《定積分的簡單應(yīng)用》名師教案

選修2-2第一章導數(shù)及其應(yīng)用1.7定積分的簡單應(yīng)用（謝強）一、教學目標1．核心素養(yǎng)通過定積分的簡單應(yīng)用的學習，提高分析和解決數(shù)學問題的能力，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學的意識．2．學習目標（1）應(yīng)用定積分解決一些簡單的幾何問題．（2）應(yīng)用定積分解決一些簡單的物理問題．3．學習重點應(yīng)用定積分解決平面圖形的面積、變速直線運動的路程和變力做功等問題，在解決問題的過程中體會定積分的應(yīng)用．4．學習難點把實際問題抽象為定積分的數(shù)學模型．二、教學設(shè)計（一）課前設(shè)計1．預(yù)習任務(wù)任務(wù)1閱讀教材P56－57.體會定積分在求平面圖形面積的應(yīng)用．思考：用定積分求平面圖形面積的步驟．任務(wù)2閱讀教材P58—59，回顧求變速直線運動的路程的定積分公式．思考：變力做功的定積分公式是什么？并理解上述兩個公式．2．預(yù)習自測1．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則它與軸所圍圖形的面積為（）A．B．C．D．答案：B．2．做直線運動的質(zhì)點在任意位置x處，所受的力F(x)＝1＋ex，則質(zhì)點延著F(x)相同的方向，從點x＝0處運動到點x＝1處，力F(x)所做的功是()A．eB．1＋eC.eq\f(1,e)D．e－1答案：A．3．一物體以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直線運動，則它在t＝0s到t＝3s時間段內(nèi)的位移是()A．31mB．36mC．38mD．40m答案：B（二）課堂設(shè)計1．知識回顧（1）定積分的幾何意義=1\*GB3①如果在區(qū)間函數(shù)連續(xù)且恒有，則定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.=2\*GB3②當對應(yīng)的曲線軸上、下方都有時，定積分等于曲邊圖形面積的代數(shù)和，即等于軸上方曲邊圖形的面積減去軸下方曲邊圖形的面積.（2）微積分基本定理一般地，如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.（3）做變速運動的物體所經(jīng)過的路程，等于其速度函數(shù)（）在時間區(qū)間上的定積分，即.2．問題探究問題探究一：定積分在幾何中的應(yīng)用重點、難點知識★▲活動一：回顧整合，定積分的幾何意義的深入研究思考并解答以下關(guān)于定積分幾何意義的相關(guān)問題.1．求由一條曲線和直線，（）及所圍成平面圖形的面積，主要有以下三種類型：（1）圖=1\*GB3①中，，所以圖中陰影部分面積為________________________；；（2）圖=2\*GB3②中，，所以圖中陰影部分面積為________________________；；（3）圖=3\*GB3③中，當時，；當時，.所以圖中陰影部分面積為________________________..2．求由兩條曲線和，直線，（）所圍成平面圖形的面積，主要有以下兩種類型：（1）圖=4\*GB3④中，，所以圖中陰影部分面積為________________________.；（2）圖=5\*GB3⑤中，，所以圖中陰影部分面積為______________________..活動二：整合舊知，探索利用定積分求平面圖形的面積的方法.例1．（1）計算曲線與直線所圍成圖形的面積．（2）求曲線，及直線所圍成的圖形的面積．解：（1）由，解得：或.如圖，從而所求圖形.（2）如圖可知，積分區(qū)間為.面積.點撥：本題為簡單圖形面積的求解，應(yīng)作出圖像后結(jié)合圖像直接應(yīng)用定積分求解.例2．求拋物線和直線所圍成的圖形的面積.【知識點：定積分在求面積中的應(yīng)用，微積分基本定理；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：由方程組解出拋物線和直線的交點及.法一：選作積分變量，由圖可知：，由于拋物線在軸上方的方程為，在軸下方的方程為，所以，又，于是.法二：選作為積分變量，將曲線方程寫成及，則.點撥：1.由多條曲線圍成的較為復雜的圖形求面積，應(yīng)根據(jù)交點將積分區(qū)間進行分段，然后根據(jù)圖像對各段求面積進而求出需要求的圖形面積.2.若積分變量選取運算較為復雜，可以嘗試選為積分變量，同時注意更改積分的上、下限.例3．在曲線上某一點處作一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為，試求：曲線在點A處的切線方程．