《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（第3課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)

1/1第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用第三課時(shí)_習(xí)題課（稅長(zhǎng)江）一、教學(xué)目標(biāo)1.核心素養(yǎng)通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，提升運(yùn)算求解、推理論證能力、體會(huì)豐富的數(shù)學(xué)思想.2.學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）學(xué)會(huì)觀察統(tǒng)一結(jié)構(gòu)，構(gòu)造新函數(shù)（2）切線的條數(shù)問題與方程解的個(gè)數(shù)問題的相互轉(zhuǎn)化（3）最值與不等式恒成立問題，不等式的證明問題的相互轉(zhuǎn)化3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)能夠準(zhǔn)確的通過構(gòu)造新函數(shù)，獲得不等關(guān)系，并且能夠?qū)⒉坏汝P(guān)系轉(zhuǎn)化為最值問題.4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)通過觀察結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)準(zhǔn)確將不等式問題轉(zhuǎn)化為最值問題.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù) 任務(wù)1 反思總結(jié)：哪些問題能夠最終轉(zhuǎn)化為最值問題？任務(wù)2復(fù)習(xí)如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值.2.預(yù)習(xí)自測(cè)1.函數(shù)f(x)＝x2－2lnx的單調(diào)減區(qū)間是()A.(0,1)B.(1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－1,1)解：A2.函數(shù)f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A.2 B.1 C.0 D.由a確定解：C3.若函數(shù)f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A.(0,1) B.(－∞，1)C.(0，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解：D（二）課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧（1）函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn)處的切線的斜率，相應(yīng)地，切線方程為.（2）極值點(diǎn)和極值的概念：設(shè)函數(shù)在處的函數(shù)值比它在附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，我們就把叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值；函數(shù)在處的函數(shù)值比它在附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，我們就把叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值.（3）求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：1.求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值；2.將函數(shù)各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.2.問題探究問題探究一構(gòu)造新函數(shù)重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲ ●活動(dòng)一看懂選項(xiàng)，各歸各位例1.若0＜x1＜x2＜1，則（）A. B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)：構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】詳解：C令f(x)＝eq\f(ex,x)，則f′(x)＝eq\f(（ex）′·x－x′·ex,x2)＝eq\f(ex（x－1）,x2)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0，即f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，∵0＜x1＜x2＜1，∴f(x2)＜f(x1)，即eq\f(ex2,x2)＜eq\f(ex1,x1)，∴.點(diǎn)撥：要看出原函數(shù)的結(jié)構(gòu)，題目選項(xiàng)是重要的提示，通過移項(xiàng)，使得，分居不等號(hào)兩側(cè)，構(gòu)造結(jié)構(gòu)，就可以清晰的看出所需研究的原函數(shù)的解析式，再進(jìn)一步將不等式問題轉(zhuǎn)化為通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性的問題.●活動(dòng)二觀察結(jié)構(gòu)，逆向思考例2.已知函數(shù)f(x)滿足，f(2)＝eq\f(e2,8)，則x>0時(shí)，f(x)（）A.有極大值，無極小值B.有極小值，無極大值C.既有極大值又有極小值D.既無極大值也無極小值【知識(shí)點(diǎn)：構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】詳解：D由題意知，令g(x)＝ex－2x2f(x)，則由得x＝2，當(dāng)x＝2時(shí)，g(x)min＝e2－2×22×eq\f(e2,8)＝0.即g(x)≥0，則當(dāng)x>0時(shí)，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，既無極大值也無極小值.點(diǎn)撥：此題如果將左邊視作，原理上只需求的原函數(shù)即可，但構(gòu)造難度過大，所以才逆向思考，構(gòu)造g(x)＝ex－2x2f(x).問題探究二切線條數(shù)問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲ ●活動(dòng)一切線條數(shù)與根的個(gè)數(shù) 例3.已知f(x)＝x3－3x，過點(diǎn)A(1，m)(m≠－2)可作曲線y＝f(x)的三條切線，則m的取值范圍是（）A.(－1,1)B.(－2,3)C.(－1，－2)D.(－3，－2)【知識(shí)點(diǎn)：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想】詳解：Df(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3x2－3.設(shè)切點(diǎn)為(x，y)，則切線的斜率k＝3x2－3＝eq\f(y－m,x－1)＝eq\f(x3－3x－m,x－1)，整理，得2x3－3x2＋m＋3＝0，由題意得方程2x3－3x2＋m＋3＝0有三個(gè)根.