2025年內(nèi)蒙古通遼市科左中旗九年級數(shù)學(xué)中考二模試卷

2025年九年級中考數(shù)學(xué)二模試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項(xiàng)，其中只有一個是正確的）

1.（3分）幾種氣體的液化溫度（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）如表：

氣體氯氣（He）氫氣（H）氮?dú)猓∟）氧氣（。）

液化溫度（°C）-269-253-196-183

其中液化溫度最低的氣體是（）

A.氫氣B.氫氣C.氮?dú)釪.氧氣

2.（3分）在一個扇形統(tǒng)計圖中，有一扇形的面積占整個圓面積的20%,則這個扇形的圓心角為（）

A.15°B.36°C.54°D.72°

3.（3分）河堤橫斷面如圖所示，堤高8C=7機(jī)，迎水坡A8的坡比為1：V3,則AC的長為（)

B

CA

A.14V2mB.21mC.14/MD.ly[3m

4.（3分）如圖，小樹AB在路燈。的照射下形成投影BC.若這棵樹高樹影2C=4〃z,樹與路

燈的水平距離8P=5s,則路燈的高度。尸為（）

25

C.-mD.6m

4

5.（3分）深圳書城灣區(qū)域，高空俯瞰像兩只眼睛,也被稱為“灣區(qū)之眼”，是深圳新時代重大文化設(shè)施之

一，預(yù)計2025年6月啟用.預(yù)計第一年進(jìn)書城672萬人次，進(jìn)書城人次逐年增加，第三年進(jìn)書城1050

萬人次，若進(jìn)書城人次的年平均增長率相同.設(shè)進(jìn)書城人次的年平均增長率為無，則根據(jù)題意，可列方

程是()

A.672(1-%)2=1050B.1050(1-%)2=672

C.672(1+無)2=1050D.1050(1+x)2=672

6.（3分）下列命題中，錯誤的是（）

A.順次連接菱形四邊的中點(diǎn)所得到的四邊形是矩形

B.反比例函數(shù)的圖象是軸對稱圖形

C.線段的長度是2,點(diǎn)C是線段A8的黃金分割點(diǎn)且ACVBC,貝何C=—1+逐

D.對于任意的實(shí)數(shù)8,方程尤2+云-5=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

7.（3分）如圖，宇樹機(jī)器人小尸在三角形地塊上進(jìn)行走路測試，它從點(diǎn)A出發(fā)沿折線AB-2C-CA勻速

運(yùn)動至點(diǎn)A后停止.設(shè)小P的運(yùn)動路程為x,線段AP的長度為》圖2是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖

象，其中點(diǎn)F為曲線DE的最低點(diǎn)，當(dāng)小P運(yùn)動到點(diǎn)C時，小P到線段AB的距離為（）

8.（3分）如圖，已知A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（5,0）,（0,5）,點(diǎn)C,尸分別是直線x=-7和x軸上的

動點(diǎn)，CP=14,點(diǎn)。是線段C尸的中點(diǎn)，連接A。交y軸于點(diǎn)￡,當(dāng)aABE面積取得最小值時，sin/

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

11

9.（3分）已知Q+6=4,ab=2,則一+丁=.

ab

10.（3分）我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中記載：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問為田幾何？”

注釋：宛田是指扇形狀的田，下周是指弧長，徑是指扇形所在圓的直徑.那么，這口宛田的面積是

平方步.

11.（3分）一元二次方程/+2日-左=0的兩個根分別為XI,X2.若X1?X2=1,貝（JXl+%2=.

12.（3分）如圖，Rt/XAOB中，ZA0B=90°,頂點(diǎn)A,B分別在反比例函數(shù)y=|（x>0）與y=—（（x

<0）的圖象上，則/區(qū)4。=°.

13.（3分）如圖，在菱形ABC。中，AB=AC=6,對角線AC,2。交于點(diǎn)。，E是BD上的一個動點(diǎn)，將

線段AE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到AF,且/EAF=/8A。，連接EF,DF,若△。跖是直角三角形，則8E

的長為_______________________

三、解答題（本大題共7小題，共61分）

X1丁2

14.（7分）【閱讀理解】已知,=三，求一4；的值?

