2025學(xué)年華東師大版七年級數(shù)學(xué)下冊重難點特訓(xùn)之壓軸題型（80題13個考點）

期中重難點真題特訓(xùn)之壓軸滿分題型(80題13個考點)專練

【精選最新考試題型專訓(xùn)】

R第一部分壓軸滿分題

壓軸滿分題一、一元一次方程的含參問題

1.(23-24七年級下?四川巴中?期末)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

定義：如果兩個一元一次方程的解的和為1,我們就稱這兩個方程為“美好方程”.

例如：方程4x=8的解為x=2,方程y+l=0的解為y=T；2+(-1)=1,所以方程4x=8與方程＞+1=0為

“美好方程”.

⑴請判斷方程4x-(x+5)=l與方程-2y_y=3是否為“美好方程”，并說明理由；

(2)若關(guān)于x的方程2x+機=0與方程型=1是“美好方程”，求加的值.

36

【答案】(1)是“美好方程”，理由見解析

(2)m=6

【分析】(1)先求出兩個方程的解，然后根據(jù)“美好方程”的定義進行判斷即可；

(2)先求出兩個方程的解，然后根據(jù)“美好方程”的定義得出-￡+4=1,求出加的值即可；

本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程的方法，準確計

算.

【詳解】(1)解：方程4x-(x+5)=l與方程-2y-y=3是“美好方程”，理由如下：

解方程4x—(x+5)=1,得x=2,

解方程-2y-y=3,得y=—l,

x+y=2—1=1,

方程4x—(x+5)=1與方程-2y—y=3是“美好方程，，；

(2)解：解方程2元+機=0,得兀=—■—?

解方程0尹-包二=1,得y=4,

?.?關(guān)于X的方程2x+m=0與方程竺^=1是“美好方程”，

?*.m=6.

2.(23-24七年級下?河南周口?期末)我們規(guī)定：若關(guān)于龍的一元一次方程辦=6的解為x=a,則稱該方

程為“差解方程”.例如：3x=4.5的解為x=L5=4.5-3,則稱方程3x=4.5是“差解方程”.請根據(jù)上述規(guī)定

解答下列問題：

(1)請寫出一個與舉例不同的差解方程；

(2)若關(guān)于x的一元一次方程5x=p是“差解方程”，求P的值；

(3)若關(guān)于x的一元一次方程4x=pq+q和-2x=pq+p都是“差解方程”，求代數(shù)式3(pq+q)-9(pq+p7的

值.

【答案】(l)2x=4(合理即可)

⑵。中

(3)0

【分析】本題主要考查了一元一次方程的解與新定義：差解方程，理解“差解方程”的定義是正確解答此題的

關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“差解方程”的定義即可寫出；

(2)解方程，根據(jù)“差解方程”的定義列方程求解即可；

(3)先根據(jù)“差解方程”的定義求字母的值再代入計算即可.

【詳解】⑴解：如2x=4,

理由如下：

2x=4,

..x=2,

2=4—2,

方程2x=4是“差解方程”;

⑵解：解方程5x=。，得x=看,

?1,一元一次方程5x=p是“差解方程”,

.?看=〃-5,

25

即Bn。=7；

(3)求代數(shù)式的值.

解：：,關(guān)于尤的一元一次方程4x=pq+q和-2x=pq+0都是“差解方程”,

方程4x=pq+q的解是x=；

4

pq+q

4=pq+q-A4,

16

：.pq+q=F；

方程-2x=0q+p的解是彳=-題產(chǎn)，

pq+pc

----------=pq+p+2,

4

pq+p=--，

.".3（p4+q）_9（pq+py=3x?-9x]—g]=16-16=0.

3.（24-25七年級下?山西晉城?階段練習）小紅解關(guān)于x的方程3x+，2Y—1=2-X丫—（1，在去分母的過程中，

32

等號右邊的常數(shù)項2漏乘公分母6,因而求得方程的解為尤=1.

⑴求。的值.

（2）求出方程的正確解.

（3）根據(jù)你的學(xué)習經(jīng)驗，給同學(xué)們提一條關(guān)于解一元一次方程的注意事項.

【答案】（1）7

7

（2）x=j

（3）去分母時，不要漏乘不含分母的項（或“移項時，要變號”，答案不唯一）

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，方程的解的定義（已知方程的解求參數(shù)）等知識點，熟練掌握

解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1.

（1）由題意得，x=l是方程18x+2（2x—1）=2—3（x—a）的解，把尤=1代入方程18x+2（2x—1）=2—3（x—a）,

得18xl+2x（2xl-1）=2-3x（l-a）,解方程即可求出a的值；

2r-1r-7

（2）由（1）得，原方程為3x+」^=2-±J,然后按照解一元一次方程的一般步驟解方程即可：去分

母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1；

（3）根據(jù)自身學(xué)習經(jīng)驗，給同學(xué)們提一條關(guān)于解一元一次方程的注意事項即可.

