2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)中正方形的存在性問題》專項檢測卷（有答案）

2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)中正方形的存在性問題》專項檢

測卷有答案

學(xué)校:姓名：班級：考號：

1.如圖，已知拋物線y=M+%+c的圖象與G軸交于點4(3,0)、8(1,0),

⑴求該拋物線的表達式;

⑵如圖①，在直線AC上方的拋物線上存在一點使得/A〃C=6,求

出用的坐標(biāo)；

(3)若點尸是該拋物線上位于直線AC下方的一動點，從點。沿拋物線

向點A運動(點尸與A不重合)，點。在拋物線對稱軸上，點。是平

面內(nèi)任意一點，當(dāng)B,P,D,。四點構(gòu)成的四邊形為正方形時，請直

接寫出。點的坐標(biāo).

2.如圖，拋物線"-9+8+c與X軸交于點A和點8(4,0),與y軸交于

點C(0,4),點E在拋物線上.

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

(2)點E在第一象限內(nèi)，過點E作瓦7/y軸，交8C于點尸，作小「軸，

交拋物線于點心點目在點E的左側(cè)，以線段所，硒為鄰邊作矩形防GH,

當(dāng)矩形EFG〃的周長為11時，求線段E"的長；

(3)點”在直線AC上，點N在平面內(nèi)，當(dāng)四邊形OENM是正方形時，請

直接寫出點N的坐標(biāo).

3.如圖1,拋物線y=/+bx+c交x軸于A(TO),以2,0)兩點,交y軸于

點C(0,-2),「是第四象限內(nèi)拋物線上的動點.

(1)求拋物線的解析式；

⑵過點p分別作X軸、y軸的垂線，垂足分別為，E,當(dāng)四邊形如OE

是正方形時，求點尸的坐標(biāo)；

⑶如圖2,連接AC,BC,過點尸作尸?！ˋC交線段8C于點。，連接PA,

PB,QA,記△叢。與小做面積分別為M,S],設(shè)5=5-52,求s的最大

值.

4.已知拋物線y=/+bx+c的對稱軸為直線/：彳=一1,且與y軸的交點坐

標(biāo)為(0,-1)，直線/與％軸相交于點C.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；

(2)如圖，點尸是該拋物線對稱軸右側(cè)圖象上一動點，過點尸作尸AU軸,

PBLI,垂足分別為A、B.設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為根.

①當(dāng)四邊形WC為正方形時，求加的值；

②根據(jù)①的結(jié)果，直接寫出.9<如時，冽的取值范圍.

5.定義：關(guān)于X軸對稱且對稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對稱拋

物線例如：乂=5-1)2-2的“同軸對稱拋物線”為必=-(尤-1)2+2.

(1)拋物線必=(X--2的頂點坐標(biāo)為其“同軸對稱拋物線

%=-(尤T)?+2的頂點坐標(biāo)為」

(2)求拋物線y=-2d+4x+3的“同軸對稱拋物線”的解析式；

(3)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，3是拋物線心>=加-4以+1(“>0)上一點,

點B的橫坐標(biāo)為1,過點3作x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對稱拋物

線”于點C,分別作點3,C關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點9，C，.依次

連接點8，B1,C,C.當(dāng)四邊形BECC為正方形時，求。的值.

6.綜合與探究

如圖1,欣欣利用幾何畫板繪制了拋物線入，拋物線L的頂點A的坐標(biāo)

(1)求拋物線L的解析式.

⑵如圖2,欣欣繼續(xù)利用幾何畫板繪制了一條平行于x軸的直線/,當(dāng)

直線/上所有點的縱坐標(biāo)為8時，在/上取“、N兩點(點”在點N的

左側(cè))，以MN為邊在MN的下方利用幾何畫板軟件構(gòu)造正方形MNPQ,

且點P、。恰好在拋物線工上，求點。的坐標(biāo).

(3)如圖3,欣欣繼續(xù)利用幾何畫板繪制了拋物線2/,拋物線V的頂點B

的坐標(biāo)為(10,0)，向上平移(2)中的直線/，使得直線/與兩條拋物線

從左向右依次交于C,D,E,尸四點，若點C(l,16),CD=7,直接寫出

W的長.

7.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線廣加+法+4經(jīng)過點A(-2,0),

8(4,0),。為拋物線的頂點.

(2)如圖2,連接BC,在線段08上有一動點尸(不與點O,5重合)，

過點尸作PEA軸，交直線3C于點￡

①當(dāng)直線PE經(jīng)過點。時，求班的長；

②以尸E為邊在形的左側(cè)作正方形尸砂G,當(dāng)點尸在拋物線上時，求點

P的坐標(biāo).

8.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與％軸交于點A,5(點A

在點5的左側(cè))，與y軸交于點C且滿足3O=OC=4OA=4.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)如圖2,直線＞=-2尤+6與拋物線交于點M,N,設(shè)點。是線段的

中I占八、、

①連接OD,CD,當(dāng)OD+CD取最小值時，求8的值；

②在坐標(biāo)平面內(nèi)，以線段"N為邊向左側(cè)作正方形MNQP,當(dāng)正方形

MNQP有三個頂點在拋物線上時，求正方形MNQP的面積.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點42,4)在拋物線丫=加上，過點A作

y軸的垂線，交拋物線于另一點2,點C,。在線段AB上，分別過點C,

。作x軸的垂線，交拋物線于E,尸兩點.

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)四邊形CDH?為正方形時，求線段。的長.

