2025年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)：第23題 幾何綜合（壓軸大題）解析版

猜押07第23題幾何綜合（壓軸大題）

押題依據(jù)

猜押考點3年武漢真題考情分析押題依據(jù)難度

核心考點：1.特殊四邊形

（矩形、菱形）性質(zhì)2.全

2024年第23題（矩形等/相似三角形判定與性質(zhì)命題規(guī)律：1.以“問題背景一

中點與相似三角形綜3.直角三角形斜邊中線定探究一拓展”分層設(shè)問，體現(xiàn)

合）2023年第23題（菱理4.勾股定理與代數(shù)運算思維梯度2.高頻考點：中點

幾何綜合

形與等腰三角形綜合）結(jié)合相關(guān)性質(zhì)、相似三角形、直困難

壓軸

2022年第23題（三角能力要求：-復(fù)雜幾何圖形角三角形3.2025年可能結(jié)合

形中點與相似三角形綜的分解與重構(gòu)-輔助線添其他知識點或新定義問題創(chuàng)

合）加策略（中點、垂線、平新題型

行線）-多知識點綜合推理

能力

CCC

押題演測

題型一幾何綜合壓軸

1.（2025?湖北武漢?一模）如圖，8。是四邊形N8CD的對角線，己知乙48C=ZADC=90。.

s^CDE；

（2）如圖2,若//8。=60。，求證：AB+43BC=2BD；

（3）如圖3,若DA=DB,tan/DBC=k,直接寫出tanNBDC的值（用含左的式子表示）.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

1一左2

(3)tanZ5DC=——

2k

【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形外接圓、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正切的定義等,

熟練掌握是解題的關(guān)鍵.

(1)分別證明=NDCE=ND4B即可;

(2)連接NC,以NC為半徑作圓,易得點8、點。在圓上，四邊形為圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)托勒密

定理得=+即=+又弦8所對圓周角

(_zC

CD1AD1V3r

NCAD=ZCBD=90°-ZABD=30°,-——,BD=-AB+—BC,ABWBC=2BD；

AC2AC222

(3)/皮)。=90。一/408=90。一(180。-24)=90。一(180。-2(90。-208。))=90。-2/。。2,如圖所示，構(gòu)

造三角形，即可求出tanNBOC的值.

【詳解】(1)解：vZCDE+ZBDC=ZADB+ZBDC=90°,

ZCDE=ZADB,

ZA+/BCD+/ABC+ZADC=360°,

:.ZA+ZBCD=1SO°,

又?.?ZDCE+/BCD=180。，

ZDCE=乙4,

.△ADBSACDE.

(2)解：如圖所示，連接/C,以NC為半徑作圓,

易得點3、點。在圓上,

，四邊形/BCD為圓內(nèi)接四邊形,

根據(jù)同弦所對圓周角相等，設(shè)NADB=NACB=N1,NBAC=NBDC=N2,NCAD=NCBD=N3,

NACD=ZABD=N4,AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,AC=e,BD=f,

如圖所示，分別將△48。，LABC,ANC￡＞的邊長與e、d、。相乘，得:

BBbdC

將上述三個三角形拼接，得:

??.新圖形為平行四邊形，

ef=ac+bd,

即AC,BD=AB,CD+BC,AD,即BD=AB-----FBC,

AC/C

又；弦8所對圓周角NCAD=ZCBD=90°-ZABD=30°,

,CD_1AD

?.一，---=---，

AC2AC2

i巧

:.BD=-AB+—BC,

22

AB+y/3BC=2BD.

(3)解：NBDC=90。一/ADB

=90°-(180°-2Z^)

=90°-(180°-2(90°-ZDBC))

=90°-2ZDBCf

如圖所示，作等腰三角形EFG,NFEG為銳角，EF=EG,EMLFG,設(shè)MG=左,EM=\,

EG=JMG?+EM2=J］、+1，

-EM-FG

FN=%皿=22k

-EG-EG

22

EN=4EF2-FN2=]k2+\-^—l(^2+l)2-4A-~l(k2-l)21-k2

v-\r+i-7?7T

Vk2+\

FN2k

tan2ZMEG=tanZFEG=—=——

ENl-k2?