【詳解】（1）解：由題意得：

x=l是方程18x+2（2x—1）=2—3（x—a）的解，

把工=1代入方程18X+2（2JT-1）=2-3（x-〃），得：

18xl+2x（2xl-l）=2-3x（l-tz）,

解得：a=l；

（2）解：由（1）得：原方程為3犬+三^=2—土「，

去分母，得：18x+2（2^-l）=12-3（x-7）,

去括號，得：18x+4x-2=12-3^+21,

移項，得：18x+4x+3x=12+21+2,

合并同類項，得：25x=35,

一7

系數(shù)化為1,得：x=-;

（3）解：答案不唯一，例如：

“去分母時，不要漏乘不含分母的項”或“移項時，要變號”等等.

4.（23-24七年級下?四川眉山?期末）定義：如果兩個一元一次方程的解之和為4,我們就稱這兩個方程為“毓

德方程”.例如：方程2x7=4和2x—3=0為“毓德方程”.

⑴請判斷方程4x-2（x+5）=2與方程-2y-（y+3）=3是否互為“毓德方程”；

⑵若關(guān)于X的方程尹加-1=0與方程版-2=尤+4互為“毓德方程”，求優(yōu)的值；

（3）若關(guān)于x的方程/了一1=0與所上》+1=3》+々互為“毓德方程"，則關(guān)于的方程

云上（5機+4）+1=15m+左+12的解為.

【答案】（1）方程以-2（了+5）=2與方程-2y-（y+3）=3是互為“毓德方程”

⑵加《

（3）T05

【分析】本題考查方程的解，解一元一次方程.掌握“毓德方程”的定義，是解題的關(guān)鍵.

（1）求出兩個方程的解，再根據(jù)“毓德方程”的定義，進行判斷即可；

（2）求出兩個方程的解，再根據(jù)“毓德方程”的定義，列出關(guān)于俄的方程，進行求解即可；

（3）先求出/尤-1=。的解，根據(jù)“毓德方程”的定義，得到/x+l=3x+左的解，進而得到

m+4）+1=15加+左+12中5m+4的值，進一步求解即可.

【詳解】（1）解：解方程4x-2（x+5）=2,得：x=6；

解方程一2y—（y+3）=3,得：>=一2,

,/6+（-2）=4,

方程4x—2（x+5）=2與方程一2>-（y+3）=3是互為“毓德方程”;

X

（2）解：解方程耳+加一1=0得％=—2相+2,

解方程3x—2=x+4得%=3

x=3f

X

;關(guān)于龍的方程]+加一1=0與方程3x—2=x+4互為“毓德方程”,

??—2〃z+2+3=4,

1

（3）解：解方程/1=0得x=2025,

■:關(guān)于苫的方程表1=°與上"J3互為"毓德方程"，，

1

x+l=3x+k的解為4-2025=-2021,

2025

1

（5機+4）+1=15陰+左+12,

2025

1

（5加+4）+1=3（5冽+4）+左

2025

J5m+4=—2021,

m=-405.

5.（23-24七年級下.四川宜賓.期末）定義：關(guān)于％的方程冰-8=0與笈-，=0（〃、b均為不等于。的常

數(shù)）稱互為“反對方程”.

例如：方程2x-1=0與％-2=0互為“反對方程”；方程3%-2=2尤+3,通過轉(zhuǎn)化可得1-5=0,所以

3%-2=2%+3與5x—1=0互為"反對方程

（1）若關(guān)于犬的方程3%—2=0與2]—，=0（〃為不等于0的常數(shù)）互為“反對方程"，貝匹=；

⑵若關(guān)于x的方程5x-b=2（〃為不等于。的常數(shù)）的解為尤=3,求〃的值及它的“反對方程”的解；

⑶若關(guān)于X的方程=f+5（c為不等于0的常數(shù)）的解為x=2025,請直接寫出（c+5）尤-親=1

的解.

【答案】（1）3；

(2)^=13,x=；；

【分析】此題考查的是新定義，解一元一次方程，能夠正確理解新定義是解決此題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)“反對方程”的定義直接可得答案；

（2）將x=3代入5x-6=2求出6=13,然后得到方程為5x-15=0,然后根據(jù)“反對方程”的概念求解即可;

（3）首先得到互為“反對方程”的兩個方程的解互為倒數(shù)，然后判斷出方程表x-c=-x+5和方程

（c+5）x-康=1互為“反對方程”，進而求解即可.