%2-12%4+1

%2_1

解：由已知可得xWO,則----=2,

:人—丁—上=X?2+—-L=（%--L-）+2=272+2=6,②

X乙X乙X

..1

?"1=6,

⑴第②步尤2+與=Q—導(dǎo)+2運(yùn)用了_______公式；（A.平方差B.完全平方）

X"X

【類比探究】

（2）上題的解法叫做“侄擻法”，請你利用“侄擻法”解決下面的問題：

X1汽2

已知刀----7==，求F---廠7的值.

x2-x+l2x4+x2+l

15.（9分）百度推出了“文心一言”41聊天機(jī)器人（以下簡稱甲款），抖音推出了“豆包”4/聊天機(jī)器人

（以下簡稱乙款）.有關(guān)人員開展了對甲，乙兩款聊天機(jī)器人的使用滿意度評分測驗(yàn)，并分別隨機(jī)抽取

20份評分?jǐn)?shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析（評分分?jǐn)?shù)用x表示，分為四個等級：

A：60VxW70,B：70cxW80,C：80cxW90,D-.90<xW100),

下面給出了部分信息：

甲款評分?jǐn)?shù)據(jù)中“滿意”的數(shù)據(jù)：64,70,75,76,78,78,85,85,85,85,86,89,90,90,94,

95,98,98,99,100.

乙款評分?jǐn)?shù)據(jù)中C組包含的所有數(shù)據(jù)：84,86,87,87,87,88,90,90.

甲、乙款評分統(tǒng)計表：

設(shè)備平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

甲8685.5b

乙86a87

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)上述圖表中a=,b—,in=.

(2)在此次測驗(yàn)中，有280人對甲款進(jìn)行評分、300人對乙款進(jìn)行評分.請通過計算，估計其中對甲、

乙兩款聊天機(jī)器人非常滿意(90<xW100)的用戶總?cè)藬?shù).

(3)DeepSeek(簡稱丙款)推出后引發(fā)廣泛討論.現(xiàn)有甲、乙、丙三款聊天機(jī)器人，小明和小紅各自

隨機(jī)選擇其中一款進(jìn)行體驗(yàn)測評.請用列表法或樹狀圖法，求兩人都選擇同款聊天機(jī)器人的概率.

乙款聊天機(jī)器人的評分扇形統(tǒng)計圖

Z^10%\30%\

m%

16.(7分)如圖，四邊形A8CD中，8。為對角線，ZADC=AABC,NA=NC.(1)證明：四邊形ABC。

是平行四邊形；

(2)已知請用無刻度的直尺和圓規(guī)作菱形BEDR頂點(diǎn)E,尸分別在邊8C,AD±(保留作

圖痕跡，不要求寫作法).

17.(8分)春節(jié)期間，《哪吒2》熱映，某文創(chuàng)公司設(shè)計了一款成本價為每卷4元的哪吒貼紙投放到市場，

公司以不低于成本價且不超過每卷7元的價格銷售，當(dāng)每卷售價為5元時，每天售出貼紙950卷；當(dāng)每

卷售價為6元時，每天售出貼紙900卷，通過分析銷售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：每天銷售貼紙的數(shù)量y（卷）與每卷

售價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系.

（1）請直接寫出y與尤的函數(shù)關(guān)系式：；

（2）公司將該貼紙每卷售價定為多少元時，每天銷售該貼紙的利潤可達(dá)到1800元？

（3）當(dāng)每卷售價定為多少元時，每天獲利最大？最大利潤為多少？

18.（8分）如圖，A8為。。的直徑，C為54延長線上一點(diǎn)，。是。。的切線，。為切點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段

上，連接。P交于點(diǎn)E,ZADC^ZAOF.

（1）求證：

19.（10分）【項(xiàng)目主題】合理設(shè)計，實(shí)用便民

【項(xiàng)目背景】為了提升交通安全，南山某城市隧道入口進(jìn)行道路設(shè)施規(guī)劃，計劃安裝車道指示燈.現(xiàn)需

要對隧道入口隔音屏頂部的裝燈位置進(jìn)行合理設(shè)計.某數(shù)學(xué)興趣小組成員開展了如下探究活動:

素材1圖1是隧道入口隔音屏，其頂部輪廓可近似

地看成拋物線，其截面如圖2所示.以地面

為x軸，以左側(cè)墻面為y軸，建立平面直角

坐標(biāo)系，則拋物線符合y=a（尤-4）

2+k.最高點(diǎn)A離地面8〃z,照明燈安裝在y

軸右側(cè)的C點(diǎn)，距y軸147”.

