2025年高考數(shù)學復習難題速遞之排列與組合（2025年4月）

第27頁（共27頁）2025年高考數(shù)學復習難題速遞之排列與組合（2025年4月）一．選擇題（共8小題）1．（2025春?晉江市校級月考）有3位高三學生參加4所重點院校的自主招生考試，每人參加且只能參加一所學校的考試，則不同的考試方法種數(shù)為（）A．9 B．12 C．64 D．812．（2025春?西夏區(qū)校級月考）定義“分組排列”：先將n個不同元素分成m組（m≤n），再對這m組進行全排列．現(xiàn)有6名志愿者，要分成3組，一組1人，一組2人，一組3人，然后將這3組分配到3個不同的社區(qū)服務，則不同的分配方法有（）種．A．360 B．120 C．60 D．2403．（2025春?天津校級月考）在最近南京市舉行的半程馬拉松比賽中，某路段設三個服務站，某高校5名同學到甲、乙、丙三個服務點做志愿者，每名同學只去1個服務點，每個服務點至少1人，則不同的安排方法共有（）A．25種 B．150種 C．300種 D．50種4．（2025?日照一模）高考入場安檢時，某學校在校門口并排設立三個檢測點，進入考場的學生只需要在任意一個檢測點安檢即可進入．現(xiàn)有三男三女六位學生需要安檢，則每個檢測點通過的男生和女生人數(shù)相等的可能情況有（）A．66種 B．93種 C．195種 D．273種5．（2025春?武昌區(qū)校級月考）由3名醫(yī)生和6名護士組成的一支醫(yī)療小隊下鄉(xiāng)送醫(yī)扶助新農(nóng)村建設，他們要全部分配到三個農(nóng)村醫(yī)療點，每個醫(yī)療點分到1名醫(yī)生和護士1至3名，其中護士甲和護士乙必須分到同一個醫(yī)療點，則不同的分配方法有（）種．A．540 B．684 C．756 D．7926．（2024秋?黑龍江期末）今年暑期檔推出多部精彩影片，其中比較熱門的有《解密》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍與金剛狼》，甲和乙兩位同學準備從這5部影片中各選2部觀看．若兩人所選的影片恰有一部相同，且甲一定選《抓娃娃》，則兩位同學不同的觀影方案種數(shù)為（）A．24 B．28 C．36 D．127．（2025春?鹽城月考）如下，在1×6的矩形長條中，涂上紅、黃、藍3種顏色，每種顏色限涂2格，并且相鄰兩格不同色，則不同的涂色方法共有種數(shù)為（）123456A．28 B．29 C．30 D．318．（2024秋?上海校級期末）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學思想，多用于哲學、中醫(yī)學和占卜方面．五行學說是華夏文明重要組成部分．古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關系．如圖是五行圖，現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（）A．3125 B．1000 C．1040 D．1020二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?溫州二模）甲乙兩人用《哪吒2》動漫卡牌玩游戲．游戲開局時桌上有n盒動漫卡牌，每個盒子上都標有盒內(nèi)卡牌的數(shù)量，每盒卡牌的數(shù)量構成數(shù)組（a1，a2，…，an），游戲規(guī)則如下：兩人輪流抽牌，每人每次只能選擇其中一盒并抽走至少一張卡牌，若輪到某人時無卡可抽，則該人輸?shù)粲螒颍F(xiàn)由甲先抽，則下列開局中，能確保甲有必勝策略的是（）A．（1，3） B．（1，2，3） C．（3，3，6） D．（3，4，5）（多選）10．（2025春?駐馬店月考）甲、乙、丙、丁四名志愿者到A，B，C三所山區(qū)學校參加支教活動，每個志愿者僅在一所學校支教，要求每所學校至少安排一名志愿者，則下列結論中正確的是（）A．共有72種安排方法 B．若甲被安排在A學校，則有12種安排方法 C．若A學校需要兩名志愿者，則有12種安排方法 D．若甲、乙不能在同一所學校，則有30種安排方法（多選）11．（2024春?湖北期中）某中學A，B，C，D，E五名高一學生選擇甲、乙、丙、丁四個社團進行實踐活動，每名學生只能選一個社團，則下列結論中正確的是（）A．所有不同的分派方案共45種 B．若甲社團沒人選，乙、丙、丁每個社團至少有一個學生選，則所有不同的分派方案共300種 C．若每個社團至少派1名志愿者，且志愿者A必須到甲社團，則所有不同分派方穼共60種 D．若每個社團至少有1個學生選，且學生A，B不安排到同一社團，則所有不同分派方案共216種（多選）12．（2024春?玄武區(qū)校級月考）甲、乙、丙、丁、戊5名大學生參加2024年南京半程馬拉松志愿者服務活動，有賽道補給、路線引導、物品發(fā)放、興奮劑檢測四項工作可以安排，則以下說法正確的是（）A．若每人都安排一項工作，則不同的方法數(shù)為45 B．若每項工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為240 C．如果興奮劑檢測工作不安排，其余三項工作至少安排1人，則這5名同學全部被安排的不同方法數(shù)為300 D．每項工作至少有1人參加，甲乙不會興奮劑檢測，但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是126三．填空題（共4小題）13．（2025?