2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分類匯編：解直角三角形（58題）學(xué)生版+解析

專題28解直角三角形（58題）

一、單選題

1.（2024?吉林長(zhǎng)春?中考真題）2024年5月29日16時(shí)12分，“長(zhǎng)春凈月一號(hào)”衛(wèi)星搭乘谷神星一號(hào)火箭在

黃海海域成功發(fā)射.當(dāng)火箭上升到點(diǎn)A時(shí)，位于海平面R處的雷達(dá)測(cè)得點(diǎn)R到點(diǎn)A的距離為。千米，仰角

為，，則此時(shí)火箭距海平面的高度AL為（）

2.（2024?天津?中考真題）J2cos45-1的值等于（）

A.0B.1C.也—1D.J2-1

2

4

3.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，在ABC中，AB=AC=5,sinB=~,則3C的長(zhǎng)是（）

A.3B.6C.8D.9

4.（2024.四川自貢.中考真題）如圖，等邊ASC鋼架的立柱。0,45于點(diǎn)。，A8長(zhǎng)12m.現(xiàn)將鋼架立柱

縮短成OE,ZBED=60°.則新鋼架減少用鋼（）

A.（24-12退）mB.（24-8?）mC.（24-6^）mD.僅4一4百）m

5.（2024?四川德陽(yáng)?中考真題）某校學(xué)生開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量一建筑物CD的高度，在建筑物旁邊有一

高度為10米的小樓房AB，小李同學(xué)在小樓房樓底3處測(cè)得C處的仰角為60。，在小樓房樓頂A處測(cè)得C處

的仰角為30。.（AB、CD在同一平面內(nèi)，在同一水平面上），則建筑物8的高為（）米

A.20B.15C.12D.10+5.73

6.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，為了測(cè)量某電子廠的高度，小明用高1.8m的測(cè)量?jī)x班'測(cè)得的仰角為

45。，小軍在小明的前面5m處用高1.5m的測(cè)量?jī)x。測(cè)得的仰角為53。，則電子廠A8的高度為（）（參

434

考數(shù)據(jù)：sin53°?,cos53°?,tan53°~J）

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

7.（2024.內(nèi)蒙古包頭.中考真題）如圖，在矩形ABCD中，瓦廠是邊上兩點(diǎn)，且BE=EF=FC,連接

。及4斤,。石與.相交于點(diǎn)6,連接BG.若AB=4,BC=6,貝Usin/GB/的值為（）

8.（2024.黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，菱形A5CD中，點(diǎn)。是50的中點(diǎn)，AM±BC,垂足為Af,

AM交于點(diǎn)N,OM=2,BD=8,則MN的長(zhǎng)為（）

A.75B.述C.西D.也

555

9.（2024?四川樂(lè)山?中考真題）如圖，在菱形A3CD中，ZABC=60°,AB=1,點(diǎn)尸是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

在BC延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)。，使得點(diǎn)尸和點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，連接。P、AQ交于點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P從8點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到

C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（）

A.正B.3C.WD.73

632

10.（2024.山東泰安?中考真題）如圖，菱形ABCD中，ZB=60°,點(diǎn)E是AB邊上的點(diǎn)，AE=4,BE=8,

點(diǎn)廠是BC上的一點(diǎn)，△EGF是以點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)，/EFG為30。角的直角三角形，連結(jié)AG.當(dāng)點(diǎn)尸在

直線2C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AG的最小值是（）

A.2B.46-2C.273D.4

11.（2024?四川瀘州?中考真題）寬與長(zhǎng)的比是叵1的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱

2

的美感.如圖，把黃金矩形ABC。沿對(duì)角線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)9處，AB，交CD于點(diǎn)E,貝|sin/D4E的

值為（）

12.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在正方形A3CD中，點(diǎn)X在邊上（不與點(diǎn)A、。重合），

ZBHF=90°,HF交正方形外角的平分線。尸于點(diǎn)E連接AC交于點(diǎn)連接昉交AC于點(diǎn)G,交

CD于點(diǎn)、N,連接80.則下列結(jié)論：①NHBF=45。；②點(diǎn)G是BF的中點(diǎn)；③若點(diǎn)H是AQ的中點(diǎn)，則

sin/A?C=巫；?BN=y/2BM;⑤若AH=；HD,貝IJZBNLNSA.M，其中正確的結(jié)論是（）

1022

A.①②③④B.①③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤

二、填空題

13.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，用熱氣球的探測(cè)器測(cè)一棟樓的高度，從熱氣球上的點(diǎn)A測(cè)得該樓

頂部點(diǎn)C的仰角為60。，測(cè)得底部點(diǎn)8的俯角為45。，點(diǎn)A與樓2C的水平距離AD=50m,則這棟樓的高度

為m（結(jié)果保留根號(hào)）.