素材2為測量素材1的點(diǎn)C到地面的距離CG的長

度，小組參考《海島算經(jīng)》中的測量方法，

使用兩根標(biāo)桿進(jìn)行測量，具體測量方法如圖

3所示.經(jīng)測量，標(biāo)桿H/=JK=L5/w（標(biāo)桿

垂直于地面），兩桿相距15步，從小退行

10步到M點(diǎn)，從JK退行15步到N點(diǎn).（C、

H、M共線，C、人N共線）

素材3為提高通行效率，需在隔音屏頂部加裝燈

架，為每個車道增設(shè)指示燈.按要求，指示

燈需距離地面4.5m.如圖2所示，燈架DiEi,

D2E2,D3E3,。4段均平行于y軸，Di,Di,

D3,。4共線，且所在直線平行于x軸，DiDi

=。2。3=。3。4=3.5機(jī)，的坐標(biāo)為（2,

4.5）.為加強(qiáng)穩(wěn)固性，還需在每個燈架上端

加裝兩個長度為1相的支架.記燈架和支架

總長/=。1F1+。2￡12+。3￡13+。4&+8.

圖2圖3

根據(jù)提供素材，完成下列問題:

（1）數(shù)學(xué)小組計算出CG的長度，具體如下:

解：設(shè)CG=s〃z,G/=f步,

"JHI//CG,

:.ACMGsAHMI,

s

(1),

1.5

又,：JK//CG,

:ACNGS&JNK,

s15+15+t

1.515

10+t15+15+t

1015

_1.5(t+10)_

s=~10-=

請補(bǔ)全上述求解過程中①②③所缺的內(nèi)容;

（2）根據(jù)已知條件，求出拋物線的解析式（不需要寫出x的取值范圍）.

（3）求出素材3中/的值，并判斷20//7長的材料能否完成燈架和支架的安裝.

20.（12分）定義：三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個點(diǎn)到該邊所對頂

點(diǎn)連線的平方，則稱這個點(diǎn)為三角形該邊的“比中項(xiàng)妙點(diǎn)”.

如圖1,△ABC中，點(diǎn)。是8C邊上一點(diǎn)，連接4。，AD1=BD-CD,則稱點(diǎn)。是△ABC中8C邊上

的“比中項(xiàng)妙點(diǎn)”.

圖3

,于點(diǎn)。，則點(diǎn)。（填“是”或“不是”）△

ABC中AB邊上的“比中項(xiàng)妙點(diǎn)”;

②如圖2,AABC的頂點(diǎn)是4X4網(wǎng)格圖的格點(diǎn)，請僅用直尺畫出AB邊上的一個“比中項(xiàng)妙點(diǎn)”點(diǎn)M

的中點(diǎn)除外）.

（2）如圖3,平行四邊形A8CD中，點(diǎn)E為8c邊上一點(diǎn)，連接。E交對角線AC于點(diǎn)孔點(diǎn)尸恰好是

△ACD中AC邊上的“比中項(xiàng)妙點(diǎn)

①求證：點(diǎn)E也是中OE邊上的“比中項(xiàng)妙點(diǎn)”；

BE1BE

②連接BF并延長交CD于點(diǎn)G,若點(diǎn)P是ABCG中BG邊上的“比中項(xiàng)妙點(diǎn)”，且^=?求而的值.

2025年九年級中考數(shù)學(xué)二模試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

題號12345678

答案ADDBCCAB

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項(xiàng)，其中只有一個是正確的）

1.（3分）幾種氣體的液化溫度（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）如表：

氣體氯氣（He）氫氣（H）氮?dú)猓∟）氧氣（。）

液化溫度（℃）-269-253-196-183

其中液化溫度最低的氣體是（）

A.氫氣B.氫氣C.氮?dú)釪.氧氣

【分析】先將液化溫度從低到高排序，然后找出最低溫度.

【解答】解：：-269℃<-253℃<-196℃<-183℃,

，液化溫度最低的氣體是氧氣.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)比較大小，掌握比較有理數(shù)大小的方法是關(guān)鍵.

2.（3分）在一個扇形統(tǒng)計圖中，有一扇形的面積占整個圓面積的20%,則這個扇形的圓心角為（）

A.15°B.36°C.54°D.72°

【分析】用360。乘以扇形的面積占整個圓面積的百分比即可得出答案.

【解答】解：這個扇形的圓心角為360°X20%=72°,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查扇形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖是用整個圓表示總數(shù)用圓內(nèi)各個扇形的大小表示各部分

數(shù)量占總數(shù)的百分?jǐn)?shù).通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.用整個圓的

面積表示總數(shù)（單位1）,用圓的扇形面積表示各部分占總數(shù)的百分?jǐn)?shù).

