2025年九年級中考數(shù)學二輪復習：四邊形中的相似三角形綜合問題

2025年九年級中考數(shù)學二輪復習專題練習四邊形中的相似三角形綜合問題

1.如圖，在矩形ABC。中，對角線AC與2。交于點。，點E在BC邊上，DE與AC交于

點F,ZCDE=ZADB.

(1)求證：ACDEs^CBD；

(2)已知AB=2,BC=4,求尸的面積.

2.如圖，在四邊形ABC￡＞中，AD//BC,AC,BD交于點E,過點E作MN〃AO,分別交

AB,CD于點Af,N.

(1)求證：△AMEsZ\ABC；

,111

(2)求證：---=—+一；

MEADBC

(3)若4。=5,BC=1,求MN的長.

3.如圖，在正方形ABC。中，E為AO邊上一點，EFLBE交CD于點、F.

(1)求證：LABEsLDEF；

(2)若AB=4,CF=3FD,求DE的長.

4.如圖點E是矩形ABCD中AD邊上一點，連接CE,沿線段CE翻折點D的對

應點尸恰好落在AB邊上.

(1)求證：△E^FS—BC.

(2)若FC=3EF,3P=12,求線段BC的長.

5.如圖，點尸是平行四邊形ABCD的邊上的一點，直線CF交線段BA的延長線于點E.

(1)求證：AAEFS^DCF；

(2)若AF：DF=1：2,AE=V2,S^EF=

①求EB的長；

②求平行四邊形ABC。的面積.

6.如圖，在菱形ABC。中，點G在邊CD上，連線AG并延長交2C的延長線于點E連

結(jié)交于點E,連結(jié)CE.

(1)求證：LAED當ACED；

(2)求證：EC1=EF'EG-,

CE

(3)若AB=6,-=3,求CE的長.

EG

7.如圖，在菱形ABC。中，點E是3C邊上一動點(且與點2、C不重合)，連接AE交BD

于點G.

(1)若AE_LBC,ZBA￡=18°,求/BGE的度數(shù)；

⑵若AG=BG,求證游一GE2=AG?GE；

(3)過點G作GM〃3。交A3于點記.S”MG為Si,S四邊形DGEC為S2,BC=xBE,

111

①求證:—+—=---；

BEADMG

②求y與尤之間的函數(shù)關系式.

8.如圖，在矩形ABC。中，AB=2A。，點E在CD上,ZDA￡=45°,尸為BC的中點,

連結(jié)AE,AF,分別交BD于點G,H,連結(jié)E?

(1)求證：BD=2EF.

(2)當即=6時，求GH的長.

9.已知正方形42c點E,F,G分別在邊CD,BC,A。上，連接4E、GF,

(1)若AE_LGP于點"

①如圖1,求證：AE=GF；

②如圖2,將GF向下平移，當點G與。重合時，若E為CO的中點，連接”C,求J的

CH

值；

(2)如圖；若A2=6,AG=CP=L5,且CE=2OE,請你求出NAHG的度數(shù).

圖1圖2圖3

10.如圖，在13ABe。中，點￡■在上，AE=^AB,EQ和AC相交于點F,過點/作FG

//AB,交A。于點G.

AF

(1)求一的值.

FC

(2)若48：AC=V3：2

①求證：/AEF=/ACB.

②求證：DF1=DG-DA.

11.如圖，在正方形ABC。的外側(cè)，以A。為邊作等邊△ADE,線段AC與線段8E相交于

點元

(1)求NA3E,NBPC的度數(shù);

(2)求證：FC=FE；

(3)求一的值.

12.如圖，正方形ABC。的邊長是3,BP=CQ,連接AQ,。尸交于點。，并分別與邊C。、

BC交于點、F、E,連接AE.

(1)求證：AQ±DP；

(2)求證：A.O1=OD'OP-,

(3)當8尸=1時，求。。的長度.

13.如圖，點E是正方形ABC。的邊2C延長線上一點，連接。E,過頂點B作BFLDE,

垂足為RBF交邊DC于點G.

(1)求證：DG?BC=DF,BG；

(2)連接CR求NCFB的大?。?/p>

(3)作點C關于直線。E的對稱點X,連接CHFH.猜想線段DRBF,S之間的

數(shù)量關系并加以證明.

