2025年中考數學復習壓軸訓練：隱圓問題3種模型

專題13隱圓問題3種模型

壓軸題密押

通用的解題思路：

隱圓一般有如下呈現(xiàn)方式：（1）定點定長：當遇到同一個端點出發(fā)的等長線段時，通常以這個端點為圓心，

等線段長為半徑構造輔助圓；（2）定弦定角：當遇到動點對定點對定線段所張的角為定值時，通常把張角

轉化為圓周角構造輔助圓。當遇到直角時，通常以斜邊為直徑構造輔助圓。（3）四點共圓：對角互補的四

邊形的四個頂點共圓。隱圓常與線段最值結合考查。

壓軸題預測

類型1：定點定長

1.（2023?新城區(qū)校級三模）圓的定義：在同一平面內，到定點的距離等于定長的所有點所組成的圖形.

（1）已知：如圖1,OA=OB=OC,請利用圓規(guī)畫出過A、B.C三點的圓.若NAOB=70。，則NACB=

35°

如圖，RtAABC中，ZABC=9O。，ZBCA=3O°,AB=2.

（2）已知，如圖2.點P為AC邊的中點，將AC沿54方向平移2個單位長度，點A、P、C的對應點分

別為點E、F,求四邊形5QPC的面積和/BE4的大小.

（3）如圖3,將AC邊沿3c方向平移。個單位至DF,是否存在這樣的。，使得直線DF上有一點。，滿

足=45。且此時四邊形54。江的面積最大？若存在，求出四邊形B4Z小面積的最大值及平移距離a,

若不存在，說明理由.

【分析】（1）利用圓的定義知A,B,C三點共圓，再利用圓周角定理求解.

（2）根據圖形的平移性質，判定平移后圖形形狀，繼而確定面積的計算方式和方法，角度問題也迎刃而解.

（3）因角度不變，借助圓周角定點在圓周上運動時角度不變的思想，判斷出。點能夠向右移動的最大距離,

求出四邊形的最大面積.

【解答】（1）以O為圓心，為半徑作輔助圓，如圖,

"ZAOB=70。,

:.ZACB^35°,

故答案為35。.

(2)連接BB,PE,如圖,

RtAABC中，ZABC=90°,ZBC4=30°,AB=2.

:.AC=4,ABAC=60°,3c=26.

P為RtAABC斜邊AC中點，

:.BP^-AC^2,

2

線段AC平移到DF之后，AB=AD=PE=2,BP=AE=2,

二.四邊形ABPE為菱形，

?.?N54C=60。，

:.ZBEA=30°,

■：CF//BD,且ZABC=90°,

四邊形BDFC為直角梯形，

:.S=g(BD+CF)xBC=gx6x2A=6.,

（3）如圖所示，以AB為斜邊在AB的右側作等腰直角三角形。鉆，以。為圓心，為半徑作。O,

當AC邊沿3c方向平移a個單位至DF時，

滿足ZBQA=45°且此時四邊形BADF的面積最大，

直線DF與。。相切于點。，

連接。。交AD于G,過點。作。漢_LAD于

則ZAHO=NO8G=〃QG=90°,Ntt4H=45°,ZGDQ=3Q°,

?.?ZABC=90°,ZBC4=30°,AB=2,

BC=2^,OA=OB=OQ=42,

：.AH=OH=LHG=—,OG=-,

33

..GQ=A/5一竽，DG=2GQ=2也一當,

AO=A"+HG+GO=1+3+2及-迪=1+20-G,

33

.".<2=1+2A^2—^/3,

此時直角梯形AB7D的最大面積為：

S=1X(BF+AD)XAB=1X(2A/3+1+2A/2-A/3+1+2A/2-^)X2=4A/2+2.

【點評】本題主要考查圖形的平移，圓心角，圓周角之間的關系，解題的關鍵是數形結合，找到極值點求

解.

2.（2024?蘭州模擬）綜合與實踐

【問題情境】在數學綜合實踐課上，“希望小組”的同學們以三角形為背景，探究圖形變化過程中的幾何問

題，如圖，在AABC中，AB=AC,44c=90。，點。為平面內一點（點A,B,。三點不共線），AE為

的中線.