根據(jù)上述結(jié)論，tan/Z）5C=k，

則tan2/Z)5C=——

\-k

A'U'

如圖所示,作矩形,設(shè)tan〃O?=而頻,

A'ri'i

則tan(90°-/ADP)=tanNBDC=行=,

根據(jù)上述結(jié)論，???tan2NMC=「y,

L-K

]_k2

/.tan(90°-2NDBC)=-------,

2k

1

/.tanZBDC=tan(90°-2ZDBC)=-------,

]-k2

答：tan/BDC=-------.

2k

2.（2025?湖北武漢?模擬預(yù)測）問題背景如圖（1）,在矩形/BCD中，E為。C上一點，尸為3c上一點,

S.AE1EF,求證：△/￡>￡s^ECF.

問題探究如圖（2）,以4E為邊作等邊△NEG,G點在C3的延長線上，當(dāng)EF：G尸=2:7的時候，求AGEF

與AAGE的面積之比.

問題拓展如圖（3）,G在8c的延長線上，連接EG,當(dāng)NEGC=/EFA=60°,EC='拒,尸G=4時直

接寫出NG的長度.

G

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形的等

知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和垂直的定義得到兩組對應(yīng)角相等即可證明結(jié)論；

(2)如圖：過/作EHLEG,過G作GKL/E,設(shè)跖=2x,則GF=7x；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和垂直

的定義可得彼=；歷=x,再運用勾股定理可得上汨=瓜,HG=4瓜,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及勾

股定理可得KG=；x,最后代入面積公式求解即可；

2

3

(3)先說明NGEC=30。，易得NGEC=30。；再解直角三角形可得EG=3、CG=-,/￡=回；再運用相

似三角形的性質(zhì)可得==最后運用線段的和差以及勾股定理即可解答.

22

【詳解】解：(1)???在矩形45CQ,AELEF,

.?./D=/C=90°,ZAED+ZFEC=90°,

???/AED+/DAE=90。,

,NDAE=NFEC,

???Z\ADES&ECF；

(2)如圖：過尸作FHLEG,過G作GK，/￡,

???等邊△Z￡G,

??.ZKGE=-ZAGE=30°,GE=AE,/AEG=/AGE=60°,

2

ZHEF=ZAEF-/AEG=30°，

.-.HF=-EF=x,

2

???HE=NEF2-HE。=43x,HG=y/CF2-HF2=4后,

；.AE=EG=HE+HG=5底,

ZKGE=30°,GKLAE,

.-.EK=-AE^-y[ix,

22

KG=^GE2+KE2=—x,

2

-EGHF-x5^x-x、

S"GEF=2_______=_2__________=2_.

15

s*4GELAE.GK1X5V3.X—.x

222

(3)-,?ZEGC=60°,ABCE=90°,

NGEC=30°,

■.■EC=-43,

2

CE13

：

.EG==3,CG=-EG=~,

cos30°忑22

2

???尸G=4,

35

:.FC=FG—CG=4一一=-,

22

?-EF=^EC2+FC2=V13，

???NEFA=60°,ZAEF=90°,

???^E=tan60o-EF=V3-Vi3=V39,

v/\ADES^ECF,

Arnnz7V39ADDE

4EADDE-^="=—T=-=---ATJ/

而'=/=和，即NNA3百5,解傳H:

nr/SCCr-

22

...BC=AD=3,AB=DC=DE+EC=,

93

BG=BC+CG=-+-=6,

22

???AG=ylAB2+BG2

3.（2025?湖北武漢?模擬預(yù)測）問題提出

DEAE

(1)如圖(1),在△4BC中，DE//BC,且。￡分別交/A/C于點。，E,則=____下.(填“

BCAC

或“=").FHBG=FGBC

A

E

BC

圖⑴

問題探究

(2)如圖(2),8。是△/BC的角平分線，過點。作?！辍?8交5c于點E,求證：DEAC=ADBC.

問題拓展

(3)如圖(3),在菱形/3CD中，N/OC=60。，點G在射線CD上，且CG=38C.連接3G交/C于點

F,過點、尸作CD〃尸H交BC于點H,若FH-BG=3瓜FG=N^,求2G的長.

