2025年中考數學必考基礎知識復習提綱

2025年中考數學必考全套基礎知識復習提綱

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代數部分

第一章：實數

基礎知識點：

一、實數的分類:

‘正整數'

整數＜零

有理疑負整數有限小數或無限循環(huán)〃數

實數＜'正分數

分數＜

負分數

,正無理數

無理數＞無限不循環(huán)小數

、負無理數

1、有理數：任何一個有理數總可以寫成B的形式，其中p、q是互質的整數，這

q

是有理數的重要特征。

2、無理數：初中遇到的無理數有三種：開不盡的方根，如行、V4；特定結構的

不限環(huán)無限小數，如1.101001000100001……;特定意義的數,如冗、Sin45°等。

3、判斷一個實數的數性不能僅憑表面上的感覺，往往要經過整理化簡后才下結

論。

二、實數中的幾個概念

1、相反數：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。

(1)實數a的相反數是-a；(2)a和b互為相反數=a+b=0

2、倒數：

(1)實數a(aWO)的倒數是L(2)a和b互為倒數=M=1；(3)注意0沒

a

有倒數

3、絕對值：

(1)一個數a的絕對值有以下三種情況：

a,a>。

同=<0,a=0

-a,a<0

(2)實數的絕對值是一個非負數，從數軸上看，一個實數的絕對值，就是數軸

上表示這個數的點到原點的距離。

(3)去掉絕對值符號(化簡)必須要對絕對值符號里面的實數進行數性(正、

負)確認，再去掉絕對值符號。

4、n次方根

(1)平方根，算術平方根：設a20,稱土&叫a的平方根，&叫a的算術平方

根。

(2)正數的平方根有兩個，它們互為相反數；。的平方根是0；負數沒有平方根。

(3)立方根：％叫實數a的立方根。

(4)一個正數有一個正的立方根；0的立方根是0；一個負數有一個負的立方根。

三、實數與數軸

1、數軸：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線稱為數軸。原點、正方向、單

位長度是數軸的三要素。

2、數軸上的點和實數的對應關系：數軸上的每一個點都表示一個實數，而每一

個實數都可以用數軸上的唯一的點來表示。實數和數軸上的點是一一對應的關

系。

四、實數大小的比較

1、在數軸上表示兩個數，右邊的數總比左邊的數大。

2、正數大于0；負數小于0；正數大于一切負數；兩個負數絕對值大的反而小。

五、實數的運算

1、加法：

(1)同號兩數相加，取原來的符號，并把它們的絕對值相加；

(2)異號兩數相加，取絕對值大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的

絕對值?？墒褂眉臃ń粨Q律、結合律。

2、減法：減去一個數等于加上這個數的相反數。

3、乘法：

(1)兩數相乘，同號取正，異號取負，并把絕對值相乘。

(2)n個實數相乘，有一個因數為0,積就為0；若n個非0的實數相乘，積的

符號由負因數的個數決定，當負因數有偶數個時，積為正；當負因數為奇數個時,

積為負。

(3)乘法可使用乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律。

4、除法：

(1)兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。

(2)除以一個數等于乘以這個數的倒數。

(3)0除以任何數都等于0,0不能做被除數。

5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運算。

6、實數的運算順序：乘方、開方為三級運算，乘、除為二級運算，力口、減是一

級運算，如果沒有括號，在同一級運算中要從左到右依次運算，不同級的運算，

先算高級的運算再算低級的運算，有括號的先算括號里的運算。無論何種運算，

都要注意先定符號后運算。

六、有效數字和科學記數法

1、科學記數法：設N>0,則N=aXl(r(其中l(wèi)Wa<10,n為整數)。

2、有效數字：一個近似數，從左邊第一個不是0的數，到精確到的數位為止，

所有的數字，叫做這個數的有效數字。精確度的形式有兩種：(1)精確到那一位;

(2)保留幾個有效數字。

例題：

例1、已知實數a、b在數軸上的對應點的位置如圖所示，且時下網?；啠?/p>

|fl|—+z?|一卜一4

分析：從數軸上a、b兩點的位置可以看到：a<0,b>0且時>網

所以可得：角軍：原式=-a+a+Z?-b+a=a

例2、若°=(一；廠3,/,=-(|)3,c=(|)-3,比較a、b、c的大小。

分析：a=-(g)：—1；b=—弓)—i且/,YO；C>0；所以容易得出：a<b<Co解：

略

例3、若卜-2|與卜+2|互為相反數，求a+b的值

分析：由絕對值非負特性，可知卜-2|之0,|Z?+2|>0,又由題意可知：,-2|+W+2|=0

所以只能是：a-2=0,b+2=0,即a=2,b=-2,所以a+b=0解：略

例4、已知a與b互為相反數，c與d互為倒數，m的絕對值是1,求T—〃+/

m

的值。

解：原式=0-1+1=0

/］、2z］、2

eH—c—

例5、計算：(1)81994X0.1251994(2)—￡-------勺

22

\7\7

W：(1)原式=(8x0.125)1994=1994=1

(1(1

e+-e——e+-e——.