3.（3分）河堤橫斷面如圖所示，堤高BC=7M,迎水坡AB的坡比為1：V3,則AC的長為（）

B

A.14V2mB.21mC.14〃zD.7V3m

【分析】根據(jù)坡度是坡面的鉛直高度和水平寬度的比計算即可.

【解答】解：；迎水坡42的坡比為1：V3,

：.BC：AC=1：V3,

,:BC=7m,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，熟記坡度是坡面的鉛直高度〃和水平寬度

/的比是解題的關(guān)鍵.

4.（3分）如圖，小樹AB在路燈。的照射下形成投影BC.若這棵樹高A8=3s,樹影3c=4加，樹與路

燈的水平距離8尸=5加，則路燈的高度OP為()

涔

、'、7

I:落\

路燈PBC

92725

A.~mB.-mC.-mD.6m

244

OPPC

【分析】根據(jù)AB〃OP,得至iJZXABCs△。尸。，得到一二77,代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可求解.

ABBC

【解答】解：-OPLPC,ABLPC,

J.AB//OP,

：.AABC^AOPC,

.OPPC

??=,

ABBC

AB=3m,BC=4m,BP—5m,

；?PC=BP+BC=9,

.OP9

??—―,

34

77

OP—w(m),

即路燈的高度OP為「如

4

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用以及中心投影，熟練掌握相似三角形的判斷和性質(zhì)，是解決問題

的關(guān)鍵.

5.（3分）深圳書城灣區(qū)域，高空俯瞰像兩只眼睛，也被稱為“灣區(qū)之眼”，是深圳新時代重大文化設(shè)施之

一，預(yù)計2025年6月啟用.預(yù)計第一年進(jìn)書城672萬人次，進(jìn)書城人次逐年增加，第三年進(jìn)書城1050

萬人次，若進(jìn)書城人次的年平均增長率相同.設(shè)進(jìn)書城人次的年平均增長率為無，則根據(jù)題意，可列方

程是（）

A.672（1-尤）2=1050B.1050（1-%）2=672

C.672（1+無）2=1050D.1050（1+x）2=672

【分析】設(shè)進(jìn)書城人次的月平均增長率為x,根據(jù)題意列出一元二次方程即可.

【解答】解：：第一年進(jìn)書城672萬人次，進(jìn)書城人次逐年增加，第三年進(jìn)書城1050萬人次，

A672（1+x）2=1050,

故選：C.

【點(diǎn)評】此題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程.

6.（3分）下列命題中，錯誤的是（）

A.順次連接菱形四邊的中點(diǎn)所得到的四邊形是矩形

B.反比例函數(shù)的圖象是軸對稱圖形

C.線段的長度是2,點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)且ACVBC,則4C=一1+遮

D.對于任意的實(shí)數(shù)乩方程/+云-5=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

【分析】利用矩形的判定方法、反比例函數(shù)的性質(zhì)、黃金分割點(diǎn)的定義及一元二次方程根的判別式的知

識分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【解答】解：4、順次連接菱形四邊的中點(diǎn)所得到的四邊形是矩形，正確，不符合題意；

8、反比例函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，正確，不符合題意；

C、線段A8的長度是2,點(diǎn)C是線段A8的黃金分割點(diǎn)且ACV8C,貝AC=3-V5,本選

項(xiàng)說法錯誤，符合題意.

D、對于任意的實(shí)數(shù)b,方程，+"-5=0的判別式=/+20>0,所以有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，本選項(xiàng)

說法正確，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真

假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

7.（3分）如圖，宇樹機(jī)器人小尸在三角形地塊上進(jìn)行走路測試，它從點(diǎn)A出發(fā)沿折線AB-BC-CA勻速

運(yùn)動至點(diǎn)A后停止.設(shè)小P的運(yùn)動路程為龍，線段AP的長度為y,圖2是y與尤的函數(shù)關(guān)系的大致圖

象，其中點(diǎn)F為曲線DE的最低點(diǎn)，當(dāng)小P運(yùn)動到點(diǎn)C時，小P到線段AB的距離為（）

【分析】從圖2看，AB=10,AN=15-10=5=%8,CN=18-15=3,則BC=18-10=8,則/及IN

=30°,則NA8C=60°,即可求解.

【解答】解：作AN±BC于點(diǎn)N,作CH±AB于點(diǎn)H,

從圖2看，AB=10,AN=15-10=5=%B,CN=18-15=3,則8C=18-10=8,

則NBAN=30°,則NABC=60°,

則尸COH=2C?sinB=8Xsin60°=4百，

即小P到線段AB的距離為4V3,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，勾股定理，垂線段最短，從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵.

