專題提升：概率與統(tǒng)計(jì)

1/8概率與統(tǒng)計(jì)高考對本內(nèi)容的考查主要有：(1)抽樣方法的選擇、與樣本容量相關(guān)的計(jì)算，尤其是分層抽樣中的相關(guān)計(jì)算，A級要求．(2)圖表中的直方圖、莖葉圖都可以作為考查點(diǎn)，尤其是直方圖更是考查的熱點(diǎn)，A級要求．(3)特征數(shù)中的方差、標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算都是考查的熱點(diǎn)，B級要求．(4)隨機(jī)事件的概率計(jì)算，通常以古典概型、幾何概型的形式出現(xiàn)，B級要求.重難點(diǎn)：1．概率問題(1)求某些較復(fù)雜的概率問題時(shí)，通常有兩種方法：一是將其分解為若干個(gè)彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的對立事件eq\x\to(A)的概率，然后利用P(A)＝1－P(eq\x\to(A))可得解；(2)用列舉法把古典概型試驗(yàn)的基本事件一一列出來，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)＝eq\f(m,n)求出事件A的概率，這是一個(gè)形象、直觀的好辦法，但列舉時(shí)必須按照某一順序做到不重復(fù)，不遺漏；(3)求幾何概型的概率，最關(guān)鍵的一步是求事件A所包含的基本事件所占據(jù)區(qū)域的測度，這里需要解析幾何的知識(shí)，而最困難的地方是找出基本事件的約束條件．2．統(tǒng)計(jì)問題(1)統(tǒng)計(jì)主要是對數(shù)據(jù)的處理，為了保證統(tǒng)計(jì)的客觀和公正，抽樣是統(tǒng)計(jì)的必要和重要環(huán)節(jié)，抽樣的方法有三：簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣；(2)用樣本頻率分布來估計(jì)總體分布一節(jié)的重點(diǎn)是：頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計(jì)總體分布，難點(diǎn)是：頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用；(3)用莖葉圖優(yōu)點(diǎn)是原有信息不會(huì)抹掉，能夠展開數(shù)據(jù)發(fā)布情況，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)，莖葉圖就顯得不太方便了；(4)兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系中，主要能作出散點(diǎn)圖，了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性或歸方程系數(shù)或公式建立線性回歸方程.考點(diǎn)1、抽樣方法【例1】某學(xué)院的A，B，C三個(gè)專業(yè)共有1200名學(xué)生，為了調(diào)查這些學(xué)生勤工儉學(xué)的情況，擬采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為120的樣本.已知該學(xué)院的A專業(yè)有380名學(xué)生，B專業(yè)有420名學(xué)生，則在該學(xué)院的C專業(yè)應(yīng)抽取________名學(xué)生．【方法技巧】分層抽樣適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況，按各部分在總體中所占的比實(shí)施抽樣，據(jù)“每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比與所有樣本數(shù)量與總體容量的比相等”列式計(jì)算；在實(shí)際中這種有差異的抽樣比其他兩類抽樣要多的多，所以分層抽樣有較大的應(yīng)用空間，應(yīng)引起我們的高度重視．【變式探究】某校高三年級學(xué)生年齡分布在17歲、18歲、19歲的人數(shù)分別為500、400、200，現(xiàn)通過分層抽樣從上述學(xué)生中抽取一個(gè)樣本容量為m的樣本，已知每位學(xué)生被抽到的概率都為0.2，則m＝________.【解析】(500＋400＋200)×0.2＝220.【答案】220考點(diǎn)2、用樣本估計(jì)總體【例2】(2013·重慶卷改編)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為________．【解析】由莖葉圖及已知得x＝5，又因eq\f(9＋15＋10＋y＋18＋24,5)＝16.8，所以y＝8.【答案】5,8【方法技巧】由于數(shù)據(jù)過大，直接計(jì)算會(huì)引起計(jì)算錯(cuò)誤，故要學(xué)會(huì)像解析中介紹的兩種方法那樣盡量簡化計(jì)算；同時(shí)要理解莖葉圖的特點(diǎn)，能夠從莖葉圖獲取原始數(shù)據(jù)．【變式探究】某校共有400名學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)競賽，競賽成績的頻率分布直方圖如圖所示(成績分組為[0,10)，[10,20)，…，[80,90)，[90,100])．則在本次競賽中，得分不低于80分以上的人數(shù)為______.【例3】袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1只，從中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：(1)3只全是紅球的概率；(2)3只顏色全相同的概率；(3)3只顏色不全相同的概率．解(1)記“3只全是紅球”為事件A.從袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共會(huì)出現(xiàn)3×3×3＝27種等可能的結(jié)果，其中3只全是紅球的結(jié)果只有一種，故事件A的概率為P(A)＝eq\f(1,27).