2025年高考數學復習難題速遞之兩個基本計數原理（2025年4月）

第24頁（共24頁）2025年高考數學復習難題速遞之兩個基本計數原理（2025年4月）一．選擇題（共10小題）1．（2023春?重慶月考）如圖，4個圓相交共有8個交點，用5種不同的顏色給8個交點染色（5種顏色都用），要求在同一圓上的4個交點的顏色互不相同，則不同的染色方案共有（）種．A．2016 B．2400 C．1920 D．962．（2023春?運城期末）某藝術團為期三天公益演出，其表演節(jié)目分別為歌唱，民族舞，戲曲，演奏，舞臺劇，爵士舞，要求戲曲與爵士舞不得安排在同一天進行，每天至少進行一類節(jié)目，則不同的演出安排方案共有（）A．720種 B．3168種 C．1296種 D．5040種3．（2023?茂南區(qū)校級三模）由數字0，1，2，3，4組成的各位上沒有重復數字的五位數中，從小到大排列第88個數為（）A．42031 B．42103 C．42130 D．423014．（2024?東湖區(qū)校級三模）設（x1，x2，x3，x4，x5）是1，2，3，4，5的一個排列，若（xi﹣xi+1）（xi+1﹣xi+2）＜0對一切i∈{1，2，3}恒成立，就稱該排列是“交替”的．“交替”的排列的數目是（）A．8 B．16 C．24 D．325．（2023?定遠縣校級模擬）小林同學喜歡吃4種堅果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5種顏色的“每日堅果”袋．每個袋子中至少裝1種堅果，至多裝4種堅果．小林同學希望五個袋子中所裝堅果種類各不相同，且每一種堅果在袋子中出現的總次數均為偶數，那么不同的方案數為（）A．20160 B．20220 C．20280 D．203406．（2022秋?陳倉區(qū)校級月考）某兒童游樂園有5個區(qū)域要涂上顏色，現有四種不同顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有（）種A．36 B．48 C．54 D．727．（2022春?太原期中）某校高二年級一班星期一上午有4節(jié)課，現從語文、數學、英語、物理、歷史和體育這6門學科中任選4門排在上午的課表中，若前2節(jié)只能排語文、數學和英語，數學課不能排在第4節(jié)，體育只能排在第4節(jié)，則不同的排法種數為（）A．18 B．48 C．50 D．548．（2021?未央區(qū)校級模擬）用5種不同顏色給圖中5個車站的候車牌（E，A，B，C，D）染色，要求相鄰的兩個車站間的候車牌不同色，有（）種染色方法．A．120 B．180 C．360 D．4209．（2021秋?道里區(qū)校級月考）現有2名學生代表，2名教師代表和3名家長代表合影，則同類代表互不相鄰的排法共有（）種．A．552 B．864 C．912 D．100810．（2020春?龍鳳區(qū)校級期末）由0，1，2，…，9這十個數組成無重復數字的四位數中，個位數字與百位數字之差的絕對值等于8的個數為（）A．180 B．196 C．210 D．224二．填空題（共5小題）11．（2024?徐匯區(qū)模擬）將四棱錐S﹣ABCD的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有四種顏色可供使用，則不同的染色方法總數為．12．（2024春?河東區(qū)校級月考）某校高中三年級一班有優(yōu)秀團員8人，二班有優(yōu)秀團員10人，三班有優(yōu)秀團員6人，學校組織他們去參觀某愛國主義教育基地．推選1名優(yōu)秀團員為總負責人，有種不同的選法．13．（2024春?信陽期中）對于各數互不相等的正數數組（i1，i2，…，in）（n是不小于3的正整數），若對于任意的p，q∈{1，2.3，…，n}，當p＜q時有ip＞iq，則稱ip與iq是該數組的一個“逆序”，一個數組中所有“逆序”的個數稱為此數組的“逆序數”．例如，數組（2，4，3，1）中有逆序“2與1”，“4與3”，“4與1”，“3與1”，所以整數數組（2，4，3，1）的“逆序數”等于4．若各數互不相等的正數數組（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序數”是2，則（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“逆序數”是．14．（2024春?嘉興期中）用1﹣9這九個正整數組成無重復數字且任意相鄰的三個數字之和是3的倍數的九位數，這樣的九位數有個（用數學作答）．15．（2023秋?九江期末）從集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3個元素分別作為直線方程Ax+By+C＝0中的A、B、C，所得的經過坐標原點的直線有條（用數值表示）三．