10.已知拋物線y=^+，+c的圖象經(jīng)過點｛TO),3(0,8).其對稱軸為

直線x=T,與x軸的另一交點為C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)若點/在線段AB上，過點M作MNA軸于點N,以為對角線作

正方形MPNQ(點尸在右側(cè))，當(dāng)點尸在拋物線上時，求點”的坐標(biāo).

11.如圖1,已知拋物線y=—/+依與％軸負(fù)半軸交于點斗，點5在y

軸正半軸上，連接AB,交拋物線于點

(1)求此拋物線的解析式；

⑵求點A的坐標(biāo)；

⑶如圖2,過點。作8A軸于點。，點尸為線段AC上方拋物線上的

一個動點，連接。乙交CD于點E,過點尸作PGA軸于點G,交線段

AC于點尸，設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為根.

①求線段帆的長(用含機的代數(shù)式表示)；

②已知點M■是％軸上一點，N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，當(dāng)以點E、F、

N為頂點的四邊形是正方形時，直接寫出此時機的值.

12.如圖①，已知拋物線＞=—/+依與x軸負(fù)半軸交于點A,點3在y軸

(1)求此拋物線的解析式；

⑵求點A的坐標(biāo)；

⑶如圖②，過點C作CDA軸于點Q,點尸為線段AC上方拋物線上的一

個動點，連接OP,交CD于點E,過點尸作尸軸于點G,交線段AC于

點、F,設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為加.

①求線段標(biāo)的長(用含機的代數(shù)式表示)；

②已知點/是x軸上一點，N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，當(dāng)以點E、F、M、N為

頂點的四邊形是正方形時，直接寫出此時優(yōu)的值.

13.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=-/+法+3的對稱軸是直線》=1,

點尸、Q均在這條拋物線上，點尸的橫坐標(biāo)為加，點。的橫坐標(biāo)為2-2祖，

點尸，。之間的部分記為圖象G.以原點為中心，|2制為邊長構(gòu)造正方

形A5CD,其中邊平行于x軸，邊BC平行于V軸.

(1)。=；

(2)當(dāng)點尸落在直線y=x上時，求出此時正方形ABCD的邊長；

(3)當(dāng)正方形如CD的面積為9時，試通過計算判斷點Q是否在正方形

的內(nèi)部；

(4)當(dāng)圖象G在正方形內(nèi)部(不包括邊界)的圖象)隨x的增大而增大

時，直接寫出機的取值范圍.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A,3分別在％軸，y軸的正半

軸上，OA=OB=3.經(jīng)過點0,A的拋物線￡：丫=62+及交A5于點C,

點。的橫坐標(biāo)為1.點尸在線段A5上，當(dāng)點尸與點。不重合時，過

點尸作P?！▂軸，與拋物線交于點。以尸。為邊向右側(cè)作矩形PQMN,

且PN=1.設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為根時，解答下列問題.

(1)求此拋物線L的解析式；

⑵當(dāng)拋物線的頂點落在邊PN上時，求機的值；

(3)矩形PQMN為正方形時，直接寫出機的值.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)>=加+法-3的圖象與X軸

交于A(-1,O),3兩點，頂點坐標(biāo)為(1,-4).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

⑵直線四與”相交于點E,當(dāng)。為拋物線上第四象限內(nèi)一點且黑」

EJOJ

時，求點。的坐標(biāo)；

(3)G為平面內(nèi)一點，試判斷坐標(biāo)軸上是否存在一點使以B,C,M,

G為頂點的四邊形為正方形？若存在，請直接寫出點G的坐標(biāo)；若不

存在，請說明理由.

參考答案

1.（l）y=x2-4x+3

（2）加（4,3）或〃（-1,8）

⑶,事，存或或。（3,o）.

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式即可；

（2）直線AC的表達式為y=〃a+〃，代入A、。求出表達式，過點加

作軸，交AC于點M設(shè)4a+3）,則N（a,-a+3）,結(jié)合

S”=S.CMN-Si卷MN.OA,再根據(jù)=6即可求出答案；

（3）求解對稱軸為直線彳=2,頂點坐標(biāo)為（2,-1）,如圖，過尸作PGL對

稱軸于G,作P尸Lx軸于尸，過Q作QJ'x軸于J；ZPFB=ZPGD=90°=ZFPG,

設(shè)P（X,X2—4X+3）,D（2,t）,證明AOPG二△可叨，可得DG=BF,PG=PF,再

建立方程求解即可；如圖，過尸作尸尸人軸于尸，過。作。，無軸于J;

過尸作PGL對稱軸于G,同理可得：APBF注APDG,可得PF=PG,BF=DG,

如圖，當(dāng)尸為拋物線的頂點GT）,。，A重合時，記對稱軸與x軸的交點

為H,此時。（2,1）,0（3,0）,證明四邊形尸破。是正方形，從而可得答案.