14.（2024.內(nèi)蒙古赤峰.中考真題）綜合實(shí)踐課上，航模小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量古樹(shù)AB的高度.如圖，點(diǎn)C處

與古樹(shù)底部A處在同一水平面上，且AC=10米，無(wú)人機(jī)從C處豎直上升到達(dá)。處，測(cè)得古樹(shù)頂部2的俯

角為45。，古樹(shù)底部A的俯角為65。，則古樹(shù)A8的高度約為米（結(jié)果精確到01米；參考數(shù)據(jù)：

sin65°?0.906,cos65°~0.423,tan65°?2.145）.

15.（2024.湖北武漢.中考真題）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點(diǎn)，享有“天下江山第一樓”的美譽(yù).在一次

綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量黃鶴樓鉆的高度，具體過(guò)程如下：如圖，將無(wú)人機(jī)垂直上升

至距水平地面102m的C處，測(cè)得黃鶴樓頂端A的俯角為45。，底端8的俯角為63。，則測(cè)得黃鶴樓的高度

16.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,點(diǎn)E在。C上，將矩形ABCD沿

AE折疊，點(diǎn)。恰好落在8C邊上的點(diǎn)尸處，那么tan/EFC=.

17.（2024?江蘇鹽城?中考真題）如圖，小明用無(wú)人機(jī)測(cè)量教學(xué)樓的高度，將無(wú)人機(jī)垂直上升距地面30m的

點(diǎn)P處，測(cè)得教學(xué)樓底端點(diǎn)A的俯角為37。，再將無(wú)人機(jī)沿教學(xué)樓方向水平飛行26.6m至點(diǎn)。處，測(cè)得教

學(xué)樓頂端點(diǎn)B的俯角為45。，則教學(xué)樓A8的高度約為m.（精確至Ulm,參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,

cos37°?0.80,tan37°?0.75)

P.......Q……

'、、、、\B

18.（2024?北京?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在A8上，AF1DE于點(diǎn)尸，CGLOE于點(diǎn)G.若

AD=5,CG=4,則△A￡F的面積為

19.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，對(duì)折邊長(zhǎng)為2的正方形紙片ABCD,?！檎酆郏渣c(diǎn)。為圓心，OM

為半徑作弧，分別交AD,BC于E,尸兩點(diǎn)，則斯的長(zhǎng)度為（結(jié)果保留兀）.

AED

20.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在用幾何畫(huà)板繪制幾何圖形時(shí)，發(fā)現(xiàn)了如“花

朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,0）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（1,0）,

點(diǎn)C在第一象限，ZOBC=120°.將△OBC沿x軸正方向作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，使它的三邊依次與無(wú)軸重合，第

一次滾動(dòng)后，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O',點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為OC與O'C'的交點(diǎn)為4,稱點(diǎn)A為第一個(gè)“花朵”

的花心，點(diǎn)兒為第二個(gè)“花朵”的花心；……；按此規(guī)律，△O3C滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則最后一個(gè)“花

疊，折痕交直線8C于點(diǎn)尸（點(diǎn)P不與點(diǎn)2重合），點(diǎn)3的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線所在的直線上，則尸C長(zhǎng)

為.

22.（2024.山東泰安.中考真題）在綜合實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量大汶河某河段的寬度，

他們?cè)诤影兑粋?cè)的瞭望臺(tái)上放飛一只無(wú)人機(jī)，如圖，無(wú)人機(jī)在河上方距水面高60米的點(diǎn)尸處測(cè)得瞭望臺(tái)

正對(duì)岸A處的俯角為50°,測(cè)得瞭望臺(tái)頂端C處的俯角為63.6。，已知瞭望臺(tái)8C高12米（圖中點(diǎn)A,B,

3Q

C,尸在同一平面內(nèi)），那么大汶河此河段的寬A8為米.（參考數(shù)據(jù)：sin40°?-,sin63.6°?—,

tan50?！癵,tan63.6°?2）

23.（2024.四川達(dá)州?中考真題）如圖，在RtA4BC中，NC=90。.點(diǎn)。在線段上，N54D=45。.若AC=4,

CD=1,則ABC的面積是.

DB

24.（2024?貴州?中考真題）如圖，在菱形A3CD中，點(diǎn)E,尸分別是3C,8的中點(diǎn)，連接AE,AF.若

4

sinZEAF=-,AE=5,則A3的長(zhǎng)為.

25.（2024.廣東深圳?中考真題）如圖，在ABC中，AB=BC,tan/B=巨，。為上一點(diǎn)，且滿足些=§,

12CD5

CE

過(guò)。作DEIAD交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則三=.

26.（2024?黑龍江綏化?中考真題）在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,點(diǎn)E在直線AD上，且DE=2cm,

則點(diǎn)E到矩形對(duì)角線所在直線的距離是cm.

三、解答題

27.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）計(jì)算：*-2|+2sin6（T-（F）°.

28.（2024?四川甘孜?中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東37。方向，距離燈塔100海里的A處,

它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔尸的南偏東45。方向上的3處.這時(shí)，B處距離A處有多遠(yuǎn)?