山海關區(qū)模擬）甲、乙兩人進行一場抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號1，2，3，4，5，6的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號之和等于10或者所有卡片被抽完時，游戲結束．若甲先抽卡，則甲抽了3張卡片時，游戲恰好結束的概率為．14．（2025春?和平區(qū)校級月考）某校舉行科技文化藝術節(jié)活動，學生會準備安排5名同學到甲、乙、丙三個不同社團開展活動，要求每個社團至少安排一人，則不同的安排方案數(shù)為，如果再加上一名同學且要求甲社團安排三人，乙、丙至少安排一人，則不同的安排方案數(shù)為．15．（2025春?西湖區(qū)校級月考）我們想把9張寫著1～9的卡片放入三個不同盒子中，滿足每個盒子中都有3張卡片，且存在兩個盒子中卡片的數(shù)字之和相等，則不同的放法有種．16．（2025春?武昌區(qū)校級月考）為激勵高三學子的學習熱情，數(shù)學老師開發(fā)了一款小游戲程序，同學們表現(xiàn)優(yōu)秀時可參與一次．游戲規(guī)則如下：第一步，在圖①所示的棋盤內(nèi)，學生點擊搖獎，程序會隨機放上7枚黑棋；第二步，學生自行選擇空格放上2枚白棋；最終，每當有4枚棋子在同一行、列或對角線上時，稱為連成一條線．若未連成線，則獲安慰獎；連成一、二、三條線，分別獲三、二、一等獎，圖②就是一種獲一等獎的情況．現(xiàn)在小明和小紅都可參與一次游戲．小明點擊搖獎后，出現(xiàn)了圖③的情況，若他隨機地放上白棋，則他獲二等獎的方法數(shù)有種；已知小紅放上白棋時總能保證獎勵最大化，則在“點擊搖獎后，7枚黑棋中恰有4枚在第一列”的條件下，她獲一等獎的方法有種．四．解答題（共4小題）17．（2025春?荔灣區(qū)校級月考）用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，能組成多少個符合下列條件的數(shù)字？（運算結果以數(shù)字作答）（1）無重復數(shù)字的四位偶數(shù)；（2）無重復數(shù)字且為5的倍數(shù)的四位數(shù)；（3）無重復數(shù)字且比1230大的四位數(shù)．18．（2025春?興慶區(qū)校級月考）用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字可以組成多少個符合下列條件的無重復的數(shù)字．（1）六位奇數(shù)；（2）比400000大的正整數(shù)．19．（2025春?鹽城月考）把1、2、3、4、5這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，并把它們由大到小的順序排成一個數(shù)列．（1）求43251是這個數(shù)列的第幾項；（2）求這個數(shù)列的第26項；（3）求這個數(shù)列的所有項的和．20．（2025春?山東月考）從包含甲、乙2人的7人中選4人參加4×100米接力賽，求在下列條件下，各有多少種不同的排法？（結果用數(shù)字作答，否則無分）（1）甲、乙2人都被選中且必須跑中間兩棒；（2）甲、乙2人只有1人被選中且不能跑中間兩棒；（3）甲、乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒；（4）甲、乙2人都被選中且不能相鄰兩棒；（5）甲、乙2人都被選中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．

2025年高考數(shù)學復習難題速遞之排列與組合（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CABBBACD二．多選題（共4小題）題號9101112答案ACDBCDACDABD一．選擇題（共8小題）1．（2025春?晉江市校級月考）有3位高三學生參加4所重點院校的自主招生考試，每人參加且只能參加一所學校的考試，則不同的考試方法種數(shù)為（）A．9 B．12 C．64 D．81【考點】簡單排列問題．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】C【分析】直接利用分步乘法計數(shù)原理求解即可．【解答】解：每位學生可以有4種參加重點院校的自主招生考試，由分步乘法計數(shù)原理可得，不同的考試方法種數(shù)為43＝64種．故答案為：C．【點評】本題考查了分步乘法計數(shù)原理，是基礎題．2．（2025春?西夏區(qū)校級月考）定義“分組排列”：先將n個不同元素分成m組（m≤n），再對這m組進行全排列．現(xiàn)有6名志愿者，要分成3組，一組1人，一組2人，一組3人，然后將這3組分配到3個不同的社區(qū)服務，則不同的分配方法有（）種．A．360 B．120 C．60 D．240【考點】其他組合形式及計算．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】A【分析】根據(jù)題意，先將6名志愿者，要分成3組，再將3組分配到3個不同的社區(qū)服務，結合分步計數(shù)原理，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意6名志愿者，要分成3組，一組1人，一組2人，一組3人，將這3組分配到3個不同的社區(qū)服務，可得先將6名志愿者，要分成3組，一組1人，一組2人，一組3人，共有C6再將這3組分配到3個不同的社區(qū)服務，則不同的分配方法有60×故選：A．【點評】本題考查了排列組合的應用，是中檔題．3．（2025春?天津校級月考）在最近南京市舉行的半程馬拉松比賽中，某路段設三個服務站，某高校5名同學到甲、乙、丙三個服務點做志愿者，每名同學只去1個服務點，每個服務點至少1人，則不同的安排方法共有（）A．