2

【答案】(1)=；(2)證明見解析；(3)BG=25

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線等分線段定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾

股定理等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵.

(1)先判定ANDCSA/BC,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式即可解答;

RFAD

(2)由平行線等分線段定理可得442。=/成＞8、—,再根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義以及

nCAC

等角對等角可得DE=BE,再結(jié)合黑=唉以及等量代換即可證明結(jié)論;

nCAC

(3)由菱形的性質(zhì)可得AD〃BC,N/DC=60。，類比(2)可得FHBG=PGBC再結(jié)合已知條件可得

BC=2、CG=6,進而得到2c=1、BQ=6,最后利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：,：DE〃BC,

DEAE

~BC~~AC

故答案為：=

(2)證明：DE//AB,

BEAD

???/ABD=NEDB,——=—,

BCAC

?:BD是A4BC的角平分線,

NABD=NDBE

ZEDB=ZDBE，

???DE=BE,

DEAD

"BC~AC'

.■.DEAC=ADBC.

(3)?.?菱形4BCD,

.-.AD//BC,ZADC=6Q°,

又?:GD〃FH,

類比由(2)中結(jié)論可得:FHBG=FGBC,

???FHBG=3用,

FGBC=3V13,即^^<BC=3&,解得：BC=2,

2

：.CG=3BC=6,

如圖，過點8作20_LCD,垂足為點Q,

AD//BC,ZADC=60°,

NBCQ=60°,

ZCBQ=30°,

...C0=；8C=1,BQ=y]BC2-CQ2=V3,

BG=y）QG2+BQ2=J（6+1）?+（可=2而.

4.（24-25九年級下?湖北武漢?階段練習(xí)）問題背景：在直角三角形/8C中，ZC=90°,。為NC上一點.

（1）如圖1,過點。作。E2/3于E,求證：ADAC=AE-AB；

⑵如圖2,在（1）的條件下，將繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，連接。8,CE,取AD的中點連接CM,

⑶如圖3,BD平分/ABC,/C=4,BC=3,點￡為上一點，點C關(guān)于/￡的對稱點為C，,若點C

恰好落在50上，直接寫出8C的長度是

【答案】(1)證明見解析；

⑵證明見解析；

(3)2V5-VH

【分析】(1)證明"EQSA/CB,由相似三角形的性質(zhì)即可得證；

(2)延長CM到尸，使得CM=FM,連接。尸，EF,可證明△氏"四得到

DF=BC,ZMDF=ZMBC；導(dǎo)角證明NEDF=NC/E,進而可證明△GlE's△尸,得到

CFACCFFF

—=—,ZDEF=ZAEC,則可證明尸=乙4。5=90。，一=——，進一步可證明，

EFDFACBC

據(jù)此可證明結(jié)論；

(3)過點。作小8于憶過點N作交2。延長線于“，則CO=ED；由勾股定理得N8=5,

根據(jù)等面積法得到博=喘=1,則/。=￡，C7)=|；由勾股定理得2。=迷；證明

由相似三角形的性質(zhì)求解9=2行，AH=45,由軸對稱的性質(zhì)可得/C'=/C=4,再由由勾股定理得

C'H=4U，刪BC=BH-CH=2#-5.