（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37。70.80,tan37。70.75）

29.（2024?北京?中考真題）計(jì)算：（萬(wàn)一5）°+曲-2sin3（T+卜志|

30.（2024?湖南長(zhǎng)沙?中考真題）計(jì)算：（^）-1+1-^|-2cos30°-（it-6.8）°.

31.（2024?廣東深圳?中考真題）計(jì)算：-2.cos45°+（萬(wàn)-3.14）°+卜.

32.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值："丁+1/Y一—11，其中〃?=cos60。.

m—1+mJ

33.（2024?吉林?中考真題）圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”.某直升飛機(jī)于空中A處探測(cè)到吉塔,

此時(shí)飛行高度AB=873m,如圖②，從直升飛機(jī)上看塔尖C的俯角㈤C=37。，看塔底。的俯角

/EW=45。，求吉塔的高度8(結(jié)果精確到0.1m).(參考數(shù)據(jù)：sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75)

EA

DB

圖①圖②

34.（2024?青海?中考真題）計(jì)算：718-tan45o+7r°-|-V2|.

35.（2024.內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）計(jì)算：+tan60°+|A/3-2|+（7t-2024）°.

36.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量大樓的高度.如圖,

無(wú)人機(jī)在離地面40米的。處，測(cè)得操控者A的俯角為30。，測(cè)得樓BC樓頂C處的俯角為45。，又經(jīng)過(guò)人

工測(cè)量得到操控者A和大樓3c之間的水平距離是80米，則樓2C的高度是多少米？（點(diǎn)AB,C,。都

在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：73?1.7）

D

一死二C飛尹一

/\c

~D

37.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課上，活動(dòng)小組測(cè)量一棵楊樹(shù)的高度.如圖，從C

點(diǎn)測(cè)得楊樹(shù)底端B點(diǎn)的仰角是30。，2C長(zhǎng)6米,在距離C點(diǎn)4米處的。點(diǎn)測(cè)得楊樹(shù)頂端A點(diǎn)的仰角為45。，

求楊樹(shù)48的高度（精確到0.1米，AB,BC,。在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C,。在同一水平線上.參考數(shù)據(jù)：

73?1.73）.

38.（2024?湖南?中考真題）某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組在老師的指導(dǎo)下，利用課余時(shí)間進(jìn)行測(cè)量活動(dòng).

活動(dòng)主題測(cè)算某水池中雕塑底座的底面積

測(cè)量工具皮尺、測(cè)角儀、計(jì)算器等

某休閑廣場(chǎng)的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形其示意圖如下：

模型抽象

__________一

活動(dòng)OGEFH

過(guò)程

①在水池外取一點(diǎn)E,使得點(diǎn)C,B,E在同一條直線上；

②過(guò)點(diǎn)E作GHLCE,并沿E”方向前進(jìn)到點(diǎn)尸，用皮尺測(cè)得跖的長(zhǎng)為4米；

測(cè)繪過(guò)程與

③在點(diǎn)F處用測(cè)角儀測(cè)得NaU=60.3。，ZBFG=45°,/AFG=21.8。；

數(shù)據(jù)信息

④用計(jì)算器計(jì)算得：sin60.3°?0.87,cos60.3°?0.50,

tan60.3°?1.75.sin21.8°?0.37,cos21.8°?0.93,tan21.8°?0.40.

請(qǐng)根據(jù)表格中提供的信息，解決下列問(wèn)題（結(jié)果保留整數(shù)）:

（1）求線段CE和的長(zhǎng)度：

（2）求底座的底面A3CD的面積.

39.(2024?貴州?中考真題)綜合與實(shí)踐：小星學(xué)習(xí)解直角三角形知識(shí)后，結(jié)合光的折射規(guī)律進(jìn)行了如下綜

合性學(xué)習(xí).

【實(shí)驗(yàn)操作】

第一步：將長(zhǎng)方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽

內(nèi)壁AC的夾角為NA；

第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中點(diǎn)E處時(shí)，停止注水.(直線MV'為法線，AO為入射光線，OD

為折射光線.)

【測(cè)量數(shù)據(jù)】

如圖，點(diǎn)A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面內(nèi)，測(cè)得AC=20cm,ZA=45°,折射角/OON=32。.

【問(wèn)題解決】

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)操作和測(cè)量的數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：

(1)求BC的長(zhǎng)；

(2)求B,。之間的距離(結(jié)果精確到0.1cm).

(參考數(shù)據(jù)：sin32°?0.52,cos32°?0.84,tan32°?0.62)

40.(2024?河南?中考真題)如圖1,塑像48在底座3C上，點(diǎn)。是人眼所在的位置.當(dāng)點(diǎn)B高于人的水平

視線DE時(shí)，由遠(yuǎn)及近看塑像，會(huì)在某處感覺(jué)看到的塑像最大，此時(shí)視角最大.數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過(guò)

A,8兩點(diǎn)的圓與水平視線相切時(shí)(如圖2),在切點(diǎn)尸處感覺(jué)看到的塑像最大，此時(shí)/AP3為最大視

(1)請(qǐng)僅就圖2的情形證明ZAPB>ZADB.