(2)原式=——-+——--——------=e--=l

2222e

第二章：代數式

基礎知識點:

、代數式

1、代數式：用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫代數式。

單獨一個數或者一個字母也是代數式。

2、代數式的值：用數值代替代數里的字母，計算后得到的結果叫做代數式

的值。

3、代數式的分類：

’單項式

有理式多項式

代數式

二、整式的有關概念及運算

1、概念

（1）單項式：像X、7、2/y,這種數與字母的積叫做單項式。單獨一個數

或字母也是單項式。

單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數叫做這個單項式的次數。

單項式的系數：單項式中的數字因數叫單項式的系數。

（2）多項式：幾個單項式的和叫做多項式。

多項式的項：多項式中每一個單項式都叫多項式的項。一個多項式含有幾項,

就叫幾項式。

多項式的次數：多項式里，次數最高的項的次數，就是這個多項式的次數。

不含字母的項叫常數項。

升（降）塞排列：把一個多項式按某一個字母的指數從?。ù螅┑酱螅ㄐ。?/p>

的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升（降）幕排列。

（3）同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項叫做同

類項。

2、運算

（1）整式的加減：

合并同類項：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母及字母的指數

不變。

去括號法則：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里

各項都不變；括號前面是”號，把括號和它前面的“-”號去掉，括號里的各

項都變號。

添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變；括號前面是

”號，括到括號里的各項都變號。

整式的加減實際上就是合并同類項，在運算時，如果遇到括號，先去括號，

再合并同類項。

(2)整式的乘除：

幕的運算法則：其中m、n都是正整數

同底數幕相乘：am-an=am+n;同底數幕相除：am^an=am-n-,幕的乘方：

(a"')"=amn

nnn

積的乘方:{ab)=abo

單項式乘以單項式：用它們系數的積作為積的系數，對于相同的字母，用它

們的指數的和作為這個字母的指數；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同

它的指數作為積的一個因式。

單項式乘以多項式：就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。

多項式乘以多項式：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，

再把所得的積相加。

單項除單項式：把系數，同底數幕分別相除，作為商的因式，對于只在被除

式里含有字母，則連同它的指數作為商的一個因式。

多項式除以單項式：把這個多項式的每一項除以這個單項，再把所得的商相

加。

乘法公式：平方差公式：(0+5)(0-6)=。2一62；

完全平方公式：(a+Z?)2=a2+2ab+b2,(a-Z?)2-a2-2ab+b2

三、因式分解

1、因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解。

2、常用的因式分解方法：

(1)提取公因式法：ma+mb+me=m(a+b+c)

(2)運用公式法：

平方差公式：a2-b2-(a+b)(a-b);完全平方公式：a2±2ab+b2-{a+b)2

(3)十字相乘法：x2+(?+b')x+ab-(x+a\x+b)

(4)分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或運用公式分解。

(5)運用求根公式法：若ax?+6x+c=0("0)的兩個根是%、%，則有：

ax'+bx+c--司)(x-x2)

3、因式分解的一般步驟：

(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；

(2)提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；

(3)對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

(4)最后考慮用分組分解法。

四、分式

1、分式定義：形如色的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。

B

(1)分式無意義：B=0時，分式無意義；BWO時，分式有意義。

(2)分式的值為0：A=0,BW0時，分式的值等于0。

(3)分式的約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。

方法是把分子、分母因式分解，再約去公因式。

(4)最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。分

式運算的最終結果若是分式，一定要化為最簡分式。

(5)通分：把幾個異分母的分式分別化成與原來分式相等的同分母分式的

過程，叫做分式的通分。

(6)最簡公分母：各分式的分母所有因式的最高次幕的積。

(7)有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。

2、分式的基本性質：

(1)4=是W0的整式)；(2)4=4±絲(M是/0的整式)

BBMBB三M

(3)分式的變號法則：分式的分子，分母與分式本身的符號，改變其中任

何兩個，分式的值不變。

3、分式的運算：

(1)力口、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分

式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加減。

(2)乘：先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子，分

母乘以分母。

(3)除：除以一個分式等于乘上它的倒數式。

(4)乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。

五、二次根式

1、二次根式的概念：式子后(a?0)叫做二次根式。

(1)最簡二次根式：被開方數的因數是整數，因式是整式，被開方數中不

含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次根式。

(2)同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數相同的二次根式，

叫做同類二次根式。

(3)分母有理化：把分母中的根號化去叫做分母有理化。

(4)有理化因式：把兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含

有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式(常用的有理化因式有：&

Vtz;dy[b+c~\/~d—Ja~J~b—Cy[d)

2、二次根式的性質：

(1)(6)2=a(a>0)；(2)=<"(。一0)；

[-a(a<0)

(3)4ab=4a-4b(a20,b，0);(4)>0,b>0)

3、運算：

(1)二次根式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式后，合并同類二次

根式。

(2)二次根式的乘法：^i-4b=4ab(a20,b，0)。

(3)二次根式的除法：^=^(a>0,b>0)

二次根式運算的最終結果如果是根式，要化成最簡二次根式。

例題：

一、因式分解：

1、提公因式法：

例1、24a2(x-y)+6i>2(y-x)

