九年級(jí)數(shù)學(xué)中考三輪沖刺訓(xùn)練圓中相似三角形專(zhuān)題訓(xùn)練（含答案）

九年級(jí)數(shù)學(xué)中考三輪沖刺訓(xùn)練圓中相似三角形專(zhuān)題訓(xùn)練1．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，BD是⊙O的直徑，作直線BE，使∠ABE＝∠C，并與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）當(dāng)AB＝16，BC＝12時(shí)，求DE的長(zhǎng)．2．如圖，AB是⊙O的直徑，△ACD內(nèi)接于⊙O，CD=DB，AB，CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，且DE＝（1）求證：△CAD∽△CEA；（2）求∠ADC的度數(shù)．3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，連接BD，以BD為直徑作⊙O，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)E，且AD=（1）若∠C＝40°，求∠AEC的度數(shù)；（2）若AB＝6，AD＝3，求CE的長(zhǎng)．4．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線l，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l，垂足為D，連接AC、BC．（1）求證：△ABC∽△ACD；（2）若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半徑．5．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：DF是⊙O的切線．（2）求證：BD＝ED．（3）若DE＝5，CF＝4，求AB的長(zhǎng)．6．如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，AD=（1）求證：△ACD∽△ECB；（2）若AC＝3，BC＝1，求CE的長(zhǎng)．7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為斜邊AB上一點(diǎn)，以BD為直徑作⊙O，交AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接BE，BF，DF．（1）求證：BC?DF＝BF?CE；（2）若∠A＝∠CBF，tan∠BFC=5，AF＝45，求CF的長(zhǎng)和⊙O8．如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上異于B、C的點(diǎn)．⊙O外的點(diǎn)E在射線CB上，直線EA與CD垂直，垂足為D，且DA?AC＝DC?AB．設(shè)△ABE的面積為S1，△ACD的面積為S2．（1）判斷直線EA與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若BC＝BE，S2＝mS1，求常數(shù)m的值．9．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，AC=5，BC＝25，點(diǎn)F在AB上，連接CF并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E（1）求證：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的長(zhǎng)．10．如圖，點(diǎn)D，E在以AC為直徑的⊙O上，∠ADC的平分線交⊙O于點(diǎn)B，連接BA，EC，EA，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC，垂足為H，交AD于點(diǎn)F．（1）求證：AE2＝AF?AD；（2）若sin∠ABD=255，AB＝5，求11．如圖，AB是⊙O的直徑，AM是⊙O的切線，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足為E，連接BD并延長(zhǎng)，交AM于點(diǎn)P．（1）求證：∠CAB＝∠APB；（2）若⊙O的半徑r＝5，AC＝8，求線段PD的長(zhǎng)．12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，?ODEF的頂點(diǎn)O，D在斜邊AB上，頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AC上，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的⊙O恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D和點(diǎn)E．（1）求證：BC與⊙O相切；（2）若sin∠BAC=35，CE＝6，求OF13．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AB是直徑，點(diǎn)C是BD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：CE＝CD；（2）若AB＝3，BC=3，求AD的長(zhǎng)．14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半徑．15．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：BF＝BD；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直徑．參考答案1．【解答】（1）證明：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵AB=∴∠D＝∠C，∴∠C+∠ABD＝90°，∵∠ABE＝∠C，∴∠ABE+∠ABD＝90°，即∠EBD＝90°，∵BD是⊙O的直徑，∴BE是⊙O的切線；（2）解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝16，BC＝12，由勾股定理得，AC=A∵∠ABC＝90°，∴AC為⊙O的直徑，∵BD是⊙O的直徑，∴BD＝AC＝20，∠BAD＝90°，由勾股定理得，AD=B由（1）知∠EBD＝90°，∴∠EBD＝∠BAD＝90°，又∵∠D為公共角，∴△BDA∽△EBD，∴BDDE∴20DE∴DE=1002．