(2)經(jīng)測(cè)量，最大視角/APB為30。，在點(diǎn)尸處看塑像頂部點(diǎn)A的仰角4PE為60。，點(diǎn)尸到塑像的水平距

離PH為6m.求塑像48的高（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：73?1.73）.

41.（2024?天津?中考真題）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要用測(cè)角儀測(cè)量天津海河上一座橋的橋塔A5的高度（如

圖①）.某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了一個(gè)方案：如圖②，點(diǎn)C2E依次在同一條水平直線上，DE=36m,EC±AB,

垂足為C.在。處測(cè)得橋塔頂部B的仰角（NCDB）為45。，測(cè)得橋塔底部A的俯角QCDA）為6。，又

在E處測(cè)得橋塔頂部8的仰角（/CEB）為31。.

（1）求線段。的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)）；

（2）求橋塔A8的高度（結(jié)果取整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：tan31°?0.6,tan6°?0.1.

42.（2024?四川樂(lè)山?中考真題）我國(guó)明朝數(shù)學(xué)家程大位寫(xiě)過(guò)一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道

與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題是使用《西江月》詞牌寫(xiě)的：

平地秋千未起，踏板一尺離地.

送行二步與人齊，五尺人高曾記.

仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉.

良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？

詞寫(xiě)得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推進(jìn)10

尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺.（假設(shè)秋千的繩索拉的很直）

00

」4

w一地面-----------士旦

---------地面

圖1圖2

（1）如圖1,請(qǐng)你根據(jù)詞意計(jì)算秋千繩索。4的長(zhǎng)度；

（2）如圖2,將秋千從與豎直方向夾角為a的位置OA釋放，秋千擺動(dòng)到另一側(cè)與豎直方向夾角為夕的地方

Q4",兩次位置的高度差尸Q=Q根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索。4的長(zhǎng)度？如果能，請(qǐng)用含a、￡和//

的式子表示；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

43.（2024?山東?中考真題）【實(shí)踐課題】測(cè)量湖邊觀測(cè)點(diǎn)A和湖心島上鳥(niǎo)類棲息點(diǎn)尸之間的距離

【實(shí)踐工具】皮尺、測(cè)角儀等測(cè)量工具

【實(shí)踐活動(dòng)】某班甲小組根據(jù)湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點(diǎn)8.測(cè)量A,3兩點(diǎn)間的距離以及一上鉆

和NPBA,測(cè)量三次取平均值，得到數(shù)據(jù)：AB=60米，/PAB=79。，ZPBA=64°.畫(huà)出示意圖，如圖

圖1

【問(wèn)題解決】（1）計(jì)算A,尸兩點(diǎn)間的距離.

（參考數(shù)據(jù)：sin64°?0.90,sin79°?0.98,cos79°?0.19,sin37°?0.60,tan37°?0.75）

【交流研討】甲小組回班匯報(bào)后，乙小組提出了另一種方案：

如圖2,選擇合適的點(diǎn)。，E,F,使得A,D,E在同一條直線上，且=NDEF=NDAP,當(dāng)

F,D,尸在同一條直線上時(shí)，只需測(cè)量所即可.

圖2

（2）乙小組的方案用到了.（填寫(xiě)正確答案的序號(hào)）

①解直角三角形②三角形全等

【教師評(píng)價(jià)】甲、乙兩小組的方案都很好，對(duì)于實(shí)際測(cè)量，要根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)地形狀況選擇可實(shí)施的方案.

44.（2024?北京?中考真題）如圖，在四邊形A3CD中，E是48的中點(diǎn)，DB,CE交于點(diǎn)F,DF=FB,

AFDC.

（1）求證：四邊形APCD為平行四邊形；

⑵若NEFB=90°,tanNFEB=3,EF=1,求BC的長(zhǎng).

45.（2024.甘肅臨夏.中考真題）乾元塔（圖1）位于臨夏州臨夏市的北山公園內(nèi)，共九級(jí)，為硅框架式結(jié)

構(gòu)，造型獨(dú)特別致，遠(yuǎn)可眺太子山露骨風(fēng)月，近可收臨夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立蒼穹.某校數(shù)學(xué)興

趣小組在學(xué)習(xí)了“解直角三角形，，之后，開(kāi)展了測(cè)量乾元塔高度A3的實(shí)踐活動(dòng).A為乾元塔的頂端，

AB上BC,點(diǎn)、C,。在點(diǎn)3的正東方向，在C點(diǎn)用高度為1.6米的測(cè)角儀（即CE=1.6米）測(cè)得A點(diǎn)仰角

為37。，向西平移14.5米至點(diǎn)。，測(cè)得A點(diǎn)仰角為45。，請(qǐng)根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，求乾元塔的高度（結(jié)果保

