2025年九年級中考數(shù)學(xué)三輪沖刺練習(xí)：二次函數(shù)中相似三角形存在性問題練習(xí)（含解析）

2025年九年級中考數(shù)學(xué)三輪沖刺練習(xí)二次函數(shù)中相似三角形存在性問題練習(xí)

1.已知拋物線y=a/-4x+3(aWO)與x軸交于點(diǎn)A(1,0),8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線解析式；

(2)若點(diǎn)P為拋物線上點(diǎn)，當(dāng)尸B=PC時，求點(diǎn)P坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)M為線段BC上點(diǎn)(不含端點(diǎn))，且與△ABC相似，求點(diǎn)M坐標(biāo).

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線>=丘+1與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C

的拋物線〉=辦2-(6a-2)無+6與直線AC交于另一點(diǎn)8(4,3).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)已知x軸上一動點(diǎn)Q(相，0),連接8。，若△ABQ與△AOC相似，求出根的值.

3.如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A(-3,0)、點(diǎn)3(1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)

。是拋物線上一動點(diǎn)，連接。。交線段AC于點(diǎn)￡.

(1)求這條拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求NACB的正切值；

(3)當(dāng)△AOE與△ABC相似時，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

備用圖

4.如圖，拋物線y=-/+6x+c與無軸分別交于點(diǎn)A(-1,0)>B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,

頂點(diǎn)為。，對稱軸交尤軸于點(diǎn)

(1)求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸是拋物線的對稱軸上一點(diǎn)，以點(diǎn)尸為圓心的圓經(jīng)過A、2兩點(diǎn)，且與直線C。

相切，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)使得△Z5CM與△BQC相似？如果存在，求

出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、8兩點(diǎn)，拋物線y

=-/+6x+c過A、3兩點(diǎn)，點(diǎn)。為線段AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)C,交拋

物線于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式.

(2)求△ABE面積的最大值.

(3)連接BE,是否存在點(diǎn)Z),使得和△ZMC相似？若存在，求出點(diǎn)。坐標(biāo)；若

不存在，說明理由.

6.如圖，拋物線y=/-6x+c過點(diǎn)8(3,0),C(0,-3),。為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)C關(guān)于拋物線y=/-bx+c對稱軸的對稱點(diǎn)為E點(diǎn)，連接8C,BE,求/CBE的

正切值；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)M是拋物線對稱軸上且在CE上方的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M使

△DM2和相似？若存在，求點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

7.如圖，拋物線尸一#+法+c與直線反交于4(4,。)，B(0.2)兩點(diǎn)，拋物線與x軸

負(fù)半軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)D在第二象限拋物線上，作DE〃為軸交A8于點(diǎn)E,作。G_Lx軸，軸，垂足

分別是G,F,當(dāng)四邊形。斯G為正方形時，求。E的長；

(3)P為第一象限拋物線上的點(diǎn)，。為直線AB上的點(diǎn)，當(dāng)△2PQ與△ABC相似時，直

接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

8.如圖，拋物線yn/+bx+S經(jīng)過4(-3,0),B(1,0)兩點(diǎn).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)如圖1,尸為拋物線上在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，若△B4C面積為3,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,。為拋物線的頂點(diǎn)，在線段上是否存在點(diǎn)M,使得以M,A,。為頂

點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

9.二次函數(shù)y=o?+6x+4的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,且A(-1,0)、

B(4,0)

(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式

(2)如圖1,拋物線的對稱軸必與x軸交于點(diǎn)E,CD±m(xù),垂足為￡>,點(diǎn)、F(-(,0),

O

動點(diǎn)N在線段。E上運(yùn)動，連接CRCN、FN,若以點(diǎn)C、D、N為頂點(diǎn)的三角形與△

PEN相似，求點(diǎn)N的坐標(biāo)

(3)如圖2,點(diǎn)M在拋物線上，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是1,點(diǎn)尸為拋物線上一動點(diǎn)，若/