14.如圖，在正方形ABC。中，點〃是邊BC上的一點(不與3、C重合)，將線段AM繞

點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AN,連接DN、MN、AC,MN與邊AD交于點E,與AC相交

于點O.

(1)求證：AABMmAADN；

(2)當AM平分/BAC時，求證：AM2=AC'AE；

OM

(3)當CM=3BM時，求——的值.

OE

15.如圖，在正方形ABC。中，點E為對角線AC,BD交點,AF平分/D4C交2。于點G,

交DC于點F.

(1)求證：

(2)判斷△OGF的形狀.

(3)若AG=1,求G尸的長.

16.如圖，矩形ABC。中，已知AB=6.BC=8,點￡是射線8C上的一個動點，連接AE

并延長，交射線。C于點?將△ABE沿直線AE翻折，點2的對應點為點

(1)如圖1,若點E為線段8C上一點，延長A3交CD于點M,求證：AM^FM；

BE

(2)如圖2,若點8”恰好落在對角線AC上，求法的值；

BE3

(3)若一=-,求/D4g的正弦值.

CE2

圖1圖2備用圖

參考答案

1.【解答】(1)證明：???四邊形A5CD是矩形，

:?AD〃BC,CD=AB,

：.ZADB=ZCBD,

???ZEDC=ZADB,

：./EDC=NCBD,

又,：/ECD=/DCB,

：.ACDE^/\CBD；

(2)解：,:ACDEsACBD,

.CD_EC_

?.=,

BCCD

VAB=C￡>=2,BC=AD=4,

；.EC=1,

'：AD//BC,

：.AADF^ACEF,

.ECCFEF1

99AD~AF~DF~4

1

.*S/\ADC=2X4X2=4,

14

S^DFC=-^SAADC=引

.11

??S/^EFC—4s△FDC=耳.

2.【解答】(1)證明：?.?AZ)〃5C,MN//AD,

：.MN//BC,

：.AAME^AABC；

(2)證明：9：MN//AD.AD//BC,

DEAE

??BD~AC

?:MN//BC,

：.AAME^AABC,△DENS^DBC,

.AEMEDENE.MENE

一,

99AC~BC'BD一CB'??BCCB

ME=NE,

i

點E是MN的中點，ME=NE=^MN,

AD//BC//MN,

△CENsMCAD,AAME^AABC,

NECEMEAE

AD~ACBC~AC

NEMECEAEAC

AD+BC~AC+AC~AC~'

NEME

----+-----=1,

ADBC

111

；---=----+—

?'ME~ADBC

(3)結(jié)合(2)的結(jié)論，

'：AD=5,BC=1,

111

??____?____i_一_T,

ME57

35

：.ME=||,

■:ME=NE,

353535

:?MN=ME+NE=甚+言=娑.

1212o

3.【解答】(1)證明：???四邊形A8CD為正方形，

AZA=ZD=90°,

?；EF_LBE交CD于點F,

：.ZBEF=90°,

NAEB=ZDFE=90°-NDEF,

AABEsADEF.

(2)解:VAB=AD=CD=4fCF=3FD,

：.EA=4-DE,3FD+FD=4,

：.FD=1,

'：AABEsADEF,

.EAAB

??二,

FDDE

.4-DE4

??=r

1DE

解得DE=2,

的長是2.

4.【解答】(1)證明：：沿線段CE翻折△CDE,點。的對應點下恰好落在AB邊上,

:.NEFC=ND=90°,

:四邊形ABC。為矩形，

AZA=ZB=90°,

ZAFE+ZBFC=ZBFC+ZBCF=90°,

NAFE=ZBCF,

:.AEAFs"BC；

(2)解：:△EAFs-BC,

：.AE：BF=EF：CF^AF：BC,

而FC=3EF,

：.AE：FB=1：3,

而BF^12,

.*.AE=4,

設AF=x,

則BC=AD=3x,

根據(jù)折疊得DE=EF=AD-AE=3x-4,

在RtZXA跖中，AE1+AF1=EF2,

/.42+^=(3x-4)2,

8x2-24x=0,

.*.xi=O(舍去)，X2=3,

：.BC=9.