【詳解】(1)證明：；NC=90。，DE.LAB,

:.ZAED=ZC=90°,

ZEAD=ZCAB,

：AAEDS"CB,

.AD_AE

一加一就‘

ADAC=AE.AB；

(2)證明：如圖所示，延長C"到尸，使得CM=FW,連接OREF,

AE

V*.QX

W為AD的中點

DM=BM,

又?：CM=FM,/BMC=ZDMF,

ABMC^AZ>MF(SAS),

；,DF=BC,ZMDF=ZMBC；

AAED^^ACB,

AEDE

.,./DAE=/BAC,AADE=AABC,

~AC~^C

???ZACB+ZCBD+ZADB+/CAD=360°,NADE+ZEDF+ZBDF+ZADB=360°,

??.ZACB+ZCAD=ZADE+ZEDF,

90°+ZCAD=90°-/DAE+ZEDF,

???ZEDF=ZCAD+/DAE=ACAE；

AEDE2

-----=------,DF=BC

ACBC

AEDEAEAC

——=——,即Rn——=——

ACDFDEDF

△CAEsMDE,

CE

靠皿F=ZAEC,

~EF

CEAC

:?/CEF=ZCED+ZDEF=ZCED+ZAEC=ZAED=90°

~EF~~BC

CE_EF

.-.ZCEF=ZACB=90°

~AC~^C

???AABCsACFE,

ABACnnABCF2CM

CFCEACCECE

ABCM

2AC~~CE；

(3)解：如圖所示，過點。作Z)尸，48于R過點4作交延長線于巴

???5。平分//BC,AH上BD,ZC=90°,

/.CD=FD；

在中，由勾股定理得AB=個AC?+BC?=5,

c-AB-DF-ADBC

'△ABD_2_2

S△的-BCCD-BCCD

22

ADAB_5

~CD~^C~3，

-AC=4,

53

.?.4。=一，CD=-

22

在RtZXQBC中，由勾股定理得"加+叱=垣;

2

?：NH=/C=90。,ZABH=ZDBC（角平分線的定義），

BHAH5

BHAHAB口---=-z-=—尸

..——=—=—，即333V5,

BCCDBD7

22

BH=2A/5,AH=布,

由軸對稱的性質(zhì)可得/C=/C=4,

在R.UAHC中，由勾股定理得CH=y]CA2-3AH2=而，

BC=BH-C'H=245-

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，角平分線的性

質(zhì)等等，解（2）的關(guān)鍵在于通過倍長中線構(gòu)造全等三角形，通過全等進而構(gòu)造相似三角形；解（3）的關(guān)

鍵在于利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合等面積法求出NDCD的長，進而證明三角形相似求解.

5.（24-25九年級下?湖北武漢?階段練習(xí)）在矩形/8CD中，BC=kAB,點￡是CD邊上不與端點C、。重

合的動點，CHLBE于H,

【課本再現(xiàn)】（1）如圖（1）當(dāng)左=1時，C"交線段于點尸，求證：&BCE%&CDF；

【類比遷移】（2）如圖（2）在（1）的條件下，CH交線段3。于點G,若點￡是。。的中點，求器的值;

【拓展延伸】（3）如圖（3）若DE=kCE,直接寫出tan/?。〦的值_____（結(jié)果用含有左的式子表示）.

AFDADAD

BCBC

圖（1）圖（2）

2k

【答案】（l）見解析；（2）-；（3）,4,3,

3k+k+\

【分析】本題主要考查正方形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形以及圓周角定理等

知識，正確作輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

（1）判斷矩形A8C。是正方形，證明N1=N3,根據(jù)ASA可證明ABCE也ACAP；

（2）延長CH,交40于點尸，求出tan/l=g,tan/3=g,設(shè)EH=a,則C/7=2a,2H=4a,得

4

BE=5a,CF=5a,證明AGEQSAGCB,得出G"=§a,從而可得結(jié)論；

(3)求出tan/l=tanN3=M^+]),設(shè)EH=1,HC=k(k+\),BH=k\k+\f,得BE=/(左+1『+]，求

出tan/%一1,，由尸、H、E、。四點共圓，運用圓周角定理可得結(jié)論

【詳解】解：(1)證明：當(dāng)左=1時，BC=AB,

，矩形/BCD是正方形，

AFD

BC=CD9ZBCD=ZD=90°,

E

BC

???CHVBE,

：,ABHC=90°,

Zl+Z2=Z2+Z3=90°,

在△5C￡和△CD尸中

'Zl=Z3

<BC=CD

ZBCE=NCDF

「.△BCE之△CQ尸(ASA)

(2)延長C〃，交AD于點F,

由(1)可知：ABCEACDF

BE=CF.

???點七是CD中點,

CD=2CE,

BC=2CE=2DF,

,tan/1=-

2

tan/3=—,

2

設(shè)EH=a,則CH=2a,BH=4q,

:.BE=BH+EH=5a,

CF—BE=5a,

40||，

:AGFDSAGCB,

FD_FG\

,^C~'GC~2"

:.FG=-CF=-a,

33

4

:.GH=CF-FG-CH=-a,

3

.GH_2

???