PMA—45°,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

10.如圖，己知拋物線yuad+bx+c與直線y=%+寺相交于A(-1,0),B(4,m)兩點(diǎn),

拋物線尸a/+6x+c交y軸于點(diǎn)C(0,-f),交x軸正半軸于點(diǎn)。，拋物線的頂點(diǎn)為

(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)m的坐標(biāo)；

(2)設(shè)尸為直線A2下方的拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求此時△B48的

面積及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)。為x軸上一動點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)AQMNsAMAD(點(diǎn)。與點(diǎn)M對應(yīng))

時，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

11.如圖，二次函數(shù)＞=0?+歷什2的圖象與x軸相交于點(diǎn)A(-1,0)、B(4,0),與y軸

相交于點(diǎn)C.

(1)求該函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PQLBC,垂足為點(diǎn)。，連接

PC.

①求線段P0的最大值；

②若以點(diǎn)尸、C、。為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a/+6尤+c(aWO)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)A(4,

0).經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)B(1,3),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸是二次函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸在直線AB上方時，過點(diǎn)尸作尸

軸于點(diǎn)E,與直線AB交于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為

①機(jī)為何值時線段PD的長度最大，并求出最大值；

②是否存在點(diǎn)尸，使得△2尸。與△AOC相似.若存在，請求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

13.如圖，拋物線y=-/+bx+c上的點(diǎn)A,C坐標(biāo)分別為(0,2),(4,0),拋物線與x軸

負(fù)半軸交于點(diǎn)8，點(diǎn)〃為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且。河=2,連接AC,CM.

(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是拋物線位于第一象限圖象上的動點(diǎn)，連接AP,CP,當(dāng)SAR4c=&\ACM時，

求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)。是線段(包含點(diǎn)8,C)上的動點(diǎn)，過點(diǎn)。作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)

Q,交直線CM于點(diǎn)N,若以點(diǎn)。，N,C為頂點(diǎn)的三角形與△COM相似，請直接寫出點(diǎn)

Q的坐標(biāo).

備用圖

14.已知：如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,-2),直線的圖象與該二次

函數(shù)的圖象交于4、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),2點(diǎn)在y軸上.點(diǎn)P為線段A3

上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)尸與點(diǎn)A、B不重合)，過點(diǎn)尸且垂直于x軸的直線與這個二次函數(shù)的

圖象交于點(diǎn)E.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求線段PE的長(用含尤的代數(shù)式表示)；

(3)點(diǎn)。為直線與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點(diǎn)，若以點(diǎn)P、E、。為頂點(diǎn)的三

角形與△A08相似，請求出尸點(diǎn)的坐標(biāo).

15.如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=—Jr-1與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A、B,以尤=-1

為對稱軸的拋物線y=x1+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A、C,直線x=-1與x軸交于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在線段42上是否存在一點(diǎn)尸，使以A,D,尸為頂點(diǎn)的三角形與△A08相似？若存

在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

(3)若點(diǎn)。在第三象限內(nèi)，且tanNAQD=2,線段CQ是否存在最小值，如果存在直接

寫出最小值；如果不存在，請說明理由.

參考答案

1.【解答】解：(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0="4+3,解得：a=l,

故拋物線的表達(dá)式為：y=7-4x+3…①，

令尤=0,則y=3,令y=0,貝!|x=l或3,

故點(diǎn)C(0,3)、點(diǎn)B(3,0)；

(2)時，則點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，

33

線段3c的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-，-),

22

33

則8C中垂線的左值為1,過點(diǎn)（-，一），

22

則其表達(dá)式為：尸尤…②，

①②聯(lián)立并求解得：x=岑超，

……，5+V135+V13-5-V135-V13

則點(diǎn)P坐標(biāo)為（------，---------）或（------，---------）;

2222

（3）M為線段BC上點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且與△ABC相似,

,ABMB4

則即：一=―，貝!|M3=/，

BCAB3J2

過點(diǎn)M分別作X、＞軸的垂線交于點(diǎn)〃、G,

???O3=OC=3,：.ZCBO=45°,

F527

則MH=MG=M3x號=毋，OH=OB-BH=j,

-72

即點(diǎn)M（一，-）

33

2.【解答】解：（1）點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,1）,b=l,

將點(diǎn)B坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：3=4什1,解得：k=W，

則一次函數(shù)表達(dá)式為：v=%+l,則點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2,0）,