【初步嘗試】（1）如圖1,小林同學發(fā)現(xiàn)：延長AE至點使得=連接DM.始終存在以下兩

個結論，請你在①，②中挑選一個進行證明:

@DM^AC；@ZMDA+ZDAB=180°；

【類比探究】⑵如圖2,將AD繞點A順時針旋轉90。得到AF,連接CF.小斌同學沿著小林同學的思考

進一步探究后發(fā)現(xiàn)：AE=-CF,請你幫他證明；

2

【拓展延伸】(3)如圖3,在(2)的條件下，王老師提出新的探究方向：點。在以點A為圓心，AD為半

徑的圓上運動(AD>AB),直線AE與直線CF相交于點G,連接3G,在點。的運動過程中3G存在最大

值.若鉆=4,請直接寫出3G的最大值.

【分析】(1)利用S4s證明AABEMAMDE,可得AB=DM,再結合AB=AC,即可證得DM=AC；由全

等三角形性質可得=再運用平行線的判定和性質即可證得NMD4+NZMB=180。；

(2)延長延至點使得ME=AE,連接DM.利用5As證得AACF三ADMA,可得CF=A”,再由

AE=-AM,可證得

22

(3)延長ZM至使AAf=A￡),設AA/交CF于N,連接3"交CF于K,取AC中點尸，連接GP,

可證得AAC尸=AABM(S4S),利用三角形中位線定理可得AE//BM,即AG//BM,利用直角三角形性質

可得GP=；AC=gAB=2,得出點G在以尸為圓心，2為半徑的0尸上運動，連接3尸并延長交。尸于G，,

可得3G的長為3G的最大值，再運用勾股定理即可求得答案.

【解答】(1)證明：①「AE為人鉆￡>的中線，

BE=DE,

在AABE和AMDE中,

BE=DE

<NAEB=ZMED,

AE=ME

.?.AABE=AMDE(SAS),

,\AB=DM,

\-AB=AC,

.\DM=AC；

②由①知AABE3AMDE,

:.ZBAE=ZDME,

:.AB//DM,

:.ZMDA+ZDAB=180°；

(2)證明：延長AE至點M,使得=連接DM.

F

vABAC=9Q°,ZDAF+ZBAC-^-ZBAD+ZCAF=360°,

/.ZR4D+ZC4F=180o,

由(1)②得：ZMZM+ZZMB=180°,DM=AB=AC,

:.ZCAF=ZMDA,

在AACF和ADM4中，

AF=AD

<ZCAF=ZMDA,

AC=DM

:.AACF=ADMA(SAS),

:.CF=AM,

AE=-AM,

2

AE=-CF；

2

(3)如圖3,延長94至M,使AM=49,設AM交CF于N,連接胡/交CF于K,取AC中點P,連

接GP,

F

由旋轉得：AF=AD,ZDAF=90°,

:.AF=AM,ZMAF=180°-90°=90°,

???ZBAC=90°,

/.ZMAF+Z.CAM=ZBAC+Z.CAM,

即ZCAF=ZBAM,

在AACF和AABW中，

AC=AB

<ZCAF=ZBAM,

AF=AM

AACF=AABM(SAS),

:.ZAFC=ZAMB,即ZAFN=/KMN,

?;ZANF=/KNM,

:.ZFAN=ZMKN=90°,

.\BM±CF,

???E、A分別是DB、DM的中點，

.?.人石是ABDM的中位線，

:.AE//BM,即AG//BM,

.-.AG±CF,

:.ZAGC=90°,

???點?是AC的中點，

:.GP=-AC=-AB=2,

22

.?.點G在以尸為圓心，2為半徑的。尸上運動,

連接BP并延長交0尸于G，,

的長為3G的最大值,

在RtAABP中，BP=JAB?+A-?="2+方=2#),

BG'=BP+PG'=2^/5+2,

的最大值為2斯+2.

【點評】本題是幾何綜合題，考查了三角形的全等的性質與判定，兩直線垂直的判定，三角形中位線定理，

勾股定理，圓的性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解決本題的關鍵.