設(shè)g(x)＝2x3－3x2＋m＋3，則g′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1).令g′(x)＝0，得x＝0或x＝1.當(dāng)x∈(－∞，0]時(shí)，g(x)為增函數(shù)；當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g(x)為減函數(shù)；當(dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，g(x)為增函數(shù)；則，解得－3＜m＜－2.點(diǎn)撥：解決切線問題，關(guān)鍵在于三個(gè)方程：，化簡(jiǎn)出的方程有幾組解，切線便有幾條，進(jìn)一步將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)＝2x3－3x2＋m＋3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.問題探究三最值與不等式重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲ ●活動(dòng)一最值與恒成立例4.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,xlnx)(x>0且x≠1).（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知對(duì)任意x∈(0,1)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，最值與恒成立的轉(zhuǎn)化】詳解：（1）f′(x)＝－eq\f(lnx＋1,x2ln2x).若f′(x)＝0，則x＝eq\f(1,e).當(dāng)f′(x)>0，即0<x<eq\f(1,e)時(shí)，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)f′(x)<0，即eq\f(1,e)<x<1或x>1時(shí)，f(x)為減函數(shù).所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，eq\f(1,e))，單調(diào)減區(qū)間為[eq\f(1,e)，1)和(1，＋∞).（2）在兩邊取對(duì)數(shù)，得eq\f(1,x)ln2>alnx.由于0<x<1，所以eq\f(a,ln2)>eq\f(1,xlnx).①由（1）知：當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，.為使①式對(duì)所有x∈(0,1)成立，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a,ln2)>－e，即a>－eln2.點(diǎn)撥：恒成立的本質(zhì)就是對(duì)最值的要求，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值是常見解題思路，注意充分運(yùn)用第一問的結(jié)論，避免重復(fù)運(yùn)算. ●活動(dòng)二恒成立與證明例5.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）求證：當(dāng)a>ln2－1且x>0時(shí)，ex>x2－2ax＋1.【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，最值與不等式的轉(zhuǎn)化】詳解：（1）由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝ex－2，x∈R令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)單調(diào)遞減2(1－ln2＋a)單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2處取得極小值，極小值為f(ln2)＝2(1－ln2＋a).（2）證明：設(shè)g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R由(1)知當(dāng)a>ln2－1時(shí)，g′(x)取最小值為g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是對(duì)任意x∈R，都有g(shù)′(x)>0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增.于是當(dāng)a>ln2－1時(shí)，對(duì)任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)>g(0).而g(0)＝0，從而對(duì)任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)>0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.點(diǎn)撥：導(dǎo)數(shù)的解答題，一定要注意充分運(yùn)用前一問的結(jié)論，前一問會(huì)對(duì)第二問起到提示思路，提供構(gòu)造方案或者簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用.3.課堂總結(jié)【知識(shí)梳理】(1)學(xué)會(huì)觀察統(tǒng)一結(jié)構(gòu)，構(gòu)造新函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù) (2)切線的條數(shù)問題除了可以結(jié)合圖像外，還可借助解方程這樣的代數(shù)方法 (3)不等式的證明問題終究可以轉(zhuǎn)化為最值問題 【重難點(diǎn)突破】(1)構(gòu)造新函數(shù)關(guān)鍵抓住條件和選項(xiàng)，選項(xiàng)是最好的提示.(2)最值本身就是恒成立的不等關(guān)系，所以不等式的恒成立與不等式的證明本質(zhì)上均可轉(zhuǎn)化為最值問題.4.隨堂檢測(cè)1.已知函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； （2）設(shè)g(x)＝xlnx－x2f(x)，求g(x)在區(qū)間[1，e]上的最大值.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值】解：（1）的定義域?yàn)?，且，故在區(qū)間(－∞，0)和(2，＋∞)上，f′(x)<0；在區(qū)間(0,2)上，f′(x)>0.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)和(2，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2).（2）g(x)＝xlnx－a(x－1)，則g'(x)＝lnx＋1－a.令g′(x)＝0，得.=1\*GB3①當(dāng)，即0<a≤1時(shí)，在區(qū)間[1，e]上，g(x)為遞增函數(shù)，所以g(x)最大值g(e)＝e＋a－ae.=2\*GB3②當(dāng)，即a≥2時(shí)，在區(qū)間[1，e]上，g(x)為遞減函數(shù)，所以g(x)最大值為g(1)＝0.=3\*GB3③當(dāng)，即1<a<2時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是g(x)的最大值為g(e)和g(1)中較大者.