把點(diǎn)。、3坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：3=?X42-4（6〃-2）+1,解得：a-

則二次函數(shù)表達(dá)式為：尸|x+i；

（2）①如圖，當(dāng)NAQB=90°時，

△ABQ與△AOC相似，機(jī)=4,

②當(dāng)/48。=90°時，△ABQ與△AOC相似，

AB=J（4+2尸+32=3西,cosXBAO=

貝"盛U,

則m=—2=三，

11

即：m的值為4或一.

2

3.【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為：y=cu?+bx+c,將點(diǎn)A（-3,0）,B（1,0）,C

（0,3）分別代入得：

9a—3b+c=0

a+b+c=0，

c=3

a=—1

解得:b=-2

c=3

故拋物線解析式為：-x2-2x+3.

由于尸-x1-2x+3=-(x+1)2+4,

所以該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,4)；

(2)如圖1,過點(diǎn)B作于點(diǎn)

VZAOC=90°,04=00=3,

：.ZOAC=ZOCA=45°,AC=3V2.

9：ZBHA=90°,

：.ZHAB+ZHBA=90°.

:?NHAB=/HBA=45°.

122

???在直角中，Afl+BH=ABfAB=4.

:,AH=BH=2a.

.'.CH=3V2-2V2=V2.

9：ZBHC=90°,

BH272

??tanNAC8==2o;

(3)如圖2,過點(diǎn)。作。軸于點(diǎn)K,

設(shè)。(x,-?-2x+3),則K(x,0).并由題意知點(diǎn)。位于第二象限.

/.DK=-/-2x+3,OK=-尤.

,/NBAC是公共角，

...當(dāng)△AOE與△ABC相似時，有2種情況：

①NAOD=ZABC時，LAOEsAABC,

tanZAO￡)=tanZABC=3.

.??士士=3,解得x-產(chǎn)，彳2=呼(舍去)

-XNN

1-V133V13-3

：.D(---------,-----------).

22

②ZAOD^ZACB時，zMOEsAACB,

tanZAOD=tanZACB=2.圖2

—%2—2%+3

---------------=2,解得犬1=一,，X2=V3(舍去)

-%

；.D(-V3,2V3).

綜上所述，當(dāng)與相似時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)是(―，或5

2V3).

4.【解答】解：(1)VA(-1,0),B(3,0).

代入y=-x2+/?x+c,得

C-l+b+c=0

t-9+3Z?+c=0，

解得b=2,c=3.

???拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=-/+2]+3；

(2)如圖1,設(shè)直線CD切。尸于點(diǎn)￡連接產(chǎn)區(qū)B4,作

于點(diǎn)足

：.PELCD,PE=PA.

y=-X2+2X+3,得

對稱軸為直線x=l,c(0,3)、D(1,4).

：.DF=4-3=1,CF=1,

：.DF=CF,

???△DCF為等腰直角三角形.

：.ZCDF=45°,

:?NEDP=NEPD=45°,

:?DE=EP,

石尸為等腰三角形.

設(shè)P(1,m),

：.EP2=4(4-m)2.

在△APQ中，ZPQA=90°,

：,AP2=A^+PQ1=[1-(-1)]2+m2

1

(4-m)2=[1-(-1)]2+/M2.

整理，得m2+Sm-8=0

解得,m—-4+2V6.

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,-4+2在)或(1,-2^/6).

(3)存在點(diǎn)使得△OCMS/XBQC.

如圖2,連接C。、CB、CM,

VC(0,3),02=3,ZCOB=90°,

...△COB為等腰直角三角形，

：.ZCBQ=45°,BC=3近.

由(2)可知，ZCDM=45°,CD=V2,

：.NCBQ=NCDM.