HC3

(3)?；DE=kCE,

CD=DE+CE=(k+1)CE,

;.CE=——CD,

k+1'

???BC=kAB=kCD,

八CE1

,tanNl=----=/、

"BC左(左+1)，

???N1=N3,

/.tanZ3=-.

k(k+l),

設(shè)石77=1,HC=k(^k+1),BH=k2[k+1)2

BE=k2(k+1)2+1,

?.FBCES￡DF,

左2（左+l『+i

:.CF=-BE=

k

AFD

k2(^+1)2+1

左+D=*+j+i

k

Bc

k

:.tanNHFE=

F+F+i

；F、H、E、。四點共圓,

k

二.tan/HDE=

F+F+I

6.（24-25九年級下?湖北武漢?階段練習(xí)）問題提出如圖1,ZUBC是等邊三角形，點。是BC邊上一點

（點。不與端點重合），CO,點。關(guān)于直線48的對稱點為點￡,連接40,。￡.在直線上取一點

F,使NEFD=/BAC,直線即與直線NC交于點G.探究線段CG與DE之間的數(shù)量關(guān)系.

問題探究

（1）先將問題特殊化，如圖2,當(dāng)點。為8c的中點時，點/、尸、G重合，直接寫出此時CG與BE的數(shù)量

關(guān)系為;線段CG與DE的數(shù)量關(guān)系為；

（2）再探究一般情形，如圖1,求線段CG與的數(shù)量關(guān)系；

延伸應(yīng)用

（3）如圖3,EG與48交于點“，tanZADC=—,AH=6,直接寫出C。的長為

2

【分析】（1）由軸對稱性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得5￡=。。=52440后為等邊三角形，則?！?加）,

在Rt/SGCD中，CGxcos/C=C￡>,則CG=2C￡>,在RtZ!\GC。中，CGxsin/C=/。，則21CG=4D,

2

即"CG=￡>￡；

2

(2)連接BE,在CG上截取C7=8。，證明"8DgA8C7(SAS),然后導(dǎo)角得到￡G〃37,由對稱得,

ZEBA=ZDBA=60°,BE=BD,DE1AB,DO=EO,則/E8C=120。，則NE8C+NC=180。，故

BE//GC,那么四邊形E87G為平行四邊形，可得CG=28。，即5D=；CG,再解△E8D即可；

(3)過點A作/NL8C于點N,過點b作〃A/L/C于點M,由對角互補可得/4DC=/"GW,則

ianZADC=tanZHGM,即坦=也=述，設(shè)DN=2x,AN=3瓜,則CN=3x,BD=BN-DN=x,

DNGM2

8C=C/=6x,CG=2BD=2x,則NG=/C-CG=4x,在中，HM=3#),NM=3,貝U

GM=2,故/G=4x=5,則x=3,則由CD=5x即可求解.

4

【詳解】(1)解：???△ABC為等邊三角形，。為3C中點，

ADLBC,ZACB=60°,ADAB=ACAD=-ABAC=30°,DB=DC,

2

由對稱得：AD=AE,BE=BD,/DAB=/EAB=3。。,

BE=DC,ZEAD=60°

在RtZ^GCD中，CGxcos/C=C。，

：,CG=2CD,

CG=2BE,

vAD=AE,ZEAD=60°,

???"DE為等邊三角形,

**?AD=DE,

在RtZiGCD中，CGxsin/C=/。，

???業(yè)CG=AD,

；±CG=DE,

故答案為：CG=2BE；?CG=DE；

2

(2)連接BE,在CG上截取CT=5D,

(圖1)

???△4BC為等邊三角形，

...ABAC=ZC=ZABC=60°,BC=BA,

:.AABD知BCT(SAS),

/.ZCBT=/BAD，

.,"BJD=/BAD+ZABJ=ZCBT+ZABJ=/ABC=60°,

vZEFD=ZBAC=60°f

??.ZEFD=ZBJD,

：.EG//BT,

由對稱得，NEB4=/DBA=60。,BE=BD,DEIAB,DO=EO,

/.ZEBC=\20°,

??.NMC+NC=180。，

：.BE//GC,

???四邊形EBTG為平行四邊形，

??.BE=TG=BD=CT,

CG=2BD,即BQ二；CG

巧

在RtZXBQO中，OD=BDxsinZABC=—BD,

2

???DE=y/iBD,

-DE=—CG;