解答題（共5小題）16．（2023春?招遠市校級期中）用0，1，2，3四個數字組成沒有重復數字的自然數．（1）把這些自然數從小到大排成一個數列，則1203是這個數列的第幾項？（2）求其中的四位數中奇數的個數，并求所有這些奇數各位數位上的數字之和．17．（2023春?萊西市期中）試分別解答下列兩個小題：（Ⅰ）用0，1，2，3，4，5這六個數字組成無重復數字的自然數，記能組成的不同的四位偶數的個數為M，能組成的0和l相鄰的不同的六位數的個數為N，求M+N；（Ⅱ）在(2x2-13x)n的二項展開式中，記各項的二項式系數之和為E18．（2021秋?奉賢區(qū)校級月考）用0，1，2，3，4這5個數字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復數字五位數？（1）偶數；（2）左起第二、四位是奇數的偶數；（3）比21034大的偶數．19．（2022春?嘉定區(qū)期末）（1）用1、2、3、4、5可以組成多少個四位數？（2）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重復數字的四位偶數？20．（2022秋?浙江月考）（1）從集合{1，2，3，…，10}中，選出由5個數組成的子集，使得這5個數中的任何兩個數的和不等于11，則這樣的子集共有多少個？（2）設集合A＝{1，2，3，?，13}，集合B是A的子集，且集合B任意兩數之差都不等于6或7．問：集合B中最多有多少個元素？說明理由．

2025年高考數學復習難題速遞之兩個基本計數原理（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CDCDADCDCC一．選擇題（共10小題）1．（2023春?重慶月考）如圖，4個圓相交共有8個交點，用5種不同的顏色給8個交點染色（5種顏色都用），要求在同一圓上的4個交點的顏色互不相同，則不同的染色方案共有（）種．A．2016 B．2400 C．1920 D．96【考點】染色問題．【專題】數形結合；定義法；排列組合；運算求解．【答案】C【分析】對8個交點編號，考慮兩種情況，利用排列知識及兩種計數原理進行求解．【解答】解：如圖，將8個交點編號，先考慮A，B，C，D，共有A5再考慮A，F，E，D，若A，F，E，D所用顏色與A，B，C，D的4種顏色相同，則E，F有A22種選擇，且G，H必然有一處使用第不妨設G點使用第5種顏色，則H處有2種選擇，此時共有A2若A，F，E，D所用顏色與A，B，C，D的4種顏色不同，因為一共有5種顏色，則E，F有一處與B，C所使用的顏色相同，另一處使用第5種顏色，則有2×2種選擇，此時G，H不能使用與B，C，E，F相同的顏色，故有2種顏色可供選擇，此時共有2×2×2＝8種選擇，綜上：不同的染色方案共有A5故選：C．【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題．2．（2023春?運城期末）某藝術團為期三天公益演出，其表演節(jié)目分別為歌唱，民族舞，戲曲，演奏，舞臺劇，爵士舞，要求戲曲與爵士舞不得安排在同一天進行，每天至少進行一類節(jié)目，則不同的演出安排方案共有（）A．720種 B．3168種 C．1296種 D．5040種【考點】計數原理的應用．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】D【分析】根據每天演出節(jié)目的數目進行分類討論，而后求出總的方案數．【解答】解：若三天演出節(jié)目為2，2，2，則安排方法有（C62C42-3C4若三天演出節(jié)目為3，2，1，則安排方法有（C63C3若三天演出節(jié)目為4，1，1，則安排方法有（C64-C所以總方案有576+3168+1296＝5040．故選：D．【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題．3．（2023?茂南區(qū)校級三模）由數字0，1，2，3，4組成的各位上沒有重復數字的五位數中，從小到大排列第88個數為（）A．42031 B．42103 C．42130 D．42301【考點】數字問題．【專題】計算題；對應思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】C【分析】先討論各個位置上的數字情況，然后利用分步乘法計數原理進行計算即可．【解答】解：①當萬位是1或2時，共有A44=2×24②當萬位是3，千位是0，1，2，4時，共有A33=4×6③當萬位是4，千位是0，1時，共有2A33=2×6④當萬位是4，千位是2，百位為0，1時，共有2A22=2×62∴共有48+24+12+4＝88個數，故第88個數為42130．