ADCM與ABQC相似有兩種情況.

DMCD,

當(dāng)——=——時，

QBCB

DMV22圖2

=丁方，斛得DM=子

23V23

210

???QM=DQ-DM=4-毋=號.

10

Mi(1,——).

3

,DMCD

當(dāng)---=時，r

CBQB

DMV2

.?.猊==,解侍萩=3,

???QM=DQ-DM=4-3=1.

：.Mi(1,1).

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,學(xué)）或（1,1）.

5.【解答】解：（1）在直線解析式y(tǒng)=x+4中，令x=0,得y=4；令y=0,得x=-4,

???A（-4,0）,B（0,4）.

:點(diǎn)A(-4,0),B(0,4)在拋物線>=-x2+to+c±,

.(—16—4b+c=0

**tc=4

解得：b=-3,c=4,

???拋物線的解析式為：-x2-3x+4.

(2)如圖，連接AE、過點(diǎn)七作軸于點(diǎn)R

設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為(相，0)(m<0),則點(diǎn)E坐標(biāo)為(m,-m2-3m+4),

則OC=-m,OF=-m2-3m+4,

VOA=OB=4,

:?BF=-m2-3m,

貝S^ABE=S梯形AO尸E-S^AOB-S^BEF

111

=2X(-m+4)(-m9-3m+4)—)x4X4—X(-m)X(-m9-3m).

=-2ml-8/77

=-2(機(jī)+2)2+8,

:-4<m<0,

當(dāng)根=-2時，S取得最大值，最大值為8.

即△ABE面積的最大值為8.

(3)設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(加，0)(m<0),則0C=-m,C￡>=AC=4+〃z,BD=y[20C=-V2m,

則D(m,4+m).

:△AC。為等腰直角三角形，△OBE和△ZMC相似

ADBE必為等腰直角三角形.

z)若/BED=90°,貝!|BE=Z)E,

；BE=OC=-m,

:?DE=BE=-m,

CE=4+m-m=4,

(m,4).

:點(diǎn)、E在拋物線j=-x2-3尤+4上，

；.4=-7772-3加+4,解得772=0(不合題意，舍去)或m=-3,

：.D(-3,1)；

zz)若NEBD=90°,則BE=BD=-V2m,

在等腰直角三角形EBD中，DE=立BD=-2m,

CE=4+m-2m=4-m,

:?E(m,4-m).

:點(diǎn)E在拋物線j=-x2-3尤+4上，

.,.4-m=-m2-3/?i+4,解得機(jī)=0(不合題意，舍去)或加=-2,

：.D(-2,2).

綜上所述，存在點(diǎn)D,使得和△ZMC相似，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,1)或(-2,2).

6.【解答】解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y=(x+3)(x+a),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：3n

=-3,解得n=-1.

...拋物線的解析式為>=(尤+3)(x-1)即y=/-2x-3.

，."y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

：.D(1,-4).

(2)如圖1所示：過點(diǎn)E作EOL8C,垂足為。.

,:B(3,0),C(0,-3),

.?.OC=OB=3.

：.NOCB=NOBC=45°,BC=3近

V點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,

C.CELOC,

.?.ZDC￡=45°.

:EDLCD,

...△OEB為等腰直角三角形.

-2x-3=(x-1)2-4,

拋物線的對稱軸為尤=1.

:.CE=2.

:.CD=ED=V2.

；.BD=BC-CD=2V2.

DP1

.'.tanZCBE=需=

(3)如圖2所示：

VB(3,0),D(1,-4),

.'.A(-1,0),F(1,0).

:?FB=2,DF=4.

1

tanFDB=于

tanZFDB=tanZCBE.

：.ZFDB=ZCBE.

DMBE

?,?t當(dāng)一=—時t，△BCEsADBM.

BDBC

MD__V10

(解得：M0=學(xué).

*275—3直

???點(diǎn)M的縱坐標(biāo)=-4+w=一可.

?**Af(1,-W，,

如圖3所示：

?:NFDB=NCBE,

???當(dāng)NBMD=NBCE=45°時，△DMBs^BCE.

