《定積分在幾何中的應(yīng)用》教學(xué)教案

3/31.7.1定積分在幾何中的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．體會(huì)“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲邊梯形面積的思想方法；2．初步掌握利用定積分求曲邊梯形的幾種常見題型及方法；3．理解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理。學(xué)習(xí)方法：情境一：展示精美的趙州橋圖片，講述古代數(shù)學(xué)家的故事及偉大發(fā)現(xiàn)：拱形的面積問題1：橋拱與水面之間的切面的面積如何求解呢？問題2：需要用到哪些知識(shí)？（定積分）問題3：求曲邊梯形的思想方法是什么？問題4：定積分的幾何意義是什么？問題5：微積分基本定理是什么？情境二：利用定積分求平面圖形的面積xyOABCDxyOABCD11-1-1問題1：你能在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩條拋物線嗎？問題2：能在圖中找出所要求的圖形嗎？（用陰影部分表示出來）（如右圖）問題3：這個(gè)圖形以前見過嗎？有沒有直接的公式求它的面積嗎？4xyO4xyO8422解：解方程組得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)為或情境三學(xué)生探究：例2．計(jì)算由直線，曲線以及x軸所圍圖形的面積S.分析：模仿例1，先畫出草圖（左圖），并設(shè)法把所求圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積問題．問題1：陰影部分圖形是曲邊梯形嗎？問題2：不是曲邊梯形怎么辦？能否構(gòu)造出曲邊梯形來呢？問題3：如果轉(zhuǎn)化成兩部分的面積和，應(yīng)該怎樣作輔助線？（過點(diǎn)（4,0）作x軸的垂線將陰影部分分為兩部分）問題4：兩部分面積用定積分分別應(yīng)該怎樣表示？（注意積分上下限的確定）問題5：做輔助線時(shí)應(yīng)該注意什么？（盡量將曲邊圖形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的平面圖形，如三角形、矩形、梯形和曲邊梯形組合成的圖形.）規(guī)范的解題過程此處略去思考：1.本題還有沒有其它的解決方案？（可以將此陰影部分看做一個(gè)曲邊梯形和一個(gè)三角形的面積之差）2.上面的解法是將看作積分變量，能不能將看作積分變量？嘗試解決之。情境四：結(jié)合以上兩個(gè)例題，總結(jié)利用定積分求平面圖形面積的基本步驟。解由曲線所圍的平面圖形面積的解題步驟：1．畫草圖，求出曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)2．將曲邊形面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積3．根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆e分變量4．確定被積函數(shù)和積分區(qū)間5．計(jì)算定積分，求出面積.【課堂練習(xí)】：1.計(jì)算由與所圍圖形的面積.hb2.計(jì)算由曲線與及所圍平面圖形的面積．hb3.回到本節(jié)開始時(shí)趙州橋的問題，如圖，一橋拱的形狀為拋物線，已知該拋物線拱的高為常數(shù)h，寬為常數(shù)b．求橋拱的面積。（思路：先將問題數(shù)學(xué)化，在用求定積分的方法解決。）習(xí)題設(shè)計(jì)：1..已知曲線在軸的下方，則由和所圍成的曲邊梯形的面積可表示為()（知識(shí)點(diǎn)1，易）A．B．C．D．2若與是上的兩條光滑曲線，則由這兩條曲線及直線所圍圖形的面積()．（知識(shí)點(diǎn)1，易）A．B．C．D．3.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）（知識(shí)點(diǎn)3，中）A．B．C．D．4.已知函數(shù)在x=1處有極值-2（知識(shí)點(diǎn)3，中）（1）求常數(shù)a、b；