a(x-/i)2的圖象和性質(zhì)

。的正開口方頂點坐

對稱軸增減性最值

負向標

當％<〃時，y隨x增大而減??；當時，y隨x增大最小值

4>0向上

而增大；二0

直線

(h,0)

x=h

當尤<//時，y隨x增大而增大；當x>/z時，y隨尤增大最大值

4<0向下

而減??；二0

3.y=a(x-/?)2+上的圖象和性質(zhì)

a的正開口方頂點坐

對稱軸增減性最值

負向標

當x<7i時，y隨尤增大而減??；當x>/z時，y隨x增大最小值

4>0向上

而增大；=k

直線

(h,k)

x=h

當尤時，y隨尤增大而增大；當x>〃時，y隨尤增大最大值

4Vo向下

而減??；二k

4.y=+Zw+c的圖象和性質(zhì)

a的正開口對稱軸頂點坐標增減性最值

負方向

b最小值二

當x〈-丁時，y隨x增大而減??；當

2a

a>0向上

h一4ac-b2

-二時，y隨尤增大而增大；

直線x二2a4〃

b4ac-b2

b(-2/4a

2aA一最大值=

當X<-丁時，y隨X增大而增大；當x>

2a

a<Q向下

h4ac-b2

-二時，y隨無增大而減小；

2a4〃

三、二次函數(shù)的系數(shù)與圖象的關系

1.。決定開口方向和大小

a>0,開口向上；a<Q,開口向下；同越大，開口越??；

2.a、6一起決定對稱軸的位置

當出〉0時，對稱軸在y軸的左側(cè)；當川<0時，對稱軸在y軸的右側(cè)；簡稱“左同右異”；

3.c決定圖象與y軸的交點的位置

當c>0時，與y軸正半軸相交；當c<0時，與y軸負半軸相交；當c=0時，拋物線經(jīng)過原點；

四、二次函數(shù)圖象的平移

1.平移的規(guī)律：左加右減自變量，上加下減因變量；

2.平移后系數(shù)a的值不改變，拋物線的開狀和大小、開口方向都不改變；拋物線的位置發(fā)生改變，其對稱

軸和頂點坐標都隨之改變；

《義務教育數(shù)學課程標準》2022年版，學業(yè)質(zhì)量要求：

1.會用描點法畫二次函數(shù)的圖象，會利用一些特殊的點畫出二次函數(shù)的草圖；

2.通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)，知道二次函數(shù)的系數(shù)與圖象形狀和對稱軸的關系；

3.會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達式化為頂點式，并由此得出二次函數(shù)的頂點坐標，得出二次函

數(shù)的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值；

六、確定二次函數(shù)的解析式

一、列二次函數(shù)的解析式

1.找出常量和變量；

2.用代數(shù)式表示變量之間關系；

3.確定自變量的取值范圍；

二、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

1.利用一般式

（1）適用條件：已知圖像上的三個點的坐標或三組變量的值；

（2）設二次函數(shù)的解析式為：y=ax2+bx+c,（存0）；再把三個點的坐標（或三組變量的值）代入構(gòu)建方

程組；

2.利用頂點式

（1）適用條件：已知頂點坐標或?qū)ΨQ軸與最值；

（2）設二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-h）2+k（存0）,先確定刀、左的值，再把圖像上一個點的坐標（或一

組變量的值）代入構(gòu)建方程；

3.利用交點式

（1）適用條件：已知拋物線與x軸的交點的橫坐標；

（2）設二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-xl）（x-x2）（亞0）,先確定占,三，再把圖像上一個點的坐標（或一組

變量的值）代入構(gòu)建方程；

七、二次函數(shù)與方程、不等式的綜合

一、二次函數(shù)與一元二次方程

1.拋物線與x軸交點的橫坐標

拋物線y=a/+bx+c,令y=0,則辦2+fcc+c=0,方程的解就是拋物線與x軸交點的橫坐標；

2.拋物線與x軸交點情況

（1）拋物線y=+法+c與x軸的交點個數(shù)由判別式△=/一4℃的值的正負確定；

（2）當A=62-4ac>0時，拋物線與尤軸有兩個交點；

當△=^-4ac=0時，拋物線與x軸只有一個交點；

當八=/一4*<0時，拋物線與無軸沒有交點；

3.利用二次函數(shù)求一元二次方程的近似根

對于一元二次方程依2+6X+C=0,令'=依2+汝+0,畫出函數(shù)的圖像，拋物線與x軸的交點的橫坐標就是

方程的解；

二、二次函數(shù)與不等式

1.二次函數(shù)與一元二次不等式

ax2+bx+c>0的解集就是拋物線y=a/+版+c在x軸上方的那部分圖像對應的自變量的取值范圍.