25種 B．150種 C．300種 D．50種【考點】排列組合的綜合應用．【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】B【分析】利用先分組后分配來解題，分組中要注意均分組消序思想．【解答】解：五名同學分三個小組，若按3人，1人，1人來分有C5若按2人，2人，1人來分有C5再把這三個小組排列到三個服務站去共有A3所以每個服務點至少有1人的不同安排方法有：（15+10）×6＝150種，故選：B．【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題．4．（2025?日照一模）高考入場安檢時，某學校在校門口并排設立三個檢測點，進入考場的學生只需要在任意一個檢測點安檢即可進入．現(xiàn)有三男三女六位學生需要安檢，則每個檢測點通過的男生和女生人數(shù)相等的可能情況有（）A．66種 B．93種 C．195種 D．273種【考點】簡單排列問題．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】B【分析】分①每個檢測點均為一男一女通過、②三個檢測點中，一個檢測點通過0人，一個檢測點通過一男一女，一個檢測點通過兩男兩女、③六人均在同一個檢測點通過三種情況進行討論求解即可．【解答】解：①每個檢測點均為一男一女通過，共有A3②三個檢測點中，一個檢測點通過0人，一個檢測點通過一男一女，一個檢測點通過兩男兩女，共有C3③六人均在同一個檢測點通過，共有C31=3種不同的結果．則每個檢測點通過的男學生人數(shù)與女學生人數(shù)均相等的情況有36+54+3故選：B．【點評】本題考查了排列組合的應用，是中檔題．5．（2025春?武昌區(qū)校級月考）由3名醫(yī)生和6名護士組成的一支醫(yī)療小隊下鄉(xiāng)送醫(yī)扶助新農(nóng)村建設，他們要全部分配到三個農(nóng)村醫(yī)療點，每個醫(yī)療點分到1名醫(yī)生和護士1至3名，其中護士甲和護士乙必須分到同一個醫(yī)療點，則不同的分配方法有（）種．A．540 B．684 C．756 D．792【考點】排列組合的綜合應用．【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】B【分析】首先分步：先安排醫(yī)生，再安排護士，其次特殊元素護士甲和護士乙捆綁，即護士6名可分為2，2，2和2，1，3兩類，應用分類和分步計數(shù)原理可得總的分配方法．【解答】解：已知每個醫(yī)療點分到1名醫(yī)生和護士1至3名，其中護士甲和護士乙必須分到同一個醫(yī)療點，先安排醫(yī)生，再安排護士．安排醫(yī)生，方法數(shù)有A3再安排護士，護士6名，由于護士甲和護士乙必須分到同一個醫(yī)療點，故可分為2，2，2和2，1，3兩類：如果是2，2，2，一共有C4如果是2，1，3，又分為若甲乙在2人小組中，則有C4若甲乙在3人小組中，則有C4最后將分好的三組醫(yī)生、三組護士全排列安排到三個醫(yī)療點，所以一共有(C4故選：B．【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題．6．（2024秋?黑龍江期末）今年暑期檔推出多部精彩影片，其中比較熱門的有《解密》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍與金剛狼》，甲和乙兩位同學準備從這5部影片中各選2部觀看．若兩人所選的影片恰有一部相同，且甲一定選《抓娃娃》，則兩位同學不同的觀影方案種數(shù)為（）A．24 B．28 C．36 D．12【考點】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】A【分析】分兩種情況，兩人所選影片中，《抓娃娃》相同，不是《抓娃娃》相同，分別計算出相應的方案數(shù)，相加即可．【解答】解：已知甲和乙兩位同學準備從這5部影片中各選2部觀看，又兩人所選的影片恰有一部相同，且甲一定選《抓娃娃》，若兩人所選影片中，《抓娃娃》相同，則兩人從剩余4部中各選1部，有A4若兩人所選影片中，不是《抓娃娃》相同，相同的影片為4部中1部，有C4再給乙從剩余3部中選擇一部，有C3故共有C4綜上，共有12+12＝24種方案．故選：A．【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了分類加法及分步乘法計數(shù)原理，屬中檔題．7．（2025春?鹽城月考）如下，在1×6的矩形長條中，涂上紅、黃、藍3種顏色，每種顏色限涂2格，并且相鄰兩格不同色，則不同的涂色方法共有種數(shù)為（）123456A．28 B．29 C．30 D．31【考點】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】C【分析】先分類：第1類，前3個矩形用3種顏色，后3個矩形也用3種顏色；第2類，前3個矩形用2種顏色，后3個矩形也用2種顏色，分別計算后再由加法原理相加即得．【解答】解：在1×6的矩形長條中，涂上紅、黃、藍3種顏色，每種顏色限涂2格，并且相鄰兩格不同色，分2類（先涂前3個矩形，再涂后3個矩形）：第1類，前3個矩形用3種顏色，后3個矩形也用3種顏色，有A3第2類，前3個矩形用2種顏色，后3個矩形也用2種顏色，有C3綜上，不同的涂法和數(shù)為24+6＝30．故選：C．【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了分類加法計數(shù)原理，屬中檔題．8．（2024秋?