5.【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形,

J.BA//CD,

：.ZE=ZFCD,/EAF=NCDF,

：.AAEF^ADCF；

(2)解：①由(1)知△AEFS2V)CR

.AE_AF

??—,

DCDF

\'AF：DF=1：2,AE=a,

.V21

??—―,

DC2

:.DC=2近,

:四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB=DC,

:.AB=2近,

:.BE=AB+AE=3M,

②連接AC,

?.,四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB//CD,

.EFAF1AE

,?FC一FD—2―CD'

..2

,**S/\AEF=

S/\AEC=h

ttAEAE1

*CD~AB~2

?*S&4BC=4,

平行四邊形ABC。的面積為8.

6.【解答】（1）證明：???四邊形ABC。是菱形,

:.AD=CD,NADE=NCDE,

在AAED與ACED中，

AD=CD

Z-ADE=Z-CDE,

DE=DE

：.AAED^ACED(SAS)；

(2)證明：I?四邊形ABC。是菱形，8D是對角線,

工由對稱性可得ND4E=ZDCE.

,:AD〃BC,

：.ZDAE=ZF,

:?NDCE=NF,

?：NFEC=NCEG,

:?△FECsACEG,

.EC_EF

9'EG~EC

1.EC2=EF?EG；

(2)解：由(1)可知△式ECS^CEG,

9

A：AD//CFf

：.AADG^AFCG,

.ADDG

"FC~CG'

.66-x

*3xx

解得x=4,

經(jīng)檢驗，x=4是分式方程的解，

：.CF=3x=12.

7?【解答】(1)解：根據(jù)題意可得NAM=90°ZBAE=1S°,

ZABE=9Q°-18°=72°,

???四邊形A5CD是菱形，

11

：.Z.ABG=乙EBG=專乙ABE=/72。=36°,

ZBGE=ZABG+ZBAG=18°+36°=54°.

9

(2)證明：：AG=BGf

：.ZABG=ZBAG,

■:/GBE=ZABG,

：.ZGBE=ZBAG,

又??,NAEB=/GEB,

：.AAEB^ABEG,

.BEGE

??—,

AEBE

：?B/=AE?GE,

?,.BG=(AG+GE)GE,

:?B/-G/=AG?GE.

(3)①證明：9：GM//BC,BC//AD,

J.MG//AD,

：.ABMGsABAD,△AMGsAABE,

.MGBMMGAM

99AD~AB"BE-AB'

MGMGBMAM

兩式相加得—~?r__+---

ADBEABAB

rMGMG

即---+----=1,

ADBE

111

，+—=1—

,'BEADMG'

②解：9：BC=xBE,AD//BC,

BEBE1

—---——,AADGs叢EBG,

BCADX

BGGE1

—?———?

GD-AGX

SAAGD=XSAABG,

SAABD=SMBG+XS^ABG=(x+1)S^ABG,

??,四邊形ABC。是菱形，

:?AABDmABCD(555),

S^BDC=(%+l)SAABG,

,:MG〃BE,ZMBG=ZGBE,

：.△AMGsLABE,ZMBG=ZGBE=NMGB,

:?MG=MB,

.MB1

**AMx'

.ABx+1

**AMx'

?S-MG_x

S^ABGT+l

.11

??Sl=%+]S^ABG，S^BGE=>ABG9

VS^BDC=(x+l)S^ABG,

.1

??S2=S^BDC—S〉BGE=(%+1—QS—BG，

?SI_&

??y-s2-x+1_r

._______________

??y(x+i)(%2+x-i)?

8.【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是矩形，AB=2AD,

：.AB=CD=2AD,ZADC=ZDAB=9Q°,AD=BC,

VZZ)AE=45°,

：.ZDEA=90°-45°=45°=ZDAEf

：.AD=ED,

:?CD=2DE,

：.DE=CE,

???"為5c的中點,

；?EF是ABCD的中位線，

：.BD=2EF；

(2)解：由(1)知，BD=2EF,

VEF=6,

：.BD=12,

'：AB=CD=2AD=IDE,AD=BC,尸為5C的中點，

#DE1BF1

?,—■一，——，

AB2AD2

在矩形A5CD中，CD〃AB,AD//BC,

：.ADEGs△BAG,△尸8HsAADH,

DEDG1BHBF1

AB~BG~2DH~AD~2

DG1BH1

12-DG~212-BH~2

￡>G=4,BH=4,

???GH=BD-DG-引7=4.