八、二次函數(shù)與幾何圖形

一、關系式的建立

1.公式法：根據(jù)圖形的周長、面積、體積公式建立關系式；

2.性質(zhì)法：根據(jù)圖形的性質(zhì)中的數(shù)量關系建立關系式；

3.定理法則法：根據(jù)勾股定理、全等、相似、位似等建立關系式；

二、動點問題

1.動點與二次函數(shù)：一般以動點的橫坐標為自變量，所求最值為因變量建立二次函數(shù)；

2.動點與等腰三角形：設動點的坐標，根據(jù)等腰三角形兩條邊相等，結(jié)合勾股定理建立方程；等腰三角形的

分類：以頂角頂點分三類；

3.動點與直角三角形：設動點的坐標，根據(jù)勾股定理建立方程；直角三角形的分類：以直角邊為分類依據(jù)，

分三類；有時也需要構(gòu)建相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立方程；

4.動點與平行四邊形：設動點的坐標，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，結(jié)合中點坐標公式建立方程；平

行四邊形的分類：從一個頂點出發(fā)，以對角線分三類；也可以采用平移的方式，根據(jù)平移的性質(zhì)建立方程；

4.動點與菱形.先舍去平面上任意的一點，其它三個點構(gòu)造等腰三角形，轉(zhuǎn)化為動點與等腰三角形來解決;

5.動點與矩形.先舍去平面上任意的一點，其它三個點構(gòu)造直角三角形，轉(zhuǎn)化為動點與直角三角形來解決;

6.動點與等腰直角三角形（正方形）.通常構(gòu)造全等三角形來解決.

九、二次函數(shù)的實際應用

一、拱橋問題

1.模型化：拱橋當作拋物線，橋面所在的直線為x軸，過最高點垂直橋面的直線為y軸，建立平面直角坐標

系；

2.解題策略：找出水面與拱橋的交點坐標，確定水面與搭橋的豎直距離；

二、銷售問題

1.模型化：價格作為自變量，價格的變化，導致銷售量的變化，利潤的變化，銷售額的變化，總利潤的變化，

根據(jù)題意，選擇合適的量作為因變量，構(gòu)建函數(shù)關系式；

2.解題策略：正確表示數(shù)量與價格的變化關系，確定二次函數(shù)有關系式，轉(zhuǎn)化為頂點式求最值；

三、投球問題

1.模型化：站立點為坐標原點，從站立點也球落地點形成的直線為無軸，人所在的直線為y軸建立平面直角

坐標系；

2.解題策略：確定球落地點的坐標，球飛行的最大高度；

四、噴水問題

1.模型化：以噴管在地面上的點為原點，原點與水落地點形成的直線為無軸，噴管所在的直線為y軸建立平

面直角坐標系；

2.解題策略：確定噴水點和落地點的坐標，噴水的最大高度；

知識點四圖形性質(zhì)

一、幾何初步

一、線段、直線、射線

1.線段

（1）線段有兩個端點；

（2）兩點之間，線段最短；

（3）兩點間的距離：連結(jié)兩點的線段的長度；

（4）線段中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，就是線段的中點；

2.射線

（1）線段向一方無限延伸，形成射線；

（2）射線有一個端點；

3.直線

（1）線段向兩方無限延伸，形成直線；

（2）直線沒有端點；

（3）兩點確定一條直線；

二、角

（1）有公共端點的兩條射線形成的圖形，叫做角；

（2）一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)形成的圖形，叫做角；

（3）角度的換算：1。=60',1'=60"；

（4）余角：兩個互余的角的和為90。，同角的余角相等；

（5）補角：兩個互補的角的和為180。，同角的補角相等；

（6）角平分線：從角的頂點出發(fā)，把一個角分成兩個相等的角的射線，就是角的平分線;

三、相交線

1.兩條直線相交

（1）兩條直線相交，只有一個交點;

（2）對頂角相等，鄰補角互補；

（3）垂直：兩條直線相交成直角，這兩條直線互相垂直；在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知

直線垂直；

（4）垂線段：垂線段最短；

（5）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離;

2.三條直線相交

（1）三線八角：同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角；

（2）三條直線相交，最少有1個交點，最多有3個交點;

四、平行線

1.平行線

（1）平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線；

（2）平行公理：過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行;

（3）平行公理的推論：平行于同一條直線的兩條直線平行；

2.平行線的性質(zhì)