上海校級期末）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學思想，多用于哲學、中醫(yī)學和占卜方面．五行學說是華夏文明重要組成部分．古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關系．如圖是五行圖，現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（）A．3125 B．1000 C．1040 D．1020【考點】排列組合的綜合應用．【專題】整體思想；分類法；排列組合；邏輯思維．【答案】D【分析】根據(jù)不相鄰區(qū)域是否同色進行分類，確定涂色順序再分步計數(shù)即可．【解答】解：五行相克可以用同一種顏色，也可以不用同一種顏色，即無限制條件，五行相生不能用同一種顏色，即相鄰位置不能用同一種顏色，故問題轉化為如圖A，B，C，D，E五個區(qū)域，有5種不同的顏色可用，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，即5色5區(qū)域的環(huán)狀涂色問題，分為以下兩類情況：第一類：A，C，D三個區(qū)域涂三種不同的顏色，第一步涂A，C，D區(qū)域，從5種不同的顏色中選3種按順序涂在不同的3個區(qū)域上，則有A3第二步涂B區(qū)域，由于A，C顏色不同，則有3種方法，第三步涂E區(qū)域，由于A，D顏色不同，則有3種方法，由分步計數(shù)原理，則共有3×3第二類：A，C，D三個區(qū)域涂兩種不同的顏色，由于C，D不能涂同一色，則A，C涂一色，或A，D涂同一色，兩種情況方法數(shù)相同，若A，C涂一色，第一步涂A，C，D區(qū)域，A，C可看成同一區(qū)域，且A，D區(qū)域不同色，即涂2個區(qū)域不同色，從5種不同的顏色中選2種按順序涂在不同的2個區(qū)域上，則有A5第二步涂B區(qū)域，由于A，C顏色相同，則有4種方法，第三步涂E區(qū)域，由于A，D顏色不同，則有3種方法，由分步計數(shù)原理，則共有4×3若A，D涂一色，與A，C涂一色的方法數(shù)相同，則共有2×240＝480種方法，由分類計數(shù)原理可知，不同的涂色方法共有540+480＝1020種．故選：D．【點評】本題考查排列、組合的簡單應用，考查分析問題解決問題的能力，屬中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?溫州二模）甲乙兩人用《哪吒2》動漫卡牌玩游戲．游戲開局時桌上有n盒動漫卡牌，每個盒子上都標有盒內(nèi)卡牌的數(shù)量，每盒卡牌的數(shù)量構成數(shù)組（a1，a2，…，an），游戲規(guī)則如下：兩人輪流抽牌，每人每次只能選擇其中一盒并抽走至少一張卡牌，若輪到某人時無卡可抽，則該人輸?shù)粲螒颍F(xiàn)由甲先抽，則下列開局中，能確保甲有必勝策略的是（）A．（1，3） B．（1，2，3） C．（3，3，6） D．（3，4，5）【考點】排列組合的綜合應用．【專題】計算題；整體思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】ACD【分析】將每盒卡牌中的卡片數(shù)量轉為二進制數(shù)，再進行亦或求和（0+0＝0，1+1＝0，0+1＝1，1+0＝1），若初始條件是全零，則乙有必勝策略，反之則甲有必勝策略，保持操作之后是全零狀態(tài)．【解答】解：將每盒卡牌中的卡片數(shù)量轉為二進制數(shù)，再進行亦或求和（0+0＝0，1+1＝0，0+1＝1，1+0＝1），若初始條件是全零，則乙有必勝策略，反之則甲有必勝策略，保持操作之后是全零狀態(tài)．A項：（1，3）?10非全零，甲勝：從第2盒中拿2個，故A符合題意；B項：（1，2，3）?00全零，乙勝，故B不符合題意；C項：（3，3，6）?110非全零，甲勝：拿走第三盒，故C符合題意；D項：（3，4，5）?010非全零，甲勝：從第1盒中拿2個，故D符合題意；故選：ACD．【點評】本題考查排列組合的綜合應用，屬于中等題．（多選）10．（2025春?駐馬店月考）甲、乙、丙、丁四名志愿者到A，B，C三所山區(qū)學校參加支教活動，每個志愿者僅在一所學校支教，要求每所學校至少安排一名志愿者，則下列結論中正確的是（）A．共有72種安排方法 B．若甲被安排在A學校，則有12種安排方法 C．若A學校需要兩名志愿者，則有12種安排方法 D．若甲、乙不能在同一所學校，則有30種安排方法【考點】排列組合的綜合應用．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】BCD【分析】由分類加法計數(shù)原理，結合分步乘法計數(shù)原理及間接法求解．【解答】解：對于選項A，共有C42即選項A錯誤；對于選項B，若甲被安排在A學校，則有A33即選項B正確；對于選項C，若A學校需要兩名志愿者，則有C42即選項C正確；對于選項D，若甲、乙不能在同一所學校，則有36-A3即選項D正確．故選：BCD．【點評】本題考查排列、組合的定義，屬中檔題．（多選）11．（2024春?湖北期中）某中學A，B，C，D，E五名高一學生選擇甲、乙、丙、丁四個社團進行實踐活動，每名學生只能選一個社團，則下列結論中正確的是（）A．所有不同的分派方案共45種 B．若甲社團沒人選，乙、丙、丁每個社團至少有一個學生選，則所有不同的分派方案共300種 C．若每個社團至少派1名志愿者，且志愿者A必須到甲社團，則所有不同分派方穼共60種 D．若每個社團至少有1個學生選，且學生A，B不安排到同一社團，則所有不同分派方案共216種【考點】排列組合的綜合應用．