故選：C．【點評】本題考查了排列、組合的運用，考查了分類討論思想的運用，是中檔題．4．（2024?東湖區(qū)校級三模）設（x1，x2，x3，x4，x5）是1，2，3，4，5的一個排列，若（xi﹣xi+1）（xi+1﹣xi+2）＜0對一切i∈{1，2，3}恒成立，就稱該排列是“交替”的．“交替”的排列的數目是（）A．8 B．16 C．24 D．32【考點】分類加法計數原理．【專題】綜合題；規(guī)律型；分類討論；分類法；排列組合；數據分析．【答案】D【分析】由已知可得：xi﹣xi+1與xi+1﹣xi+2異號，有兩種情況：（1）xi﹣xi+1＞0且xi+1﹣xi+2＜0；（2）xi﹣xi+1＜0且xi+1﹣xi+2＞0，分別討論可以求得結果，也可以列舉得解．【解答】解：由已知可得：xi﹣xi+1與xi+1﹣xi+2異號，有兩種情況：（1）xi﹣xi+1＞0且xi+1﹣xi+2＜0，此時①當第二和第四位是1或2時，有A33②當第一位是2，第二位是1，第四位是3時有A22②當第一位是2，第二位是1，第四位是5時有A22共計12+2+2＝16種．（2）xi﹣xi+1＜0且xi+1﹣xi+2＞0，此時①當第二位和第四位是4或5時，有A33②當第一位是2，第二位和第四位是3或4時，有A22共計12+4＝16種．綜上可得，一共有16+16＝32種．故選：D．【點評】本題考查分類計數原理，屬于難度較大題目．5．（2023?定遠縣校級模擬）小林同學喜歡吃4種堅果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5種顏色的“每日堅果”袋．每個袋子中至少裝1種堅果，至多裝4種堅果．小林同學希望五個袋子中所裝堅果種類各不相同，且每一種堅果在袋子中出現的總次數均為偶數，那么不同的方案數為（）A．20160 B．20220 C．20280 D．20340【考點】計數原理的應用．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】A【分析】設出核桃、腰果、杏仁、榛子為H，Y，X，Z，分類討論求出分堆情況，再進行排列，求出最后答案．【解答】解：依次記核桃、腰果、杏仁、榛子為H，Y，X，Z，則每個字母出現2次或4次，分類計算分堆可能：（1）H，H；Y，Y；X，X；Z，Z，若是“8＝4+1+1+1+1”，則其中的“4”必須是HYXZ，故1種可能；若是“8＝3+2+1+1+1”，則考慮（HYX）（Z※）（※）（※），故有C4小計：1+12+12＝25；（2）諸如“H，H，H，H；Y，Y；X，X；Z，Z”類型，若是“10＝4+3+1+1+1”，則四個H無論怎么安排，都會出現某兩個袋僅放H，故0種可能；若是“10＝4+2+2+1+1”，則“1+1”中有一個是H，若是“10＝3+3+2+1+1”，則“1+1”中各有1個H，“3+3+2”中各一個H，可以考慮含※模式，（H※※）（H※※）（H※）（※）（H），故有C3若是“10＝3+2+2+2+1”，則可用下表進一步分類，有1+C若是“10＝2+2+2+2+2”，則四個H至少有兩個出現搭配相同，故0種可能；小計：C4（3）諸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X；Z，Z”類型，若是“12＝4+4+2+1+1”，則“4+4”必然重復，故0種可能；若是“12＝4+3+3+1+1”，則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現僅（HYXZ）（HYZ）（HYX）（HYX）（Z）（X）可能；若是“12＝4+3+2+2+1”，則考慮（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）（※※）（※※）（※），有C2若是“12＝4+3+2+2+1”，則考慮（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）（※※）（※※）（※），若是“12﹣3+3+3+2+1”，則有（HYX）（HYZ）（ZXH）（HY）（Y）或（HYX）（HYZ）（ZXY）（HY）（H）都成立，有2種可能；若是“12＝3+3+2+2+2”，則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現（HYX）（HYZ）（HY）（H※）（Y※），有2種可能．