；?FM=FB=2.

：.M(1,2).

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,-芻）或（1,2）時，△OM8和相似.

7.【解答】解：(1)將點(diǎn)A(4,0),B(0,2)代入y=—#+bx+c,

.f-1X16+4b+c=0,

lc=2

解得我=I

k=2

?.?y=-21%2+,]3Xg+2；

(2)設(shè)直線A5的解析式為y=fcx+d,

.C4fc+d=0

,(=2

*=T,

Q=2

.1g

??y——7yx+2,

/L

設(shè)。(t,—2廠+2什2),E(F-3t,-2廠+2什2),

：r)E〃彳軸交AB于點(diǎn)E,

：.DE=t2-4t,

G_L無軸，

:.DG=-2廠+,2^+2?

:四邊形。斯G為正方形，

：.DG=DE,

~4f=—2P+于+2，

解得f=4(舍)或/=一，

(3)令y=0,貝！尹2+$+2=0,

解得尤=-1或x—4,

：.C(-1,0),

VA(4,0),B(0,2),

：.AB=2y/5,AC=5,BC=V5,

.?.△ABC是直角三角形，ZABC=90°,

設(shè)尸(m,-亍獷+^機(jī)+2),Q(",-]"+2),

①如圖1,當(dāng)NBQP=90°,NPBQ=NC54時，

過點(diǎn)尸作尸軸交直線AB于點(diǎn)E,交無軸于點(diǎn)

.1

：?E(JTI,-2m+2),

:.PE=-]加2+2機(jī),

■:NPEQ=/DEA,

：.ZQPE=ZBAC,

,：AABC^APBQ,

:.ZPBQ=ZCBA9

；?NPBQ=/PEB,

：.PB=PE,

m2+(—2=(—^m2+2m)2

解得m=I，

△ABCS^PQB,

.ACBC

??—,

PBBQ

.5V5

**--BQ，

8

②如圖2,當(dāng)/BQP=90°,時,

：.BP//AC,

點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,

：.P(3,2),

:.BP=3,

"：/\PBQ^/\CAB,

BPBQ“3BQ

"?—=—,即-=-尸，

ACAB52V5

③如圖3,當(dāng)/AP3=90°,時,

過點(diǎn)P作PD±x軸交AB于點(diǎn)E,

ZAED=Z.ACB,

八y

'：NPEB=NAED,P

：.NPEB=

：?PB=PE,

?渥+^-m+2),_______j.

VP(m,-1

C0D/

“，/部\

:?E(m,-

：.PE=7i2+2m,

—^m2+2m=m2+(—^m2+|m)2,

??m=

325

.,.P(一，——),

28

15

???尸5=苗

△ABCSAQPB,

.空一些即月-匹

BQPBBQ獲

???%=喑，

.?里=/+幻2,

874

八＞'

.」5

??〃-w

\」Z二Z\，.

151

(丁，-)：

■,?Q4o

④如圖4,當(dāng)/3PQ=90°,ZPBQ^ZCAB時,____L____i

cu

：.BP//AC,P0〃y軸，

點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,/圖4\

1

：.P(3,2),Q(3,-)；

31312/一151一1

綜上所述：。點(diǎn)的坐標(biāo)為(二，—)或(=，■;?)或(7,-)或(3.

4855

8.【解答】解:(1)把A(-3,0),8(1,0)代入拋物線解析式y(tǒng)=a$+bx+3得°?

解得於二，

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-?-2x+3；

(2)如解(2)圖1,過尸點(diǎn)作尸0平行y軸,交AC于Q點(diǎn)，\/\

口1。|Y%

解(2)圖1

VA(-3,0),C(0,3),

直線AC解析式為y=x+3,

設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(x,-x2-2x+3.),則。點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x+3),

PQ=-J？-2x+3-(x+3)=-JC-3x.

1

S/^PAC-2XPQ?A。，

1、

(-?-3x)X3=3,

2

解得：Xl=-1,X2=-2.