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】ACD【分析】對于A，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理計數(shù)可知A正確；對于B，C，按照先分組再分配的方法計數(shù)可知B不正確；C正確；對于D，由間接法求解可知D正確．【解答】解：對于A，每名學生都有4種安排方案，故共有4×4×4×4×4＝45種不同的分派方案，故A正確；對于B，先將5個人分成3組，分兩類：第一類，一組3人，另2組各一人，有C5第二類，一組2人，一組2人，一組1人，有C5故共有10+15＝25種分組方法，再將分好的三組分配到三個社團，共有25A故B不正確；對于C，分兩類：第一類，甲社團分1人，只能是A，另外4人有C4第二類，甲社團分2人，共有C4根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得共有36+24＝60種不同的分派方案，故C正確；對于D，若每個社團至少派1名學生，則有C52A44=240種，其中學生故若每個社團至少派1名學生，且學生A，B不安排到同一社團時，共有240﹣24＝216種不同分派方案，故D正確．故選：ACD．【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了分步乘法及分類加法計數(shù)原理，屬中檔題．（多選）12．（2024春?玄武區(qū)校級月考）甲、乙、丙、丁、戊5名大學生參加2024年南京半程馬拉松志愿者服務活動，有賽道補給、路線引導、物品發(fā)放、興奮劑檢測四項工作可以安排，則以下說法正確的是（）A．若每人都安排一項工作，則不同的方法數(shù)為45 B．若每項工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為240 C．如果興奮劑檢測工作不安排，其余三項工作至少安排1人，則這5名同學全部被安排的不同方法數(shù)為300 D．每項工作至少有1人參加，甲乙不會興奮劑檢測，但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是126【考點】排列組合的綜合應用．【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】ABD【分析】A項由分步計數(shù)原理求解；B項先從5人中選2人作為1組，再與另外3人共4組進行全排列；C項先將5名同學分為3組，然后再分別安排賽道補給、路線引導、物品發(fā)放三項工作；D項分從丙、丁、戊3人中選2人興奮劑檢測和選1人興奮劑檢測進行求解．【解答】解：對于選項A，給其中的一人安排一項工作，則有4種不同的安排方法，則每人都安排一項工作，則不同的方法數(shù)為45＝1024，即選項A正確；對于選項B，每項工作至少有1人參加，先從5人中選2人作為1組，再與另外3人共4組，每組選一項工作，則不同的方法數(shù)為C52A對于選項C，先將5名同學分為3組，然后再分別安排賽道補給、路線引導、物品發(fā)放三項工作，則這5名同學全部被安排的不同方法數(shù)為，(c52對于選項D，當從丙、丁、戊3人中選2人興奮劑檢測，則不同安排方案的種數(shù)是C3當從丙、丁、戊3人中選1人興奮劑檢測，則不同安排方案的種數(shù)是C3即不同安排方案的種數(shù)是C31C故選：ABD．【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2025?山海關區(qū)模擬）甲、乙兩人進行一場抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號1，2，3，4，5，6的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號之和等于10或者所有卡片被抽完時，游戲結束．若甲先抽卡，則甲抽了3張卡片時，游戲恰好結束的概率為215【考點】部分位置的元素有限制的排列問題；古典概型及其概率計算公式．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】215【分析】依題意可知游戲結束時共抽取了5張卡片，甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為10，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為10，分別計算出所對應的排列總數(shù)即可得出結論．【解答】解：根據(jù)題意可知甲抽了3張卡片時，恰好游戲結束相當于從6張卡片中抽取了5張，且甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為10，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為10；總的情況相當于從6張卡片中抽取了5張并進行全排列，即共A6其中三張卡片數(shù)字之和為10的組合有1，3，6；1，4，5；2，3，5共3種情況；當甲抽取的數(shù)字為2，3，5時，若乙抽取的兩張卡片數(shù)字可能為4，6，此時不合題意，此時共有A33（當甲抽取的數(shù)字為1，3，6；1，4，5時，乙在剩余的4個數(shù)字中隨意抽取兩張卡片再進行排列，共有2A3所以符合題意的排列總數(shù)為2A33A32+故答案為：215【點評】本題考查古典概型以及排列組合相關知識，屬于基礎題．14．（2025春?