(2)“3只顏色全相同”只可能是這樣三種情況：“3只全是紅球”(事件A)；“3只全是黃球”(設(shè)為事件B)；“3只全是白球”(設(shè)為事件C)．故“3只顏色全相同”這個(gè)事件為A＋B＋C，由于事件A、B、C不可能同時(shí)發(fā)生，因此它們是互斥事件．再由紅、黃、白球個(gè)數(shù)一樣，故不難得P(B)＝P(C)＝P(A)＝eq\f(1,27)，所以P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,9).(3)3只顏色不全相同的情況較多，如是兩只球同色而另一只球不同色，可以兩只同紅色或同黃色或同白色等等；或三只球顏色全不相同等．考慮起來比較麻煩，現(xiàn)在記“3只顏色不全相同”為事件D，則事件eq\x\to(D)為“3只顏色全相同”，顯然事件D與eq\x\to(D)是對立事件．∴P(D)＝1－P(eq\x\to(D))＝1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9).【方法技巧】在求某些稍復(fù)雜的事件的概率時(shí)，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的對立事件的概率．一個(gè)復(fù)雜事件若正面情況比較多，反面情況較少，則一般利用對立事件進(jìn)行求解；對于“至少”，“至多”等問題往往用這種方法求解．【訓(xùn)練3】(2013·陜西卷改編)如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站，假設(shè)其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常)．若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無信號的概率是________．考點(diǎn)預(yù)測：1．某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學(xué)生600名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為________．2．先后兩次拋擲一枚骰子，在得到點(diǎn)數(shù)之和不大于6的條件下，先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有3的概率為________．3．某單位有職工160名，其中業(yè)務(wù)人員120名，管理人員16名，后勤人員24名．為了解職工的某種情況，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本．若用分層抽樣的方法，抽取的業(yè)務(wù)人員、管理人員、后勤人員的人數(shù)應(yīng)分別為________．【解析】分層抽樣應(yīng)按各層所占的比例從總體中抽?。?．有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為________．5．一個(gè)袋中有3個(gè)黑球，2個(gè)白球共5個(gè)大小相同的球，每次摸出一球，放進(jìn)袋里再摸第二次，則兩次摸出的球都是白球的概率為________．6．從甲、乙、丙等5名候選學(xué)生中選2名作為青年志愿者，則甲、乙、丙中有2個(gè)被選中的概率為________．7.為了分析某籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中發(fā)揮的穩(wěn)定程度，統(tǒng)計(jì)了該運(yùn)動(dòng)員在6場比賽中的得分，用莖葉圖表示如圖所示，則該組數(shù)據(jù)的方差為________．【解析】平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(14＋17＋18＋18＋20＋21,6)＝18，故方差s2＝eq\f(1,6)[(－4)2＋(－1)2＋02＋02＋22＋32)]＝5.【答案】58．袋中裝有大小相同且形狀一樣的四個(gè)球，四個(gè)球上分別標(biāo)有“2”、“3”、“4”、“6”這四個(gè)數(shù)．現(xiàn)從中隨機(jī)選取三個(gè)球，則所選的三個(gè)球上的數(shù)恰好能構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列的概率是________．【解析】總的取法是4組，能構(gòu)成等差數(shù)列的有{2,3,4}，{2,4,6}2組；故所求概率為P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)9．設(shè)f(x)＝x2－2x－3(x∈R)，則在區(qū)間[－π，π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使f(x)＜0的概率為________．10．從長度分別為2,3,4,5的四條線段中任意取出三條，則以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是________．11．利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a－1>0”發(fā)生的概率為________．12．從一副沒有大小王的52張撲克牌中隨機(jī)抽取1張，事件A為“抽得紅桃8”，事件B為“抽得為黑桃”，則事件“A＋B”的概率值是________(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)．13．在集合A＝{2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m，在集合B＝{1,2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素n，得到點(diǎn)P(m，n)，則點(diǎn)P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為________．【解析】由題意得到的P(m，n)有：(2,