當(dāng)x=-1時，尸點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4),

當(dāng)x=-2時，尸點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,3),

綜上所述：若AB4c面積為3,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-1,4)或(-2,3)；

(3)存在，理由：

如解(3)圖1,過。點(diǎn)作垂直x軸于尸點(diǎn)，過A點(diǎn)作AE垂直2C于E點(diǎn),

:D為拋物線y=-x2-2x+3的頂點(diǎn)，

■,■D點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4),

又(-3,0),

直線為y=2尤+6,AF=2,DF=4,tan/ZM2=2,

,:B(1,0),C(0,3)八

/.tanZA5C=3,BC=V10,smZABC=^^-,

：.直線BC解析式為y=-3x+3.//

,：AB=4,//

A

X

：.CE=^^~,

解(3)圖1

?/A-八AE

??tan/AC5=優(yōu)，

tanZACB=tanZDAB=2,

：.ZACB=/DAB,

使得以M，A,。為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則有兩種情況，如解(3)圖2,

I.當(dāng)NAOM=NCAB=45°時，

即0M為y=-尤，

設(shè)0M與4。的交點(diǎn)M(x,y)

依題意得：｛y:=-x

.y=2%+6

即為點(diǎn)為(-2,2),

此時，AM：MO^CA：AB,

故點(diǎn)M舍去；

II.若NA0M=NC8A,BPOM//BC,

,/直線BC解析式為y=-3尤+3.

直線0M為y=-3無，設(shè)直線0M與的交點(diǎn)M(x,y).則

解⑶圖2

6

y——3xx=~5

依題意得:解得《

y=2%+618

_,618

即加點(diǎn)為—),

。5

此時，AM：MO^CA：AB,

故點(diǎn)M符合題設(shè)條件.

綜上所述：存在使得以M，A,。為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似的點(diǎn)其坐標(biāo)為(-熱

18

—).

5

9.【解答】解：(1)當(dāng)x=0時，y=4,

：.C(0,4).

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+l)(x-4),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：-4a=4,解得a=-1,

，拋物線的解析式為y=-/+3x+4.

(2)x-—y-=^.

2a2

8

--

CD=￡F3

3

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(5，〃)則ND=4-〃，NE=a.

,,ENEFa<164，AA

當(dāng)LCDNS^FEN時,—=—，即——=—，解得〃=浣,

DNCD4-a925

一364

???點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-，—）.

225

8

CDDNa7

當(dāng)△CONs/XN跖時，一=—,即于=」一，解得：a=2.

NEEF—4—(1

2

3

???點(diǎn)N的坐標(biāo)為(5，2).

3643

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-，—)或(-，2).

2252

(3)如圖所示：過點(diǎn)A作AO〃y軸，過點(diǎn)M作。軸，交點(diǎn)為。，過點(diǎn)A作

AM,取AE=AM,作瓦軸，垂足為R連接交拋物線于點(diǎn)P.

VAM=AE,ZMAE=90°,

ZAMP=45°.

將X=1代入拋物線的解析式得：y=6,

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,6）.

：.MD=2,AD=6.

'：ZDAM+ZMAF=90°,ZMAF-^ZFAE=90°,

：.ZDAM=ZFAE.

ND=Z.AFE=90°

在△AOM和AAFE中，Z.DAM=4FAE，

AM=AE

△ADM絲LAFE.

；.EF=DM=2,AP=A￡)=6.

：.E(5,-2).

設(shè)EM的解析式為y^kx+b.

將點(diǎn)M和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：色+力］,解得仁—，b=8,

15k+b=—2

???直線EM的解析式為y=-2x+8.

將y=-2%+8與y=-X2+3X+4聯(lián)立，解得：x=1或x=4.

將x=4代入y=-2x+8得：y=0.

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0).

10?【解答】解：⑴把點(diǎn)5(4,m)代入尸中，得機(jī)=搟，

5

：.B(4,-),

2

a—b+c=0

(16a+4b+c

a=

解得b=—1.?.拋物線的解析式為y=#-x-

c=-1

?；y=-x—*=:(x-1)2-2,

...點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-2).