由g(e)－g(1)＝a＋e－ae>0，解得a<eq\f(e,e－1)，所以當(dāng)1<a<eq\f(e,e－1)時(shí)，g(x)最大值為g(e)＝e＋a－ae，eq\f(e,e－1)≤a<2時(shí)，g(x)最大值為g(1)＝0.綜上所述，當(dāng)0<a<eq\f(e,e－1)時(shí)，g(x)的最大值為g(e)＝e＋a－ae，當(dāng)a≥eq\f(e,e－1)時(shí)，g(x)的最大值為g(1)＝0.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.設(shè)f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1處均有極值，則下列點(diǎn)中一定在x軸上的是（）A.(a，b)B.(a，c)C.(b，c)D.(a＋b，c)【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件】解：A2.已知函數(shù)y＝x3－3x＋c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c＝__________.【知識(shí)點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合，函數(shù)的零點(diǎn)】解：－2或23.已知函數(shù)f(x)＝x3－12x＋8在區(qū)間[－3,3]上的最大值與最小值分別為M，m，則M－m＝_______.【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值】解：324.已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍是________.【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值】解：(0,1)5.函數(shù)f(x)＝x(x－m)2在x＝1處取得極小值，則實(shí)數(shù)m＝________.【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件】解：16.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，則不等式f(x2－6)>1的解集為()A.(－3，－2)∪(2,3)B.(－eq\r(2)，eq\r(2))C.(2,3)D.(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)【知識(shí)點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系】解：A能力型師生共研7.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的最大值.【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值】解：（1）由于，，則，于是，，所以切線方程為y=2x.（2），，x∈(0，1)，[，x∈(0，1)當(dāng)k∈[0，2]，t′(x)≥0，函數(shù)t(x)單調(diào)遞增，t(x)>t(0)=0顯然成立.當(dāng)k>2時(shí)，令t′(x)=0得x04=kx(0，x0)x0(x0，1)t′(x)0+t(x)↘極小值↗于是t(x0)<t(0)=0，顯然不成立.當(dāng)k<0時(shí)，顯然k不取最大值.綜上可知，k的最大值為2.8.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2處取得極小值－eq\f(4,3).（1）求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若f(x)≤m2＋m＋eq\f(10,3)在[－4,3]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值】解：（1）f′(x)＝x2＋a，由f′(2)＝0，得a＝－4；再由f(2)＝－eq\f(4,3)，得b＝4.所以f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4，f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝x2－4＞0，得x＞2或x＜－2.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－2)，(2，＋∞).（2）由（1）知：的極大值為，極小值為，又f(－4)＝－eq\f(4,3)，f(3)＝1，所以函數(shù)f(x)在[－4,3]上的最大值為eq\f(28,3).要使f(x)≤m2＋m＋eq\f(10,3)在[－4,3]上恒成立，只需m2＋m＋eq\f(10,3)≥eq\f(28,3)，解得m≥2或m≤－3.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－3]∪[2，＋∞).探究型多維突破9.已知函數(shù)f(x)＝ax＋xlnx的圖象在點(diǎn)x＝e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線斜率為3.（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若k∈Z，且k＜eq\f(f（x）,x－1)對(duì)任意x＞1恒成立，求k的最大值.【知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值】解：(1)因?yàn)閒(x)＝ax＋xlnx，所以f′(x)＝a＋lnx＋1.由題知：f′(e)＝3，即a＋lne＋1＝3，所以a＝1.(2)由(1)知，f(x)＝x＋xlnx，又k＜eq\f(f（x）,x－1)＝eq\f(x＋xlnx,x－1)對(duì)任意x＞1恒成立，令g(x)＝eq\f(x＋xlnx,x－1)，則g′(x)＝eq\f(x－lnx－2,（x－1）2)，令h(x)＝x－lnx－2(x＞1)，則h′(x)＝1－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x)＞0，所以函數(shù)h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.因?yàn)閔(3)＝1－ln3＜0，h(4)＝2－2ln2＞0，所以方程h(x)＝0在(1，＋∞)上存在唯一實(shí)根x0，且滿足x0∈(3，4).當(dāng)1＜x＜x0時(shí)，h(x)＜0，即g′(x)＜0；當(dāng)x＞x0時(shí)，h(x)＞0，即g′(x)＞0.所以函數(shù)g(x)＝eq\f(x＋xlnx,x－1)在(1，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以[g(x)]min＝g(x0)＝eq\f(x0（1＋lnx0）,x0－1)＝eq\f(x0（1＋x0－2）,x0－1)＝x0，所以k＜[g(x)]min＝x0∈(3，4)，故整數(shù)k的最大值是3.10.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋bx，且.（1）試用含a的代數(shù)式表示b；（2）求f(x)的單調(diào)區(qū)間.【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值】解：（1）依題意，得f′(x)＝x2＋2ax＋b，由f′(－1)＝0，得1－2a＋b＝0.∴b＝2a（2）由（1），得f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(2a－1)x.故f′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋1)(x＋2a－1).