留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75）

圖1圖2

46.（2024.安徽?中考真題）科技社團(tuán)選擇學(xué)校游泳池進(jìn)行一次光的折射實(shí)驗(yàn)，如圖，光線自點(diǎn)8處發(fā)出，

經(jīng)水面點(diǎn)E折射到池底點(diǎn)A處.已知BE與水平線的夾角tz=36.9。，點(diǎn)B到水面的距離BC=1.20m,點(diǎn)A處

水深為1.20m,到池壁的水平距離AD=2.50m,點(diǎn)8C,D在同一條豎直線上，所有點(diǎn)都在同一豎直平

面內(nèi).記入射角為/，折射角為九求軍史的值（精確到01，參考數(shù)據(jù)：sin36.9°?0.60,cos36.9°?0.80,

sin/

池底

47.（2024?浙江?中考真題）如圖，在ABC中，AD1BC,AE是2c邊上的中線,

AB=10,AD=6,tanZACB=1.

（1）求BC的長(zhǎng)；

⑵求sin/ZME的值.

48.（2024?甘肅?中考真題）習(xí)近平總書(shū)記于2021年指出，中國(guó)將力爭(zhēng)2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰、2060年前實(shí)

現(xiàn)碳中和.甘肅省風(fēng)能資源豐富，風(fēng)力發(fā)電發(fā)展迅速.某學(xué)習(xí)小組成員查閱資料得知，在風(fēng)力發(fā)電機(jī)組中，

“風(fēng)電塔筒，，非常重要，它的高度是一個(gè)重要的設(shè)計(jì)參數(shù).于是小組成員開(kāi)展了“測(cè)量風(fēng)電塔筒高度”的實(shí)踐

活動(dòng).如圖，已知一風(fēng)電塔筒垂直于地面，測(cè)角儀CO,E尸在Aa兩側(cè)，CD=EF=1.6m,點(diǎn)C與點(diǎn)

E相距182m（點(diǎn)C,H,E在同一條直線上），在。處測(cè)得簡(jiǎn)尖頂點(diǎn)A的仰角為45。，在尸處測(cè)得筒尖頂

434

點(diǎn)A的仰角為53。.求風(fēng)電塔筒的高度.（參考數(shù)據(jù)：sin53°?-,cos53°?-,tan53°?-.）

553

49.（2024?河北.中考真題）中國(guó)的探月工程激發(fā)了同學(xué)們對(duì)太空的興趣.某晚，淇淇在家透過(guò)窗戶的最高

點(diǎn)P恰好看到一顆星星，此時(shí)淇淇距窗戶的水平距離BQ=4m,仰角為a；淇淇向前走了3m后到達(dá)點(diǎn)。，

透過(guò)點(diǎn)尸恰好看到月亮，仰角為夕，如圖是示意圖.已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離AB=CD=1.6m,

點(diǎn)尸到8。的距離P0=2.6m,AC的延長(zhǎng)線交PQ于點(diǎn)E.（注：圖中所有點(diǎn)均在同一平面）

（1）求尸的大小及tan的值；

（2）求CP的長(zhǎng)及sinZAPC的值.

|V3-2|+tan60°-Q^.

50.（2024?四川廣元?中考真題）計(jì)算：（2024-兀）°+

51.（2024?四川廣元?中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時(shí)，入射角。的正

弦值與折射角B的正弦值的比值r叫做介質(zhì)的“絕對(duì)折射率”,簡(jiǎn)稱“折射率”.它表示光在介質(zhì)中傳播時(shí),

sinp

（1）若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為a,折射角為夕，且cosa=且，月=30。，求該介質(zhì)的折射率；

4

（2）現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長(zhǎng)方體介質(zhì)，如圖①所示，點(diǎn)4B,C,。分別是長(zhǎng)方體棱的中點(diǎn)，

若光線經(jīng)真空從矩形4R24對(duì)角線交點(diǎn)。處射入,其折射光線恰好從點(diǎn)C處射出.如圖②，已知a=60。，

CD=10cm,求截面ABCZ）的面積.

52.（2024.內(nèi)蒙古包頭.中考真題）如圖，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展“實(shí)地測(cè)量教學(xué)樓的高度”的實(shí)踐活動(dòng).教

學(xué)樓周圍是開(kāi)闊平整的地面，可供使用的測(cè)量工具有皮尺、測(cè)角儀（皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的

兩點(diǎn)間的距離；測(cè)角儀的功能是測(cè)量角的大?。?

（1）請(qǐng)你設(shè)計(jì)測(cè)量教學(xué)樓48的高度的方案，方案包括畫(huà)出測(cè)量平面圖，把應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)記在所畫(huà)的圖形上（測(cè)

出的距離用孤〃等表示，測(cè)出的角用d6等表示），并對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行說(shuō)明；

（2）根據(jù)你測(cè)量的數(shù)據(jù)，計(jì)算教學(xué)樓的高度（用字母表示）.