【詳解】（1）解：：A（3,0）,OA=OC,

.?.C（0,3）,

將A、B、。代入股加+bx+c,得

9〃+38+c=0

<a+b+c=0,

c=3

a=l

解得"=一4,

c=3

，拋物線的函數(shù)表達式為y=d-4x+3；

(2)解：設(shè)直線AC的表達式為廣的+〃,

八、、[3m+n=0

代入A、。得[,

[〃=3

解得仁「,

y——x+3,

過點"作"N〃"亂交AC于點N,

設(shè)"(a,/_而+3),貝(JN(a,_〃+3),

MN=a2—3a,

*e*SAMC=SKMN-S.N=5,MN.OA,

即g.(a?_3〃).3=6,

解得。=4或〃=-1,

.?."(4,3)或〃(-1,8)；

(3)解：???拋物線為產(chǎn)/_以+3,

J對稱軸為直線％=2,頂點坐標(biāo)為(2,-1),

如圖，過P作PGL對稱軸于G,作PZFx軸于。過。作軸于J；

/.ZPFB=ZPGD=90°=ZFPG,

設(shè)尸(x,%2—4%+3),0(2/),

;正方形「5QQ,

:.ZBPD=90。，PB=PD,

/.NBPF=90°-ZBPG=ZGPD,

??.ADPG^BPF,

/.DG=BF,PG=PF,

fl-x=^-x2+4x-3

[x2-4x+3=2-x

3—y/5_3+不

x=-------

解得：2卡丁（舍去）,

t=A/5t=-A/5

.#?PF=x2-4x+3=石+1,BF=2-x=―—-,

22

同理可得：BJ=PF=H，QJ=BF=^L

?cr_i,^^+1_V^+3

??kJJ—Id—,

22

?n(非+3A/5—1

；

如圖，過尸作P/Fx軸于尸，過。作。，無軸于J;過P作PG,對稱軸于G,

同理可得：*BFm"DG,

/.PF=PG,BF=DG,

—+4x—3=x—2

x-l=x2-4x+3-t

3-753+75

%x=-------

解得：（舍去）,2

t=#it=—A/5

’3+有」6

P

2'2

l乙乙）

同理可得：PF=BJ=H，A/5+1

QJ=BF=X-l=

2

22

"3-5/5i+5

2，T~

如圖，當(dāng)尸為拋物線的頂點（2,-1）,。，A重合時，記對稱軸與X軸的交點

為H，

此時。（2,1）,Q（3,0）,

:.HB=HQ=HP=HD,且。尸，AB,

此時四邊形P3D。是正方形，

2(3,0),

綜上：。［十，存］或-或Q(3,。).

【點睛】本題考查的是待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)

與面積問題，二次函數(shù)與特殊四邊形問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，

作出合適的輔助線，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵.

2.(l)y=--x2+x+4

(2)4

(3)點N坐標(biāo)卜下,"力或Hl［或或(同

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求解；

(2)先求得直線2C的解析式為y=r+4,設(shè)小事+X+4),則

+4),利用對稱性質(zhì)求得,2-占-吳+武力，推出G8=EF=_gf+2x,

GF=EH=2x-2,利用矩形周長公式列一元二次方程計算即可求解；

（3）先求得直線AC的解析式為y=2x+4,分別過點M、E作y軸的垂線,

垂足分別為尸、Q,證明推出PE=OQ,PO=M2,設(shè)

E^m,-^m2+m+4^,則M[--根-4,根J,由點M在直線AC上，列式計算，

可求得優(yōu)的值，利用平移的性質(zhì)即可求解.當(dāng)加沿著點。逆時針旋轉(zhuǎn)

90。得到OE,設(shè)M（a,6）,則點磯6,-a）,然后表示出M、E的坐標(biāo)，再代

入一次函數(shù)即可解答.

【詳解】（1）解：?.?拋物線y=云+C經(jīng)過點8（4,0）和C（0,4）,

12

.——x4+4Z?+c=0

??12

c=4

解得仁,

???拋物線的解析式為廣-：/+x+4；

（2）解：?.?點*4,0）和C（0,4）,

設(shè)直線BC的解析式為產(chǎn)H+4,則0=4左+4,

解得人=-1,

直線BC的解析式為y=r+4,

設(shè)E（x，-g尤?+尤+4,且0＜了＜4,則p（x,-x+4）,

G8=￡F=_；X2+X+4_（-X+4）=_]+2X,

_1=1

V拋物線的對稱軸為直線"一一U]，

.?.《2一天一產(chǎn)+則，

/.GF^EH^x-{2-x）^2x-2,

依題意得2[-]j2x+2x-2）=11,

解得x=5＞4（舍去）或x=3,

EH=2x—2=2x3—2=4；

（3）解：令y=。，則-#+x+4=o,

解得X=-2或x=4,

A（-2,0）,

設(shè)直線AC的解析式為尸px+4（pw0）,將直―2,0）,C（0,4）代入,-2p+4=0

解得,0=2,

直線AC的解析式為y=2x+4,

,/四邊形。硒弦是正方形，

.?.OE=OM,NEOM=90。，分別過點"、E作》軸的垂線，垂足分別為尸、。，

如圖，

/.ZOPM=ZEQO=90°,ZOMP=90°-ZMOP=ZEOQ

/.△OMP^AEOe(AAS),

PM=OQ,PO=EQ

設(shè)E(根,一:根之+根+41,

當(dāng)點E在y軸左側(cè)，1軸下方時，

貝^^^二石^二一根,PM=0Q=m2-m-4,

...+m+4,-m^,

丁點M在直線AC上，

「?-m=2^-^-m2+m+4j+4.