和平區(qū)校級月考）某校舉行科技文化藝術節(jié)活動，學生會準備安排5名同學到甲、乙、丙三個不同社團開展活動，要求每個社團至少安排一人，則不同的安排方案數(shù)為150，如果再加上一名同學且要求甲社團安排三人，乙、丙至少安排一人，則不同的安排方案數(shù)為120．【考點】排列組合的綜合應用．【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】150；120．【分析】5人時，先對學生分組，然后再把分好的組分到社團即可求解；6人時，直接按人數(shù)分配即可求解．【解答】解：由題意可得，5名同學的分配方式有兩種，第一種為1：2：2分配，方案數(shù)為C5第二種為1：1：3分配，方案數(shù)為C5故要求每個社團至少安排一人，不同的安排方案數(shù)為60+90＝150．如果再加上一名同學且要求甲社團安排三人，有兩種情況，若乙社團1人，丙社團2人，方案數(shù)為C6若乙社團2人，丙社團1人，方案數(shù)為C63C32故答案為：150；120．【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題．15．（2025春?西湖區(qū)校級月考）我們想把9張寫著1～9的卡片放入三個不同盒子中，滿足每個盒子中都有3張卡片，且存在兩個盒子中卡片的數(shù)字之和相等，則不同的放法有198種．【考點】排列組合的綜合應用；計數(shù)原理的應用．【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】198．【分析】首先列出至少有兩個卡片之和相等的盒子的情況，然后利用全排列即可求解．【解答】解：由題意可知，設存在的這兩個盒子中卡片的數(shù)字之和相等，設其相等的和為x．當x＝11時，共有1種情況，即{（1，3，7），（2，4，5）}；當x＝12時，共有3種情況，即{（1，2，9），（3，4，5）}，{（1，3，8），（2，4，6）}，{（1，5，6），（2，3，7）}；當x＝14時，共有7種情況，即{（1，4，9），（2，5，7）}，{（1，4，9），（3，5，6）}，{（1，5，8），（2，3，9）}，{（1，5，8），（3，4，7）}，{（1，6，7），（2，3，9）}，{（1，6，7），（2，4，8）}，{（2，4，8），（3，5，6）}；當x＝13時，共有5種情況，即{（1，3，9），（2，4，7）}，{（1，3，9），（2，5，6）}，{（1，4，8），（2，5，6）}，{（1，5，7），（2，3，8）}，{（1，5，7），（3，4，6）}；當x＝15時，共有2種情況，即{（1，5，9），（2，6，7），（3，4，8）}，{（1，6，8），（2，4，9），（3，5，7）}；當x＝16時，共有7種情況，即{（1，6，9），（3，5，8）}，{（1，6，9），（4，5，7）}，{（1，7，8），（2，5，9）}，{（1，7，8），（3，4，9）}，{（2，5，9），（3，6，7）}，{（2，6，8），（3，4，9）}，{（2，6，8），（4，5，7）}；當x＝17時，共有5種情況，即{（1，7，9），（4，5，8）}，{（2，7，8），（3，5，9）}，{（3，5，9），（4，6，7）}，{（3，6，7），（4，5，8）}，{（1，7，9），（3，6，8）}；當x＝18時，共有2種情況，即{（2，7，9），（4，6，8）}，{（3，7，8），（4，5，9）}；當x＝19時，共有1種情況，即{（3，7，9），（5，6，8）}；綜上所述，共有1+3+5+7+2+7+5+2+1＝33（種）情況，∴不同的放法共有：33A故答案為：198．【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題．16．（2025春?武昌區(qū)校級月考）為激勵高三學子的學習熱情，數(shù)學老師開發(fā)了一款小游戲程序，同學們表現(xiàn)優(yōu)秀時可參與一次．游戲規(guī)則如下：第一步，在圖①所示的棋盤內(nèi)，學生點擊搖獎，程序會隨機放上7枚黑棋；第二步，學生自行選擇空格放上2枚白棋；最終，每當有4枚棋子在同一行、列或對角線上時，稱為連成一條線．若未連成線，則獲安慰獎；連成一、二、三條線，分別獲三、二、一等獎，圖②就是一種獲一等獎的情況．現(xiàn)在小明和小紅都可參與一次游戲．小明點擊搖獎后，出現(xiàn)了圖③的情況，若他隨機地放上白棋，則他獲二等獎的方法數(shù)有4種；已知小紅放上白棋時總能保證獎勵最大化，則在“點擊搖獎后，7枚黑棋中恰有4枚在第一列”的條件下，她獲一等獎的方法有54種．【考點】排列組合的綜合應用．【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】4；54．【分析】對于第1空，根據(jù)條件，結合圖形，即可求解；對于第2空，根據(jù)條件，結合圖形，分類討論，再排除重復情況，即可求解．【解答】解：對于小明，在圖③的情況下，再放2枚白棋形成二條線的不同情況有4種，對于小紅，9枚棋子形成三條線的形狀（下稱為“三線”）必然由一行、一列和一對角線構成，由于第一列已經(jīng)確定，所以當?shù)谝换蛩男羞B上時，對角線還有1種情況；當?shù)诙谢蛉羞B上時，對角線還有2種情況，因此“三線”共有2×1+2×2＝6種，由于小紅總能保證獎勵最大化，所以只需隨機出來的形狀恰好是“三線”去掉2枚棋子（下稱為“準三線”）即可．因此，從第一列之外的5枚棋子中去掉2枚形成的“準三線”共6C但是，有一些“準三線”可以由多個“三線”得到．其一，第一列和第二行或三行形成的“準三線”，可以由2個不同的“三線”得到（如下圖），重復計算的“準三線”有2×1＝2次．