（1）兩直線平行,同位角相等;

（2）兩直線平行,內(nèi)錯角相等;

（3）兩直線平行,同旁內(nèi)角互補;

3.平行線的判定

（1）同位角相等,兩直線平行;

（2）內(nèi)錯角相等,兩直線平行;

（3）同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；

二、三角形的基本性質(zhì)

一、三角形三邊的性質(zhì)

1.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之間小于第三邊；兩邊的長度為“b（a>b）,第三邊的長度為x,則

a-b<x<a+b；

2.三角形具有穩(wěn)定性;

二、三角形的內(nèi)角和外角的性質(zhì)

1.三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和為180。；

2.三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，三角形的一個外有大于任意一

個與它不相鄰的內(nèi)角；

3.直角三角形兩個銳角互余；

4.三角形三個外角的和為360。；

三、三角形重要的線段及性質(zhì)

1.中線

（1）中線的兩個端點：頂點，中點；

（2）中線的性質(zhì)：中線平分三角形的面積；

（3）三條中線的交點：重心；

2.高線

（1）高線的兩個端點：頂點，垂足；

（2）高線的性質(zhì)：三角形的面積等于底乘以高除以2；

（3）三條高線的交點：垂心，垂心的位置與三角形的形狀有關；

3.角平分線

（1）角平分線的端點：頂點，交點；

（2）角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離要相等；

（3）三條角平分線的交點：內(nèi)心，內(nèi)心到三條邊的距離相等；

4.中位線

（1）中位線的端點：中點，中點；

（2）中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；

三、全等三角形

一、全等三角形的判定

1.全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形就是全等三角形；

2.全等三角形的判定方法：SAS,ASA,AAS,SSS,HL；

二、全等三角形的性質(zhì)

1.全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應邊相等，對應角相等；

2.全等三角形的拓展性質(zhì)：全等三角形對應高（中線、角平分線）相等，全等三角形的周長相等，面積相

四、等腰三角形

一、線段垂直平分線

1.性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩端的距離相等；

2.判定：到線段兩個端點的距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上；

二、角平分線

1.性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；

2.判定：到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上；

三、等腰三角形

L性質(zhì)：兩腰相等，兩底角相等，三線合一（頂角的角平分線，底邊上的中線，底邊上的高），是軸對稱

圖形，對稱軸是底邊的垂直平分線；

2.判定：等角對等邊；

四、等邊三角形

1.性質(zhì)：三邊相等，三個角都等于60。,有三條對稱軸；

2.判定

（1）三邊都相等的三角形是等邊三角形；

（2）有兩個角是60。的三角形是等邊三角形；

（3）有一個內(nèi)角是60。的等腰三角形是等邊三角形；

五、直角三角形與勾股定理

一、直角三角形

1.直角三角形的性質(zhì)

（1）兩銳角互余；

（2）斜邊的中線等于斜邊的一半；

（3）30。角所對的直角邊等于斜邊的一半；

2.直角三角形的判定

（1）有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形；

（2）三角形一邊上的中線等于這邊的一半，這個三角形是直角三角形；

二、勾股定理

1.勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即/=/+〃（c為斜邊）；

2.勾股定理的運用

（1）已知直角三角形任意兩邊的長，用勾股定理直接求第三邊的長；

（2）已知直角三角形一邊的長和另外兩邊的關系，用勾股定理建立方程計算；

（3）己知直角三角形三邊的關系，用勾股定理建立方程計算；

3.勾股定理的證明

勾股定理的證明常采用構(gòu)造圖形，用兩種方式計算面積，利用面積相等來證明。

4.常見結(jié)論

（1）含30。角的直角三角形的三邊的比（由小到大）：1:括:2；

（2）含45。角的直角三角形的三邊比（由小到大）：1：1：&；

三、勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，這個三角形是直角三角形；

2.勾股定理的逆定理的運用

（1）已知三角形三邊的長，直接把兩個較短邊的平方和與較長的邊的平方比較后得出結(jié)論；

（2）已知三角形三邊的關系，先設定參數(shù)，再用含參的代數(shù)式表示三條邊，最后把兩個較短邊的平方和與

較長的邊的平方比較后得出結(jié)論；

3.勾股數(shù)：能構(gòu)成直角三角形的三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)；