53.（2024?甘肅.中考真題）馬家窯文化以發(fā)達(dá)的彩陶著稱于世，其陶質(zhì)堅(jiān)固，器表細(xì)膩，紅、黑、白彩共

用，彩繪線條流暢細(xì)致，圖案繁緡多變，形成了絢麗典雅的藝術(shù)風(fēng)格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術(shù)

精品，體現(xiàn)了古代勞動(dòng)人民的智慧.如圖1的彩陶紋樣呈現(xiàn)的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點(diǎn)定位

的方法確定圓周的三等分點(diǎn)，這種方法和下面三等分圓周的方法相通.如圖2,已知。。和圓上一點(diǎn)M.作

法如下：

①以點(diǎn)〃為圓心，長(zhǎng)為半徑，作弧交。于A,8兩點(diǎn)；

②延長(zhǎng)MO交一。于點(diǎn)C；

即點(diǎn)A,B,C將一。的圓周三等分.

彩陶紋樣三點(diǎn)定位法三等分圓周

圖1圖2

（1）請(qǐng)你依據(jù)以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中將O的圓周三等分（保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法）；

（2）根據(jù)（1）畫(huà)出的圖形，連接AB,AC,BC,若？。的半徑為2cm,貝|ABC的周長(zhǎng)為cm.

54.（2024.黑龍江牡丹江.中考真題）如圖，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組用高度為1.5米的測(cè)角儀BC,對(duì)垂直于地面8

的建筑物的高度進(jìn)行測(cè)量，3CLCD于點(diǎn)C.在B處測(cè)得A的仰角/ABE-45。，然后將測(cè)角儀向建筑

物方向水平移動(dòng)6米至FG處，F(xiàn)GLCD于點(diǎn)G,測(cè)得A的仰角NAFB=58。，所的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)E,

求建筑物AO的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.（參考數(shù)據(jù)：sin58°?0.85,cos58°?0.53,tan58°?1.60）

55.（2024.廣東.中考真題）中國(guó)新能源汽車為全球應(yīng)對(duì)氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻(xiàn).為滿足

新能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形尸QWN充電站的平面示意圖，矩形ABC。是其

中一個(gè)停車位.經(jīng)測(cè)量，ZABQ=60。，AB=5.4m,CE=1.6m,GHLCD,GH是另一個(gè)車位的寬，所

有車位的長(zhǎng)寬相同，按圖示并列劃定.

根據(jù)以上信息回答下列問(wèn)題：（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)6W1.73）

（1）求尸。的長(zhǎng)；

⑵該充電站有20個(gè)停車位,求PN的長(zhǎng).

56.（2024?廣東廣州.中考真題）2024年6月2日，嫦娥六號(hào)著陸器和上升器組合體（簡(jiǎn)稱為“著上組合體”）

成功著陸在月球背面.某校綜合實(shí)踐小組制作了一個(gè)“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗(yàn)中，如圖，該

模擬裝置在緩速下降階段從A點(diǎn)垂直下降到3點(diǎn)，再垂直下降到著陸點(diǎn)C,從3點(diǎn)測(cè)得地面。點(diǎn)的俯角為

36.87°,AD=17米，比＞=10米.

(1)求C￡)的長(zhǎng)；

(2)若模擬裝置從A點(diǎn)以每秒2米的速度勻速下降到8點(diǎn)，求模擬裝置從A點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時(shí)間.(參考數(shù)

據(jù)：sin36.87°?0.60,cos36.87°=0.80,tan36.87°?0.75)

57.(2024?青海?中考真題)如圖，某種攝像頭識(shí)別到最遠(yuǎn)點(diǎn)A的俯角a是17。，識(shí)別到最近點(diǎn)8的俯角口是

45°,該攝像頭安裝在距地面5m的點(diǎn)C處，求最遠(yuǎn)點(diǎn)與最近點(diǎn)之間的距離A3(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：

sin17°?0.29,cos17°。0.96,tan17°70.31).

(1)如圖1,在ABC中，AB^15,ZC=30°,作一ABC的外接圓O.則ACB的長(zhǎng)為;(結(jié)果

保留兀)

問(wèn)題解決

(2)如圖2所示，道路A3的一側(cè)是濕地.某生態(tài)研究所在濕地上建有觀測(cè)點(diǎn)DE,C,線段AZ),AC和

BC為觀測(cè)步道，其中點(diǎn)A和點(diǎn)2為觀測(cè)步道出入口，已知點(diǎn)E在AC上，且AE=EC,ZZMB=60°,

/ABC=120。，AB=1200m,AD=BC=900m,現(xiàn)要在濕地上修建一個(gè)新觀測(cè)點(diǎn)P,使4)PC=60。.再

在線段AB上選一個(gè)新的步道出入口點(diǎn)尸，并修通三條新步道尸產(chǎn)，PD,PC,使新步道尸尸經(jīng)過(guò)觀測(cè)點(diǎn)E,

并將五邊形ABCPD的面積平分.