其二，第一列和某一對角線形成的“準三線”，可以由3個不同的“三線”得到（如下圖），重復計算的“準三線”，可以以由3個不同的“三線”得到（如下圖），重復計算的“準三線”有2×2＝4次；因此，“準三線”實際上只有60﹣4﹣2＝54種，故答案為：4；54．【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）17．（2025春?荔灣區(qū)校級月考）用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，能組成多少個符合下列條件的數(shù)字？（運算結果以數(shù)字作答）（1）無重復數(shù)字的四位偶數(shù)；（2）無重復數(shù)字且為5的倍數(shù)的四位數(shù)；（3）無重復數(shù)字且比1230大的四位數(shù)．【考點】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】（1）156個；（2）108個；（3）284個．【分析】（1）分個位數(shù)字為0，2，4，三種情況分別應用排列計算結合分類加法原理計算即可；（2）分個位數(shù)字為0，5，兩種情況分別應用排列計算結合分類加法原理計算即可；（3）分首位數(shù)字，百位數(shù)字，十位數(shù)字，個位數(shù)字比1230大分類討論列排列數(shù)結合加法原理計算求解．【解答】解：用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，（1）符合要求的四位偶數(shù)可分為兩類．第一類，0在個位時有A53第二類，2或4在個位時，首位從1，3，4（或2），5中選（有A41種情況），十位和百位從余下的數(shù)字中選（有于是有2A4由分類加法計數(shù)原理知，共有四位偶數(shù)A53+2（2）符合要求的數(shù)可分為兩類：第一類：0在個位時有A53第二類：5在個位時有A41故滿足條件的四位數(shù)共有A53+（3）符合要求的比1230大的四位數(shù)可分為四類：第一類：形如13□□，14□□，15□□，共有A31第二類：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有A41第三類：形如124□，125□，共有A21第四類：形如123□，共有A21由分類加法計數(shù)原理知，無重復數(shù)字且比1230大的四位數(shù)共有A41A【點評】本題考查了分類加法原理，屬中檔題．18．（2025春?興慶區(qū)校級月考）用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字可以組成多少個符合下列條件的無重復的數(shù)字．（1）六位奇數(shù)；（2）比400000大的正整數(shù)．【考點】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】（1）288；（2）240．【分析】（1）根據(jù)條件，利用分步計算原理即可求解；（2）根據(jù)條件知十萬位是4或5，再利用排列及分步計數(shù)原理，即可求解．【解答】解：已知用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字組成無重復的數(shù)字，（1）因為0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中共有3個奇數(shù)，第一步從3個奇數(shù)中選一個排在個位，共有C31第二步，因為0不能在首位，將0排好，共有C4第三步，將剩下四個數(shù)全排，共有A4由分步計數(shù)原理知，可組成無重復數(shù)字的六位奇數(shù)為C3（2）由0，1，2，3，4，5組成比400000大的正整數(shù)，則十萬位是4或5，共有C2【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題．19．（2025春?鹽城月考）把1、2、3、4、5這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，并把它們由大到小的順序排成一個數(shù)列．（1）求43251是這個數(shù)列的第幾項；（2）求這個數(shù)列的第26項；（3）求這個數(shù)列的所有項的和．【考點】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】（1）33；（2）45312；（3）3999960．【分析】（1）先確定首位為5時數(shù)列個數(shù)，再確定首位為4，千位為5時數(shù)列個數(shù)，依次往下分析，直至43251，即可得結果；（2）由于首位為5時數(shù)列個數(shù)已經(jīng)有24項，只需往下數(shù)兩項即可；（3）先分析數(shù)字出現(xiàn)在各位數(shù)的個數(shù)，再相加即得結果．【解答】解：把1、2、3、4、5這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，并把它們由大到小的順序排成一個數(shù)列，（1）首位為5時，共有A4首位為4，千位為5時，共有A3首位為4，千位為3，百位為5時，共有A22=2所以43251是數(shù)列第24+6+2+1＝33項；（2）首位為5時，共有A44=24項，再往下就是45321因此這個數(shù)列的第26項是45312；（3）首位為1，2，3，4，5時，各出現(xiàn)A44=24次，其和為24×（1+2+3+4+5）×千位為1，2，3，4，5時，各出現(xiàn)A44=24次，其和為24×（1+2+3+4+5）×百位為1，2，3，4，5時，各出現(xiàn)A44=24次，其和為24×（1+2+3+4+5）×十位為1，2，3，4，5時，各出現(xiàn)A44=24次，其和為24×（1+2+3+4+5個位為1，2，3，4，5時，各出現(xiàn)A44=24次，其和為24×（1+2+3+4+5因此所有項的和為24×（1+2+3+4+5）×（104+103+102+10+1）＝24×15×11111＝3999960．