解得*三產(chǎn)或加=1±產(chǎn)（舍去），

當(dāng)心三產(chǎn)時，〃］匚二巨,容21E］心，匚產(chǎn)卜

點。向左平移匕巨個單位，再向下平移容1個單位，得到點加，

則點E向左平移匕且個單位，再向下平移駕三個單位，得到點N,

當(dāng)點E在y軸左側(cè)，X軸上方時，如圖，分別過點"、E作y軸的垂線,

垂足分別為P、。,

141

：.M2

2

???點M在直線AC上,

2—m2-m-4|+4,

.??根=2J'

解得：叫=4（舍去），㈣=T,

M-即,

73

9、；

同理可得：N22J

當(dāng)點E在y軸右側(cè)，x軸下方時，作EGA軸，軸，如圖:

設(shè)M（僅2加+4）,則點￡（—2m—4,間，貝點N（Tn_4,3m+4）,

解訴尋機=3誓，

4

?-11-扃-11+后,冬+、

??叫=------,m2=-------------（舌舌）,

'-17-3歷

???點N的坐標(biāo)為4~

當(dāng)點E在y軸右側(cè)，x軸上方時，作EGA軸，如圖:

貝！］OG==7找，EG=OH=+in+4,

Afm2-m-4,,

???點M在直線AC上,

m=2—m2-m-4|+4,

2J

解得：叫=4,牡=-1（舍去）,

/.￡（4,0）,M（0,4）,

???點N的坐標(biāo)為（4,4）；

綜上，點N坐標(biāo)卜手,，）或卜：，|］或［勺叵，*^或

（4,4）.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與幾何圖形的綜合，掌握待定系

數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，正方形的性

質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，分類

討論思想等知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵.

3.（l）y=x2-x-2

⑵（也/

（3）1

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,

正方形的性質(zhì)，利用二次函數(shù)求最值等，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性

質(zhì)等相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵；

（1）把A（T，。），3（2,0）,C（0,-2）代入y=/+H+c,即可求得答案；

（2）設(shè)產(chǎn)--2）,根據(jù)四邊形如OE是正方形，可得如=PE,即

公-印--2）,解方程即可得出答案；

（3運用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，由PQ//AC,則=SAPCe,

可得s==SJBC,設(shè)P?,療-"Z-2）,則//（加，加-2）,可得

PH^-m2+2m,再由S二=-（加-以+1,再運用二次函數(shù)的最值求得

答案；

【詳解】（1）解:把A（T。），2（2,0）,C（0,-2）代入y=o?+法+c得,

a-b+c=0

「.<4a+2Z?+c=0,

c=-2

解得：。=1,b=-l,c=-2,

拋物線的解析式為>=，7-2；

(2)解：設(shè)可府一一2),

,??四邊形PDOE是正方形，

:.PD=PE,

即f=-(/--2),

解得：/=±虛，

r>0,

t=A/2,

，當(dāng)四邊形PDOE是正方形時，點尸的坐標(biāo)(72,-72)；

(3)解：如圖，連接CP,過點尸作尸〃〃y軸交BC于點H.

設(shè)直線BC的解析式為y=H+d.

把3(2,。)，C(。,-2)代入產(chǎn)區(qū)+d,得

Iu=-Z

解得：國，

二直線BC的解析式為y=尤-2,

???PQ//AC,

…-?4PCQ,

…S=S]+S?=SAPCQ+SAPBQ=SAPBC9

設(shè)-m-2^,則,

/.PH=m—2—{n^—m—2^=—m2+2m,

...S=；OBPH=1x2(-7772+2m)=-nr+2m=-(〃?一+1,

由題意，得。＜m＜2,

當(dāng)相=1時，S達到最大值為1；

4.(l)j=r+2x-l；

(2)①加的值為1或0;②尸3＜PA時，機的取值范圍為-1＜加＜0或心1.

【分析】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的

性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識點，解決本題

的關(guān)鍵是結(jié)合二次函數(shù)的圖象得到機的取值范圍.

(I)根據(jù)拋物線對稱軸求出6的值，再根據(jù)拋物線與y軸的交點求出

c的值，從而求出二次函數(shù)解析式；

(2)①點尸是該拋物線對稱軸右側(cè)圖象上一動點，尸AU軸，PBLI,

點尸的橫坐標(biāo)為機，可得機＞-1,ACHw-(-l)l=?+l,PA=\nf+2m-\\.根據(jù)正

方形的性質(zhì)列出方程求解即可；

②根據(jù)①可知得當(dāng)%=1或%=。時，PB=PA,然后結(jié)合拋物線即可解決

問題.

【詳解】(1)解：：拋物線＞=/+版+。的對稱軸為直線=

:.b=2,

拋物線y=r+"+c與y軸的交點坐標(biāo)為(O,T),

...。=—1,

二拋物線的解析式為y=x2+2x-l；

(2)解：①?.?點尸是該拋物線對稱軸右側(cè)圖象上一動點，尸AM軸，PB11,

點尸的橫坐標(biāo)為加，

AC=|m-(-1)|=m+1?PA=|+2m-11,

當(dāng)四邊形WC為正方形時，PA=AC,

.[m2+2m-11=m+1,

/.m2+m—2=0,

解得叫=1,%=-2(不符合題意，舍去)，

或者相2+3相=0,

解得/=。，砥=-3(不符合題意，舍去)，

的值為1或0;

②根據(jù)①可知：當(dāng)〃z=l或〃z=0時，PB=PA,

二當(dāng)0<〃]<1時，PB>PA,

vm>—1,

???當(dāng)-lvm<?；驎r，PB<PA,

二當(dāng)PfivPA時，加的取值范圍為-1<加<0或%>1.

5.⑴。，-2),(1,2)

(2)y=2(x-1)、5

2

⑶

【分析】此題借助二次函數(shù)考查正方形的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)頂點式

找頂點坐標(biāo)，及新定義“同軸對稱拋物線”.