3.（2022?番禺區(qū)二模）已知拋物線>=依2+云-］（4>0）與x軸交于點A,B兩點，OA<OB,AB=4.其

頂點C的橫坐標為-1.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設點。在拋物線第一象限的圖象上，DELAC垂足為E,D尸//y軸交直線AC于點廠，當AQEF面

積等于4時，求點。的坐標；

（3）在（2）的條件下，點M是拋物線上的一點，M點從點3運動到達點C,FM工FN交直線BD于點、N,

延長與線段DE的延長線交于點"，點尸為N,F,〃三點構成的三角形的外心，求點尸經過的路線

長.

【分析】（1）利用對稱性，求得A和3的坐標，然后用待定系數法求得拋物線的解析式；

（2）證明ACG4和AQEF都為等腰直角三角形，利用等面積法求得DF=4,再求得直線AC的解析式為

y=x-l,設點。的坐標，得到點P的坐標，然后求解即可；

（3）先求得NBDF=45。,推出點P的運動路徑時HtNt的中點繞點F逆時針旋轉90。得到N2H的中點之間

的弧長，證明四邊形。'EE為正方形，即可求解.

【解答】解：（1）:點A,點3兩點關于直線x=—1對稱，AB—4,

.?.4(1,0),6(-3,0),

代入y—cuc+bx——得，

’3,

a+b——=01

.2,解得："=5,

9a-3b——=0b=l

[2i

拋物線的解析式為J=1x2+^-|.

(2)如圖1所示：

?.?￡>P//y軸//GC,

.\ZGCA=ZDFE,

???拋物線的解析式為yj+x_|=*+l)2_2,

頂點C(-l,-2),

A(1,O),

7.AG=2,CG=2,

「.△CG4為等腰直角三角形，

:,ZGCA=ZDFE=45°,

\DE±AC,

「.ADEF為等腰直角三角形，

:.DE=EF,DF=?DE,

DE=2A/2,

.-.DF=A/2X2^=4,

設直線AC的解析式為y="+M則

k+b=Ok=l

解得:

-k+b=-2b=-l

二.直線AC的解析式為y=x-l,

設點D(x,—x2+x--),則F(x,x-1)，

22

1311

:.DF=-x91+x------(x-l)=-x29——=4,

2222

解得：%=3或尤=—3(舍),

「.0(3,6),F(3,2).

(3)如圖2所示，

???AM7/是直角三角形，

/.ANFH的外心是斜邊N"的中點，

當點M位于點5時，4NF%,其外心是斜邊乜乂的中點，

當點M位于點。時，得LN?FE,其外心是斜邊乂區(qū)的中點，即?石的中點,

???。(3,6),5(-3,0),

/.tanZBDF=-----=1,

6

NBDF=45。,

由(2)得，NFDE=45。,

ZDBA=ABAC=45°,

:.BD//AC,

:.FNA.BD,

;.￡）尸平分ZBDE,ZBDE=90°,

.?.點D,N,F,H四點共圓，

.?.點P在線段上的垂直平分線上，即點尸在上運動，即點產的運動軌跡是一條線段.

NDN/=ZN2DH=NDHF=90°,FN2=FE,

，四邊形。以五￡為正方形，

此時點P在。F上，且￡P=2；

當點M與點C重合時，此時點P在。F上，即為鳥，且R=E[=2,

由題意，BN2=BD-DN2=4,BF=2A/10,N2F=272,FN2/!DH],

:.NBFNyABHQ,

BN]—,解得％=碗,

~BD

BHt

FPf=A/5,

由勾股定理可得：45=1，

即點P的運動軌跡長為1.

【點評】本題主要考查二次函數的綜合問題，包括待定系數法確定函數解析式，三角形外接圓的性質，弧

長公式，勾股定理，三角函數解直角三角形等，理解題意，作出相應輔助線是解題的關鍵.

4.（2021?紅谷灘區(qū)校級模擬）（1）學習心得：小剛同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到有一些幾何

問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在AABC中，AB=AC,ZBAC=8O°,。是AABC外一點，且AD=AC,求的度數.若

以點A為圓心，AB為半徑作輔助圓OA,則點C、。必在OA上，N54C是。A的圓心角，而NBDC是圓

周角，從而可容易得到NBDC=_40。—.