【詳解】（1）解：由題可知，ax-b=O與bx-a=O（a、。均為不等于。的常數(shù)）稱互為“反對方程”，

3x-2=0與方程2x-a=0互為“反對方程”，

.".a=3；

（2）解：??,關(guān)于1的方程5x—b=2（〃為不等于0的常數(shù)）的解為九=3,

：.5x3-b=2

Z?=13；

???5%—13=2,

???5x-15=0

???關(guān)于X的方程5》-15=0的“反對方程”為15x-5=0

?尤」

"3

hn

（3）解：.?,關(guān)于1的方程方-b=0的解為/=—,關(guān)于％的方程云-。=0的解為x=7,且關(guān)于工的方程

ab

冰一人=0與云一。=0（a、6均為不等于。的常數(shù)）稱互為“反對方程”,

；?互為“反對方程”的兩個方程的解互為倒數(shù),

?.?方程一--x-c=-x+5

2025

------%+%—c—5=0

2025

+1X-(c+5)=0

:方程（c+5）無一」一=1

2025

[，+1]=0

.二(c+5)x—

(2025

?,?方程?tx-c=-x+5和方程(c+5)x_q^=l互為“反對方程”

;關(guān)于X的方程去x-c=-x+5(c為不等于0的常數(shù))的解為x=2025,

/.(c+5)x——3—=1的解為了=^—.

'720252025

壓軸滿分題二、方程組同解問題

6.(23-24七年級下?河南周口?期末)解方程

⑵在做作業(yè)時，有一個方程“2y-g=gy+■”中的■沒印清，小聰問老師，老師只是說：“■是一個有理數(shù),

該方程的解與方程5(xT)-2(x-2)-4=l的解相同，”小聰很快補上了這個常數(shù)，同學(xué)們，你們能補上這個常

數(shù)嗎？

2

【答案】⑴龍十

(2)這個常數(shù)為

【分析】本題考查了同解方程和解一元一次方程，能正確根據(jù)等式的性質(zhì)進行變形是解此題的關(guān)鍵.

(1)去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化成1即可；

(2)先求出第二次方程的解，根據(jù)兩個方程同解得出第一個方程的解是y=x=2,再把y=2代入第一個方

程，即可求出答案.

【詳解】(1)解：萬一二=胃一1,

去分母，得6x—2(1—%)—x+2—6,

去括號，得6x-2+2x=x+2-6,

項，彳導(dǎo)6x+2x—x=2—6+2,

合并同類項，得7%=-2,

2

系數(shù)化成1,得

(2)解：設(shè)“■”表示的數(shù)是。，

角畢方程5(%———2)—4=1,得工=2,

???兩方程的解相同，

.\y=x=2,

??.把y=2代入方程2y—不二不丁+a,得4一：=1+〃，

解得：?=|.

即這個常數(shù)為3.

2

7.(23-24七年級下.重慶.期末)設(shè)〃為有理數(shù)，已知關(guān)于工的一元一次方程3(%-〃)+l=x+2〃.

，Y+4

⑴若方程”-衛(wèi)5x—三9=1與已知方程的解相同，求。的值；

36

⑵若關(guān)于X的方程2(彳-3〃)=1+怖的解比已知方程的解大求已知方程的解.

9

【答案】⑴。

(2)x=g

【分析】本題考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題關(guān)鍵.

(1)先求出方程三上一女丁=1的解為x=4,再將x=4代入已知方程可得一個關(guān)于。的一元一次方程,

36

解方程即可得；

(2)先求出兩個方程的解，再根據(jù)關(guān)于x的方程2"-30)=1+：的解比已知方程的解大g可得一個關(guān)于。的

元一次方程，解方程可得。的值，由此即可得.

2%+45x-2

【詳解】⑴解:

6~

2（2x+4）-（5x-2）=6,

4x+8-5x+2=6,

A-x-5x-6-8-2,

x=4,

9_i_4Sr—?

?.?方程r=i與方程3（彳一。）+1=》+2。的解相同，

.*?將"x=4彳弋入?萬*不呈3（x—a）+1=%+2a彳導(dǎo)：3（4-a）+l=4+2a,

解得”，9

（2）解：3（%—〃）+1=x+2〃，

3x-3a+l=x+2a，

5a—1

解得無=

2

x

2（冗-3〃）=1+2,

4(x-3")=2+x,

4%—12a=2+x,

???關(guān)于X的方程2（x-3a）=l+5的解比方程3（x—a）+l=x+2a的解大g,

.12Q+25a—15

??------------1—,

323

解得

A5a-l5X3~1..l，

2-2--3

所以已知方程的解為％=

8.（23-24七年級下?四川遂寧?期末）定義：如果兩個一元一次方程的解相同，我們就稱這兩個方程為“美好

方程例如：方程2%=6和%一3=。為"美好方程

⑴若關(guān)于X的方程X-4"Z+1=O與方程;（x-5）-m=0是“美好方程”，求機的值；

（2）若無論上取任何有理數(shù)，關(guān)于x的方程當絲/（。、》為常數(shù)）與方程2x+l=x-2為“美好方程”，

求必的值.