請(qǐng)問(wèn)：是否存在滿足要求的點(diǎn)P和點(diǎn)F?若存在，求此時(shí)尸尸的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（點(diǎn)A,B,C,

尸，。在同一平面內(nèi)，道路AB與觀測(cè)步道的寬、觀測(cè)點(diǎn)及出入口的大小均忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)）

專題28解直角三角形（58題）

一、單選題

1.（2024?吉林長(zhǎng)春?中考真題）2024年5月29日16時(shí)12分，“長(zhǎng)春凈月一號(hào)”衛(wèi)星搭乘谷神星一號(hào)火箭在

黃海海域成功發(fā)射.當(dāng)火箭上升到點(diǎn)A時(shí)，位于海平面R處的雷達(dá)測(cè)得點(diǎn)R到點(diǎn)A的距離為。千米，仰角

為。，則此時(shí)火箭距海平面的高度"為（）

nn

A.asin，千米B.------千米C.ocosd千米D.-------千米

sin。cos。

【答案】A

【分析】本題考查解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵，根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義即可

求解

【詳解】解：由題意得：sine=r==空

ARa

AL=asin。千米

故選：A

2.（2024.天津.中考真題）V2cos45的值等于（）

A.0B.1C.農(nóng)-1D.J2-1

2

【答案】A

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵；根據(jù)cos45。=也代入即

2

可求解.

【詳解】A/2COS45-1=A/2X—-1=0,

2

故選：A.

4

3.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，在ABC中，AB=AC=5,sinB=-,則的長(zhǎng)是（）

A

A.3B.6C.8D.9

【答案】B

【分析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理.正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)A作

AD」3c于點(diǎn)。.由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BD=CD=3BC.根據(jù)sinB=當(dāng)=:，可求出AD=4,

2AB5

最后根據(jù)勾股定理可求出應(yīng)）=3,即得出3。=2班＞=6.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD13C于點(diǎn)D

/.BD=CD=-BC.

2

在RtAABD中，sinB=,

AB5

44

AD=—AB=—x5=4,

55

二BD=\lAB2-AD2=y/52-42=3，

BC=2BD=6.

故選B.

4.（2024.四川自貢.中考真題）如圖，等邊-ABC鋼架的立柱CDLAB于點(diǎn)。，長(zhǎng)12m.現(xiàn)將鋼架立柱

縮短成OE,ZB￡D=60°.則新鋼架減少用鋼（）

A.（24-12⑹mB.（24-8@mC.（24-6@mD.僅4-4⑹m

【答案】D

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用.利用三角函數(shù)的定義分別求得OE=2始,

BE=4^=AE,CD=6A/3,禾！J用新鋼架減少用鋼=4C+BC+CE>-AE-BE-OE,代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求

解.

【詳解】解：；等邊二ASC,(力上鉆于點(diǎn)。，長(zhǎng)12m,

AD=BD=—AB=6m,

2

*.?ABED=60°,

tan60°=—=V3,

DE

：.DE=273,

BE==4A/3=AE>

,?ZCBD=60°,

/.CD=BDtanZCBD=也BD=6拒m,BC=AC=AB=12m,

???新鋼架減少用鋼=AC+3C+CD—AE—BE—DE

=24+6石-8癢2石=(24-4@01,

故選：D.

5.（2024?四川德陽(yáng)?中考真題）某校學(xué)生開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量一建筑物。的高度，在建筑物旁邊有一

高度為10米的小樓房AB,小李同學(xué)在小樓房樓底B處測(cè)得C處的仰角為60。，在小樓房樓頂A處測(cè)得C處

的仰角為30。.（AB、CD在同一平面內(nèi)，區(qū)。在同一水平面上），則建筑物CD的高為（）米

A.20B.15C.12D.10+573

【答案】B

【分析】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，如圖，過(guò)A作AE_LCD于E,則四邊形ABDE為矩形,

設(shè)CE=x,TfuZ.CAE=30°,可得AE=—=Cx=BD,CD=x+10,結(jié)合tan60。=^^=——=6,

tan30°BDJ3x

再解方程即可.

【詳解】解：如圖，過(guò)A作AELCD于E,

依題意，AB1BD,CDLBD

.??四邊形為矩形，

AAB=DE=10,AE=BD,

設(shè)CE=x,而/C4E=30。，

CFr~

：.AE=------=y/3x=BD,

tan30°

CD=x+10,

CD九+10尻

tan60=-----=—T=—=,

BD瓜

解得：x=5,

經(jīng)檢驗(yàn)無(wú)=5是原方程的解，且符合題意;

/.CD=x+10=15（m）,

故選B

6.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，為了測(cè)量某電子廠的高度，小明用高L8m的測(cè)量?jī)x班'測(cè)得的仰角為

45。，小軍在小明的前面5m處用高1.5m的測(cè)量?jī)x8測(cè)得的仰角為53。，則電子廠的高度為（）（參

434

考數(shù)據(jù)：sin53°?j,cos53°,tan53°）

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

【答案】A

【分析】本題考查了與仰角有關(guān)的解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，先證明四邊形EFDG、EFBM、

CDBN是矩形，再設(shè)GA7=;m,表示EM=（x+5）m,然后在RtAEM,tan/AEM=也幺，以及

EM

Rt_ACN,tan/ACN=^，運(yùn)用線段和差關(guān)系，即MN=4V—AM=gx-（x+5）=0.3,再求出x=15.9m,

即可作答.

