2019全國(guó)i卷文綜數(shù)學(xué)試卷及答案

2019全國(guó)i卷文綜數(shù)學(xué)試卷及答案一、選擇題：本題共12小題，每小題4分，共48分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x＜0或x＞2}，B={x|4x-1＜0}，則A∩B為A.{x|x＜0}B.{x|x＜0或x＞2}C.{x|0＜x＜1/4}D.{x|1/4＜x＜2}2.函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，若f(a)=0，則a的值為A.1B.3C.1或3D.23.已知向量a=(3,2)，b=(1,-1)，則向量a+2b為A.(5,0)B.(5,4)C.(1,4)D.(1,0)4.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，若f'(x)=0，則x的值為A.0B.±√3C.1D.-15.已知雙曲線C：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0，b＞0），若雙曲線C的一條漸近線方程為y=(√2/2)x，則A.a=bB.a=2bC.b=2aD.a=√2b6.已知等比數(shù)列{an}中，a1=1，公比q=2，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn為A.2^n-1B.2^nC.2^(n+1)-2D.2^(n+1)-17.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，若f'(x)=0，則x的值為A.1B.2C.1或2D.08.已知橢圓E：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0），若橢圓E的離心率為√3/3，則A.a=3bB.a=2bC.a=√3bD.a=√2b9.已知向量a=(1,-1)，b=(2,1)，則向量a·b為A.0B.1C.-1D.210.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，若f(x)=0，則x的值為A.1B.3C.1或3D.211.已知等差數(shù)列{an}中，a1=2，公差d=3，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn為A.3n+n(n-1)/2B.3n+3n(n-1)/2C.3n+3n(n+1)/2D.3n+n(n-1)/212.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，若f'(x)=0，則x的值為A.1B.2C.1或2D.0二、填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分。13.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，若f(a)=0，則a的值為1或3。14.已知雙曲線C：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0，b＞0），若雙曲線C的一條漸近線方程為y=(√2/2)x，則a=√2b。15.已知等比數(shù)列{an}中，a1=1，公比q=2，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn為2^(n+1)-2。16.已知橢圓E：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0），若橢圓E的離心率為√3/3，則a=2b。三、解答題：本題共6小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求證：f(x)在(-∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減。證明：首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。當(dāng)x＜0時(shí)，f'(x)＞0，說(shuō)明f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'(x)＜0，說(shuō)明f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f'(x)＞0，說(shuō)明f(x)在(1，2)上單調(diào)遞增；當(dāng)x＞2時(shí)，f'(x)＜0，說(shuō)明f(x)在(2，+∞)上單調(diào)遞減。綜上，f(x)在(-∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減。18.（本題滿分12分）已知橢圓E：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0），若橢圓E的離心率為√3/3，求橢圓E的方程。解：由題意可知，離心率e=c/a=√3/3，其中c為焦距，a為長(zhǎng)半軸，b為短半軸。根據(jù)橢圓的性質(zhì)，有a^2=b^2+c^2，代入e=√3/3，可得a=2b。將a=2b代入橢圓方程，得到x^2/(4b^2)+y^2/b^2=1，即x^2/4+y^2=1。19.（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的極值點(diǎn)。解：首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。當(dāng)x＜0時(shí)，f'(x)＞0，說(shuō)明f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f'(x)＜0，說(shuō)明f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減；當(dāng)x＞2時(shí)，f'(x)＞0，說(shuō)明f(x)在(2，+∞)上單調(diào)遞增。綜上，f(x)的極大值為f(0)=2，極小值為f(2)=-2。20.（本題滿分12分）已知等差數(shù)列{an}中，a1=2，公差d=3，求該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn。解：根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，Sn=n(a1+an)/2，其中an為第n項(xiàng)。由題意可知，an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1。代入求和公式，得到Sn=n(2+3n-1)/2=3n^2/2+n/2。21.（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求證：f(x)在(-∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減。證明：首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。當(dāng)x＜0時(shí)，f'(x)＞0，說(shuō)明f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'(x)＜0，說(shuō)明f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f'(x)＞0，說(shuō)明f(x)在(1，2)上單調(diào)遞增；當(dāng)x＞2時(shí)，f'(x)＜0，說(shuō)明f(x)在(2，+∞)上單調(diào)遞減。綜上，f(x)在(-∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減。22.（本題滿分12分）已知雙曲線C：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0，b＞0），若雙曲線C的一條漸近線方程為y=(√2/2)x，求雙曲線C的方程。解：由題意可知，雙曲線C的漸近