小計C4諸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z”類型若是“14＝4+4+*+*+*”，則“4+4”必然重復，故0種可能；若是“14＝4+3+3+3+1”，則“4+3+3+3”中至少有3個Z，故0種可能；若是“14＝4+3+3+2+2”，則“4+3+3”至少有2個Z，考慮（HYXZ）（HYX）（Z※※）（※※）（※※），其中Z※※有C32=3若是“14＝3+3+3+3+2”，則“3+3+3+3”中至少有3個Z，故0種可能；小計3C（5）“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z，Z，Z“只有“16＝4+3+3+3+3”的搭配，有1種可能；綜上：共有25+76+54+12+1＝168個分堆可能，故不同的方案數為168A故選：A．【點評】本題考查排列、組合的實際應用，注意分情況討論，是難題．6．（2022秋?陳倉區(qū)校級月考）某兒童游樂園有5個區(qū)域要涂上顏色，現有四種不同顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有（）種A．36 B．48 C．54 D．72【考點】染色問題．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；排列組合；邏輯思維；運算求解．【答案】D【分析】依題意可以利用3或4種不同的顏色涂色，先選出顏色，再涂色，按照分步、分類計數原理計算可得涂色方案的種數．【解答】解：依題意顯然不能用少于2種顏色涂色，若利用3種不同的顏色涂色，首先選出3種顏色有C43先涂區(qū)域①有3種涂法，再涂②有2種涂法，則⑤只有1種涂法，④也只有1種涂法，則③也只有1種涂法，故一共有C43×3×2×1×1×1若利用4種不同的顏色涂色，根據題意，分2步進行涂色：當區(qū)域①、②、⑤這三個區(qū)域兩兩相鄰，有A43當區(qū)域③、④，必須有1個區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有2A43=2×4×3×2綜上可得一共有24+48＝72種涂法；故選：D．【點評】本題主要考查排列組合計數問題，排列組合的實際應用等知識，屬于中檔題．7．（2022春?太原期中）某校高二年級一班星期一上午有4節(jié)課，現從語文、數學、英語、物理、歷史和體育這6門學科中任選4門排在上午的課表中，若前2節(jié)只能排語文、數學和英語，數學課不能排在第4節(jié)，體育只能排在第4節(jié)，則不同的排法種數為（）A．18 B．48 C．50 D．54【考點】分類加法計數原理．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】C【分析】分類討論結合計數原理可得結果．【解答】解：第一類，前兩節(jié)安排語文、數學，第四節(jié)排體育，排法種數為A2第二類，前兩節(jié)安排語文、數學，第四節(jié)不排體育，排法種數為A2第三類，前兩節(jié)安排英語、數學，第四節(jié)排體育，排法種數為A2第四類，前兩節(jié)安排英語、數學，第四節(jié)不排體育，排法種數為A2第五類，前兩節(jié)安排語文、英語，第四節(jié)排體育，排法種數為A2第六類，前兩節(jié)安排語文、英語，第四節(jié)不排體育，排法種數為A2根據分類加法計數原理，前2節(jié)只能排語文、數學和英語，數學課不能排在第4節(jié)，體育只能排在第4節(jié)，則不同的排法種數為6+12+6+12+6+8＝50，故選：C．【點評】本題考查了有限制條件的排列問題，屬于中檔題．8．（2021?未央區(qū)校級模擬）用5種不同顏色給圖中5個車站的候車牌（E，A，B，C，D）染色，要求相鄰的兩個車站間的候車牌不同色，有（）種染色方法．A．120 B．180 C．360 D．420【考點】染色問題．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；排列組合．【答案】D【分析】根據題意，分4步依次分析E、A、B和DC的染色方法數目，由分步計數原理計算可得答案．【解答】解：根據題意，分4步進行分析：①，對于E，有5種顏色可選，即有5種情況，②，對于A，與E相鄰，有4種顏色可選，即有4種情況，③，對于B，與A、E相鄰，有3種顏色可選，即有3種情況，④，對于D、C，若D與B顏色相同，則C有3種顏色可選，若D與B顏色不相同，則D有2種顏色可選，C有2種顏色可選，則D、C共有（1×3+2×2）＝7種情況，則一共有5×4×3×7＝420種情況，故選：D．【點評】本題考查分步計數原理的應用，注意沒有要求5種顏色都用到．9．（2021秋?道里區(qū)校級月考）現有2名學生代表，2名教師代表和3名家長代表合影，則同類代表互不相鄰的排法共有（）種．A．552 B．864 C．912 D．1008【考點】計數原理的應用；排列組合的綜合應用．【專題】計算題；分類討論；綜合法；排列組合；邏輯思維；運算求解．【答案】C【分析】用AA表示兩名學生位置，BB表示兩名教師位置，CCC表示三名家長位置，然后先排兩名學生，然后再排教師，按教師的位置分類，最后將家長排入，主要是利用插空法解決問題．