【答案】（1）%=3

⑵-12

【分析】本題考查解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法，理解“美好方程”的定義是解題的關(guān)鍵.

（1）表示出X-4m+1=0和g（x-5）-根=0的解，再根據(jù)“美好方程”的定義列式即可.

（2）先解出2x+l=x—2的解,再根據(jù)“美好方程”的定義可得（2。-6）左=36+12,即可列式求解0和6的值，

代入即可求解.

【詳解】（1）解：Vx-4m+l=0,

角畢得：x=4m-l,

*.*—(x_5)—m=0,

x=2m+5，

,*,方程%—4機+1=0與方程-5)—機=0是“美好方程”,

4機一1=2機+5,

??HZ=3.

(2)解：2x+l=x—2,

解得：x=—3,

...方程善必=。+上的解為x=—3,

32

2x(-3)+fezb

----------------=—Fk,f

32

-12+2kci-3b+6k,

(2a—6)k=3b+12,

???無論左取任何有理數(shù)，兩個方程是“美好方程”,，

?.2〃—6=0,3Z?+12=0,

解得：a=3,b=-4,

ab=-12.

9.(2024七年級下?全國?專題練習)已知關(guān)于x的方程"

236

(1)若加=-1,求該方程的解；

⑵若x=5是方程的解，求;/+2根的值；

(3)若該方程的解與方程W=3+F的解相同，求加的值；

24

(4)某同學(xué)在解該方程時，誤將吟”看成了“■!”，得到方程的解為X=l,求機的值;

65

(5)若該方程有正整數(shù)解，求整數(shù)機的最小值.

【答案】⑴x=0

(2)30

23

⑶M

⑷-??；

(5)6

【分析】本題考查同解方程、一元一次方程的解法、求代數(shù)式的值,

(1)依據(jù)題意得，當機=-1時，方程為求解即可;

236

（2）依據(jù)題意，由x=5是方程的解，得"興一學(xué)=3,解關(guān)于加的方程，再將〃的值代入1小+2加計

算即可；

（3）依據(jù)題意，由方程卓=3+早的解為x=4,從而得=￥=3,再解關(guān)于加的方程即可；

24236

（4）依據(jù)題意，由誤將，弓“看成了哼“，得到方程的解為x=l,可得再解關(guān)于用的方程

65235

即可；

（5）依據(jù)題意，由、二一?=：,可得x=5（〃，+l）,再結(jié)合龍取正整數(shù)，從而根+1為7的正因數(shù)，又

2367

加取最小值，進而得解；

解題時要能讀懂題意并列出方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：當〃7=-1時，方程為"-一=：,

236

3（3x+l）-2（x-l）=5,

??9x+3—2x+2=5,

7x=0,

:?x=0；

（2）解：???％=5是方程的解，

.3x5—m5+m5

??一，

236

3（15-m）-2（5+m）=5,

45—3m—10—2m=5,

解得：m=6,

11

/.—m9+2m=—x69+2x6=18+12=30,

22

L/+2加的值為30；

2

（3）解：???上=3+",

24

解得：X=4,

...方程3x-m_x+m=，的解與方程彳=3+三9的解相同，

23624

.3x4-m4+m_5

??—―，

236

.\3（12-m）-2（4+m）=5,

解得：w=—,

23

/?機的值為一；

5

⑷解：???誤將*''看成了吟”，得到方程的解為尤=1,

65

.,日十工口3%一加x+m6

..1二1是萬程一；---------的解，

235

.3xl-m1+m6

??=一，

235

解得："?=一￡,

m的值為;

(5)解：???3一j/,

236

3(3x-m)-2(x+m)=5,

9x-3m-2x-2m=5,

5(祖+1)

??A—,

7

取正整數(shù)，

.+1為7的正整數(shù)倍數(shù).

又：加取最小值，

"7+1=7,

m-6,

：.m的值為6.

10.(2024七年級下.全國.專題練習)已知關(guān)于x的方程8-2丘=4左一(3—2x),回答下列問題:

⑴若/=0,求該方程的解；

(2)是否存在左值，使得該方程的解為x=2?請說明理由；

k7

⑶若1+1與I■互為倒數(shù)，求該方程的解；

(4)若該方程與方程-1-x=F-2x的解相同，求上的值.