(1)根據(jù)頂點式直接寫出頂點坐標(biāo)；

(2)根據(jù)頂點式y(tǒng)=的頂點坐標(biāo)為俏，女)；先化成頂點式，再

求“同軸對稱拋物線”的解析式；

(3)寫出點5的坐標(biāo)，再由對稱軸求出點夕，然后結(jié)合正方形的性

質(zhì)列出方程求

【詳解】(1)解：由y=(x-l)2-2知頂點坐標(biāo)為2),由y=-(x-iy+2知

頂點坐標(biāo)為(L2),

故答案為：(1，-2),(1,2)

(2)解：J=-2%2+4X+3=-2(X-1)2+5,

???頂點為。，5),

關(guān)于％軸的對稱點為。,-5),

，拋物線丫=-2/+41+3的“同軸對稱拋物線”的解析式為：y=2(x-l)2一5；

(3)解：當(dāng)尤=1時，y=l-3a,

/.C(1,3G-1),

BC=|l-3a-(3<7-l)|=|2-6a|,

???拋物線L的對稱軸為直線戶-4=2,

2a

點？(3,1-3a),

:.BB'=3-'=2,

;四邊形班'C'C是正方形，

/.BC=BB',即|2-64=2,

解得：a=0（舍）或。=|.

.2

??〃一§?

6.⑴拋物線L的解析式為丫=/-1。尤+25

⑵。（3,4）

⑶CF=n

【分析】本題是二次函數(shù)的綜合，涉及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正方

形的性質(zhì)，一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì).

（1）設(shè)拋物線工的解析式為，=。（》-5）2,利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）由題意可知,直線/為丁=8,設(shè)＞（八8）,N（&8）,則Q（m,（加-5力,

尸（凡（"5）］,再根據(jù)正方形的性質(zhì)列方程組，可求出加、",即可求解；

（3）根據(jù)題意可求出。格,16）,進而求出拋物線〃的解析式為V=4（x-10）2,

令y=16,求出廠（12,16）,即可求解.

【詳解】（1）解：：拋物線工的頂點A的坐標(biāo)為（5,0）,

二設(shè)拋物線L的解析式為y=。（》-5）2,

將點（2,9）代入得：“（2-5）2=9,

解得：。=1，

二拋物線L的解析式為y=（X-5）2=尤2-lOx+25；

（2）???直線/上所有點的縱坐標(biāo)為8,

???直線/為y=8,

二.設(shè),N（〃,8）,

Q（加,（加一5『）,P（〃，（

四邊形MNPQ是正方形,

,MQ=PQ=PN,

由①得：（〃-5）2=（帆-5）2

當(dāng)〃-5=機-5時，m=n（不合題意，舍去），

當(dāng)九-5=5-加時，m=10-n,代入②式得：n-（10-n）=8-（n-5）2,

解得：〃=7或幾=1（舍去），

m=10-n=3,

■.2（3,4）；

（3）???點C（l,16）,CD=1,C,。都在直線/上，且直線/平行于x軸,

0（8,16）,

拋物線L1的頂點B的坐標(biāo)為（10,0）,

二設(shè)拋物線〃的解析式為y=Mx-io）2,

將0（8,16）代入得:將-IO）?=16,

解得：k=4,

二拋物線L'的解析式為y=4（尤-IO）,,

當(dāng)y=16時，16=4（x-10）2,

解得：%=12,%=8,

/12,16）,

Vc（l,16）,

CF=12-1=11.

1

a=—

7.（1）2

b=l

⑵①I；②5]

【分析】（i）直接利用待定系數(shù)法求解，即可解題；

（2）①根據(jù)拋物線得到c、D的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式為尸區(qū)+4,

利用待定系數(shù)法求出直線8C的解析式，進而推出點E的坐標(biāo)，即可解

題；

②設(shè)點尸的坐標(biāo)為。。），進而得到點E的坐標(biāo)為（九-加+4）,結(jié)合正方

形性質(zhì)得到點尸的坐標(biāo)為（24,飛+4）,根據(jù)點尸在拋物線上，建立等

式求解，即可解題.

【詳解】（1）解：：拋物線k加+法+4經(jīng)過點A（-2,0）,8（4,0）,

j4a-2b+4=0

“[16。+46+4=0'

解得"一，；

b=\

（2）解：①由（1）知，拋物線解析式為丁=-12+彳+4,

■-C（0,4）,U

設(shè)直線BC的解析式為y=區(qū)+4,

4A+4=0,

解得左=T，

二直線BC的解析式為y=-x+4,

軸，

當(dāng)直線尸E經(jīng)過點。時，

有—=1,則％=T+4=3,

②設(shè)點P的坐標(biāo)為（乙。），

軸，

點E的坐標(biāo)為（m,-m+4）,

PE=—m+4,

??,在PE的左側(cè)作正方形尸防G,且點尸在拋物線上，

/.EF=—m+4,

點F的坐標(biāo)為（2m-4,-加+4）,

12

——（2m—4）+（2m—4）+4=—m+4,

整理得2m2-11m+12=0,

解得M2=|或加=4,

:動點尸不與點O,5重合，

3

..m--,

，點尸的坐標(biāo)為g，。］.

【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形，待定

系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，正方形性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何綜合，解題

的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識.