分析：先提公因式，后用平方差公式解：略

[規(guī)律總結]因式分解本著先提取，后公式等，但應把第一個因式都分解到不

能再分解為止，往往需要對分解后的每一個因式進行最后的審查，如果還能分解,

應繼續(xù)分解。

2、十字相乘法：

例2、(1)X4-5X2-36;(2)(x+y)2-4(x+y)-12

分析：可看成是1和(x+y)的二次三項式，先用十字相乘法，初步分解。解:

略

［規(guī)律總結］應用十字相乘法時，注意某一項可是單項的一字母，也可是某個

多項式或整式，有時還需要連續(xù)用十字相乘法。

3、分組分解法：

例3、X3+2X2-x-2

分析：先分組，第一項和第二項一組，第三、第四項一組，后提取，再公式。

解：略

［規(guī)律總結］對多項式適當分組轉化成基本方法因式分組，分組的目的是為了

用提公因式，十字相乘法或公式法解題。

4、求根公式法：

例4、Y+5%+5解：略

二、式的運算

1、巧用公式

例5、計算：(1--3—)2-(1+^-)2

a-ba-b

分析：運用平方差公式因式分解，使分式運算簡單化。解：略

［規(guī)律總結］抓住三個乘法公式的特征，靈活運用，特別要掌握公式的幾種變

形，公式的逆用，掌握運用公式的技巧，使運算簡便準確。

2、化簡求值：

例6、先化簡，再求值：5x2-(3x2+5x2)+(4y2+7xy),其中x=—ly=l-&

［規(guī)律總結］一定要先化到最簡再代入求值，注意去括號的法則。

3、分式的計算:

例7、化簡二十（旦-a-3）

2?！?a—3

分析：-a-3可看成-7解：略

［規(guī)律總結］分式計算過程中：（1）除法轉化為乘法時，要倒轉分子、分母；（2）

注意負號

4、根式計算

例8、已知最簡二次根式和"I是同類二次根式，求b的值。

分析：根據同類二次根式定義可得：2b+l=7-bo解：略

［規(guī)律總結］二次根式的性質和運算是中考必考內容，特別是二次根式的化簡、

求值及性質的運用是中考的主要考查內容。

第三章：方程和方程組

基礎知識點：

一、方程有關概念

1、方程：含有未知數的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫方程的解，含有一

個未知數的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判斷方程無解的過程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程變形時，產生的不適合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程

1、一元一次方程

（1）一元一次方程的標準形式：ax+b=O（其中x是未知數，a、b是已知數,

aWO)

(2)一玩一次方程的最簡形式：ax=b(其中x是未知數，a、b是已知數，a

#0)

(3)解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項和

系數化為1。

(4)一元一次方程有唯一的一個解。

2、一元二次方程

(1)一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=O(其中X是未知數，a、b、C

是已知數,aWO)

(2)一元二次方程的解法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法

(3)一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如沒有要求，一般

不用配方法。

(4)一元二次方程的根的判別式：A=/-4ac

當△>0時。方程有兩個不相等的實數根；

當A=0時o方程有兩個相等的實數根；

當A<0時o方程沒有實數根，無解；

當△20時。方程有兩個實數根

(5)一元二次方程根與系數的關系：

若毛,％2是一■兀二次方程?+Z?X+C=O的兩個根，那么：X+X=，Xj-X,=—

12aa

(6)以兩個數七多為根的一元二次方程(二次項系數為1)是：

1

X-(X,+x2)x+%]%2=0

三、分式方程

(1)定義：分母中含有未知數的方程叫做分式方程。

(2)分式方程的解法：

一般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡公分母。

特殊方法：換元法。

(3)檢驗方法：一般把求得的未知數的值代入最簡公分母，使最簡公分母不

為0的就是原方程的根；使得最簡公分母為。的就是原方程的增根，增根必須舍

去，也可以把求得的未知數的值代入原方程檢驗。

四、方程組

1、方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程組的解。

2、解方程組：求方程組的解或判斷方程組無解的過程叫做解方程組

3、一次方程組：

(1)二元一次方程組：

一般形式：怛+竽=仇(％,電,仇也,廿不全為0)