8.（3分）如圖，已知A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（5,0）,（0,5）,點(diǎn)C,尸分別是直線尤=-7和x軸上的

動點(diǎn)，CP=14,點(diǎn)。是線段CP的中點(diǎn)，連接AD交y軸于點(diǎn)E,當(dāng)AABE面積取得最小值時，sin/

EAO的值是（）

34

A.-B.—C.一D.-

51247

【分析】如圖，設(shè)直線x=-7交X軸于K.由題意KO=2CF=7,推出點(diǎn)。的運(yùn)動軌跡是以K為圓心,

為半徑的圓，推出當(dāng)直線與OK相切時，△A8E的面積最小，即可解決問題.

【解答】解：如圖，設(shè)直線尤=-7交x軸于K.由題意:尸=7,

???點(diǎn)。的運(yùn)動軌跡是以K為圓心，7為半徑的圓,

???當(dāng)直線A0與。K相切時，△A3E的面積最小,

〈A。是切線，點(diǎn)。是切點(diǎn),

：.ADLKD,

???AK=12,DK=1,

：.smZEAO=^=-^.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，三角形的面積等知識，解

題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

11

9.（3分）已知〃+。=4,ab=2,則一+-=2

ab

【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法則運(yùn)算，將已知等式代入計算即可求出值.

【解答】解：???〃+b=4,ab=2,

；?原式=喏=2,

故答案為：2

【點(diǎn)評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

10.（3分）我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中記載：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問為田幾何？”

注釋：宛田是指扇形狀的田，下周是指弧長，徑是指扇形所在圓的直徑.那么，這口宛田的面積是120

平方步.

【分析】利用扇形面積公式即可計算的解.

【解答】解：???扇形的田，弧長30步，其所在圓的直徑是16步，

，這塊田的面積S=*x30x8=120（平方步），

故答案為120.

【點(diǎn)評】本題是扇形面積公式的應(yīng)用，考查了推理能力，是基礎(chǔ)題.

11.（3分）一元二次方程天2+2日-%=0的兩個根分別為XI,X2.若X1?X2=1,則Xl+X2=2.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到Xl+X2=-2k,尤1X2=-k=l,得出左=-1即可求解.

【解答】解：,一元二次方程工2+2日-%=0的兩個根分別為XI,XI,

??Xi+x2~—2k,xix2^-k~~1>

:?k=-1

所以Xl+X2=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若XI，X2是一元二次方程OX2+ta+c=0（0）的兩根時，+%2=

bc

,XiXo——.

a12a

12.（3分）如圖，RtZ\A08中，ZAOB=90°,頂點(diǎn)A,8分別在反比例函數(shù)y=]（x>0）與丫=一（（X

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)％值的幾何意義解答即可.

【解答】解：如圖，作BGLx軸，垂足為G,48,無軸，垂足為H,

：.ZGOB=ZOAHf

：.ABGO^AOHA,

.S△BG。_OB2

S△O/MOA2'

:頂點(diǎn)A,2分別在反比例函數(shù)y=|(x>0)與y=—[(x<0)的圖象上,

.".SABGO—3,SAOHA—1,

tanXBAO=冊=V3,

：.ZBAO^60°,

故答案為：60°.

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)左值的幾何意義，熟練掌握該知識點(diǎn)是關(guān)鍵.

13.（3分）如圖，在菱形A8CZ）中，AB=AC=6,對角線AC,8。交于點(diǎn)O,E是8。上的一個動點(diǎn)，將

線段AE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到AF,且連接ERDF,若△。斯是直角三角形，則8E

的長為2V3^（4V3.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到A2=BC，AC±BD,推出△ABC是等邊三角形，得到NABC=60°,Z

BAD=120°,求得BD=6?/A8E=NAO8=3（r,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AF,根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)得到8石=。/，NADF=NABE=30°,得到/即尸是定值，若△。跖是直角三角形，分兩種

1Q

情況，①當(dāng)/斯。=90°時，DE=2DF=2BE,②當(dāng)NDEF=90°時，DE=^DF=BE,則制E=

6V3,

于是得到結(jié)論.