8.⑴y=-x'+3尤+4

（2）①登②蔡或與

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可;

（2）①聯(lián)立兩方程得到--5x+6-4=0,然后設(shè)“[,-/+3S+4）,

囪，,-入土+4）,得到s+f=5,然后求得點。的橫坐標(biāo)，將點0關(guān)于直

線x=]乍對稱點。'（5，。），連接C。'交直線x=g于點M連接OD.當(dāng)點。

與以重合時，8+8的值最小，即為C?！拈L，然后求出直線C。'，即

可求8值；

②分為點尸在拋物線上和點。在拋物線上兩種情況，利用全等三角

形，結(jié)合一次函數(shù)的解析式即可解題.

【詳解】（1）vBO=OC=4OA=4,

：.A（-l,0）,8（4,0）,C（0,4）.

設(shè)拋物線的表達式為＞=4）.將（0,4）代入,得a=T.

拋物線的函數(shù)表達式為y=-（x+1e-4）,即＞=_/+3x+4.

（2）①聯(lián)立+4.整理，得f_5x+6-4=0.

[y=-2x+b

Af■卜,-s?+3s+4）,N卜，—廣+3f+4）.

由根與系數(shù)的關(guān)系，得s+"5.

丁點。是跖V的中點，

.,.點D的橫坐標(biāo)為號=|.將x=|■代入y=-尤2+3X+4,得y4.

???點￡）在直線x=g上運動，且為〈日....

如圖1,將點。關(guān)于直線x=g作對稱點。（5,0）,連接CO,交直線X=g于

點區(qū)連接當(dāng)點。與以重合時，OD+CD的值最小，即為CO'的長.

設(shè)直線C。'的函數(shù)表達式為尸區(qū)+c,

將。（。,4）,。（5,。）代入，得of〃+「?解得一5.

IU—十C[。=4.

???直線C。'的函數(shù)表達式為y=-x+4,

令工=|,得y=2.

將點?！豆ご難=-2x+b,得6=7.

圖1

②（i）當(dāng)點尸在拋物線上時，如圖2,過點M作直線/平行于％軸,

過點P,N分別作直線/的垂線，垂足分別是G,H.

設(shè)點M,N,P的橫坐標(biāo)分別為m,n,p.

由①知，m+n=5,

:?n=5-m.

/.MH=n—m=5—2m.

同理可得加+0=|",即

GM=m-p=2m-g.

???MPQN是正方形，

ZPGM=APMN=ZNHM=90°,MP=MN,

ZGPM+ZGMP=ZNMH+Z.GMP=90°,

:?/GPM=/NMH,

：.△PGA修AMFW(AAS),

/.PG=MH=5-2m,GM=HN=2m--

2

,/直線MN的函數(shù)表達式為y=-2尤+6,

tanNNMH=2.

:.NH=2MH,gp277i-|=2（5-2m）.

?_25

?e12

2555c2555

/.MH=5-2m=5-2x—=-NH=2m-—=2x---

12621223

2

55\125

??,5正方物做?=皿2=八包2+八?2

36

(ii)當(dāng)點。在拋物線上時，如圖3,過點N作直線/平行于y軸,

過點Q,“分別作直線/的垂線，垂足分別是G,H.

設(shè)點N,Q的橫坐標(biāo)分別為m,n,q.

由①知,“5,…=|

/.m=5-n,

?\MH=n-m=2n-5,QG=n-q=2n-^t

由（i）得AQGN沿ANHM（AAS）,

，NG=MH=2n-5,QG=NH=2n-^.

,直線MN的函數(shù)表達式為y=-2x+6,tanZNMH=2,：.NH=2MH,即

2〃—g=2（2〃—5）.〃=，

MH=2n-5=2x—-5=-,NH=2n一=2x-——=5

42242

??.5正方形加夕=92=加“2+92=(|]+5?=手.

綜上所述，正方形MNQP有三個頂點在拋物線上時，正方形MNQ尸的面

⑵

為

或

積

1254一

36

n除"

\

d'/I/

N

忸.

Ix

圖3

【點睛】本題考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法，全

等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.⑴y=/

(2)2A/5-2

【分析】本題考查二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)及正方形邊長相等等知識

點，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

(1)將點42,4)代入拋物線中求出解析式為y=V；

(2)設(shè)CD=CE=2x,進而求得E點坐標(biāo)為(％4-2x),代入y=f中即可

求解.

【詳解】(1)將點解2,4)代入拋物線y=加中,得4=4a

解得。=1，

，拋物線解析式為、=心

(2)設(shè)CD、跖分別與y軸交于點M和點N,

當(dāng)四邊形⑦火為正方形時，設(shè)CD=CE=2x,則CM=x=NE,

NO=MO-MN=4-2x,

，石點坐標(biāo)為(％4-2*代入拋物線y=f中，

得到：4-2x=x2,

解得XI=T+6'，々=-1-行(負(fù)值舍去)，

CD=2x=2非-2.

10.(l)y=-x2-2x+8

【分析】(1)先將點B代入解析式得到。，再將點A代入解析式，結(jié)合

對稱軸公式可得到。，。，即可得到答案；

(2)先利用待定系數(shù)法求得直線的解析式了=2尤+8,設(shè)M?2+8),

則點N?,0),得到MN=2r+8,連接尸Q,設(shè)P。與MN交于點E,根據(jù)正方

形的性質(zhì)推出雙。+4),從而得到2⑵+4J+4),代入拋物線解析式即可

到答案.