【知識點：定積分在求面積中的應(yīng)用，微積分基本定理；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：設(shè)切點的坐標為，則切線方程為，可得切線與軸的交點坐標為.作出如圖所示的草圖.故解得：，從而切點的坐標為.于是，曲線在處的切線方程為.點撥:本題綜合考察了導數(shù)的幾何意義與利用定積分求圖形面積.根據(jù)題目條件，建立等量關(guān)系即可解決本題.活動三：歸納提升.從上面的例題中，你能總結(jié)出利用定積分求平面圖形面積的步驟嗎？利用定積分求平面圖形面積的基本步驟：（1）畫出圖形；（2）根據(jù)圖形特點選擇適當?shù)姆e分變量；（3）借助圖形直觀確定被積函數(shù)以及計算積分的上、下限；（4）寫出平面圖形面積的定積分表達式；問題探究二：定積分在物理中的應(yīng)用．重點、難點知識▲活動一：回顧整合，變速運動物體的路程一物體在變速直線運動，其速度函數(shù)為，該物體在時間區(qū)間所經(jīng)過的路程為，則.活動二：用定積分求變速運動物體的路程例4．有一動點從原點出發(fā)沿軸運動，在時刻為時的速度為(速度的正方向與x軸正方向一致)．求:（1）時，點離開原點后運動的路程；（2）時，求點的位移；（3）經(jīng)過時間后又返回原點時的值．解：（1）由得.即當時，點沿軸正方向運動，當時，點向軸負方向運動.故當時，點離開原點后運動的路程.（2）當時，點的位移為.（3）依題意，即，解得或，于是時，物體返回原點.點撥：由物理知識可知：物體沿直線運動時，路程是位移的絕對值之和，從時刻到時刻所經(jīng)過的路程和位移情況如下：(1)若，則；.(2)若，則；.(3)若在區(qū)間上，在區(qū)間上，則，.所以求路程時要先求得速度的正負區(qū)間．●活動三：歸納提升從上面的例題，嘗試歸納出利用定積分求直線運動的物體的路程的步驟.=1\*GB3①求出每一時間段上的速度函數(shù)；=2\*GB3②求出對應(yīng)時間段上速度函數(shù)的定積分的絕對值，得到做變速直線運動物體的路程.●活動四：合作探究，得出變力做功公式1.一物體在恒力（單位：）的作用下做直線運動，如果物體沿著與相同的方向移動了（單位：），則力所做的功為_________________2.如果物體在變力的作用下做直線運動，且物體沿著與相同的方向從移動到，如何計算變力所做的功呢？嘗試利用求曲邊梯形面積和求變速直線運動的路程一樣的方法來解決變力做功問題，請用“四步曲”操作.歸納與總結(jié)：通過以上操作，你對求變力做功的有什么發(fā)現(xiàn)呢？如果物體在變力的作用下沿著與相同的方向從移動到.則變力做的功.●活動五：運用新知，求變力做功例5．如圖所示，一物體沿斜面在拉力的作用下由經(jīng)運動到，其中cm，cm，cm，變力，在段運動時與運動方向成角，在段運動時與運動方向成，在段與運動方向相同，求物體由運動到所做的功．解：在段運動時在運動方向上的分力.在段運動時在運動方向上的分力.由變力做功公式得：.點撥：解決變力做功注意以下兩個方面：（1）求變力做功，要根據(jù)物理學的實際意義，求出變力的表達式，這是求功的關(guān)鍵．（2）求出位移的起始與終止位置，然后根據(jù)變力做功公式即可求出變力所做的功．●活動六：歸納提升從上面的例題，嘗試歸納出利用定積分求直線運動的物體的路程的步驟.=1\*GB3①根據(jù)物理的實際意義，求出變力的函數(shù)表達式；=2\*GB3②確定在變力的作用下，物體位移的起始位置和終止位置；=3\*GB3③由公式得到變力所做的功.3．課堂總結(jié)【知識梳理】(1)利用定積分求平面圖形的面積．(2)一物體在變速直線運動，其速度函數(shù)為，該物體在時間區(qū)間所經(jīng)過的路程為，則.(3)若物體在變力的作用下沿著與相同的方向從移動到.則變力做的功.【重難點突破】（1）利用定積分求平面圖形面積時，積分變量可以選擇或，應(yīng)利用圖形仔細分析，適當選擇.（2）利用定積分求平面圖形面積的基本步驟：=1\*GB3①畫出圖形；=2\*GB3②根據(jù)圖形特點選擇適當?shù)姆e分變量；=3\*GB3③借助圖形直觀確定被積函數(shù)以及計算積分的上、下限；=4\*GB3④寫出平面圖形面積的定積分表達式；=5\*GB3⑤運用微積分基本定理計算定積分，得出平面圖形的面積.（2）利用定積分求變速直線運動的路程的基本步驟：=1\*GB3①求出每一時間段上的速度函數(shù)；=2\*GB3②求出對應(yīng)時間段上速度函數(shù)的定積分，得到做變速直線運動物體的路程.（3）利用定積分求變力做功的步驟：=1\*GB3①根據(jù)物理的實際意義，求出變力的函數(shù)表達式；=2\*GB3②確定在變力的作用下，物體位移的起始位置和終止位置；=3\*GB3③由公式得到變力所做的功.4．隨堂檢測1．由直線，，曲線以及軸所圍成的圖形的面積為() A． B． C． D．