(2)問題解決:

如圖，在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,ZBDC=25°,求44c的度數.

(3)問題拓展：

拋物線y=(x-iy+3與y軸交于點A,頂點為3,對稱軸3C與x軸交于點C,點尸在拋物線上，直線

鼻2//3(7交兀軸于點。，連接2Q.

①若含45。角的直線三角板如圖所示放置，其中，一個頂點與C重合，直角頂點。在8。上，另一頂點E在

P。上，求Q的坐標；

②若含30。角的直角三角板一個頂點與點C重合，直角頂點。在2。上，另一個頂點E在尸。上，點。與點

B,點。不重合，求點P的坐標.

【分析】(1)利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解.

(2)由A、B、C、。共圓，得出=

(3)①先求出拋物線頂點的坐標，再由點￡＞、C、。、E共圓，得出NCQB=NOED=45。,求出CQ,再

求點。的坐標.

②分兩種情況，I、當30。的角的頂點與點C重合時，II、當60。的角的頂點與點C重合時，運用點。、C、

Q、E共圓，求出CQ即點P的橫坐標，再代入拋物線求出點P的縱坐標，即可求出點P的坐標.

【解答】解：(1)■.■AB=AC,AD=AC,

二以點A為圓心，點3、C、。必在Q4上，

?.?NS4c是OA的圓心角，而/如C是圓周角，

:.ZBDC=-ZBAC=40°,

2

(2)如圖2,

;NBAD=ZBCD=90°,

.?.點A、B、C、。共圓,

:.ZBDC=ZBAC,

?.?ZBDC=25。,

.\ZBAC=25°,

.?.點5的坐標為(1,3),

*/45°角的直角三角板如圖所示放置,其中，一個頂點與C重合,直角頂點。在3Q上,另一頂點E在PQ上,

.?.點。、。、Q、石共圓，

:.NCQB=/CED=45。,

'.CQ=BC=3,

.?.OQ=4,

.?.點〈的坐標為(4,0),

I、當30。的角的頂點與點C重合時，

?.?直角三角板30。角的頂點與點C重合，直角頂點。在8。上，另一個頂點E在PQ上

:.點、D、C、Q、E共圓，

ZCQB=ZCED=60°,

:.CQ=J^-BC=y/3,

OQ=1+A/3,

L19

.?.把［+若代入y=—(x-l)2+3得y=_,

44

...點p的坐標是(1+百L，_Q)

???直角三角板60。角的頂點與點。重合，直角頂點。在5Q上，另一個頂點石在PQ上

.?.點。、C、Q、石共圓，

ZCQB=ZCED=30°f

CQ=6BC=3力,

/.OQ=1+,

.?.把1+3/代入y=_工（彳_1）2+3得丫=_"，

-44

...點/＞的坐標是（1+36,一空）

4

綜上所述，點尸的坐標是（1+若，2）或（1+3若，

44

【點評】本題主要考查了圓的綜合題，解題的關鍵就是運用同弦對的圓周角相等.

類型2：定弦定角

1.（2022?雁塔區(qū)校級三模）問題提出

（1）如圖①，已知AASC為邊長為2的等邊三角形，則AABC的面積為—6_；

問題探究

（2）如圖②，在AABC中，已知NBAC=120。，BC=6?,求AABC的最大面積；

問題解決

（3）如圖③，某校學生禮堂的平面示意為矩形ABCD,其寬AB=20米，長3C=24米，為了能夠監(jiān)控到

禮堂內部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面8上安裝一臺攝像頭/進行觀測，并且要求能觀測到禮堂前端

墻面AB區(qū)域，同時為了觀測效果達到最佳，還需要從點〃出發(fā)的觀測角NAMB=45。，請你通過所學知識

進行分析，在墻面CD區(qū)域上是否存在點加滿足要求？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）作于。，由勾股定理求出題的長，即可求出面積；

（2）作AABC的外接圓0。，可知點A在BC上運動，當AO_L3C時，AABC的面積最大，求出A"的長，

從而得出答案；

（3）以Afi為邊,在矩形ABCD的內部作一個等腰直角三角形AOB,且NAOB=90。，過O作HG_LAB于"，

交CD于G,利用等腰直角三角形的性質求出。4,OG的長，則以O為圓心，為半徑的圓與CD相交,

從而O。上存在點“，滿足ZWB=45。，此時滿足條件的有兩個點過M作M/LAB于尸，作

“。，加/于石，連接OF,利用勾股定理求出OE的長，從而解決問題.