【解答】解：由題意，設AA表示兩名學生位置，BB表示兩名教師位置，CCC表示三名家長位置，第一步：先排學生有A22第二步：再排兩名教師，有①ABAB與BABA，②AABB與BBAA，③ABBA與BAAB三種情況，對于①，教師有2A22=4種排法，然后再將三名家長排入五個空中，共有對于②，教師有2A22=4種排法，然后家長先在A與A之間和B與對于③，教師有2A22=4綜上，共有A22故選：C．【點評】本題考查排列組合問題的基本思路以及分類討論思想的應用，屬于中檔題．10．（2020春?龍鳳區(qū)校級期末）由0，1，2，…，9這十個數組成無重復數字的四位數中，個位數字與百位數字之差的絕對值等于8的個數為（）A．180 B．196 C．210 D．224【考點】計數原理的應用．【專題】計算題．【答案】C【分析】由題意知本題是一個計數原理的應用，個位數字與百位數字之差的絕對值等于8的情況有2種，即：①當個位與百位數字為0，8時，②當個位與百位為1，9時，分別表示出所有的情況，由加法原理計算可得答案．【解答】解：由題意知本題是一個計數原理的應用0到9十個數字中之差的絕對值等于8的情況有2種：0與8，1與9；分2種情況討論：①當個位與百位數字為0，8時，有A8②當個位與百位為1，9時，有A7共A82故選：C．【點評】本題考查分類計數原理與分步計數原理，本題解題的關鍵是看出兩個數字相差8時的所有情況，本題是一個易錯題．二．填空題（共5小題）11．（2024?徐匯區(qū)模擬）將四棱錐S﹣ABCD的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有四種顏色可供使用，則不同的染色方法總數為72．【考點】染色問題．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】72．【分析】首先給頂點S選色，有4種結果，再給A選色有3種結果，再給B選色有2種結果，最后分兩種情況即C與A同色與C與A不同色來討論，根據分步計數原理和分類計數原理得到結果．【解答】解：設四棱錐為S﹣ABCD．下面分兩種情況即C與A同色與C與A不同色來討論，（1）S的著色方法種數為C41，A的著色方法種數為C31，C與A同色時C的著色方法種數為1，D的著色方法種數為C2（2）S的著色方法種數為C41，A的著色方法種數為C31，C與A不同色時C的著色方法種數為C11，D的著色方法種數為綜上兩類共有C41?C31?C21?C21故答案為：72．【點評】本題主要排列與組合及兩個基本原理，總體需分類，每類再分步，綜合利用兩個原理解決，屬中檔題．12．（2024春?河東區(qū)校級月考）某校高中三年級一班有優(yōu)秀團員8人，二班有優(yōu)秀團員10人，三班有優(yōu)秀團員6人，學校組織他們去參觀某愛國主義教育基地．推選1名優(yōu)秀團員為總負責人，有24種不同的選法．【考點】分類加法計數原理．【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】24．【分析】利用分類加法計算原理即可得解．【解答】解：第一類是從一班的8名優(yōu)秀團員中產生，有8種不同的選法；第二類是從二班的10名優(yōu)秀團員中產生，有10種不同的選法；第三類是從三班的6名優(yōu)秀團員中產生，有6種不同的選法；由分類加法計數原理可得，共有N＝8+10+6＝24種不同的選法．故答案為：24．【點評】本題考查分類加法計數原理的應用，是中檔題．13．（2024春?信陽期中）對于各數互不相等的正數數組（i1，i2，…，in）（n是不小于3的正整數），若對于任意的p，q∈{1，2.3，…，n}，當p＜q時有ip＞iq，則稱ip與iq是該數組的一個“逆序”，一個數組中所有“逆序”的個數稱為此數組的“逆序數”．例如，數組（2，4，3，1）中有逆序“2與1”，“4與3”，“4與1”，“3與1”，所以整數數組（2，4，3，1）的“逆序數”等于4．若各數互不相等的正數數組（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序數”是2，則（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“逆序數”是13．【考點】計數原理的應用．【專題】計算題；新定義．