令f′(x)＝0，則x＝－1或x＝1－①當(dāng)a>1時(shí)，1－2a<－當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：x(－∞，1－2a(1－2a，－(－1，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由此得，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(1－2a，－②當(dāng)a＝1時(shí)，1－2a＝－1，此時(shí)f′(x)≥0恒成立，且僅在x＝－1處f′(x)＝0，故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R③當(dāng)a<1時(shí)，1－2a>－1，同理可得：函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1)和(1－2a，＋單調(diào)減區(qū)間(－1，1－2a)綜上：當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(1－2a，－當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R；當(dāng)a<1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(－1,1－2a自助餐1.已知函數(shù)y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2處有極值，則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是（）A.(2,3)B.(3，＋∞)C.(2，＋∞)D.(－∞，3)【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】解：B由f′(2)＝0可得：，于是2.設(shè)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋5x＋6在區(qū)間[1,3]上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.[－eq\r(5)，＋∞)B.(－∞，－3]C.(－∞，－3]∪[－eq\r(5)，＋∞)D.[－eq\r(5)，eq\r(5)]【知識(shí)點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】解：C3.若a>2，則方程eq\f(1,3)x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有()A.0個(gè)根 B.1個(gè)根C.2個(gè)根 D.3個(gè)根【知識(shí)點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合思想，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】解：B4.若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（）A.[－1,0]B.[－1，＋∞)C.[0,3]D.[3，＋∞)【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】解：Df′(x)＝2x＋a－eq\f(1,x2)，因?yàn)楹瘮?shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函數(shù)，所以f′(x)≥0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上恒成立，即a≥eq\f(1,x2)－2x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上恒成立，設(shè)g(x)＝eq\f(1,x2)－2x，g′(x)＝－eq\f(2,x3)－2，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))時(shí)，g′(x)<0，故g(x)max＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝3，所以a≥3.5.函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域?yàn)?)A. B.C. D.【知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值】解：A6.若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x2＋a)(a>0)在[1，＋∞)上的最大值為eq\f(\r(3),3)，則a的值為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\r(3) C.eq\r(3)＋1 D.eq\r(3)－1【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值】解：D7.函數(shù)f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的極大值為正數(shù)，極小值為負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是________【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件】解：(eq\f(\r(2),2)，＋∞)求導(dǎo)可知在x＝a處取f(x有極小值，在x＝－a處取極大值.由題意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3－3a3＋a<0，,－a3＋3a3＋a>0，,a>0，))解得a>eq\f(\r(2),2).8.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則____________.【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件】解：由于函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，由此解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11.))而當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3))時(shí)，函數(shù)在x＝1處無極值，故舍去.∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16.∴f(2)＝18.9.已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.現(xiàn)給出如下結(jié)論：①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_______.【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】解：②③求導(dǎo)可知：f(x)在區(qū)間(1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函數(shù).又a<b<c，f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.于是，又，從而②③正確.10.函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.【知