a2x+b2y=0

解法：代入消遠法和加減消元法

解的個數：有唯一的解，或無解，當兩個方程相同時有無數的解。

(2)三元一次方程組：

解法：代入消元法和加減消元法

4、二元二次方程組：

(1)定義：由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組以及由

兩個二元二次方程組成的方程組叫做二元二次方程組。

(2)解法：消元，轉化為解一元二次方程，或者降次，轉化為二元一次方

程組。

考點與命題趨向分析

例題：

一、一元二次方程的解法

例1、解下列方程：

(1)-(%+3)2=2;(2)2X2+3X=1;(3)4(x+3)2=25(x—2產

分析：(1)用直接開方法解；(2)用公式法；(3)用因式分解法解：略

［規(guī)律總結］如果一元二次方程形如(x+7〃)2="("20),就可以用直接開方法來解；

利用公式法可以解任何一個有解的一元二次方程，運用公式法解一元二次方程

時，一定要把方程化成一般形式。

例2、解下列方程：

(1)九2一〃(3%一2。+〃)=0(尤為未知數)；(2)x2+2ax-Sa2=0

分析：(1)先化為一般形式，再用公式法解；(2)直接可以十字相乘法因式分解

后可求解。

［規(guī)律總結］對于帶字母系數的方程解法和一般的方程沒有什么區(qū)別，在用公式法

時要注意判斷△的正負。

二、分式方程的解法：

例3、解下列方程：

（1）-^―=—-—1；（2）立±^+/^=5

1—xx+1xx+2

分析：（1）用去分母的方法；（2）用換元法解：略

［規(guī)律總結］一般的分式方程用去分母法來解，一些具有特殊關系如：有平方關系,

倒數關系等的分式方程，可采用換元法來解。

三、根的判別式及根與系數的關系

例4、已知關于X的方程：（pT）/+2"x+°+3=0有兩個相等的實數根，求p的值。

分析：由題意可得A=0,把各系數代入A=0中就可求出p,但要先化為一般形式。

［規(guī)律總結］對于根的判別式的三種情況要很熟練，還有要特別留意二次項系數不

能為0

例5、已知a、b是方程尤2-岳-1=0的兩個根，求下列各式的值：

（1）a2+b2；（2）1+-

ab

分析：先算出a+b和ab的值，再代入把（1）（2）變形后的式子就可求出解。

［規(guī)律總結］此類題目都是先算出兩根之和和兩根之積，再把要求的式子變形成含

有兩根之和和兩根之積的形式，再代入計算。但要注意檢驗一下方程是否有解。

例6、求作一個一元二次方程，使它的兩個根分別比方程必—x—5=0的兩個根小

3

分析：先出求原方程的兩根之和馬+%和兩根之積占%2再代入求出（項-3）+（X2-2）

和（x「3）（々-3）的值，所求的方程也就容易寫出來。解：略

［規(guī)律總結］此類題目可以先解出第一方程的兩個解，但有時這樣又太復雜，用根

與系數的關系就比較簡單。

三、方程組

例7、解下列方程組:

x+y-2z=l

/1、f2x+3y=3

(I)《(2)<2x-y-z-5

x-2y=5

x+y+3z=4

分析：（l）用加減消元法消X較簡單；（2）應該先用加減消元法消去y,變成二

元一次方程組，較易求解。解：略

［規(guī)律總結］加減消元法是最常用的消元方法，消元時那個未知數的系數最簡單就

先消那個未知數。

例8、解下列方程組：

3%2-xy-4y2-3x+4y=0

⑴；（2）

孫=12x2+y2=25

分析：（1）可用代入消遠法，也可用根與系數的關系來求解；（2）要先把第一個

方程因式分解化成兩個二元一次方程，再與第二個方程分別組成兩個方程組來

解。解：略

［規(guī)律總結］對于一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組一般用代入

消元法，對于兩個二元二次方程組成的方程組，一定要先把其中一個方程因式分

解化為兩個一次方程再和第二個方程組成兩個方程組來求解。

第四章：列方程（組）解應用題

知識點：

一、列方程（組）解應用題的一般步驟

1、審題：

2、設未知數；

3、找出相等關系，列方程(組)；

4、解方程(組)；

5、檢驗，作答；

二、列方程(組)解應用題常見類型題及其等量關系；

1、工程問題

(1)基本工作量的關系：工作量=工作效率X工作時間

(2)常見的等量關系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作總量

(3)注意：工程問題常把總工程看作“1”，水池注水問題屬于工程問題

2、行程問題

(1)基本量之間的關系：路程=速度X時間

(2)常見等量關系：

相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及問題(設甲速度快)：

同時不同地：甲的時間=乙的時間；甲走的路程-乙走的路程=原來甲、乙相

距路程

同地不同時：甲的時間=乙的時間-時間差；甲的路程=乙的路程

3、水中航行問題：

順流速度=船在靜水中的速度+水流速度；

逆流速度=船在靜水中的速度-水流速度

4、增長率問題：

常見等量關系：增長后的量=原來的量+增長的量；增長的量=原來的量X(1+

增長率)；

5、數字問題：

基本量之間的關系：三位數=個位上的數+十位上的數X10+百位上的數X100

三、列方程解應用題的常用方法

1、譯式法：

就是將題目中的關鍵性語言或數量及各數量間的關系譯成代數式，然后根據

代數之間的內在聯(lián)系找出等量關系。

2、線示法：

就是用同一直線上的線段表示應用題中的數量關系，然后根據線段長度的內

在聯(lián)系，找出等量關系。

3、列表法：

就是把已知條件和所求的未知量納入表格，從而找出各種量之間的關系。

4、圖中法：

就是利用圖表示題中的數量關系，它可以使量與量之間的關系更為直觀，這

種方法能幫助我們更好地理解題意。

例題分析：

例1、甲、乙兩組工人合作完成一項工程，合作5天后，甲組另有任務，由

乙組再單獨工作1天就可完成，若單獨完成這項工程乙組比甲組多用2天，求甲、

乙兩組單獨完成這項工程各需幾天？

分析：設工作總量為1,設甲組單獨完成工程需要x天，則乙組完成工程需

要(x+2)天，等量關系是甲組5天的工作量+乙組6天的工作量=工作總量解：略

例2、某部隊奉命派甲連跑步前往90千米外的A地，1小時45分后，因任

務需要，又增派乙連乘車前往支援，已知乙連比甲連每小時快28千米，恰好在

全程的工處追上甲連。求乙連的行進速度及追上甲連的時間

3

分析：設乙連的速度為V千米/小時，追上甲連的時間為t小時，則甲連的速

度為（v-28）千米/小時，這時乙連行了“+工）小時，其等量關系為：甲走的路程

4

=乙走的路程=30

例3、某工廠原計劃在規(guī)定期限內生產通訊設備60臺支援抗洪，由于改進了

操作技術；每天生產的臺數比原計劃多50%,結果提前2天完成任務，求改進操

作技術后每天生產通訊設備多少臺？

分析:設原計劃每天生產通訊設備x臺,則改進操作技術后每天生產x（1+0.5）

臺，等量關系為：原計劃所用時間-改進技術后所用時間=2天解：略

例4、某商廈今年一月份銷售額為60萬元，二月份由于種種原因，經營不善,

銷售額下降10%,以后經加強管理，又使月銷售額上升，到四月份銷售額增加到

96萬元，求三、四月份平均每月增長的百分率是多少？

分析：設三、四月份平均每月增長率為x%,二月份的銷售額為60（1-10%）

萬元，三月份的銷售額為二月份的（1+x）倍，四月份的銷售額又是三月份的（1+x）

倍，所以四月份的銷售額為二月份的（l+x）2倍，等量關系為：四月份銷售額為

=96萬元。解：略

例5、一年期定期儲蓄年利率為2.25%,所得利息要交納20%的利息稅，例

如存入一年期100元，到期儲戶納稅后所得到利息的計算公式為：

稅后禾U息=100x2.25%-100x2.25%x20%=100x2.25%(l-20%)

已知某儲戶存下一筆一年期定期儲蓄到期納稅后得到利息是450元，問該儲

戶存入了多少本金？

分析：設存入x元本金，則一年期定期儲蓄到期納稅后利息為2.25%(l-20%)x

元，方程容易得出。

例6、某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，為

了擴大銷售，增加盈利，減少庫存，商場決定采取適當的降低成本措施，經調查

發(fā)現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件。若商場平均每天

要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？

分析：設每件襯衫應該降價x元，則每件襯衫的利潤為(40-x)元，平均每

天的銷售量為(20+2x)件，

由關系式：總利潤=每件的利潤X售出商品的叫量，可列出方程解：略

第五章：不等式及不等式組

知識點：

一、不等式與不等式的性質

1、不等式：表示不等關系的式子。（表示不等關系的常用符號：W,<,>）o

2、不等式的性質：

（1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數，不等號方向不改變，如a>

b,c為實數na+c>b+c

（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號方向不變，如a>b,

c>Onac>bc。

（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號方向改變，如a>b,

c<O=>ac<bc.

注：在不等式的兩邊都乘以（或除以）一個實數時，一定要養(yǎng)成好的習慣、

就是先確定該數的數性（正數，零，負數）再確定不等號方向是否改變，不能像

應用等式的性質那樣隨便，以防出錯。

3、任意兩個實數a,b的大小關系（三種）：

（1）a-b>00a>b

（2）a—b=0oa=b

（3）a—b<0oa<b

4、（1）a>b>0?>4a>4b

（2）a>b>0<?>a2<b2

二、不等式（組）的解、解集、解不等式

1、能使一個不等式（組）成立的未知數的一個值叫做這個不等式（組）的

一個解。

不等式的所有解的集合，叫做這個不等式的解集。

不等式組中各個不等式的解集的公共部分叫做不等式組的解集。

2.求不等式（組）的解集的過程叫做解不等式（組）。

三、不等式（組）的類型及解法

1、一元一次不等式：

（1）概念：含有一個未知數并且含未知數的項的次數是一次的不等式，叫做

一元一次不等式。

（2）解法:

與解一元一次方程類似，但要特別注意當不等式的兩邊同乘以（或除以）一

個負數時，不等號方向要改變。

2、一元一次不等式組：

（1）概念：含有相同未知數的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，叫做

一元一次不等式組。

（2）解法：先求出各不等式的解集，再確定解集的公共部分。

注：求不等式組的解集一般借助數軸求解較方便。

例題分析：

方法1：利用不等式的基本性質

1、判斷正誤：

（1）若a>b,c為實數,則―2>>2；

（2）若ad>be。,則a>b

分析：在（1）中，若c=0,則四2=尻2；在Q）中，因為">"，所以。c

W0,否則應有這2=尻2故a>b解：略

［規(guī)律總結］將不等式正確變形的關鍵是牢記不等式的三條基本性質，不等

式的兩邊都乘以或除以含有字母的式子時，要對字母進行討論。

方法2：特殊值法

例2、若a<bVO,那么下列各式成立的是（）

A、-<-B、ab<0C、-<1D、->1

abbb

分析：使用直接解法解答常常費時間，又因為答案在一般情況下成立，當然

特殊情況也成立，因此采用特殊值法。

解：根據a<b<0的條件，可取a=-2,b=-L代入檢驗，易知@〉1,所以

b

選D

［規(guī)律總結］此種方法常用于解選擇題，學生知識有限，不能直接解答時使用

特殊值法，既快，又能找到符合條件的答案。

方法3：類比法

例3、解下列一元一次不等式，并把解集在數軸上表示出來。

(1)8-2(x+2)<4x-2；(2)