【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了分類加法計數(shù)原理，屬中檔題．20．（2025春?山東月考）從包含甲、乙2人的7人中選4人參加4×100米接力賽，求在下列條件下，各有多少種不同的排法？（結果用數(shù)字作答，否則無分）（1）甲、乙2人都被選中且必須跑中間兩棒；（2）甲、乙2人只有1人被選中且不能跑中間兩棒；（3）甲、乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒；（4）甲、乙2人都被選中且不能相鄰兩棒；（5）甲、乙2人都被選中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．【考點】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】（1）40；（2）240；（3）120；（4）120；（5）140．【分析】（1）有特殊要求的元素（或位置）優(yōu)先考慮；（2）有特殊要求的元素（或位置）優(yōu)先考慮；（3）元素相鄰用捆綁法；（4）元素不相鄰用插空法；（5）按甲跑第四棒和甲不跑第四棒分類．【解答】解：從包含甲、乙2人的7人中選4人參加4×100米接力賽，（1）甲、乙2人都被選中且必須跑中間兩棒的排法有A2（2）甲、乙2人只有1人被選中且不能跑中間兩棒的排法有C2（3）甲、乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒的排法有A2（4）甲、乙2人都被選中且不能相鄰兩棒的排法有A5（5）甲、乙2人都被選中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒的排法有C5【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題．

考點卡片1．古典概型及其概率計算公式【知識點的認識】1．定義：如果一個試驗具有下列特征：（1）有限性：每次試驗可能出現(xiàn)的結果（即基本事件）只有有限個；（2）等可能性：每次試驗中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機試驗的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現(xiàn)的結果進行分析和計算即可．2．古典概率的計算公式如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有n個，而且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是1n如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點撥】1．注意要點：解決古典概型的問題的關鍵是：分清基本事件個數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個方面：（1）本試驗是否具有等可能性；（2）本試驗的基本事件有多少個；（3）事件A是什么．2．解題實現(xiàn)步驟：（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．2．計數(shù)原理的應用【知識點的認識】1．兩個計數(shù)原理（1）分類加法計數(shù)原理：N＝m1+m2+…+mn（2）分步乘法計數(shù)原理：N＝m1×m2×…×mn2．兩個計數(shù)原理的比較分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理共同點都是計數(shù)原理，即統(tǒng)計完成某件事不同方法種數(shù)的原理．不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘n類方案相互獨立，且每類方案中的每種方法都能獨立完成這件事n個步驟相互依存，每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨立完成這件事）注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法點撥】1．計數(shù)原理的應用（1）如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類加法計數(shù)原理；（2）如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分步乘法計數(shù)原理．2．解題步驟（1）指明要完成一件什么事，并依事件特點確定是“分n類”還是“分n步”；（2）求每“類”或每“步”中不同方法的種數(shù)；（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法總數(shù)；（4）作答．【命題方向】分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎，也是求解排列、組合問題的基本思想方法．常見考題類型：（1）映射問題（2