【答案】(l)x=￡

(2)存在，見解析

⑶尤=1

【分析】本題主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程.

(I)將左=0代入方程，求出方程的解即可；

(2)將x=2代入方程，得到關(guān)于上的一元一次方程，求出方程的解即可；

(3)根據(jù)倒數(shù)的定義得到］g+jxg=l,求得上的值，再將％的值代入方程，求出方程的解即可;

(4)先求得-1-x=-—2x的解，再將方程的值代入原方程，求出方程的解即可.

【詳解】(1)解：將左=0代入方程，得8-0=0-(3-2x).

去括號，得8=-3+2x.

移項、合并同類項，得-2x=-lL

系數(shù)化為1,得x=］,

所以當左=0時，該方程的解為x=?；

(2)解：存在.理由如下：

將x=2代入方程，得8-2左x2=4Z—(3-2x2).

去括號，得8-4左=4女+1.

移項、合并同類項，得-8左=—7.

7

系數(shù)化為1,得k=q,

O

7

所以當人=時，該方程的解為％=2；

O

(3)解：根據(jù)題意，得［g+l>|=l,

3

解得人

將左=9代入方程，W8-2X|X=4X|-(3-2X).

去括號，得8-3x=6-3+2x.

移項、合并同類項，得-5元=-5.

系數(shù)化為1,得x=l；

1—Y

(4)解：解方程=N--2%，

去分母，得3（—1—x）=1—%—6x.

去括號,得-3-3x=l—7x.

移項，得-3x+7x=l+3.

合并同類項，得4x=4.

系數(shù)化為1,得x=l.

將兀=1代入方程8—2kx=4左一（3—2%）,

得8-2%=4左-（3-2）,

3

即-6左=-9,解得左二萬，

所以人的值為會3

壓軸滿分題三、二元一次方程組的錯節(jié)復(fù)原問題

11.（23-24七年級下.河南南陽?期末）已知[是一個被墨水污染的方程組.圓圓說：“這個方程組

fx=3[x=-2

的解是，，而我由于看錯了第二個方程中的X的系數(shù)，求出的解是，.”請你根據(jù)以上信息，把

[j=-i[y=i

方程組復(fù)原出來.

,,f2x+5y=1

【答案】°;I

[一2x-7y=1

【分析】設(shè)被墨水污染的三角形為。，圓點為6,正方形為c,利用方程組解的意義列出關(guān)于a,b,c的方

程組，解方程組即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)被墨水污染的三角形為m圓點為乩正方形為c,

f尤=3

???這個方程組的解是.「

[y=-i

.pa-b=l

,-[3c+7=l，

/.c=—2.

\x=—2

?.?看錯了第二個方程中的X的系數(shù)，求出的解是，，

.二一2a+Z?=1,

—2a+b=1

3a-b=l

解得:

2x+5y=\

???原方程組為

-2x—ly=1

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解以及解法，熟練掌握二元一次方程組的解的意義是解題的關(guān)

鍵.

*元+*,=2

12.（23-24七年級下?福建漳州?階段練習）一個被墨水污染的方程組如下:小剛回憶說：這個

Ix=3[x=-2

方程組的解是C，而我求出的解是c,經(jīng)檢查后發(fā)現(xiàn)，我的錯誤是由于看錯了第二個方程中的X

[丫=-2[y=2

的系數(shù)所致，請你根據(jù)小剛的回憶，把方程組復(fù)原出來.

4x+5y=2

【答案】

-2x-ly=S

ax+by=2

【分析】設(shè)方程組為r。，而兩個解都是第一個方程的解，將兩個解代入到第一個方程中得到關(guān)于〃、

[mx-/y=6

fx=3

b的一元一次方程組求出。和6,再將_代入第二方程得到根的值.

y=-2

ax+by=2

【詳解】解：設(shè)被滴上墨水的方程組為；。?

[mx—/y=6

fx=3fx=—2

由小剛所說，知■和.都是原方程組中第一個方程的解,

[y=-2[y=2

一（3a—2b=2

則有"解之，得,「

[-2a+2b=2[8=5

（x=3

又因方程組的解是…

所以，3m+14=8,

解得，m=—2.

4x+5y=2

故所求方程組為

一2x—7y=8

【點睛】本題考查二元一次方程組的解，關(guān)鍵是根據(jù)給出條件求出方程組中待定的系數(shù).

x+2y=10與2x—y=5,

13.（23-24七年級下.四川樂山?階段練習）（1）已知關(guān)于X，＞的方程組-6有相同的

ax+by=\

解，求方程組的解及a,b的值.