【解答】解：（1）作ADLBC于。，

?「A4BC是邊長為2的等邊三角形,

AD=y/AB2-BD2=唐,

.?.AABC的面積為一x2x真=6,

2

故答案為：百；

（2）作AABC的外接圓O。，

???41C=120。，BC=6y/3,

.,.點A在上運動，

圖②

當AO_L3C時，AABC的面積最大,

:.ZBOA=60°,BH=CH=3y/3,

:.OH=3,03=6,

AH=OA-OH=6-3=3,

1lr-

;.AASC的最大面積為—x6括x3=9j3；

2

(3)存在，以AB為邊，在矩形ABCD的內部作一個等腰直角三角形AO3,且NAOB=90。,

過。作于"，交CD于G,

B

圖③

?.?AB=20米，

:.AH=OH=10^,04=10忘米，

?.?3C=24米，

.?.OG=14米，

?.-1072>14,

.?.以。為圓心，為半徑的圓與CD相交，

二。。上存在點滿足N4MB=45。，此時滿足條件的有兩個點M,

過〃［作/尸_LAB于尸，作EO_LM/于E,連接OF,

D

圖③

.?.EF=OH=1。米,O%=10點米，

EM,=14米，

2

:.OE=^OM;-MtE=2米，

:.CM}=8尸=8米，

同理CM?=2H+OE=10+2=12（米）,

；.MC的長度為8米或12米.

【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，矩形的性質，等腰直角三角形的性質，勾

股定理，垂徑定理等知識，熟練掌握定角定邊的基本模型是解題的關鍵.

2.（2023?浦橋區(qū)校級模擬）問題提出：（1）如圖①，AA5c為等腰三角形，ZC=120°,AC=3C=8,D

是AB上一點，且CD平分AABC的面積，則線段CD的長度為

圖③

問題探究：（2）如圖②，AABC中，ZC=120°,AB=10,試分析和判斷AABC的面積是否存在最大值,

若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由.

問題解決：（3）如圖③，2023年第九屆絲綢之路國際電影開幕式在西安曲江競技中心舉行，主辦方要在會

場旁規(guī)劃一個四邊形花圃ABCD,滿足BC=600米，CD=300米，ZC=60°,ZA=60°,主辦方打算過3c

的中點M點（入口）修建一條徑直的通道ME（寬度忽略不計）其中點￡（出口）為四邊形ABCD邊上一

點，通道ME把四邊形ABCD分成面積相等并且盡可能大的兩部分，分別規(guī)劃成不同品種的花圃以供影迷

休閑觀賞.問是否存在滿足上述條件的通道ME?若存在，請求出點A距出口的距離花的長；若不存在,

請說明理由.

【分析】（1）由題意可知，CD是AABC的中線，利用等腰三角形的性質推出CDLAB,利用三角函數求解

即可解決問題；

（2）當AABC的AB邊上的高CD最大時，三角形ABC的面積最大，即CD過圓心O,連接40.求出CD

的最大值即可得出答案；

（3）連接ZW,BD.首先證明NBDC=90。，求出33,推出ABDC的面積是定值，要使得四邊形ABCD

的面積最大，只要A4BD的面積最大即可，因為為定值，為定角=60。，推出當AABD是等邊三角形

時，求出四邊形ABCD的面積最大值，然后再求出NMDE=90。，構建方程解決問題即可.