【詳解】解：如圖：延長(zhǎng)QC交于一點(diǎn)G,

FDB

Z.MEF=ZEFB=ZCDF=90°

???四邊形EFDG是矩形

ZMEF=ZEFB=ZB=90°

???四邊形跖是矩形

同理得四邊形CEBN是矩形

依題意，得砂=MB=1.8m,CD=L5m,NAEM=45。,ZACN=53°

：.CG=(1.8-1.5)m=0.3m,FD=EG=5m

：.CG=ACV=0.3m

???設(shè)GAf=xm,則EM=(x+5)m

在Rt_AEM,tanZAEM=趙，

EM

EMx\=AM

即AM=(x+5)m

AN

在Rt.ACMtan/ACN=—,

CN

4

CNtan530=—%=AN

3

4

即AN=—xm

4

MN=AN-AM=jX-(x+5)=0.3

%=15.9m

/.AM=15.9+5=20.9(m)

AB=AM+EF=AM+MB=20.9+1.8=22.1（m）

故選：A

7.（2024.內(nèi)蒙古包頭.中考真題）如圖，在矩形ABCD中，瓦廠是邊BC上兩點(diǎn)，S.BE=EF=FC,連接

OE,A尸,OE與轉(zhuǎn)相交于點(diǎn)G,連接BG.若AB=4,BC=6,則sin/GBF的值為（）

【答案】A

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正弦值：過(guò)點(diǎn)G作證明

pCiFF1

AGD^FGE,得至!］黑=黑=：,再證明,GHFFAB尸，分別求出HG,切的長(zhǎng)，進(jìn)而求出8"的長(zhǎng),

AGA.L）3

勾股定理求出3G的長(zhǎng)，再利用正弦的定義，求解即可.

【詳解】解：?.?矩形ABC。，BE=EF=FC,AB=4,BC=6,

；.AD=BC=6,AD〃BC,BE=EF=FC=2,

:?AG"FGE,BF=4,

FGEF_1

AG-AD-3

FG_1

AF-4

.FHGHFG

**BF-AB-AF-4?

AFH=-BF=1,GH=-AB=l

44f

：.BH=BF-FH=3f

,?BG=Jl2+3?=\/10，

1Vio

sinZGBF=—

BGA/W-10

故選A.

8.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，菱形A5CD中，點(diǎn)。是50的中點(diǎn)，AM±BC,垂足為Af,

AM交BD于點(diǎn)、N,OM=2,BD=8,則MN的長(zhǎng)為（）

【答案】C

【分析】本題主要考查了解三角形，菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.

先由菱形性質(zhì)可得對(duì)角線AC與50交于點(diǎn)0,由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得

OA=OC=OM=2,進(jìn)而由菱形對(duì)角線求出邊長(zhǎng)，由sin/MAC=sin好解三角形即可求出

5

4也3x/5

MC=ACsinZMAC=-^―,MN=BMtanZOBC=.

55

??,菱形A5CD中，AC與50互相垂直平分,

又???點(diǎn)。是的中點(diǎn),

???A、。、。三點(diǎn)在同一直線上,

：.OA=OCf

?：OM=2,AMA.BC,

：.OA=OC=OM=2,

BD=8,

??.OB=OD=-BD=4

2f

_____________QQ21

BC=y/OB2+OC2=A/42+22=2A/5，tanZOBC=-,

OD4Z

ZACM+ZMAC=90°,ZACM+Z.OBC=90°,

：.ZMAC=ZOBC

：.sinZMAC=sinZOBC=—=三=—,

BC2辨5

MC=ACsinZMAC=,

5

BM=BC-MC=25/5--=—,

55

/.MN=BMtanZOBC=^x-=述,

525

故選：C.

9.（2024?四川樂(lè)山?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，ZABC=60°,他=1,點(diǎn)P是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

在3C延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)。，使得點(diǎn)尸和點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，連接。尸、A。交于點(diǎn)M.當(dāng)點(diǎn)尸從2點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到

C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（）

A.3B.在C.BD.73

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【答案】B

【分析】該題主要考查了菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，解

題的關(guān)鍵是掌握以上點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑.

過(guò)點(diǎn)C作交AD于點(diǎn)H,根據(jù)NABC=60。，四邊形ABCD是菱形，AB^l,算出￡羽=1,得出

AH=DH,S垂直平分AD,再證明VPCAf=VQCM,得出證明CM垂直平分PQ,點(diǎn)M

在S上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)解直角三角形CM'=BC-tan30°=—.即可求解.