【詳解】(1)解：???拋物線>=?+灰+。的圖象經(jīng)過點供。，8)

c=8

??,對稱軸為直線x=T,且經(jīng)過點A(T。)

------b---——1

<2a

16a-4b+8=0

解得一:::：

二拋物線的解析式為y=*-2x+8.

(2)解：設(shè)直線的解析式為卜=丘+〃,

???A(TO),8(0,8)

J-4k+n=0

?[〃=8

解得:二

二直線AB的解析式為y=2x+8

設(shè)M?2+8),

?.?MVJ_x軸于點N

.?.點N坐標(biāo)為(r,0)

:.MN=2t+8

連接P。，設(shè)尸。與"N交于點E,如圖

yjk

四邊形V/WQ是正方形

PQ±MN,NE=PE,NE=-MN=t+4

2

尸?！▁軸,E（"+4）

:.NE=PE="4,

,/PE=xp-xE=Xp-t

.?.點尸的橫坐標(biāo)為r+r+4=2r+4

P（2r+4,%+4）

??,點尸在拋物線上

.?.-（2f+4）2-2（2r+4）+8=f+4

解得：4=T（舍去），4=-：

當(dāng),=［時，2f+8=2x,T+8=］

，點M的坐標(biāo)為（Hj

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，正方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函

數(shù)解析式，解二元一次方程，解一元二次方程，熟練掌握以上知識點

是解題的關(guān)鍵.

11.⑴y=-3x

⑵A（-6,0）

⑶①陜=*+3；②當(dāng)點E、F、M、N為頂點的四邊形是正方形時，m=-|

或相一］

【分析】（1）運用待定系數(shù)法把把點代入拋物線>=-32+"即

可求解；

（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，令廣。時，解一元二次方程即可；

（3）根據(jù)正方形的判定和性質(zhì)，圖形結(jié)合，分類討論：當(dāng)所是正方

形的邊；當(dāng)跖是正方形的對角線；由此列式求解即可.

【詳解】（1）解：把點<T，||代入拋物線y+"得，-夫（-1）2-。=:，

解得，a=-3,

???拋物線的解析式為：尸-12-3打

(2)解：在y=-g/-3x,當(dāng)y=o時，-1X2-3X=0,

解得占=-6,尤2=。（不符合題意，舍去）,

/.A(-6,0)；

(3)解：①?二CD。軸，PGC軸,

I.NCDO=NPGO=90。,

NEOD=NPOG,

：.△EOrs△尸OG,

.DEOP

?*PG-OGJ

??點P是拋物線y=-；爐-3x的一點，且橫坐標(biāo)為〃j

m,——m-3m,

OG=-m,PG=——m-3m,

2

「過點作C?！踺S于點D,

\OD=1,

DE_1

?——1m2-3om—m,

2

DE=-cm+3-，

②設(shè)直線AC的解析式為，=履+人（左N。）,

-6k+b=0

（），

把4-6,0,C.l3代入y=Ax+b（左。0）中得＜

-k+b=-

解得，2,

b=3

丁點F在直線AC的圖象上，且點尸的橫坐標(biāo)為?

由①得，。石=1+3,點。(-1,0),

設(shè)Af億0),N(n,s),

■:點E,歹的縱坐標(biāo)相同，

E尸||x軸，EF=-l-m,

當(dāng)所為正方形的邊時，EF=FG=GD=DE,則點河與點G重合，點N與

點。重合，或是點河與點。重合，點N與點G重合，如圖所示，

解得，根=-|；

當(dāng)所為正方形的對角線時，連接"N,交EF于點Q,

四邊形也V是正方形,

/.MN=EF,MNLEF,MQ=NQ=EQ=FQ=^EF,

???四邊形皿汨2是矩形，貝ljMQ=ED=g斯，

解得，根=彳；

綜上所述，當(dāng)點區(qū)F、M、N為頂點的四邊形是正方形時，根=-|或

7

m=~2,

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法

求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，正

方形的判定和性質(zhì)，圖形結(jié)合，分類討論思想等知識的綜合運用是解

題的關(guān)鍵.

12.(l)y=-^2-3x

⑵A(-6,0)

⑶①陜=*+3；②當(dāng)點E、F、M、N為頂點的四邊形是正方形時，m=-|

或相一］

【分析】(1)運用待定系數(shù)法把把點代入拋物線>=-32+"即

可求解；

(2)根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，令廣。時，解一元二次方程即可；

(3)根據(jù)正方形的判定和性質(zhì)，圖形結(jié)合，分類討論：當(dāng)所是正方

形的邊；當(dāng)跖是正方形的對角線；由此列式求解即可.

【詳解】(1)解：把點<T，||代入拋物線y+"得，-夫(-1)2-。=:，

解得，a=-3,

???拋物線的解析式為：尸-12-3打

(2)解：已知拋物線的解析式為：y=-^*2-*63x,

.,.令y=o時，一；/一3尤=0,

解得，%=一6,x2=0(不符合題意，舍去)，

A(-6,0)；

(3)解：①?.?CDU軸，PGU軸，

NCDO=NPGO=9Q。,

"：ZEOD=ZPOG,

...AEODSNOG,

?DEOP

**PG-OG

??.設(shè)點尸是拋物線y-3》的一點，且橫坐標(biāo)為?