【解答】解：（1）如圖①，

圖①

?.?CD平分AA5c的面積,

AD—DB,

???AC=5C=8,

.\CD±AB,ZACD=/BCD=—ZACB=60。,

2

/.CZ)=ACcosZACD=8cos60°=4,

.??CD的長度為4,

故答案為：4；

（2）存在.如圖②,

圖②

■.■AB=10,NACB=120。都是定值,

.?.點C在AB上，并且當點C在的中點時，AABC的面積最大;

連接OC交AB于點D,則CD_LAB,AD=BD=-AB=5,

2

ZACZ)=-ZACB=60°,

2

Ar)AD5上

tanZACD=——，CD=

CDtan6003

LAB.CD$

一^AABC=

23

答：MBC的面積最大值是苧

(3)存在.如圖③，連接DM,BD,

圖③

?.?M是3C的中點,

CM=-BC=300,

2

:.CM=CD,

又?.?NC=60。，

/.ACMD是等邊三角形,

.\ZMDC=ZCMD=60°,CM=DM=BM,

:.NCBD=ZMDB=30。,

:.ZBDC^90°,

BD=CD-tan60°=300A/3米，

在AABD中，3。=3006米，NA=60。為定值，

由(2)可知當=時，即4曲為等邊三角形時AABD的面積最大,

此時也為四邊形ABCD的最大值(ABDC的面積不變)，

S—SX300X3。。吊打。?；?112500^;

AABD是等邊三角形，

:.ZADB=60°,

ZADM=ZADB+ZBDM=90°,

:

由^AEMD+S&CDM=/S,MV，倚

-DEx300+—x3002=-X112500A/3,

242

解得：DE=225.,

:.AE=AD-DE=3(X)出-225陋=156(米)，

答：點A距出口的距離AE的長為756米.

【點評】本題是圓的綜合題，考查了勾股定理，垂徑定理，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質等知

識，解題的關鍵是理解題意構造輔助圓，靈活運用所學知識解決問題，難度較大，屬于中考壓軸題.

3.(2023?柯城區(qū)校級一模)如圖，點A與點B的坐標分別是(1,0)，(5,0),點P是該直角坐標系內的一個

動點.

(1)使NAPB=30。的點P有無數個;

(2)若點尸在y軸上，且NAPB=30。，求滿足條件的點尸的坐標；

(3)當點尸在y軸上移動時，N4P3是否有最大值？若有，求點P的坐標，并說明此時Z4PB最大的理由；

若沒有，也請說明理由.

5-

4-

3-

2-

1-4B

IlliI1III工

-4-3-2-1012345X

-1-

-2-

-3-

【分析】(1)已知點A、點B是定點，要使NAP5=30。，只需點P在過點A、點B的圓上，且弧AB所對

的圓心角為60。即可，顯然符合條件的點尸有無數個.

(2)結合(1)中的分析可知：當點P在y軸的正半軸上時，點尸是(1)中的圓與y軸的交點，借助于垂

徑定理、等邊三角形的性質、勾股定理等知識即可求出符合條件的點尸的坐標；當點尸在y軸的負半軸上

時，同理可求出符合條件的點尸的坐標.

(3)由三角形外角的性質可證得：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角大于同弧所對的圓外角.要NAPB最

大，只需構造過點A、點6且與y軸相切的圓，切點就是使得24PB最大的點尸，然后結合切線的性質、

三角形外角的性質、矩形的判定與性質、勾股定理等知識即可解決問題.

【解答】解：(1)以AB為邊，在第一象限內作等邊三角形ABC,

以點C為圓心，AC為半徑作OC,交y軸于點［、P2.

在優(yōu)弧上任取一點尸，如圖1,

11

則NAPB=—NACB=—x60°=30°.

22

使ZAPB=30°的點P有無數個.

故答案為：無數.

(2)①當點P在y軸的正半軸上時，

過點C作CGLAB,垂足為G,如圖1.

?.?點4(1,0),點3(5,0),

OA=1JOB=5?

:.AB=4.

???點。為圓心，CGLAB,

：.AG=BG=-AB=2.

2

.\OG=OA+AG=3.

,/AABC是等邊三角形，

..AC=BC=AB=4.

:.CG=^AC2-AG2

=742-22

=2^/3.

.?.點C的坐標為(3,2拒).