9.【解答】(1)①證明：過G作GML3C于

??,正方形ABCD,

：.AB=BC=CD=DA9ZD=ZC=ZGMC=90°,

???四邊形"GDC是矩形，

：.AD=DC=GM,ZADE=ZGMF=ZAGM=90°,

VGH±AE,

：.ZMGF=90°-ZAGF=ZDAE,

ZDAE=^MGF

VMD=GM

/ADE=乙GMF

：.AADE^AGMF(ASA),

：.AE=GF.

②過點H作HMLOC于點M,

???E為CD的中點，不妨設DE=EC=x

???正方形ABCD,

：.AD=DC=2x,ZADC=90°,

：.AE=yjAD2+DE2=V5x,

?；DF_LAE于點H,

：AD-DE2/5

.DHAE=

：.AH='AD2-DH2=警%,HE=AE-AH=4AD2-DH2=中,

：DH-HE

.HM二DEX,

,---------------4

：.DM=<DH2-HM2=|x,

ACM=CD-DM=

：.CH=7HM2+CM2=岑

4A/5

方一①-V

5

(2)如圖，以點。為原點，以。C所在直線為x軸建立平面

直角坐標系，

VAB=6,AG=b=L5,且CE=2OE,

ACE=4,DE=2,

93

二?A(0,6),E(2,0),G(0,6，F(xiàn)(6,1),

設直線AE的解析式為y=kx+b,

根據(jù)題意，得［什/二。，

解得kU

直線AE的解析式為y=-3x+6；

設直線GF的解析式為y=px+q,

6p+q=5

91

(q=2

解得［P=；2，

1^=2

直線GF的解析式為y=—+^；

「一1,9

由此得卜=一尹+2,

ly=—3%+6

解得卜=11,

[y=T

故點魯），

???HE=J（2-/+（第2=等,

設直線GPy=—｝龍+3與x軸的交點為P,

點尸（9,0）,

：.PE=9-2=7,PH=J（9一|）2+（0—,尸=笠5,

1

：.S^PEH=^PE-\Py\=14.7,

過點E作E。，GF于點Q,

.14.77V5

??EQ=.F

■-HQ=1HE2-EQ2=等，

:.HQ=EQ,

：.ZEHQ^45°,

：.ZAHG=45°.

10.【解答】（1）解：在13ABe。中，AB//CD,AB=CD,

又?:ZDFC=NAFE,

：.AAFE^ACFD,

tAFAEAE1

99FC~CD~AB~3；

(2)①證明：u：AB：AC=W：2,

可設AC=2〃，貝！JZB=V3a,

AF1AE1

由（1）知1：

AC4'AB~3

/3a

'.AF—CLtAE=

1V3a

AF_V3

,_V3AE3

=，—

,ABy/3a_6AC2a_6

AFAE

—,

ABAC

又,：乙BNC=CFAE,

：.AFAE^ABAC,

：.ZAEF=ZACB；

②證明：'CFG//AB,

：.ZGFD=ZAED=ZACB,

又,：M)〃BC,

：.NACB=NFAD,

：.ZFAD=ZGFD,

又,：/GDF=/FDA,

：.AGDF^AFDA,

.DGDF

??DF—DA,

：.DF2=DG9DA.

11.【解答】(1)解：???四邊形ABC。是正方形，

：.ZBAD=90°,BA=AD,ZBAC=45°,

,?,△AOE是等邊三角形，

：.ZEAD=60°,AD=AE9

：.ZBAE=ZBAD+ZEAD=900+60°=150°,AE=ABf

：.NABE=/AEB,

VZABE+ZAEB=1SO°-ZBAE=180°-150°=30°,

：.ZABE=15°,

ZBFC=ZBAC-^ZABE=450+15°=60°；

(2)證明：如圖，連接CE,同理(1)可得，ZCED=ZDCE=15°,

???四邊形ABC。是正方形，

ZACD=45°,

ZACE=ZACD-ZDCE=45°-15°=30°,NFEC=/AED-NAEB-NCED=60°

-15°-15°=30°,

，NACE=/FEC,

：.FC=FE；

D

(3)解：如圖，過點3作8GLAC于點G,

VZABE=15°,

ZBFG=ZABE-^-ZBAF=15°+45°=60°,

：.ZGBF=90°-ZBFG=90°-60°=30°,

：?BF=2GF,

：.BG=y/BF2-GF2=V(2GF)2-GF2=V3GF,

VZBCG=45°,

.,.ZC5G=45°,

:.NBCG=NCBG,

：.BG=CG=V3GF,

：.CF=CG+GF=(V3+1)GF,

：.EF=CF=(V3+1)GF,

.EF__(V^+1)GF_g+1

??BF-2GF~2?