?J122)

..P\m,——m-3m,

I2卜

OG=-m,PG=--m2-3m,

2

:過點,卜亮］作CDj軸于點D,

/.OD=1,

DE_1

2々

??——1m-3m-m,

2

/.DE=-m+3-

29

②?.一(一6,0),

J設(shè)直線AC的解析式為廣質(zhì)+可辦0),

-6k+b=0

??ji5,

-k+b=—

I2

Ul

解得，一2,

6=3

直線AC的解析式為y=；x+3,

丁點尸在直線AC的圖象上，且點尸的橫坐標(biāo)為機，點尸，尸三點共線，

尸］根，|■根+3),

由①得，DE;租+3,點D(TO),

設(shè)Af?,O),N(n,s),

,點E/的縱坐標(biāo)相同，

EF〃x軸，EF=-\-m,

當(dāng)E尸為正方形的邊時，EF=FG=GD=DE,則點”與點G重合，點N與

點。重合，或是點“與點。重合，點N與點G重合，如圖所示，

當(dāng)所為正方形的對角線時，連接MN,交于點

;四邊形尸胸是正方形，

/.MN=EF,MN±EF,MQ=NQ=EQ=FQ=^EF,

，四邊形以況2是矩形，貝I]MQ=ED=：EB,

解得，根=彳；

綜上所述，當(dāng)點區(qū)F、M、N為頂點的四邊形是正方形時，根=-|或

7

m="2'

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法

求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，正

方形的判定和性質(zhì)，圖形結(jié)合，分類討論思想等知識的綜合運用是解

題的關(guān)鍵.

13.(1)2

(2)A/13—1或J13+1

⑶當(dāng)"2=|時，點0在正方形的內(nèi)部；當(dāng)機=-|時，點。在正方形的外

部

(A\-1-7133-421V21-31+V13

(4)---<m<―--或---<m<——

b

【分析】(1)根據(jù)拋物線y=*+法+3的對稱軸是直線戶1,得-而可=i,

解答即可》的值；

(2)根據(jù)點尸落在直線了7上，同時也在拋物線k3+2云+3上，構(gòu)造

方程組F=f2+2x+3,求得％的值即為陰的值，結(jié)合題意解答即可；

(3)當(dāng)正方形ABCZ)的面積為9時，得珈=3,解得小=：或

確定尸的坐標(biāo)，。的坐標(biāo)，確定正方形"CD的位置，解答即可.

(4)先計算拋物線與丫=》，尸-彳的交點，再結(jié)合定義，利用數(shù)形結(jié)

合思想，分類計算即可.

【詳解】(1)解：:拋物線廣7+法+3的對稱軸是直線-1,

?__L_=i

?,2x(-1)，

解得：b=2,

故答案為：2.

(2)解：?.,點尸落在直線y=x上，同時也在拋物線y=*+2x+3上,

???點尸的坐標(biāo)是方程組［＞—+2尤+3的解,

y=x

1-V131+713

x=x=

-2-

解得,1-V13或,1+V13

y=y=

2-2-'

|2m|=--x2=y/13.1或|2m|=x2=A/H+1,

故正方形AB。的邊長為屈T或舊+1.

(3)解：當(dāng)正方形鉆8的面積為9時，得正方形的邊長為3,

|2m|=3,

解得根=:或根=一|，

aQ

當(dāng)根二萬時，2-2m=2-—x2=-1,

??y=—(-1)+2x(-1)+3=0,

???點Q(T，o),在％軸上,

當(dāng)機=-|時，2-2利=2-1-：＞2=5,

I.y=-52+2x5+3=-12,

.?.點Q（5,-12）,在第四象限,

???以原點為中心，3為邊長構(gòu)造正方形A5。，其中邊鉆平行于X軸,

邊8C平行于y軸，

0點嗚u點《一?）點《一:）點qvj

aaaa

*o?--<x<2?勺<5時，點在正方形北8的內(nèi)部，

???點Q（T，。）在正方形ABCD的內(nèi)部，點Q（5,-12）正方形ABCD的外部.

（4）解：Vy=-x2+2x+3=0,

解得玉=-1,X2=3,

，拋物線與入軸的交點坐標(biāo)分別為（T。），（3,0）,

設(shè)直線y=x與拋物線y=3+2x+3的交點分別為E,F,

丁點尸落在直線>=X上，同時也在拋物線k3+2x+3上，

???點尸的坐標(biāo)是方程組F~*+2x+3的解，

解得上手或X2=耳3,

.?.加二上手或加二邛3,

設(shè)直線y=T與拋物線y=*+2x+3的交點分別為G,H,

丁點尸落在直線y=r上，同時也在拋物線產(chǎn)--+2H3上，

???點尸的坐標(biāo)是方程組F=*+2尤+3的解,

y=—x

扉笆導(dǎo)占二支產(chǎn)或&二3±*，

?3—V2T-4^3+5/21

.?m=----------旦必m=--------,

22

當(dāng)點尸與點E重合時，此時吁呼；

1+V13I+A/16_5°1-V131-716_3

出----v---------=—＜3,----------＞----------=,

222222

正方形ABCD內(nèi)部的G圖象僅是對稱軸左側(cè)的部分，滿足y隨工的增

大而增大，符合題意,

同理可證，當(dāng)點5與點G重合時,也符合題意,此時|制=士等=也賓，

故經(jīng)2＜旌邛1；

當(dāng)心曾1時，正方形筋⑺內(nèi)部的G圖象是對稱軸左側(cè)，右側(cè)的兩部

分，部滿足y隨％的增大而增大，不符合題意，舍去；

同理可證，當(dāng)匚誓＜加4互答也是符合題意的，

土巫w三旦叵口＜機4叱叵.

2