(2):點(diǎn)P為直線AB下方拋物線上一動點(diǎn)，

-l<x<4,

如圖1所示，過點(diǎn)P作y軸的平行線交AB于點(diǎn)X,

12211

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(m,-m-m—2)，則點(diǎn)7/(如721+]),圖1

01/、1z12.35/3、21125

S/\FAB=kHrrPr,。(XB_XA)=77*(_T：rn+5771+2)X5=_-T(in_77)H--

LLLL4-Z1O

-MR

01253-1r

...當(dāng)7"=2時，S最大，最大為H，此時點(diǎn)尸(5,--g-).

(3)如圖2所示，

令y=0,解得xi=-1,X2=3,

：.D(3,0),

'：M(1,-2),A(-1,0),

.-.△AMD為等腰直角三角形，

12

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(幾,一-〃一亍)，

22

"http://\QEN^/\MFQ(A4S),

13

:?FQ=EN=2,MF=EQ=2M9_『卞

13

??—n9~n—77+1—〃+2，

22

解得及=5或-1（舍），

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為（7,0）,

根據(jù)對稱性可知，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-5,0）時也滿足條件，

?：/\ADM是等腰直角三角形，

二當(dāng)點(diǎn)。是的中點(diǎn)，N與A或。重合時，AQMNsAMAD,

此時。（1,0）時.

綜上所述：點(diǎn)。的坐標(biāo)為（7,0）或（-5,0）或（1,0）.

1L【解答】解：（1）拋物線解析式為（x+l）（x-4）,

即y=aj?-3ax-4a,

則-4Q=2,解得。=一

所以拋物線解析式為尸-p+|x+2；

(2)①作PN_Lx軸于N,交于如圖,

BC=V22+42=2^/5,

當(dāng)尤=0時，y=—#+|x+2=2,則C（0,2）,

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,

把C（0,2）,B（4,0）得｛；；；幾=0，解得m=—

n=2

???直線5。的解析式為y=-1x+2,

設(shè)尸(f,—、金+自+2),則Af(f,—3+2),

PM——2廣+可+2-(一,+2)——+23

/NBM=ZNPQ,

：./\PQM^/\BOC,

.?孕=也，即加=處警

OBBC2相

?"。=-爭+警r=-增（「2）2+警,

4V5

當(dāng)『=2時，線段PQ的最大值為一^-；

②當(dāng)/PCQ=/ABC時，△PCQS2XABC,

此時PC〃。5點(diǎn)P和點(diǎn)C關(guān)于直線對稱,

此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（3,2）；

當(dāng)NCPQ=N05。時，△。尸QS2XABC,

?：NOBC=NNPQ,

：?NCPQ=NMPQ,

而尸。_LCM,

「?△PCM為等腰三角形，

:?PC=PM,

?+(-!?+|r+2-2)2=(-1?+2z)2,

解得t=I,

325

此時尸點(diǎn)坐標(biāo)為(-，一)，

28

325

綜上所述，滿足條件的尸點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)或(-，—).

28

12?【解答】解：(1)???拋二次函數(shù)經(jīng)過。(0,0),A(4,0),B(1,3),

0=c

???將三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得0=16a+4h+c,

3=a+b+c

解得：a=-1,/?=4,c=0,

...二次函數(shù)的解析式為：j=-X2+4X；

:直線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線A8解析式為：y^kx+n,

.?.將A、B兩點(diǎn)代入得匕二：；：以

解得：k=-1,〃=4,

工直線AB解析式為：y=-x+4,

???點(diǎn)。是直線與y軸交點(diǎn)，

?,?令x=0,則y=4,

：.C(0,4).

(2)①???點(diǎn)尸在直線A3上方，

???0WmW4,

2

由題知P(m,-m+4m),D(m,-m+4),

59

44\2

--l+-

2z4

②存在，理由如下:

,?ZPDB=ZADE,ZADE=NACO,

：.ZBDP=ZACO,

???△AOC是直角三角形，

???要使43尸。與△AOC相似，只有保證是直角三角形就可以.