六、多邊形與平行四邊形

一、多邊形

1.多邊形：在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的線段首尾順次連接而成的圖形就是多邊形；

2.多邊形的內(nèi)角和定理：（〃-2）x180。；

3.多邊形的外角和定理：多邊形的外角和是360。；

4.多邊形的對角線

（1）從一個頂點出發(fā)可以畫（小3）條對角線；

（2）w邊形共有對角線的條數(shù)是：*2；

4.正多邊形：各個內(nèi)角都相等，各條邊相等的多邊形叫做正多邊形；

5.對稱性：正多邊形是軸對稱圖形，偶數(shù)邊形的正多邊形是中心對稱圖形；

6.正多邊形的每個外角的度數(shù)是：碼L,每個內(nèi)角的度數(shù)是：180。-竺；

nn

二、平行四邊形

1.平行四邊形的性質(zhì)

（1）邊的性質(zhì)：對邊平行且相等；

（2）角的性質(zhì)：對角相等，鄰角互補；

（3）對角線的性質(zhì)：對角線互相平行；

（4）對稱性：是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點；

2.平行四邊形的判定

（1）利用邊來判定

兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

（2）利用角來判定

兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

（3）利用對角線判定

對角線互相平行的四邊形是平行四邊形；

3.平行四邊形的周長和面積

（1）周長等于長與寬和的2倍；

（2）面積等于底乘以高；

4.中點四邊形

連結(jié)任意四邊形各邊的中點得到的四邊形是平行四邊形；

七、矩形、菱形、正方形

一、矩形

1.矩形的性質(zhì)

（1）矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

（2）矩形的特殊性質(zhì)：四個角都是直角，對角線相等，矩形是軸對稱圖形;

2.矩形的判定

（1）直接判定：三個角是直角的四邊形是矩形；

（2）在平行四邊形的基礎上判定

有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

對角線相等的平行四邊形是矩形；

二、菱形

1.菱形的性質(zhì)

U）菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

（2）菱形的特殊性質(zhì)：四條邊都相等，對角線垂直，每條對角線平分一組對角，菱形的面積等于對角線乘

積的一半，菱形是軸對稱圖形；

2.菱形的判定

（1）直接判定：四條邊相等的四邊形是菱形；

（2）在平行四邊形的基礎上判定

有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

對角線垂直的平行四邊形是菱形；

三、正方形

1.正方形的性質(zhì)

（1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)；

（2）邊的性質(zhì)：對邊平行，四條邊相等；

（3）角的性質(zhì)：四個角都是直角；

（4）對角線的性質(zhì)：對角線垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角；

兩條對角線把正方形分成4個全等的等腰直角三角形；

（5）對稱性：是軸對稱圖形，有4條對稱軸；是中心對稱圖形，對稱中心也叫正方形的中心；

2.正方形的判定

1.在矩形的基礎上判定

（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；

（2）對角線垂直的矩形是正方形；

2.在菱形的基礎上判定

（1）有一個角是直角的菱形是正方形；

（2）對角線相等的菱形是正方形；

三、中點四邊形

1.連接任意四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形；

2.連接矩形各邊中點得到的四邊形是菱形；

3.連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形；

八、圓有關的性質(zhì)及與圓有關的位置關系

一、圓的有關性質(zhì)

1.圓的對稱性

(1)圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；

(2)圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；

2.圓心角定理

(1)定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等；

(2)推論：同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦(可弦心距)，三組量中只要有一組量相等，那

么其它兩組量也相等；

如圖：?ZAOB=ZDOE；②AB=DE；?OC=OF；?AB=BD，這4個結(jié)論具有1推3；

3.垂徑定理

(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條??；

(2)推論：

①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條??；

④在同圓或等圓中，兩條平行弦所夾的弧相等；

如圖：①AB是直徑②ABLCD③CE=DE④BC=BD⑤AC=AO，這5個結(jié)論具有二推三;

4.圓周角定理

(1)圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半；

(2)推論：

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧;

推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑;

推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形；

ZA0B=2ZC/D=/C=/E；NF=NE,：,AB=CD;:人臺是直徑，.,./C=90°

二、與圓的位置關系

1.點與圓的位置關系

位置關系圖形定義性質(zhì)及判定

點在圓外十點在圓的外部d>rl4>r？點尸尸在。0。。的外部.

點在圓上點在圓周上"=廠？］=廠？點尸P在。O。。的圓周上.

點在圓內(nèi)點在圓的內(nèi)部d<r?d<r?點PP在。。的內(nèi)部.

2.直線與圓的位置關系

(1)設。。的半徑為小圓心。到直線/的距離為d,則直線和圓的位置關系如下表:

位置關

圖形定義性質(zhì)及判定

系

直線/與。。相

相離直線與圓沒有公共點