【解答】解：???四邊形A8C。是菱形，

：.AB=BC,ACLBD,

9

：AB=ACf

：.AB=BC=AC,

則△ABC是等邊三角形，

ZABC=60°,ZBAD=120°,

AZABD=30°,

VAB=6,

：.AO=3,

:.BD=6?ZABE=ZADB=30°,

???將線段AE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到AF,

：.AE=AF,

?：/EAF=/BAD,AB=ADf

：.AABE^AADF(SAS),

；?BE=DF,ZADF=ZABE=30°,

ZEDF=60°,

???NEDb是定值，

若△。斯是直角三角形，分兩種情況，

①當(dāng)NEfZ)=90°時，DE=2DF=2BE,

則BD=3BE=6聒.

:.BE=2?

11

②當(dāng)/OEF=90°時，DE=jDF=^BE,

則BD=|B￡=6V3,

:.BE=4g

綜上所述，BE的長為或4百.

故答案為：2次或4b.

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌

握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共7小題，共61分）

X1汽2

14.（7分）【閱讀理解】已知〒二二：;,求丁二的值.

x2-l2%4+1

%2_1

解：由已知可得則----=2,

X

%2-1X21

-=X—-=2.①

XXXx

%4+112

>>_212

—Av,+—=(「)+2=2+2=6,②

X2X2

X21

%4+16

(1)第②步f+J（無一［）2+2運(yùn)用了B公式;（A.平方差艮完全平方）

XL

【類比探究】

（2）上題的解法叫做“倒數(shù)法”，請你利用“倒數(shù)法”解決下面的問題:

X1光2

已知亦二?求審期的值.

【分析】（1）根據(jù)完全平方公式進(jìn)行解答即可;

（2）根據(jù)題題中給出的例子進(jìn)行計算即可.

【解答】解：（1）第②步/++2運(yùn)用了完全平方公式,

故答案為：B；

x1

⑵=?

??xWO,

x2-x+l1

=2,即1+兄=2,

x

：.x+X-=3,

%4+%2+1

X2

尤+1+當(dāng)

X乙

(x+"l

=32-1

=8,

.%21

**%4+%2+18

【點(diǎn)評】本題考查的是分式的化簡求值，完全平方公式，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵.

15.（9分）百度推出了“文心一言”A/聊天機(jī)器人（以下簡稱甲款），抖音推出了“豆包”A/聊天機(jī)器人

（以下簡稱乙款）.有關(guān)人員開展了對甲，乙兩款聊天機(jī)器人的使用滿意度評分測驗(yàn)，并分別隨機(jī)抽取

20份評分?jǐn)?shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析（評分分?jǐn)?shù)用尤表示，分為四個等級：

A：60cxW70,B-.70cx《80,C：80VxW90,D：90〈尤（100）,

下面給出了部分信息：

甲款評分?jǐn)?shù)據(jù)中“滿意”的數(shù)據(jù)：64,70,75,76,78,78,85,85,85,85,86,89,90,90,94,

95,98,98,99,100.

乙款評分?jǐn)?shù)據(jù)中C組包含的所有數(shù)據(jù)：84,86,87,87,87,88,90,90.

甲、乙款評分統(tǒng)計表：

設(shè)備平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

甲8685.5b

乙86a87

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）上述圖表中a=86.5,b—85,m—20.

（2）在此次測驗(yàn)中，有280人對甲款進(jìn)行評分、300人對乙款進(jìn)行評分.請通過計算，估計其中對甲、

乙兩款聊天機(jī)器人非常滿意（90〈尤W100）的用戶總?cè)藬?shù).

（3）OeepSe水（簡稱丙款）推出后引發(fā)廣泛討論.現(xiàn)有甲、乙、丙三款聊天機(jī)器人，小明和小紅各自

隨機(jī)選擇其中一款進(jìn)行體驗(yàn)測評.請用列表法或樹狀圖法，求兩人都選擇同款聊天機(jī)器人的概率.

乙款聊天機(jī)器人的評分扇形統(tǒng)計圖

【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)及百分比的概念逐一求解即可；

（2）總?cè)藬?shù)分別乘以。組人數(shù)所占比例，再相加即可得出答案；

（3）畫樹狀圖展示所有等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩人都選擇同款聊天機(jī)器人的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率

公式求解.