(I)當(dāng)尸。S/XAOC時，

VZAOC=90°,

：.ZBPD=90°,

此時5尸〃入軸，B、尸關(guān)于對稱軸對稱，

(II)法一：當(dāng)MBDs^AOC時，

：.ZPBD=ZAOC=90°,

0C=O4=4,

ZBDP=ZADE=ZOAC=45°,

???△BDP為等腰直角三角形，

：.PD=V2BZ),

由①知PD=-W+5加-4,

'：B(1,3),D(m,-m+4),

BD=yj(m—l)2+(—m+4—3)2=V2(m-1),

'：PD=V2BZ),

/.-m2+5m-4=2(m-1),

解得加1=2,徵2=1(舍)，

：.ZPBD=ZAOC=90°,

過5作GH〃》軸，作尸G_LG〃，作O〃_LG〃，

則易證△PGBsABHD,

.PGBG

??=,

BHDH

?；PG=m-LBG=-扇+癡-3,BH=m-1,DH=m-1,

.m-1-m2+4m-3

??~,

m-1m-1

解得詢=2,m2=l（舍）,

：.ZPBD=ZAOC=90°,

：.AB±PB.

VkAC=-L

??kBP=1,

直線BP的解析式為：y=x+2,

聯(lián)立方程組得［y=-比，

解得:

綜上，存在點(diǎn)尸使△BP￡＞與△AOC相似，此時P的坐標(biāo)為(3,3)或(2,4).

13.【解答】解：(1)?..點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸且0M=2,

：.M(0,-2),

將A(0,2),C(4,0)代入y=-/+bx+c,得『，

1-16+4b+c=0

解得卜=L

(c=2

拋物線的解析式為y=-/+2x+2；

(2)過點(diǎn)P作尸軸于點(diǎn)R交線段AC于點(diǎn)E,

設(shè)直線AC的解析式為y=fcc+〃2(左#0),

將A(0,2),C(4,0)代入產(chǎn)fcc+%得優(yōu)：)=0，

解得卜=一2,

=2

直線AC的解析式為y=-3乂+2,

設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為p(0<p<4),

則P(p,-p2+2P+2),E(p,-]p+2),

7i

PE=-p2+2。+2—2。+2)=~P2+4P(0<p<4),

S^ACM—8,

1〃

.'?SAPAC=2PE,OC——2p2+8p=8,

解得pi=02=2,

：.P(2,5)；

31

(3)QIG，5),Q2J2,。)，

:在△COM中，ZCOM=90°,以點(diǎn)Q,N,C為頂點(diǎn)的三角形與△COM相似,

.??以點(diǎn)。，N,C為頂點(diǎn)的三角形也是直角三角形，

又；QD，無軸，直線QD交直線CM于點(diǎn)N,

：.ZCNQ^90°,即點(diǎn)N不與點(diǎn)。是對應(yīng)點(diǎn).

故分為NCQN=90°和NQCN=90°兩種情況討論：

①當(dāng)/CQN=90°時，由于QN，x軸，

.,.CQ_Ly軸，即C。在無軸上，

又：點(diǎn)Q在拋物線上，

此時點(diǎn)2與點(diǎn)。重合，

作出圖形如下：

y

(0)8

x

W

此時NCQN=NCOM=90°,

又,：/QCN=/0CM

：.ACQN^ACOMf即此時符合題意,

7

令2

y-X

2-

解得：%i=—7/%2=3(舍去)

1

???點(diǎn)。的坐標(biāo)，也即點(diǎn)5的坐標(biāo)是Qi(-],0).

②當(dāng)NQCN=90°時，作圖如下:

???QO_L%軸，ZCOM=90°

QD//OM,

NCNQ=/OMC,

NCNQ=/OMC,ZQCN=ZCOM=9Q

AQCNs叢COM,即此時符合題意，

AQCNsMOM,

ZCQN=ZOCMf即NZ)Q