過點C作。J_y軸，垂足為O,連接CR,如圖1,

?.?點C的坐標為(3,2A/3),

:.CD=3,OD=2^/3.

?.超、g是OC與y軸的交點,

:.AAPiB=ZAP2B=30°.

CP2=CA=4,CD=3,

22

DP2=>/4-3=".

?.?點C為圓心，CDLP{P2,

、幣.

:.P1\D2=PDV=

.-.^(0,2A/3-A/7).4(0,2肉質.

②當點尸在V軸的負半軸上時，

同理可得：舄(0,-2右一近).Pg,-2出+不).

綜上所述：滿足條件的點尸的坐標有：

(0,273-77),(0,26+近)、(0,-2舁近)、(0,-273+77).

(3)當過點A、3的OE與y軸相切于點尸時，ZAPB最大.

2

理由：可證：ZAPB=ZAEH,當NAP3最大時，ZAEH最大.由sinNAEH=——得：當AE最小即PE最

AE

小時，ZAEH最大.所以當圓與y軸相切時，ZAPB最大.

①當點尸在y軸的正半軸上時，

連接E4,作軸，垂足為“，如圖2.

?.?。石與y軸相切于點P,

:.PEVOP.

-.-EH±AB,OPVOH,

ZEPO=ZPOH=ZEHO=90°.

四邊形OPE”是矩形.

:.OP=EH,PE=OH=3.

.?.EA=3.

ZEHA=9Q°,AH=2,￡4=3,

EH=4EA2-AH。

="-22

:.OP=y/5

：.P（0,A/5）.

②當點尸在y軸的負半軸上時，

同理可得：尸（0,-石）.

理由：

①若點尸在y軸的正半軸上，

在y軸的正半軸上任取一點/（不與點P重合），

連接M4,MB,交OE于點N,連接N4,如圖2所示.

NA7VB是AAMN的外角，

:.ZANB>ZAMB.

ZAPB=ZANB,

:.ZAPB>ZAMB.

②若點尸在y軸的負半軸上，

同理可證得：ZAPB>ZAMB.

綜上所述：當點P在y軸上移動時，ZAPfi有最大值，

此時點尸的坐標為（0,新）和（0,-斯）.

【點評】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的性質、矩形的判定與性質，切線的

性質、三角形外角性質等知識，綜合性強.同時也考查了創(chuàng)造性思維，有一定的難度.構造輔助圓是解決

本題關鍵.

類型3：四點共圓

1.（2022?中原區(qū)校級模擬）閱讀下列材料，并完成相應的任務.

西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點

作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）.

某數學興趣小組的同學們嘗試證明該定理.

如圖（1）,已知AABC內接于OO,點P在OO上（不與點A,B,C重合），過點P分別作

AB,BC,AC的垂線，垂足分別為點。，E,F.求證：點。，E,尸在同一條直線上.

如下是他們的證明過程（不完整）：

如圖（1）,連接PB,PC,DE,EF,取PC的中點。，連接QE.QF,

貝====（依據1）

;點、E,F,P,C四點共圓，

:.ZFCP+ZFEP=18O°.（依據2）

又NACP+Z4BP=180°,

:.ZFEP=ZABP.

同上可得點B,D,P,E四點共圓，

任務:

（1）填空:

①依據］指的是中點的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

②依據2指的是—.

(2)請將證明過程補充完整.

(3)善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當點P是8C的中點時，BD=CF,請你利用圖(2)證明該結論的正確性.

【分析】(1)利用直角直角三角形斜邊上的中線的性質和圓內接四邊形對角互補即可；

(2)利用直角三角形斜邊上中線的性質證明點E,F,P,C和點3,D,P,E四點分別共圓，再說

明NEEP+ND￡P=180。，可證明結論；

(3)連接上4,PB,PC,利用HL證明RtAPBDvRtAPCF,從而得出結論.