12.【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是正方形,

：.AD=BC,ZDAB=ZABC=90°,

■;BP=CQ,

：.AP=BQ,

在△D4尸與△ABQ中，

AD=AB

Z-DAP=Z.ABQ,

AP=BQ

：.ADAP^AABQ,

：.ZP=ZQ,

u：ZQ+ZQAB=90°,

：.ZP+ZQAB=90°,

ZAOP=90°,

：.AQ±DP；

(2)證明：VZDOA=ZAOP=90°,ZADO+ZP=ZADO+ZDAO=90°,

???NDAO=/P,

：.ADAO^AAPO,

.AOOP

??=,

ODOA

：.AO1=OD*OP.

(3)解：,:BP=1,AB=3,

,.AP=4,

:MPBESAPAD,

tPBPA4

9EB~DA~3

313

,.BE.：.QE=^,

:XQOEsXPQ

13

.￡2=笠=工

??PA-PD一5

???。。=興13

13.【解答】(1)證明：???四邊形A5CD是正方形,

：.ZBCD=90°,

9：BFLDE,

：.ZGFD=90°,

：.ZBCD=ZGFD,

?：/BGC=NFGD,

:.ABGCSADGF,

BGBC

DG~DFf

；?DG?BC=DF?BG；

(2)解：如圖1,連接80,

ABGCsADGF,

?.B?G=CG,

DGFG

.BGDG

??=,

CGFG

'：/BGD=/CGF,

圖1

：.△BGDS&CGF,

：.NBDG=NCFG,

???四邊形A5CD是正方形，5。是對角線,

1

AZBDG=^ZADC=45°,

：.ZCFB=45°；

(3)解：BF=CH+DF,

理由如下：如圖2,在線段尸5上截取尸使得尸河=尸￡),連接

9：ZBFD=90°,

ZMDF=ZDMF=45°,DM=0DF,

VZBZ)G=45°,

：.ZBDM=ZCDF,

。：△BGDsMGF,

：.ZGBD=ZDCF,

:.ABDMsdCDF,

BMDM

：.—=—=Vr2,

CFDF

：.BM=V2CF,

VZCFB=45°,BF±DE,

點C關于直線DE的對稱點H,

:?NEFH=/EFC=45°,

：.ZCFH=90°,

CF=FH,

???CH=V2CF,

；?BM=CH,

：.BF=BM+FM=CH+DF.

14.【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是正方形，

：.AB=AD,ZCAD=ZACB=45°,ZBAD=ZCDA=ZB=90°,

AZBAM+ZMAD=90°,

???將線段AM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到A7V,

AZMAN=90°,AM=AN,

:?/MAD+/DAN=90°,

???ZBAM=/DAN,

9：AD=AB,/ABC=/ADN=90°,

???AABM^AADNCASA)；

(2)證明：?:△ABMmAADN,

\9AM=AN,

VZMAN=90°,

AZMNA=45°,

:?NBCA=/MNA,

YAM平分NA4C,

AZCAM=ZBAM=22.5°,

■:/BAM=/DAN=225°,

：.ZCAM=ZNAD,

：.AAMC^AAEN,

.AMAC

"AE~AN'

：.AM*AN=AC9AE,

:.AM2=AC^AE；

(3)解：?：CM=3BM,

?,?設則CM=3〃，

.\BC=AB=4a,

.\AC=4y/2af

：.AM^7AB2+BM2=VTya,

,/將線段AM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AN,

：.ZMAN^90°,AM=AN=y[V7a,

：.DN=7AN2—4。2”，

:.CN=CD+DN=5a,

??/fru”DECM

?tan/CNM=痂=而

.竺CM

,?DN~CN

.3aDE

5(1OL

3

：.DE=京，

,*.AE=可〃，

VBC/7AZ),

：./\CMO^AAEO,

.OMCM3a15

AOF=芯=3=I?

15?【解答】(1)證明：..?四邊形48CD是正方形，

：.AC±BD,ZADF=90°,

：.ZAEG^ZADF=90a,

:AF平分NZMC,

：.ZDAF^ZEAG,

：.AAEG^AADF.

(2)解：結(jié)論：△。/G是等腰三角形.

理由：：四邊形ABC。是正方形，

AZADB^ZDAE^45a,ZA