【答案】見試題解答內容【分析】根據題意，各數互不相等的正數數組（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序數”是2，可用6個數字中選出2個的所有組合數減去2得到所有可能的結果數【解答】解：根據題意，各數互不相等的正數數組（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序數”是2，從6個數字中任選2個共有15種組合，∵（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序數”是2，∴（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“逆序數”是所有組合數減去2，共有15﹣2＝13種結果，故答案為：13【點評】本題考查一個新定義問題，解題的關鍵是讀懂題目條件中所給的條件，并且能夠利用條件來解決問題，本題是一個考查學生理解能力的題目，難點是理解“逆序”14．（2024春?嘉興期中）用1﹣9這九個正整數組成無重復數字且任意相鄰的三個數字之和是3的倍數的九位數，這樣的九位數有1296個（用數學作答）．【考點】數字問題．【專題】計算題；整體思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】1296．【分析】分析題意，列出每種情況，利用排列數知識求解即可．【解答】解：若任意相鄰的三個數字之和是3的倍數，因此第a個數與第3+a個數的余數也必然相同，故第一，四，七個數和第二，五，八個數，第三，六，九個數必為（1，4，7），（2，5，8），（3，6，9），因此有A33故答案為：1296．【點評】本題主要考察排列組合的應用，屬于中檔題．15．（2023秋?九江期末）從集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3個元素分別作為直線方程Ax+By+C＝0中的A、B、C，所得的經過坐標原點的直線有30條（用數值表示）【考點】計數原理的應用．【專題】排列組合．【答案】見試題解答內容【分析】先根據條件知道C＝0，再根據計算原理計算即可．【解答】解：若直線方程Ax+By+C＝0經過坐標原點，則C＝0，那么A，B任意取兩個即可，有A62故答案為：30．【點評】本題考查了直線過原點的條件和計數原理的應用．三．解答題（共5小題）16．（2023春?招遠市校級期中）用0，1，2，3四個數字組成沒有重復數字的自然數．（1）把這些自然數從小到大排成一個數列，則1203是這個數列的第幾項？（2）求其中的四位數中奇數的個數，并求所有這些奇數各位數位上的數字之和．【考點】數字問題．【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】（1）第34項；（2）8個，48．【分析】（1）利用分步乘法計數原理及分類加法計數原理討論1位自然數、2位自然數、3位自然數、4位自然數的情況即可．（2）利用分步乘法和分類加法計數原理計算即可．【解答】解：（1）一位的自然數有C41=4個，兩位的自然數有三位的自然數有C31C31C21=18個所以1203是這個數列的第4+9+18+2+1＝34項．（2）四位數為奇數的有兩種情況：1和3是個位數，當1為個位數時，共有C21A22=4個，當3為個位數時，共有C21這些奇數各位數位上的數字之和為8×（0+1+2+3）＝48．【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題．17．（2023春?萊西市期中）試分別解答下列兩個小題：（Ⅰ）用0，1，2，3，4，5這六個數字組成無重復數字的自然數，記能組成的不同的四位偶數的個數為M，能組成的0和l相鄰的不同的六位數的個數為N，求M+N；（Ⅱ）在(2x2-13x)n的二項展開式中，記各項的二項式系數之和為E【考點】數字問題．【專題】計算題；對應思想；分析法；排列組合；二項式定理；邏輯思維；運算求解．【答案】（Ⅰ）348；（Ⅱ）T1=C80【分析】（Ⅰ）直接利用分類法和排列組合知識求出M的值，再利用分類法和捆綁法及排列組合知識求出N的值，最后求出M+N的值；（Ⅱ）利用二項展開式和二項式系數及項的系數求出n的值，再利用二項展開式的通項和有理項的求法求出結果．【解答】解：（Ⅰ）用0，1，2，3，4，5這六個數字組成無重復數字的自然數，記能組成的不同的四位偶數的個數為M，分兩類：①0為尾數，故C53?A33=60，②2故M＝60+96＝156．能組成的0和l相鄰的不同的六位數的個數為N，分兩類：①1和0為前兩位，故A4②1和0不為前兩位數，故C4故N＝24+192＝216，所以M+N＝348．（Ⅱ）在(2x2-13x)n各項的系數之和為G，當x＝1時，G＝1，由于E＝G+255，整理得2n＝256＝28，解得n＝8．故(2x2-由于0≤r≤8，且r∈N+，當r＝0，3，6時，展開式為有理項，即T1=C80【點評】本題考查的知識要點：排列組合關系式，二項式定理和展開式，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．18．（2021秋?