▲x+?y=1是一個被墨水污染的方程組?這個方程組的解與方程組x+2y=。1的解相同;因為

（2）已知-Lft

%——2

看錯了第二個方程中的x的系數(shù)■,求出的解是■,,請你根據(jù)以上信息，把方程組復(fù)原出來.

y=i

a=-22x+5y=l

【答案】（1）；⑵

b=3-2x-ly=l

【分析】本題考查二元一次方程組綜合，涉及同解二元一次方程組求參數(shù)問題，讀懂題意，由所給方程組

得到系數(shù)確定的二元一次方程組求解即可得到答案，熟練掌握同解方程問題的解法是解決問題的關(guān)鍵.

x+2y=10x4

（1）由題中兩個方程組同解，得到新的二元一次方程組c.<,解方程后，將.一。代入含參數(shù)的方

2x-y=5j=3

程，構(gòu)成參數(shù)方程組求解即可得到答案;

"+設(shè)被墨水污染的▲為加，?點為"，■為C，將方程組的解x=3

(2)解，代入同解方程組

x+3y=0y=T

m解得』2,再結(jié)合題意構(gòu)造新的二元一次方程組求解即可得到答案.

%+2y=10]2孫二5

【詳解】解：（1）；方程組-y=6有相同的解?

ax+by=\

x2二+2y=二510，解得x=44a+36=1u=-2

，聯(lián)立得方程組代入得詠3"6,解得

y=3b=3

%+2y=1①

(2)

%+3y=0②'

由②一①，得＞=-1.

把y=_l代入②，得尤+3x(_l)=0,解得X=3,

fx=3

???方程組的解為J

[y=-l

設(shè)被墨水污染的▲為加，?點為"，■為J

（x=3

「這個方程組的解是，，

[y=-l

3m—n=l

3c+7=l

x=-2

.一看錯了第二個方程中的X的系數(shù)，求出的解是

y=i

/.—2〃/+〃=1,

-2m+n=lm=2

,解得

3m—n=1n=5

2x+5y=l

原方程組為

-2x-ly=l

14.（23-24七年級下?四川眉山?期末）某校計劃購置籃球、鋼筆、筆記本作為期末獎品，采購員小慧在某文

體用品店購買完畢，回到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)發(fā)票被弄花了，有幾個數(shù)據(jù)變得不消楚，如圖所示：

貨物或應(yīng)稅勞務(wù)、服務(wù)名稱規(guī)格型號單位數(shù)量單位金額稅率稅額

籃球

個6100.00600.00

鋼筆

支

15.00

筆記本本5.00

合計46900.00

價稅合計（大寫）0玖佰元整（小寫)900.00

請根據(jù)發(fā)票中現(xiàn)有的信息，幫助小慧復(fù)原弄花的數(shù)據(jù)，即分別求出購置鋼筆、筆記本的數(shù)量及對應(yīng)的金額.

【答案】鋼筆的數(shù)量為10支，金額為150元，筆記本的數(shù)量為30本，金額為150元

【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)鋼筆購買了x支，筆記本購買了y本，根據(jù)數(shù)量總和為46,

金額綜合為900元，列出方程組進行求解即可.

【詳解】解：設(shè)鋼筆購買了尤支，筆記本購買了y本，

由題思一得,1I15x+5yy++66=0046=900,

x=10

解得

y=30

則10x15=150（元。30x5=150（元。

答：鋼筆的數(shù)量為10支，金額為150元，筆記本的數(shù)量為30本，金額為150元.

15.（2024?四川宜賓?模擬預(yù)測）某校舉行八年級學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)大賽，比賽共設(shè)四個項目：七巧板拼圖、趣

題巧解、數(shù)學(xué)應(yīng)用、魔方復(fù)原，每個項目得分按一定百分比折算后記入總分.下表為甲、乙、丙三位同學(xué)

（2）本次大賽組委會最后決定，總分為80分以上（包括80分）的學(xué)生獲一等獎，現(xiàn)獲悉乙、丙的總分分別

是70分、80分，甲的七巧板拼圖、魔方復(fù)原兩項得分折算后分數(shù)和是20分，問甲能否獲得這次比賽的一

等獎.

【答案】⑴79.8分

（2）甲能獲一等獎

【分析】G）根據(jù)求加權(quán)平均數(shù)的方法就可以直接求出甲的總分；

（2）設(shè)趣題巧解所占的百分比為x,數(shù)學(xué)應(yīng)用所占的百分比為y,由條件建立方程組求出其解就可以求出甲

的總分而得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：由題意，得甲的總分為

66xl0%+89x40%+86x20%+68x30%=79.8（分）

（2）解：設(shè)趣題巧解所占的百分比為x,數(shù)學(xué)應(yīng)用所占的百分比為y

20+60x+80y=70

由題意,

20+80^+90y=80

%=30%

解得

y=40%

甲的總分為

20+89x30%+86x40%=81.1（分）

,.?81.1>80

.??甲能獲一等獎.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，加權(quán)平均數(shù)的運用.在解答時建立方程組求出趣題巧解和數(shù)

學(xué)運用的百分比是解答本題的關(guān)鍵.