【解答】(1)解：①依據1指的是中點的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，

②依據2指的是圓內接四邊形對角互補，

故答案為：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內接四邊形對角互補；

(2)解：如圖(1),連接P3,PC,DE,EF,取PC的中點。，連接QE.QF,

貝?。軪。=/。=；尸。=尸。=。。，

:.點、E,F,P,C四點共圓，

;.NFC尸+NFE尸=180°,

ZACP+ZABP=180°,

:.ZFEP=ZABP,

同上可得點3,D,P,E四點共圓，

:.ZDBP=ZDEP,

■.■ZABP+ZDBP=180°,

:.NFEP+ZDEP=180°,

:.點,D,E,P在同一直線上;

（3）證明：如圖，連接B4,PB,PC,

BP=PC,

:.BP=PC,ZPAD=ZPAC,

又,.?PD_LAD,PFYAC,

:.PD=PF,

RtAPBD=RtAPCF(HL),

:.BD=CF.

【點評】本題主要考查了四點共圓，以及圓內接四邊形的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性

質等知識，證明RtAPBD=RtAPCF是解題的關鍵.

2.（2021?哈爾濱模擬）（1）【學習心得】

于彤同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以

使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,。是AABC外一點，且A￡>=AC,求N3DC的度數.若

以點A為圓心，為半徑作輔助QA,則點C、。必在QA上，N54C是OA的圓心角，而NBDC是圓周

角，從而可容易得到NfiDC=45

（2）【問題解決】

如圖2,在四邊形ABC。中，ABAD=ZBCD=90°,NBDC=25。,求N54c的度數.

(3)【問題拓展】

如圖3,如圖，E,尸是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足獷.連接CF交班>于點G,連接

BE交AG于點H.若正方形的邊長為2,則線段。以長度的最小值是—.

【分析】(1)利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解.

(2)由A、B、C、D共圓，得出NBDC=Nfi4C,

(3)根據正方形的性質可得AB=AD=CD,ZBAD=ZCDA,ZADG=ZCDG,然后利用“邊角邊”證

明AABE和ADCF全等，根據全等三角形對應角相等可得4=N2,利用“&4S”證明A/VX?和ACDG全等，

根據全等二角形對應角相等可得N2=N3,從而得到4=N3,然后求出/4HB=90。，取AB的中點O,連

接OH、OD,根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH」AB=1,利用勾股定理列式求出OD,

2

然后根據三角形的三邊關系可知當。、D、”三點共線時，D/7的長度最小.

【解答】解：(1)如圖1,?.,AB=AC,AD=AC,

以點A為圓心，AB為半徑作圓A,點、B、C、。必在OA上，

?.?N3AC是0A的圓心角，而/加C是圓周角，

:.ZBDC=-ZBAC=45°,

2

故答案為：45；

(2)如圖2,取ND的中點O,連接AO、CO.

ZBAD=ZBCD=90°,

.?.點A、B、C、。共圓，

:.ZBDC=ZBAC,

,;NBDC=25。,

:.ZBAC=25°,

(3)如圖3,在正方形ABC。中，AB=AD=CD,ZBAD=ACDA,ZADG=ZCDG,

在AABE和ADCF中，

AB=CD

<ABAD=ZCDA,

AE=DF

二.AABE二ADCF(SAS),

.*.Z1=Z2,

在AADG和ACDG中，

AD=CD

<ZADG=ZCDG,

DG=DG

AADG=ACDG(SAS)f

.?.N2=N3,

/.Z1=Z3,

???ZBAH+N3=ZBAD=90°,

/.Zl+Z^4H=90o,

ZAHB=180°-90°=90°,

取AB的中點O,連接OD,

在RtAAOD中，OD=^AO2+AD2=^l2+22=A/5,

根據三角形的三邊關系，OH+DH>OD,

.?.當O、D、〃三點共線時，的長度最小，

最小值=OD—=宕—1.

（解法二：可以理解為點”是在RtAAHB,AB直徑的半圓AB上運動當O、H、。三點共線時，?！伴L

度最?。?/p>

故答案為：A/5-I.

BC

圖3

【點評】本題主要考查了圓的綜合題，需要掌握垂徑定理、圓周角定理、等腰直角三角形的性質以及勾股

定理等知識，難度偏大，解題時，注意輔助線的作法.

3.(2022?潢川縣校級一模)如圖1,點3在直線/上，過點3構建等