奉賢區(qū)校級月考）用0，1，2，3，4這5個數字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復數字五位數？（1）偶數；（2）左起第二、四位是奇數的偶數；（3）比21034大的偶數．【考點】數字問題．【專題】轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】（1）60個，（2）8個，（3）39個．【分析】（1）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類加法原理、分步乘法原理進行計算．（2）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類加法原理、分步乘法原理進行計算．（3）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類加法原理、分步乘法原理進行計算．【解答】解：（1）末位是0，有A44末位是2或4，有C21故滿足條件的五位數共有24+36＝60個．（2）左起第二、四位從奇數1，3中取，有A2首位從2，4中取，有A21個：余下的排在剩下的兩位，有A故共有A22（3）可分五類，當末位數是0，而首位數是2時，有A21當末位數字是0，而首位數字是3或4時，有A21當末位數字是2，而首位數字是3或4時，有A21當末位數字是4，而首位數字是2時，有A22當末位數字是4，而首位數字是3時，有A33故有(A2【點評】本題考查分類計數原理的運用以及排列知識的應用，屬于中檔題．19．（2022春?嘉定區(qū)期末）（1）用1、2、3、4、5可以組成多少個四位數？（2）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重復數字的四位偶數？【考點】數字問題．【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】（1）625；（2）156個．【分析】（1）根據排列組合計算即可．（2）偶數先確定個位數字為0或2或4，再分三類討論，最后根據加法計數原理可得結果．【解答】解：（1）用1、2、3、4、5可以組成54＝625（個）四位數，（2）滿足偶數按個位數字分成三類：個位是0或2或4，①個位是0的，即需要從1，2，3，4，5這5個數中選出3個分別放在千、百、十位，有C51②個位是2的，千位需要從1，3，4，5這4個數中選出1個有4種選法，從剩下的4個數字中選出2個分別放在百位、十位，有C41?C31=4×3=12個，所以個位是2③個位是4的，也有48個；綜上所述，用0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復數字的四位偶數有60+48+48＝156個．【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題．20．（2022秋?浙江月考）（1）從集合{1，2，3，…，10}中，選出由5個數組成的子集，使得這5個數中的任何兩個數的和不等于11，則這樣的子集共有多少個？（2）設集合A＝{1，2，3，?，13}，集合B是A的子集，且集合B任意兩數之差都不等于6或7．問：集合B中最多有多少個元素？說明理由．【考點】代數與函數中的計數問題．【專題】轉化思想；轉化法；排列組合；運算求解．【答案】（1）32；（2）6個，理由見解析．【分析】（1）先找出和為11的5組數，然后從這五組每組中各取一個數就符合題意，即可得出答案；（2）構造A的差為6或7的13個子集，假設從A中取7個元素，由抽屜原理知其中必有2個元素屬于同一個子集，它們的差為6或7，不成立，再舉例說明B中可以有6個元素即可．【解答】解：（1）將和為11的數分組：（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6）共5組，只要從這五組每組中各取一個數就符合題意，每組有2種取法，故有25＝32個子集；（2）構造A的下列13個子集：{1，7}，{2，8}，{3，9}，{4，10}，{5，11}，{6，12}，{7，13}，{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5，12}，{6，13}，A中每一個數恰好屬于2個子集，假設從A中取7個元素，由抽屜原理知其中必有2個元素屬于同一個子集，它們的差為6或7，因此，A中任意7個元素都不能同時屬于集合B，即B中最多只有6個元素，又B＝{1，2，3，4，5，6}中任意兩數之差不等于6或7，此時符合要求，∴集合B中最多有6個元素．【點評】本題主要考查計數原理的應用，屬于中檔題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考點卡片1．分類加法計數原理【知識點的認識】1．