2

(3)解：過點A作/N,5。于點N,過點〃作于點",

A

ZDFG+/C=ZDFG+ZEFD=180。，

ZADC+ZFGC=180°f

???ZHGM+ZFGC=180°f

：,/ADC=/HGM,

tan/ADC=tanZHGM,

.AN_HM_3有

設(shè)DN=2x,AN=3瓜,

AN

則CN=^J,

.?.由(1)知BN=CN=3x,

:.BD=BN-DN=x,BC=CA=6x

.?.由(2)WCG=2BD=2x,

.■.AG=AC-CG=6x-2x=4x,

在Rt△心M中，4H=6,NB4C=60。,

HM=AHxsinABAC=，AM=AHxcos,ABAC=3,

..HM3y/3

<*,---=----,

GM2

:,GM=2,

AG=4x=3+2=5,

5

x=一,

4

25

:.CD=CN+DN=3x+2x=5x=—,

4

25

故答案為：—.

4

【點睛】本題考查了圖形的軸對稱變化，涉及解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判

定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，難度大，正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

7.(24-25九年級上?湖北武漢?期末)將正方形N8CD的邊4D,繞著點。順時針旋轉(zhuǎn)至,連接/E.

AB

圖1圖2

(1)如圖1,連接CE,若NADE=60°,則ZAEC=.

(2)如圖2,與關(guān)于正方形/2CO的中心對稱(其中點4。的對稱點分別是點C夕，連接/月,

過點8作8G〃//交E4的延長線于點G,連接。G.

①求4G。的度數(shù)；

②若AG=30BG=\,請直接寫出4尸的長.

【答案】(1)45。

(2)①45°；②/尸=8

【分析】(1)由正方形和旋轉(zhuǎn)可得，AD=DE=DC,ZADC=90°,結(jié)合乙=60。得到△/￡)￡是

等邊三角形，即可得到NCOE=150。，利用等腰三角形得到/DEC=15。，求出乙4￡C=45。，

(2)①連接/C與3。交于點。，連接EC,過點/作4QL/G,交3G延長線于點Q,設(shè)=則

(y(y

ZDEA=ZDAE=90°~—fZDEC=ZDCE=45°--,得至lj

ZAEC=ZDEA-ZDEC=45°,再由對稱得到04=。。，OE=OF,BF=DE,即可得到四邊形Z￡C廠是平

行四邊形，得到BG〃。石〃力尸，推出//6。=/。￡4=45。，再證明△/G。絲△/QB(SAS),得到

ZAGD=ZQ=45°；

②過點A作/于過點3作/于先證明四邊形4WSN是矩形，得到=再

證明△ZMG是等腰直角三角形，得到4M=MG=3,則4N=5"=MG+5G=4,最后根據(jù)昉=48結(jié)合

三線合一得到AF=2AN=8.