23

分析：解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程類似，主要步驟有去分母,

去括號、移項、合并同類項，把系數化成1,需要注意的是，不等式的兩邊同時

乘以或除以同一個負數，不等號要改變方向。解：略

［規(guī)律總結］解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟類似，但要注意當不

等式的兩邊都乘以或除以同一個負數時，不等號的方向必須改變，類比法解題，

使學生容易理解新知識和掌握新知識。

方法4：數形結合法

2(%+8)<10-4(%-3)

例4、求不等式組：x+i6x+7的非負整數解

--------------<1

I23

分析：

要求一個不等式組的非負整數解，就應先求出不等式組的解集，再從解集中

找出其中的非負整數解。解：略

方法5：逆向思考法

例5、已知關于x的不等式(a-2)x>10-a的解集是x>3,求a的值。

分析：因為關于x的不等式的解集為x>3,與原不等式的不等號同向，所以

有a-2〉0,即原不等式的解集為工〉吐￡,竺』=3解此方程求出a的值。解：

〃—2a—2

略

［規(guī)律總結］此題先解字母不等式，后著眼已知的解集，探求成立的條件，此種

類型題都采用逆向思考法來解。

第六章：函數及其圖像

知識點:

一、平面直角坐標系

1、平面內有公共原點且互相垂直的兩條數軸，構成平面直角坐標系。在平

面直角坐標系內的點和有序實數對之間建立了一一對應的關系。

2、不同位置點的坐標的特征：

(1)各象限內點的坐標有如下特征：

點P(x,y)在第一象限ox>0,y>0；

點P(x,y)在第二象限ox<0,y>0；

點P(x,y)在第三象限=x<0,y<0；

點P(x,y)在第四象限=x>0,y<0o

(2)坐標軸上的點有如下特征：

點P(x,y)在x軸上oy為0,x為任意實數。

點P(x,y)在y軸上ox為0,y為任意實數。

3.點P(x,y)坐標的幾何意義：

⑴點P(x,y)到x軸的距離是|y|；

(2)點P(x,y)到y(tǒng)袖的距離是|x|；

(3)點P(x,y)到原點的距離是次+,2

4.關于坐標軸、原點對稱的點的坐標的特征：

(1)點P(a,b)關于x軸的對稱點是63-切；

(2)點P(a,b)關于x軸的對稱點是舄(-心加；

(3)點P(a,b)關于原點的對稱點是巴(-aT)；

二、函數的概念

1、常量和變量：在某一變化過程中可以取不同數值的量叫做變量；保持數

值不變的量叫做常量。

2、函數：一般地，設在某一變化過程中有兩個變量x和y,如果對于x的每

一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數。

(1)自變量取值范圍的確是：

①解析式是只含有一個自變量的整式的函數，自變量取值范圍是全體實數。

②解析式是只含有一個自變量的分式的函數，自變量取值范圍是使分母不為

0的實數。

③解析式是只含有一個自變量的偶次根式的函數，自變量取值范圍是使被開

方數非負的實數。

注意：在確定函數中自變量的取值范圍時，如果遇到實際問題，還必須使實

際問題有意義。

(2)函數值：給自變量在取值范圍內的一個值所求得的函數的對應值。

(3)函數的表示方法：①解析法；②列表法；③圖像法

(4)由函數的解析式作函數的圖像，一般步驟是：①列表；②描點；③連

三、幾種特殊的函數

1、一次函數

自變量的

解析式圖像性質

函數取值范圍

22

正比例y=kx全體

二11

函數(k#0)實數r0K

:>0k<0①當k>0時y

隨x的增大而

增大

②當kV0時y

2隨X的增大而

減小一

J/b>0

y=kxb=0

一次全體

+b

函數實數J

(k#0)1

\b=0

k>0k<0b<0

直線位置與k,b的關系：

(1)k>0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為銳角;

(2)k<0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為鈍角;

(3)b>0直線與y軸交點在x軸的上方；

(4)b=0直線過原點；

(5)b<0直線與y軸交點在x軸的下方；

2、二次函數

(1)a決定拋物線的開口方向f口

[a<0o開口向下

(2)c決定拋物線與y軸交點的位置：

c〉0o圖像與y軸交點在x軸上方；c=0o圖像過原點；c<0=圖像與y軸交

點在x軸下方；

(3)a,b決定拋物線對稱軸的位置：a,b同號，對稱軸在y軸左側；b=0,

對稱軸是y軸；a,b異號。對稱軸在y軸右側；

3、反比例函數:

4、正比例函數與反比例函數的對照表:

函數正比例函數反比例函數

解析式y(tǒng)-kx(k#O)y=—(4^0)

X

圖像直線，經過原點雙曲線，與坐標軸沒有交點

自變量取值范圍全體實數攵的一切實數

圖像的位置當人＞0時，在一、三象限；當「＞0時，在一、三象限;

當人＜0時，在二、四象限。當「＜0時，在二、四象限。

性質當人＞0時,y隨X增大而增大；當人＞0時，,隨“增大而減??；

當人＜0時,y隨工的增大而減小。當人＜0*,,隨人增大而增夫。

例題:

例1、正比例函數圖象與反比例函數圖象都經過點P(m,4),已知點P到x軸

的距離是到y(tǒng)軸的距離2倍.