定義：完成一件事有兩類不同方案：在第1類辦法中有m種不同的方法，在第2類辦法中有n種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m+n種不同的方法．2．推廣：完成一件事有n類不同方案：在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m1+m2+…+mn種不同的方法．3．特點：（1）完成一件事的n類方案相互獨立；（2）同一類方案中的各種方法相對獨立．（3）用任何一類方案中的任何一種方法均可獨立完成這件事；4．注意：與分步乘法計數原理區(qū)別分類加法計數原理分步乘法計數原理相同點計算“完成一件事”的方法種數不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨立完成這件事）注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法點撥】如果完成一件事情有n類方案，且每一類方案中的任何一種方法均能獨立完成這件事，則可使用分類加法計數原理．實現步驟：（1）分類；（2）對每一類方法進行計數；（3）用分類加法計數原理求和；【命題方向】與實際生活相聯系，以選擇題、填空題的形式出現，并綜合排列組合知識成為能力型題目，主要考查學生分析問題和解決問題的能力及分類討論思想．例：某校開設A類選修課3門，B類選擇課4門，一位同學從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有（）A.30種B.35種C.42種D.48種分析：兩類課程中各至少選一門，包含兩種情況：A類選修課選1門，B類選修課選2門；A類選修課選2門，B類選修課選1門，寫出組合數，根據分類計數原理得到結果．解答：可分以下2種情況：①A類選修課選1門，B類選修課選2門，有C3②A類選修課選2門，B類選修課選1門，有C3∴根據分類計數原理知不同的選法共有C31C4故選A．點評：本小題主要考查分類計數原理、組合知識，以及分類討論的數學思想．本題也可以從排列的對立面來考慮，寫出所有的減去不合題意的，可以這樣解：C732．計數原理的應用【知識點的認識】1．兩個計數原理（1）分類加法計數原理：N＝m1+m2+…+mn（2）分步乘法計數原理：N＝m1×m2×…×mn2．兩個計數原理的比較分類加法計數原理分步乘法計數原理共同點都是計數原理，即統(tǒng)計完成某件事不同方法種數的原理．不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘n類方案相互獨立，且每類方案中的每種方法都能獨立完成這件事n個步驟相互依存，每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨立完成這件事）注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法點撥】1．計數原理的應用（1）如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數時，使用分類加法計數原理；（2）如果完成一件事的各個步驟是相互聯系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的方法數時，使用分步乘法計數原理．2．解題步驟（1）指明要完成一件什么事，并依事件特點確定是“分n類”還是“分n步”；（2）求每“類”或每“步”中不同方法的種數；（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法總數；（4）作答．【命題方向】分類計數原理、分步計數原理是推導排列數、組合數公式的理論基礎，也是求解排列、組合問題的基本思想方法．常見考題類型：（1）映射問題（2）涂色問題（①區(qū)域涂色②點的涂色③線段涂色④面的涂色）（3）排數問題（①允許有重復數字②不允許有重復數字）3．代數與函數中的計數問題【知識點的認識】﹣代數與函數中的計數問題通常涉及函數的不同組合情況、代數表達式的多種排列方法．例如：構造滿足特定條件的多項式、確定多項式的根與系數的關系等．﹣在某些情況下，需要計算多項式在不同取值下可能的表達式數量，或者函數圖像的不同形態(tài)．【解題方法點撥】﹣通過分析每個代數項或函數的取值范圍，合理應用加法和乘法計數原理．﹣當涉及到多個變量時，首先固定部分變量，然后對其余變量進行計數，最后進行組合．﹣在復雜情況下，可能需要引入分類討論或遞推關系來進行處理．【命題方向】﹣常見的命題方向包括計算多項式的不同表達形式數量，確定滿足特定條件的函數或方程數量，或者對某些代數式的排列組合進行分析．﹣可能涉及多項式的系數選擇、不同根的排列組合，以及函數圖像的變換等問題．4．數字問題【知識點的認識】﹣數字問題涉及數字的排