【詳解】(1)解：???正方形力5CZ)的邊繞著點。順時針旋轉(zhuǎn)至。￡,

??.AD=DE=DC,ZADC=90°,

???/ADE=60°,

**?MADE是等邊三角形，

NDEA=ZADE=60°，

???/CDE=/ADE+ZADC=90°+60。=150°,

."ECJ8。。-15。。",

2

ZAEC=ZDEA一NDEC=60°-15°=45°,

故答案為：45°；

(2)解：①連接NC與5D交于點。，連接EC,過點/作交8G延長線于點0,

則NGNQ=90°,

?.?四邊形/3CD是正方形，DE=AD,

.-.DE=CD=AD,ZADC=ADAB=90°,正方形的中心為O,

ZDEC=NDCE，NDEA=ZDAE，

^ZDAE=a,

1QAO_&a180°—90°—a

ZDEA=/DAE=----------=90?！?/DEC=ZDCE==45/

222

ZAEC=ZDEA-ZDEC=90°-^|-^45o--|^=45o,

???點4、E的對稱點分別是點。、F,

/.OA=OC,OE=OF,BF=DE,

???四邊形NEC廠是平行四邊形，

/.AF〃CE,

又?:BG〃AF,

BG//CE,

ZAGQ=ZCEA=45°,

ZAGQ=ZQ=45°,

:.AG=AQf

???ZDAB=ZGAQ=90°,

NDAB+/BAG=ZGAQ+/BAG,

ZDAG=ZBAQ,

在△4G。和△405中，

AD=AB

<ZDAG=ZBAQ,

AG=AQ

.\AAGD^AAQB(SAS)f

.\ZAGD=ZQ=45°；

②過點A作/〃_L50于M,過點B作5N_L4F于N,則//MG=/ZA?=90。，

Q

ZAMG=ZANB=ZMBN=AMAN=90°,

???四邊形是矩形，

AN=BM,

vZAGQ=45°fAG=3日

??.ZAGM=ZMAG=45°,

AM=MG=3,

vBG=l,

??.AN=BM=MG+BG=4,

VBF=DE=AD=AB,BN±AF,

AF=2AN=8.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，

等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì).

8.（24-25九年級上?湖北武漢?期末）（1）【提出問題】數(shù)學(xué)課上，老師提出問題：如圖1,在等腰RtzX/BC

中，NA4c=90。，點E在邊上，以CE為邊作正方形CEED,點尸在4c邊上，連接點P為線段8尸

的中點，連接4P,EP.以點尸為對稱中心，畫出△尸斯關(guān)于點尸對稱的圖形，并直接寫出NP與尸￡的位

置及大小關(guān)系;

（2）【類比探究】在等邊△ABC中，D、E分別是/C、8c邊上一點，且CD=CE,以CE、CL?為鄰邊作菱

形CEFD,再將菱形。瓦力繞C點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到新的菱形CE'PD如圖2,連接2尸，點尸為

線段AT的中點，連接/尸、PE',判斷/P與PE'的位置及大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）【遷移運用】在（2）的條件下，若/C=4,CE=\,菱形CEED在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)NP最小時，直接寫

出S與BP的值.

圖1圖2

【答案】（1）AP1.PE,AP=PE；⑵AP1PE',AP=MPE';見解析；（3）—

2

【分析】（1）延長EP至G,使PG=PE,連接8G,利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，可

得PE=BP=PF,AP=BP=PF,得出=再證得乙4尸￡=90°,即可得出答案；

（2）作APE'F關(guān)于點尸成中心對稱的△尸如，連接力0、AE,延長//、8。交于點T,則尸。=依'，

PB=PF',NBPQ=NFTE，,進而可得30〃￡戶'，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理和全等三角形的

判定和性質(zhì)即可求得答案；

（3）過點/作于點H,連接尸X、CF',CF'交DE于點、L,利用三角形中位線定理可得

PH=-CF'=^,又點〃是定點，得出點尸在以〃為圓心，陽為半徑的圓上運動，可求得/P的最小值,

22

再利用三角形面積公式即可求得答案.

【詳解】解：（1）如圖1,延長￡尸至G,使尸G=PE,連接3G,

A

圖1

則△尸G2與XPEF關(guān)于點P對稱，APGB即為所求作的圖形.

,??四邊形CDFE是正方形，

ZCEF=90°,

.-.ZBEF=180°-90°=90°,

■:點尸為線段B尸的中點，/A4c=90。，

：.PE=BP=PF=AP,

：.NPAB=ZPBA,ZPEB=NPBE,

ZAPF=NPAB+ZPBA=2ZPBA,

???/EPF=ZPEB+ZPBE=2NPBE,

■.■AABC是等腰直角三角形，

ZABC=45°,

ZAPE=ZAPF+ZEPF=2APBA+2ZPBE=2(ZPBA+NPBE)=2ZABC=90°,

APPE,

故答案為：AP1PE,AP=PE；

(2)結(jié)論：AP1PE',AP=y[?>PE'；證明如下：

如圖2,作APEk關(guān)于點尸成中心對稱的APQB，連接孤、NE,延長AE\BQ交于點T,則APQB咨APE'F',

圖2

則=PB=PF',BQ=F'E',ZPBQ=ZPF'E',

BQ//E'F',

由題意可知：四邊形CE'PD'是菱形，ZD'CE'=ZACB=60°,

CD'//E'F',CD'=E'F'=CE',

CD'//BQ,

NT=AD'CE'=60°,

ATBC+Z.TCB=120°,即N4BQ+乙4BC+Z.TCB=120°,

...△4BC是等邊三角形，

：.AB=AC,N4BC=NACB=NBAC=60°,

NABC+ZTCB+NACE'=12?！?