⑴求點P的坐標.；

⑵求正比例函數、反比例函數的解析式。

分析：由點P到x軸的距離是到y(tǒng)軸的距離2倍可知：21ml=4,易求出點P

的坐標，再利用待定系數法可求出這正、反比例函數的解析式。解：略

例2、已知a,b是常數，且y+b與x+a成正比例.求證：y是x的一次函數.

分析：應寫出y+b與x+a成正比例的表達式，然后判斷所得結果是否符合一

次函數定義.

證明：由已知，有y+b=k(x+a),其中kWO.

整理，得y=kx+(ka—b).①

因為kWO且ka—b是常數，故y=kx+(ka—b)是x的一次函數式.

例3、填空：如果直線方程ax+by+c=O中，a＜0,bVO且bc＜0,則此直線經

過第象限.

分析：先把ax+by+c=O化為一—因為aVO,b<0,所以@〉0,—@〈0,又be

bbbb

<0,即￡<0,故一￡>0.相當于在一次函數y=kx+l中，k=——<0,1=-->0,

bbbb

此直線與y軸的交點(0,一，在x軸上方.且此直線的向上方向與x軸正方向所

b

成角是鈍角，所以此直線過第一、二、四象限.

例4、把反比例函數y=&與二次函數y=kx2(kW0)畫在同一個坐標系里，正

確的是().

答：選(D).這兩個函數式中的k的正、負號應相同(圖13—110).

例5、畫出二次函數y=x2-6x+7的圖象，根據圖象回答下列問題：

(1)當x=T,1,3時y的值是多少？

(2)當y=2時，對應的x值是多少？

(3)當x>3時，隨x值的增大y的值怎樣變化？

(4)當x的值由3增加1時，對應的y值增加多少？

分析：要畫出這個二次函數的圖象，首先用配方法把y=x2-6x+7變形為y=

(x-3)2—2,確定拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標，然后列表、描點、畫

圖.解：圖象略.

例6、拖拉機開始工作時，油箱有油45升，如果每小時耗油6升.

(1)求油箱中的余油量Q(升)與工作時間t(時)之間的函數關系式；

(2)畫出函數的圖象.

答：(1)Q=45-6t.

(2)圖象略.注意：這是實際問題，圖象只能由自變量t的取值范圍OWt

W7.5決定是一條線段，而不是直線.

第七章：統(tǒng)計初步

知識點：

一、總體和樣本：

在統(tǒng)計時，我們把所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一考察對象叫做

個體。從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數目叫做

樣本容量。

二、反映數據集中趨勢的特征數

1、平均數

(1)11，根，龍3,…，龍"的平均數，X=—(x+x+???+%?)

nx2

(2)加權平均數：如果n個數據中，/出現/次，%出現人次，...，血出

現。次(這里fi+于2、---卜于k=n)，則％=,(%/+%2/2+卜％/)

n

(3)平均數的簡化計算：

當一組數據和與相，…,X〃中各數據的數值較大，并且都與常數a接近時，設

x1-a,x2-a,xi-a,---,xn-a的平均數為x'則：x=x'+a0

2、中位數：將一組數據接從小到大的順序排列，處在最中間位置上的數據叫

做這組數據的中位數，如果數據的個數為偶數中位數就是處在中間位置上兩個數

據的平均數。

3、眾數：在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數。一組數

據的眾數可能不止一個。

三、反映數據波動大小的特征數：

1、方差：

(1)卬%2，&，-、%的方差，s2=(/—X)2+a2—X)2+,“+(X〃—X)2

n

222

(2)簡化計算公式：S2=X1+%+…+X,(和/,%x”為較小的整數時

n

用這個公式要比較方便)

(3)記西,巧,工3,…,x”的方差為S?,設a為常數，x1-a,x2-a,x3-a,---,xn-a'^]