壓軸滿分題四、二元一次方程組的求參問題

\x<2a-\-l

16.（24-25七年級下?河南周口?階段練習）關(guān)于x的不等式組、，的解集中包含方程2x+3y=10的所

[x>a-1

有非負整數(shù)解的x的值，求。的取值范圍.

【答案】2<?<3

【分析】本題考查了二元一次方程的解，解一元一次不等式組，先求出二元一次方程的非負整數(shù)解，再根

據(jù)不等式的解集得出關(guān)于。的不等式組，求出不等式組的解集即可，熟練計算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：將2x+3y=10變形，可得，=又產(chǎn)，

:電評0

根據(jù)題意，3,解得

x>0

且氣三為整數(shù)，故X可取2,5,

[2a+1>5

根據(jù)題意可得一，

[a-1W2

解得2<aW3.

17.（23-24七年級下.吉林長春?期中）定義：若點尸（加,〃）滿足加=c,則稱點P為關(guān)于x,>的二元一

次方程依+勿=。的精優(yōu)點.

⑴若點A（3,p）為方程2龍-廣1的精優(yōu)點，則。=_；（直接寫出答案）

（2”，v為正整數(shù)，且點3（"+v,13i）為方程2x-y=〃-v的精優(yōu)點，求M,v的值；

⑶機，s,t,%為實數(shù)，點。帆,5）與點。（2m+匕。都是方程2》+3'=1的精優(yōu)點，且2S—=：儼+2"2）,

求上的值.

【答案】（1）5；

y=i

(3)±73.

【分析】本題考查了二元一次方程組的解，解三元一方程組，求二元一次方程組的整數(shù)解，掌握知識點的

應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

(1)由題意得2x3-p=l,然后解方程即可；

(2)由題意得2(〃+可-13+"=〃-丫，整理得2a+3V=13,根據(jù)"，v為正整數(shù)，即可求解；

2m+3s=

(3)由題意得：＜2(2根+左)+3/=1，然后得到關(guān)于左的方程;(1+2左)=：化2+2左-2),然后求解即可.

；儼+2%-2

【詳解】(1)由題意得：2x3-0=1,

解得：P=5,

故答案為：5；

(2)由題意得：2(w+V)—13+w=u—v,

2〃+2v—13+〃—it—v,

2w+3v=13,

VM,V為正整數(shù)，

(3)由題意得：

2m+3s=1①

<2(2m+%)+3/=1②

①x2得：4m+6s=2④，

④一②得：4m+6s-4m-2k-3t=1,

6s—3t—2k=1,

6s—3t=1+2k,

2s7=g(l+2左)⑤，

把⑤代入③得：1(1+2^)=|(^+2^-2),

解得k=±A/3,

?1-k的值為±^3.

mx+y—5?

18.(24-25七年級下?四川宜賓?階段練習)甲、乙兩人共同解方程組由于甲看錯了方程①

2x-〃y=13②

中的加，得到方程組的解為”;乙看錯了方程②中的〃，得到方程組的解為|\“-一=3

(1)求出加，〃的值;

(2)此方程組正確的解應(yīng)該是多少?

【答案】(1)租=4,〃=3

【分析】本題考查了二元一次方程組解的含義及其解法，理解二元一次方程組解的含義是解題的關(guān)鍵.

(1)把甲的解代入②中求出〃的值，把乙的解代入①中求出機的值即可；

(2)把冽與〃的值代入方程組求出解即可.

-7

X——

【詳解】(1)解：???甲看錯了方程①中的加，得到方程組的解為2,

7=-2

,——7

???把一2代入②得

，=—2

7+2〃=13,

解得：n=3,

叱\一x=3代入①得:

3m-7=5,

解得：m=4；

(2)把根=4,〃=3代入方程組得:

4元+y=5①

2尤-3y=13②

①x3+②得：

14%=28,

即x=2,

把尸2代入①得：

y=-3,

fx=2

則方程組的解為公

[y=-3

19.(24-25七年級下?四川眉山?階段練習)定義：關(guān)于x,y的二元一次方程以+勿=。(其中"丘c)中

的常數(shù)項C與未知數(shù)X系數(shù)?；Q，得到的方程叫“變更方程”，例如：◎+勿=C”變更方程”為5+勿=〃.