ZABQ=NACE',

ACE'(SAS),

AQ=AE',NBAQ=NCAE',

...ZQAE'=NBAQ+NBAE'=ZCAE'+NBAE'=ABAC=60°,

???A/0E'是等邊三角形，

AE'=QE'=2PE',

■.■PQ=PE',

APXPE',

在RtZUPE中，”=yjAE2-PE'2=^2PE'2-PE'2=y^PE'；

(3)如圖3,過點/作NHLBC于點區(qū)連接尸X、CF',CF交DE于點、L,

圖3

由旋轉(zhuǎn)得CD=CD=1,CE'=CE=1,

???四邊形CD'F'E'是菱形，4DCE=60°,

??.AD'CE'是等邊三角形，EZ=；,CL=4CE'2-E'l3=—

22

；.CF'=2CL=^,

???△ABC是等邊三角形，AC=4,AHIBC,

???同理可知：〃是2c的中點，AH=2yli,

又???點尸為線段3廣的中點，

??.PH是ABC產(chǎn)的中位線，

：.PH=-CF'=—,

22

,?,點H是定點,

???點尸在以〃為圓心，4/為半徑的圓上運動，

設(shè)AH交OH于點、p,當(dāng)點P與點P重合時，

AP=AP=AH-PH=26-叵=也為最小恒,

22

此時，S=-AP'-BH=-x—x2.=—,

ABP2222

故答案為：史.

2

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了點和圓的位置關(guān)系，等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，正方形

和菱形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等，添加輔助線構(gòu)造全等三

角形是解題關(guān)鍵.

9.(24-25九年級上?湖北武漢?期末)在△/2C和AOEC中，ZACB=ZDCE=90°,AC=BC,CD=CE,

連BD,F,G分別為AD的中點，H為DE中點、,連GX,GF.

圖1備用圖備用圖

(1)如圖1,求證：AADC知BEC；

(2)如圖1,探究線段G〃，G/間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；

(3)當(dāng)CD=也，=AOEC繞點C旋轉(zhuǎn)過程中，若A,D,E三點在同一條直線上，請畫出旋轉(zhuǎn)后

的對應(yīng)圖形，并直接寫出C,G兩點的距離.

【答案】(1)見解析

Q)GH=GF,GHLGF；理由見解析

(3)2或1

【分析】(1)根據(jù)SAS可證明A/OCGABEC；

(2)由三角形中位線定理得出GF〃/。，GF=\AD,GH//BE,GH=\BE,由全等三角形的性質(zhì)得

22

出NEBC=NDAC,BE=AD,證出尸，則可得出結(jié)論；

(3)分兩種情況，由(1)(2)的結(jié)論可得出答案.

【詳解】(1)證明：vZACB=ZDCE=90°,

；.NACD=ZBCE,

?:CA=CB,CD=CE,

.?.△ADC之△BEC(SAS)；

(2)解：GH=GF,GHLGF-理由如下：

vF,G,H分別是45,BD,?！甑闹悬c，

??.G7/是△BOE中位線，G尸是△/&)中位線，

/.GF//AD,GF=-AD,GH//BE,GH=-BE,

22

.?.ZBFG=/BAD,ZDGH=/DBE,

???"DC知BEC,

ZEBC=ADAC,BE=AD,

??.GF=GH,ZDGH=ZDBE=ZEBC+ZDBC=ADAC+/DAB,

vZDGF=/DBA+ZBFG,

??.ZDGF=/DBA+ZDAB,

??.ZFGH=ZDGF+ZDGH=/DBA+/DAB+/DBC+ADAC=/ABC+ABAC=90°,

/.GHLGF,

:,GF=GH,GF1GH；

(3)解：分以下兩種情況：

當(dāng)4,E,。位