【知識點：定積分的簡單應(yīng)用，定積分在求面積中的應(yīng)用，微積分基本定理；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：D由題知圖形面積為.2．質(zhì)點做直線運動，其速度v(t)＝3t2－2t＋3，則它在第2秒內(nèi)所走的路程為()A．1B．3C．5D．7【知識點：變速直線運動物體的路程與位移，微積分基本定理】答案：D解析：第2秒內(nèi)即從到，故第2秒內(nèi)所走的路程為.3．在彈性限度內(nèi)，彈簧每拉長1cm要用5N的拉力，要把彈簧拉長20cm，則拉力做的功為()A．0.1JB．0.5JC．5JD．10J【知識點：變力做功，微積分基本定理】答案：D解析：設(shè)彈簧所受的拉力，于是，從而，于是拉力做功為J4．設(shè).若曲線與直線所圍成封閉圖形的面積為，則______.【知識點：定積分的簡單應(yīng)用，定積分在求面積中的應(yīng)用，微積分基本定理；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】答案：解析：題設(shè)中封閉圖形的面積為，解得.5．由曲線y2＝2x，y＝x－4所圍圖形的面積是________________【知識點：定積分在求面積中的應(yīng)用，微積分基本定理；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】答案：解析：如圖，由，解得交點坐標為，.因此所求圖形的面積為.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．如圖，由與圍成的陰影部分的面積是()A．2eq\r(3)B．2－eq\r(3)C．eq\f(32,3)D．eq\f(35,3)【知識點：定積分的簡單應(yīng)用，定積分在求面積中的應(yīng)用，微積分基本定理；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】答案：C解析：2．一物體以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直線運動，則它在t＝0s到t＝3s時間段內(nèi)的位移是()A．31mB．36mC．38mD．40m【知識點：變速直線運動物體的路程與位移，微積分基本定理】答案：B解析：m3．曲線與軸所圍圖形的面積為A．B．C．D．【知識點：定積分的簡單應(yīng)用，定積分在求面積中的應(yīng)用，微積分基本定理；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】答案：D解析：由的對稱性可知，面積4．以初速度40m/s豎直向上拋一物體，ts時刻的速度v＝40－10t2，則此物體達到最高時的高度為()A．eq\f(160,3)mB．eq\f(80,3)mC．eq\f(40,3)mD．eq\f(20,3)m【知識點：變速直線運動物體的路程與位移，微積分基本定理】答案：A解析：由v＝40－10t2＝0，得到物體達到最高時t＝2，高度h＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))(40－10t2)dt＝＝eq\f(160,3)(m)．5．一物體在力F(x)＝4x－1(單位：N)的作用下，沿著與力F相同的方向，從x＝1運動到x＝3處(單位：m)，則力F(x)所做的功為()A．8JB．10JC．12JD．14J【知識點：變力做功，微積分基本定理】答案：D解析：由變力做功公式有：J.6．由曲線，與直線，所圍成的平面圖形(如圖所示的陰影部分)的面積是______.【知識點：定積分在求面積中的應(yīng)用，微積分基本定理；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】答案：解析：易知圖中陰影部分兩曲線的交點坐標為.根據(jù)對稱性可知：陰影部分面積.能力型師生共研7．一物體在力F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100≤x≤2，,3x＋4x>2))(單位：N)的作用下沿與力F相同的方向，從x＝0處運動到x＝4處(單位：m)，則力F(x)做的功為()A．44JB．46JC．40JD．60J【知識點：變力做功，微積分基本定理】答案：B解析：做的功為J.8．過原點的直線與拋物線所圍成的圖形面積為，則直線的方程為（）A．B．C．D．【知識點：定積分在求面積中的應(yīng)用，微積分基本定理；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】答案：A解析：直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，由得交點坐標為，，于是圖形面積，解得：，從而直線方程為.9．