(1)方程3x+2y=4與它的“變更方程，，組成的方程組的解為」

(2)已知關(guān)于尤，y的二元一次方程依+勿=c的系數(shù)滿足a+b+c=O,且依+勿=。與它的“變更方程”組成的

方程組的解恰好是關(guān)于x,y的二元一次方程做+孫=。的一個解，求代數(shù)式(%+〃)相-。(〃+0+2025的值;

(3)已知整數(shù)相，w,f且f滿足6<f<22,并且。0加-。彳+2025)；="7+/是關(guān)于居y的二元一次方程

(l+〃)x+2025y=2"?+2的“變更方程”，求相的值.

x=-l

【答案】⑴7

y=-

[-2

(2)2025

(3)2

【分析】本題主要考查二元一次方程(組)的新定義，加減消元法，代入消元法解二元一次方程組的方法，

理解“變更方程”的定義，掌握解二元一次方程(組)的方法是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“變更方程”的定義可得4x+2y=3,聯(lián)立方程組求解即可；

(X=—1

(2)根據(jù)題意，先聯(lián)立方程組，結(jié)合a+b+c=0求出「代入二元一次方程儂+引=。得-根-"=0,

[y=-l

7〃+〃=-。，代入代數(shù)式化簡求值即可；

(3)根據(jù)題意可得sc,分別求出加=等，「=三箕，根據(jù)6</<22可得6<“<24,由此

|10M一/=2m+299

可求出1<m<3,結(jié)合整數(shù)％%r即可求解.

【詳解】⑴解：根據(jù)題意，方程3x+2y=4的“變更方程”方程為4x+2y=3,

3x+2y=4

.??聯(lián)立方程組為

4x+2y=3

x--\

解得，，7.

故答案為：<7;

y=—

V2

(2)解：根據(jù)題意，"+by=c'的”變更方程”為cx+勿=〃,

ax+by=c

聯(lián)立方程組得,

cx+by=a

x=-l

解得，a+cJ

y=-r

Va+b+c-0,則a+c=-b,

?_-bx=-1

..y=—=-i,即

by=-1'

(x=-l

是二元一次方程“式+孫=。的一個解,

/.—m—n=p,貝ijm+九=—/7,

+p)+2025

=-pm-p(n-m-n)-\-2G25

=—pm+pm+2025

=2025；

(3)解：(10jT)x+2025y=M+力是關(guān)于％V的二元一次方程(1+〃卜+2025y=2m+2的“變更方程”,

[m+t=l+〃①

[10m-t=2m+2②

〃+3

①+②得，11根=2相+〃+3,整理得，加=9,n=9m—3,

〃+3八、、/口〃+3<擊RTE,n6+8〃

把機=在一代入①得，一^―+，=1+九，整理得，t=--—

9：6<t<22,

,,6+8〃M

..6<--------<22,

9

解得，6<〃<24,

n=9m—3,

A6<9m-3<24,則1<機<3,

???加是整數(shù)，

m=2,

當機=2時，〃=15,1=14,符合題意，

?*.m=2.

20.(2024七年級下.全國.專題練習)按一定規(guī)律排列方程組和它的解的對應(yīng)關(guān)系如下:

卜+>=1{x+y=l[x+y=lv______

[x-y=l'[%-2y=4'[%-3y=9'...........

(x=lfx=2(x=3x=____

jy=0，jy=-Tjy=_2，y=...........

⑴依據(jù)方程組和它的解的變化規(guī)律，將第4個方程組和它的解直接填入橫線處.

⑵猜想第〃個方程組和它的解并驗證.

⑶若方程組,"的解是"求機的值，并判斷該方程組是否符合(1)中的規(guī)律.

[x—my=16=T

「x=4

【答案】⑴4

[y=-3

(2)見解析

(3)"7=?,它不符合(1)中的規(guī)律

【分析】本題考查規(guī)律探索，觀察方程組，探索出方程未知數(shù)系數(shù)、常數(shù)與解的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)已知的方程組，觀察方程未知數(shù)系數(shù)、常數(shù)與解的關(guān)系，確定第4個方程組，求解即可；

(2)通過觀察，知第〃個方程組及其解，將解代入方程組驗證；

(3)將解代入方程求得參數(shù)值，故可知本方程組不符合規(guī)律.

【詳解】(1)解：解方程組

x—4y=16

x=n

(2)解：猜想第〃個方程組為

y=l—n

驗證如下:

x=nx+V=1zx/、r

把尸j代入2得〃+(1-〃)=1,n—n^L—rij—n,

所以成立;

x=511

（3）解：將代入1_緲=16,解得加=一，

y=-44

x+y=1

即方程組為