【解答】解：（1）二.甲款評分?jǐn)?shù)據(jù)中“滿意”的數(shù)據(jù)中85出現(xiàn)的次數(shù)最多，

.,?眾數(shù)6=85,

乙款軟件A、8組人數(shù)和為20義(10%+30%)=8(人)，

乙款軟件的中位數(shù)為第10、11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而這2個數(shù)據(jù)分別為86、87,

中位數(shù)。=落變=86.5,

20-8-8

乙款軟件評分在D組人數(shù)所占百分比為-------xl00%=20%,即加=20,

20

故答案為：86.5、85、20；

P

(2)280x^+300X20%=172(名)，

答：估計其中對甲、乙兩款聊天機(jī)器人非常滿意(90〈尤W100)的用戶總?cè)藬?shù)為172名;

(3)畫樹狀圖為：

開始

共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩人都選擇同款聊天機(jī)器人的結(jié)果為3種，

31

所以兩人都選擇同款聊天機(jī)器人的概率為3=--

【點(diǎn)評】本題考查列表法與樹狀圖法，扇形統(tǒng)計圖，中位數(shù)、眾數(shù)以及樣本估計總體，理解中位數(shù)、眾

數(shù)的意義，掌握中位數(shù)、眾數(shù)的計算方法是解決問題的前提.

16.(7分)如圖，四邊形A8C。中，3。為對角線，ZADC=ZABC,NA=NC.(1)證明：四邊形A8CD

是平行四邊形；

(2)已知請用無刻度的直尺和圓規(guī)作菱形8EDR頂點(diǎn)E,尸分別在邊8C,AD±(保留作

(2)作的垂直平分線即可.

【解答】(1)證明：,/ZADC=ZABC,NA=NC且/AOC+/A8C+/A+NC=360°,

.?.NAOC+NA=180°,ZC+ZADC=180°,

J.AD//BC,AB//CD,

/.四邊形ABCD是平行四邊形;

(2)解：如圖所示：菱形3即尸即為所求

【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握菱形的判定定理和平行四邊形方判定定理是解題的關(guān)鍵.

17.(8分)春節(jié)期間，《哪吒2》熱映，某文創(chuàng)公司設(shè)計了一款成本價為每卷4元的哪吒貼紙投放到市場，

公司以不低于成本價且不超過每卷7元的價格銷售，當(dāng)每卷售價為5元時，每天售出貼紙950卷；當(dāng)每

卷售價為6元時，每天售出貼紙900卷，通過分析銷售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：每天銷售貼紙的數(shù)量y(卷)與每卷

售價無(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系.

(1)請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式：y=-50x+1200(4OW7)；

(2)公司將該貼紙每卷售價定為多少元時，每天銷售該貼紙的利潤可達(dá)到1800元？

(3)當(dāng)每卷售價定為多少元時，每天獲利最大？最大利潤為多少？

【分析】(1)確定函數(shù)關(guān)系式：用兩點(diǎn)法求一次函數(shù)>=依+6,代入已知條件求上和6.

(2)求利潤達(dá)到1800元時的售價：利用利潤公式W=(x-4)y,代入y的表達(dá)式，令W=1800,解

方程求X.

(3)求最大利潤及對應(yīng)的售價：將利潤公式化為二次函數(shù)，求頂點(diǎn)坐標(biāo)，即最大利潤及對應(yīng)的售價.

【解答】解：(1)根據(jù)題意設(shè)>=丘+6,當(dāng)每卷售價為5元時，每天售出大米950卷；當(dāng)每卷售價為6

元時，每天售出900卷，

rji||f5fc+b=950

人i6/c+b=900'

解得：c:就

則y與X的函數(shù)關(guān)系式；y=-50x+1200(4W尤W7),

故答案為：y=-50x+1200(4WxW7)；

(2)定價為x元，每卷利潤(尤-4)元，

由⑴知銷售量為y=-50x+1200(44W7),

貝ij(x-4)(-50.X+1200)=1800,

解得：XI=22(舍去)，垃=6,

公司將該貼紙每卷售價定為6元時，每天銷售該貼紙的利潤可達(dá)到1800元；

(3)設(shè)利潤為W元，根據(jù)題意可得：W=(%-4)(-50.r+1200),

即W=-50?+1400x-4800=-50(尤-14)2+5000,

'：a=-50<0,對稱軸為x=14,

.?.當(dāng)x<14時，W隨尤的增大而增大，

又：4WxW7,

：.x=7時，MT最大值=-50(7-14)2+5000=2550(元)，

當(dāng)每卷售價定為多少7時，每天獲利最大，最大利潤為2550元.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際問題列一次函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)

鍵是根據(jù)題意列出方程組.

18.(8分)如圖，A8為。。的直徑，C為54延長線上一點(diǎn)，C。是。。的切線，。為切點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段

。上，連接。尸交于點(diǎn)E,ZADC=ZAOF.

(1)求證：OFLAD-,

(2)若sinC=g,BD=14,求EF的長.