物體A以v=3t2+1(m/s)的速度在一直線l上運動，物體B在直線l上，且在物體A的正前方5m處，同時以v=10t(m/s)的速度與A同向運動，出發(fā)后物體A追上物體B所用的時間t(s)為___________________.【知識點：變速直線運動物體的路程與位移，微積分基本定理】答案：解析：設(shè)A追上B時，所用時間為t0，依題意得SA＝SB＋5，即，∴teq\o\al(3,0)＋t0＝5teq\o\al(2,0)＋5，即t0(teq\o\al(2,0)＋1)＝5(teq\o\al(2,0)＋1)，∴t0＝5(s)．10．設(shè)滿足約束條件，則所在平面區(qū)域的面積為______________.【知識點：定積分在求面積中的應(yīng)用，微積分基本定理，二元一次不等式表示的平面區(qū)域；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】答案：解析：畫出對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖所示.所以所在平面區(qū)域的面積為探究型多維突破11．橢圓所圍區(qū)域的面積為_________________．【知識點：定積分在求面積中的應(yīng)用，定積分的幾何意義，橢圓的方程，橢圓的簡單幾何性質(zhì)；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：12π由eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，得y＝±eq\f(3,4)eq\r(16－x2).由橢圓的對稱性知，橢圓的面積為.由y＝eq\r(16－x2)，得x2＋y2＝16(y≥0)．由定積分的幾何意義知表示由直線x＝0，x＝4和曲線x2＋y2＝16(y≥0)及x軸所圍成圖形的面積，∴，∴S＝3×4π＝12π.12．已知二次函數(shù)，直線和(其中為常數(shù)，且)，直線l2與函數(shù)的圖象以及直線，與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形如圖，設(shè)這兩個陰影區(qū)域的面積之和為.(1)求函數(shù)的解析式.(2)定義函數(shù)，.若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍.【知識點：定積分在求面積中的應(yīng)用，定積分的幾何意義，導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)的零點個數(shù)；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：（1）由，得，.所以直線l2與的圖象的交點的橫坐標分別為0，t+1.因為0<t<1，所以1<t+1<2.所以S(t)=0t+1dx+t+12.（2）由題知，，x∈R，則.因為m≠4，則點A(1，m)不在曲線y=h(x)上.過點A作曲線y=h(x)的切線，設(shè)切點為M(x0，y0)，則，化簡整理得，其有三個不等實根.設(shè)，則.由，得或；由，得，所以在區(qū)間，(1，+∞)上單調(diào)遞增，在(1，1)上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取極大值；當時，函數(shù)取極小值.因此，關(guān)于的方程有三個不等實根的充要條件是即，即.故實數(shù)的取值范圍是.自助餐1．設(shè)，若曲線與直線，，所圍成封閉圖形的面積為，則()A.2 B.e C.2e D.e2【知識點：定積分的簡單應(yīng)用，定積分在求面積中的應(yīng)用，微積分基本定理；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：D由題知：，解得：.2．由曲線，直線及軸所圍成的圖形的面積為A． B. C. D.【知識點：定積分在求面積中的應(yīng)用，微積分基本定理；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：C聯(lián)立，解得：，于是圍成圖形的面積為.3．一物體在力（的單位：m，的單位：N）的作用下，沿著與力相同的方向從處運動到處，則力所做的功為()A．J B.J C.J D.J【知識點：變力做功，微積分基本定理】解：B由題知所做的功為.4．由曲線，直線和圍成的圖形的面積（）A． B． C． D．【知識點：定積分在求面積中的應(yīng)用，微積分基本定理；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：A如圖，解方程組，，及，得交點坐標為，，，所以.5．