方差為S'?,則S2=S'2°

注：當玉,乙，0…,%各數據較大而常數a較接近時，用該法計算方差較簡便。

2、標準差：方差IS?)的算術平方根叫做標準差(S)。

注：通常由方差求標準差。

四、頻率分布

1、有關概念

(1)分組：將一組數據按照統(tǒng)一的標準分成若干組稱為分組，當數據在100

個以內時，通常分成5—12組。

(2)頻數：每個小組內的數據的個數叫做該組的頻數。各個小組的頻數之

和等于數據總數n。

(3)頻率：每個小組的頻數與數據總數n的比值叫做這一小組的頻率，各

小組頻率之和為lo

(4)頻率分布表：將一組數據的分組及各組相應的頻數、頻率所列成的表

格叫做頻率分布表。

(5)頻率分布直方圖：將頻率分布表中的結果，繪制成的，以數據的各分

點為橫坐標，以頻率除以組距為縱坐標的直方圖，叫做頻率分布直方圖。

圖中每個小長方形的高等于該組的頻率除以組距。

每個小長方形的面積等于該組的頻率。

所有小長方形的面積之和等于各組頻率之和等于lo

樣本的頻率分布反映樣本中各數據的個數分別占樣本容量n的比例的大小，

總體分布反映總體中各組數據的個數分別在總體中所占比例的大小，一般是用樣

本的頻率分布去估計總體的頻率分布。

2、研究頻率分布的方法；得到一數據的頻率分布和方法，通常是先整理數據,

后畫出頻率分布直方圖，其步驟是：

(1)計算最大值與最小值的差；

(2)決定組距與組數；

(3)決定分點；

(4)列領率分布表；

(5)繪頻率分布直方圖。

例題：

例1、某養(yǎng)魚戶搞池塘養(yǎng)魚，放養(yǎng)鰭魚苗20000尾，其成活率為70%,隨意

撈出10尾魚，稱得每尾的重量如下(單位：千克)0.8、0.9、1.2、1.3、0.8、

1.1、1.0、1.2、0.8、0.9

根據樣本平均數估計這塘魚的總產量是多少千克？

分析：先算出樣本的平均數，以樣本平均數乘以20000,再乘以70%。解：

略

［規(guī)律總結］求平均數有三種方法，即當所給數據比較分散時，一般用平均

數的概念來求；著所給數據較大且都在某一數a上下波動時，通常采用簡化公式;

若所給教據重復出現時，通常采用加權平均數公式來計算。

例2、一次科技知識競賽，兩次學生成績統(tǒng)計如下

分數5060708090100

甲組人數251013146

乙組人數441621212

已經算得兩個組的人均分都是80分，請根據你所學過的統(tǒng)計知識進一步判

斷這兩個組成績誰優(yōu)誰次，并說明理由解：(1)甲組成績的眾數90分，乙組成

績的眾數為70分，從眾數比較看，甲組成績好些。

(2)算得S甲2=172,S乙2=256

所以甲組成績較乙組波動要小。

(3)甲、乙兩組成績的中位數都是80分，甲組成績在中位數以上的有33

人，乙組成績在中位數以上的有26人，從這一角度看甲組的成績總體要好。

（4）從成績統(tǒng)計表看，甲組成績高于80分的人數為20人，乙組成績高于

80分的人數為24人，所以，乙組成績集中在高分段的人數多，同時，乙組得滿

分的人數比甲組得滿分的人數多6人，從這一角度看，乙組的成績較好。

［規(guī)律總結］明確方差或標準差是衡量一組數據的波動的大小的，恰當選用方

差的三個計算公式，應抓住三個公式的特征，根據題中數據的特點選用計算公式。

例3、到從某學校3600人中抽出50名男生，取得他們的身高（單位cm）,

數據如下：181181179177177177176175175175175174174

174174173173173173172172172172172171171171170

170169169168167167167166166166166166165

165165163163162161160158157

1、計算頻率，并畫出頻率分布直方圖

2、上指出身高在哪一組內的男學生人數所占的比最大

3.請估計這些初三男學生身高在166.5cm以下的約有多少人？

分組頻數累計頻數頻率

156.5一161.54

161.5一166.5正正一11

166.5一171.5正正一11

171.5—176.5正正正下18

176.5一181.5正一6

合計50

解:1、各組頻率依次是:0.08,0.22,0.22,0.36,0.12

頻率

組距

身高（51）

1565161.51665171.51765181.5

2、從頻率分布表（或圖）中，可見身高在171.5—176.5組內男學生人數所

占的比最大。

3、這個地方男學生身高166.5側以下的約為3000x（0.08+0.22）=900（人）

［規(guī)律總結］要掌握獲得一組數據的頻率分布的五大步驟，掌握整理數據的步

驟和方法。會對數據進行合理的分組。

幾何部分

第一章：線段、角、相交線、平行線

知識點：

一、直線：直線是幾何中不加定義的基本概念，直線的兩大特征是“直”和

“向兩方無限延伸”。

二、直線的性質：經過兩點有一條直線，并且只有一條直線，直線的這條性

質是以公理的形式給出的，可簡述為：過兩點有且只有一條直線，兩直線相交，

只有一個交點。

三、射線：

1、射線的定義：直線上一點和它們的一旁的部分叫做射線。

2.射線的特征：“向一方無限延伸，它有一個端點?！?/p>

四、線段：

1、線段的定義：直線上兩點和它之間的部分叫做線段，這兩點叫做線段的端

點。

2、線段的性質（公理）：所有連接兩點的線中，線段最短。

五、線段的中點：

1、定義如圖1—1中，點B把線段AC分成兩條相等的線段，點B叫做線

段圖1—1AC的中點。

2、表示法：

11