【分析】(1)連接OD,根據(jù)8是。。的切線，。是切點(diǎn)，得到NODC=90°,即NOZM+/AE?C=

90°,再用已知條件NAQC=/AOF,可求得/。即=90°,BPOFLAD.

(2)由sinC=|,ZOZ)C=90°,可得絲=士設(shè)0。=2羽再將OC,AC,CD都用含x的代數(shù)式表

50C5

示出來，利用求A0的長，再利用△OEFS2X8DA,可求出所的長.

【解答】(1)證明：如圖，連接0。.

〈CO是。。的切線，。是切點(diǎn)，

：.ZODC=90°,即NOQA+NAZ)C=90°.

ZADC=ZAOF,

：.ZODA+ZAOF=90°,

：.ZOED=90°,BPOFLAD.

(2)解：VsinC=j,ZODC=90°,

.OD_2

**OC-5,

設(shè)OD=2x,則OC=5x,

22

：.AC=OC-OA=3xfCD=>JOC-OD=后x,

VOFLAD,BD_LAD,

OF//BD,

：.ZAOF=ZABD.

???ZADC=ZAOF,

：.ZADC=ZABD.

u:zc=zc,

：.AACDsADCB,

ACADr3%AD

—=----，即j—=----,

CDBDV21x14

解得AD=2VM.

OFLAD,

：.DE=^AD=V21.

VZADC=AABD,ZDEF=ZADB=90°,

:.△DEFs^BDA,

EFDEEFV21

--=---，n即n-;==---

ADBD2V2114

解得EF=3,

的長為3.

【點(diǎn)評】本題主要考查了與圓的切線的性質(zhì)及解直角三角形的相關(guān)知識，掌握切線的性質(zhì)，角度的轉(zhuǎn)化,

正弦的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.解答本題第（2）問需要有一定的推理能力.

19.（10分）【項(xiàng)目主題】合理設(shè)計，實(shí)用便民

【項(xiàng)目背景】為了提升交通安全，南山某城市隧道入口進(jìn)行道路設(shè)施規(guī)劃，計劃安裝車道指示燈.現(xiàn)需

要對隧道入口隔音屏頂部的裝燈位置進(jìn)行合理設(shè)計.某數(shù)學(xué)興趣小組成員開展了如下探究活動:

素材1圖1是隧道入口隔音屏，其頂部輪廓可近似

地看成拋物線，其截面如圖2所示.以地面

為x軸，以左側(cè)墻面為y軸，建立平面直角

坐標(biāo)系，則拋物線48符合y=a（尤-4）

-+k.最高點(diǎn)4離地面8加，照明燈安裝在y

軸右側(cè)的C點(diǎn)，距y軸14九

素材2為測量素材1的點(diǎn)C到地面的距離CG的長

度，小組參考《海島算經(jīng)》中的測量方法，

使用兩根標(biāo)桿進(jìn)行測量，具體測量方法如圖

3所示.經(jīng)測量，標(biāo)桿H/=JK=L5機(jī)（標(biāo)桿

垂直于地面），兩桿相距15步，從小退行

10步到〃點(diǎn)，從JK退行15步到N點(diǎn).（C、

H、M共線，C、人N共線）

素材3為提高通行效率，需在隔音屏頂部加裝燈

架，為每個車道增設(shè)指示燈.按要求，指示

燈需距離地面4.5m.如圖2所示,燈架DiEi,

D2E2,D3E3,O4E4均平行于y軸，D\,。2,

03,共線，且所在直線平行于X軸，D1D2

=。2。3=。3。4=3.5機(jī)，的坐標(biāo)為（2,

4.5）.為加強(qiáng)穩(wěn)固性，還需在每個燈架上端

加裝兩個長度為1根的支架.記燈架和支架

總長/=。1囪+。2及+。3&+。4&+8.

圖2圖3

根據(jù)提供素材，完成下列問題:

(1)數(shù)學(xué)小組計算出CG的長度，具體如下:

解：設(shè)CG=SM,G/」步,

,:HI〃CG,

:.ACMGs叢HMI,

st+10

(1),

1.510

又??,JK〃CG,

：.ACNGsAJNK,

s15+15+t

1.515

10+t15+15+t

1015

_1.5(計10)_

30s6③.

10

請補(bǔ)全上述求解過程中①②③所缺的內(nèi)容;

(2)根據(jù)已知條件，求出拋物線A3的解析式(不需要寫出x的取值范圍).

(3)求出素材3中/的值，并判