一輛汽車在高速路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度（的單位：s，的單位：m/s）行駛至停止.在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離（單位：m）是（）A． B． C． D．【知識點：變速直線運動物體的路程與位移，微積分基本定理】解：C令，得，解得：或（舍去），則汽車行駛的距離為.6．如圖，在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形區(qū)域的A處與C處各有一個通信基站，其信號覆蓋范圍分別為如圖所示的陰影區(qū)域，該正方形區(qū)域內(nèi)無其它信號來源且這兩個基站工作正常，若在該正方形區(qū)域內(nèi)隨機選擇一個地點，則該地點無信號的概率為()A.eq\f(2,e2) B．1－eq\f(2,e2)C.eq\f(1,e) D．1－eq\f(1,e)【知識點：定積分在求面積中的應(yīng)用，微積分基本定理，幾何概型；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：B根據(jù)題意y＝ex與y＝lnx互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y＝x對稱，所以兩個陰影部分的面積相等．聯(lián)立y＝e與y＝ex得x＝1，所以陰影部分的面積＝2[(e－e)－(0－1)]＝2，于是由幾何概型可知無信號的概率為.7．拋物線y＝－x2＋4x－3及其在點A(1,0)和點B(3,0)處的切線所圍成圖形的面積為________．【知識點：導數(shù)的幾何意義，定積分在求面積中的應(yīng)用，微積分基本定理；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：由y′＝－2x＋4得在點A、B處切線的斜率分別為2和－2，則兩直線方程分別為y＝2x－2和y＝－2x＋6，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－2，,y＝－2x＋6，))得兩直線交點坐標為C(2,2)，∴S＝S△ABC－eq\i\in(1,3,)(－x2＋4x－3)dx＝2－eq\f(4,3)＝eq\f(2,3).8.一物體在變力(力單位：N，位移單位：m)作用下，沿與F(x)成30°方向做直線運動，則由x=1運動到x=2時F(x)做的功為________________________.【知識點：變力做功，微積分基本定理】解：W=12F(x)cos30°dx=1232(5x9．一變速運動的物體的運動速度v(t)=2t,0≤t<12t【知識點：變速直線運動物體的路程與位移，微積分基本定理】解：98ln2運動的路程s=012tdt+122tdt+e28tdt=910．已知拋物線y＝x2－2x及直線x＝0，x＝a，y＝0所圍成的平面圖形的面積為eq\f(4,3)，求a的值．【知識點：定積分在求面積中的應(yīng)用，微積分基本定理；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合，分類討論】解：由已知可得或或解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤0，,a3－3a2＋4＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a≤2，,a3－3a2＋4＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞2，,a3－3a2＋4＝0))∴得a＝－1或a＝2，∴a的值為－1或2.11．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx在點x＝1處有極值－2.（1）求常數(shù)a，b的值；（2）求曲線y＝f(x)與x軸所圍成的圖形的面積．【知識點：利用導數(shù)研究函數(shù)極值，定積分在求面積中的應(yīng)用，微積分基本定理；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：（1）由題意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f(1)＝－2，且f′(1)＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a＋b＝－2，,3＋2a＋b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝－3.))（2）由(1)可知，f(x)＝x3－3x.作出曲線y＝x3－3x的草圖如圖，所求面積為陰影部分的面積，由x3－3x＝0得曲線y＝x3－3x與x軸的交點坐標是(－eq\r(3)，0)，(0,0)和(eq\r(3)，0)，而y＝x3－3x