【解答】（1）證明：∵CD=∴∠CAD＝∠DAB，∵DE＝AD，∴∠DAB＝∠E，∴∠CAD＝∠E，又∵∠C＝∠C∴△CAD∽△CEA，（2）連接BD，如圖：∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，設(shè)∠CAD＝∠DAB＝α，∴∠CAE＝2α，由（1）知：△CAD∽△CEA，∴∠ADC＝∠CAE＝2α，∵四邊形ABDC是圓的內(nèi)接四邊形，∴∠CAB+∠CDB＝180°，即2α+2α+90°＝180°，解得：α＝22.5°∠ADC＝∠CAE＝2×22.5°＝45°3．【解答】解：（1）∵BD為直徑，∴∠BAD＝90°，∵∠C＝40°，∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵AD=∴∠ABD＝∠DBC=12∠∴∠ADB＝90°﹣25°＝65°，∴∠AEB＝∠ADB＝65°，∴∠AEC＝115°．（2）連接DE，∵AD∴DE＝AD＝3，∵BD為直徑，∴AB=∴BE＝AB＝6，∵BD為直徑，∴∠BED＝90°，∴∠CED＝180°﹣90°＝90°，∴∠CED＝∠CAB，∵∠C＝∠C，∴△CED∽△CAB，∴CEAC設(shè)CE＝x，CD＝y(tǒng)，則xy+3∴x=4y=5∴CE＝4．4．【解答】（1）證明：連接OC，∵l是⊙O的切線，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB，∵∠D＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵AC＝5，CD＝4，∠ADC＝90°，∴AD=A∵△ABC∽△ACD，∴ABAC=∴AB5∴AB=25∴半徑為2565．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，O為圓心，∴OD⊥BC，∵DF∥BC，∴OD⊥DF，∵OD為⊙O的半徑，∴DF是⊙O的切線；（2）證明：∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴BD=∴∠DBC＝∠BAD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DEB是△ABE的外角，∴∠DEB＝∠BAE+∠ABE，∵∠DBE＝∠CBE+DBC，∴∠DEB＝∠DBE，∴BD＝ED；（3）解：如圖，連接CD，∵四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∵∠DCF+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠DCF，∵DF∥BC，∴∠ACB＝∠F，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠F，∴△ABD∽△DCF，∴BDCF∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴BD=∴BD＝CD，由（2）知BD＝ED，∴CD＝BD＝DE＝5，∵CF＝4，∴54∴AB=256．【解答】（1）證明：∵AD=∴∠ACD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠EBC，∴△ACD∽△ECB；（2）解：過(guò)B點(diǎn)作BH⊥CD于H點(diǎn)，如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ACB中，AB=B∵∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴△ABD為等腰直角三角形，∴BD=22AB在Rt△BCH中，∵∠BCH＝45°，∴CH＝BH=22BC在Rt△BDH中，DH=B∴CD＝CH+DH=22+3∵△ACD∽△ECB，∴CA：CE＝CD：CB，即3：CE＝22：1，解得CE=3即CE的長(zhǎng)為327．【解答】（1）證明：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BFD＝90°，∵∠C＝90°，∴∠BFD＝∠C，∵BF=∴∠BEC＝∠BDF，∴△BCE∽△BDF，∴BCBF∴BC?DF＝BF?CE；（2）解：連接DE，過(guò)E作EH⊥BD于H，如圖：∵∠C＝90°，tan∠BFC=5∴BCCF∴BC=5CF∵∠A＝∠CBF，∴90°﹣∠A＝90°﹣∠CBF，即∠ABC＝∠BFC，∴tan∠ABC＝tan∠BFC=5∴ACBC∴AC=5BC=5×（5CF∵AC﹣CF＝AF＝45，∴5CF﹣CF＝45，∴CF=5∴BC=5CF＝5，AC＝5CF＝55∴AB=BC2由（1）知△BCE∽△BDF，∴∠CBE＝∠DBF，∴∠CBE﹣∠FBE＝∠DBF﹣∠FBE，即∠CBF＝∠EBA，∵∠A＝∠CBF，∴∠A＝∠EBA，∴AE＝BE，∴BH＝AH=12AB∵∠BEH＝90°﹣∠EBA＝90°﹣∠CBF＝∠BFC，∴tan∠BEH＝tan∠BFC=5∴BHEH=5∴EH=30∵BD是⊙O的直徑，∴∠BED＝90°，∴∠EDH＝90°﹣∠DEH＝∠BEH，∴tan∠EDH＝tan∠BEH=5∴EHDH=5∴DH=6∴BD＝DH+BH=62+∴⊙O的直徑為36．答：CF的長(zhǎng)為5，⊙O的直徑為36．8．【解答】解：（1）AE與⊙O相切，理由如下：如圖，連接OA，∵DA?AC＝DC?AB，∴DADC∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°＝∠ADC，∴△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠ACD，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACB＝∠ACD，∴OA∥CD，∴∠OAE＝∠CDE＝90°，∴OA⊥DE，又∵OA為半徑，∴AE與⊙O相切；（2）如圖，∵OA∥CD，∴△AOE∽△DCE，∴AOCD設(shè)BO＝OC＝OA＝a，則BC＝2a，∵BC＝BE＝2a，∴S△ABE＝S△ABC，EO＝3a，EC＝4a，∴aCD∴CD=43∵△ABC∽△DAC，∴BCAC∴AC2＝BC?CD=83a∵△ABC∽△DAC，∴S△ACDS△ABC=（AC∴S2=23S∴m=29．【解答】（1）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°，∵BC所對(duì)的圓周角為∠BDE和∠BAC，∴∠BDE＝∠BAC，∴△DBE∽△ABC；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G，∵∠ACB＝90°，AC=5，BC＝25∴AB=A∵CG⊥AB，∴AG＝ACcosA=5∵AF＝2，∴FG＝AG＝1，∴CG是AF的垂直平分線，∴AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，∴BD＝BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3，∵△DBE∽△ABC，∴BDAB∴35∴ED=310．【解答】（1）證明：∵EH⊥AC于點(diǎn)H，AC是⊙O的直徑，∴∠AHE＝∠AEC＝90°，∵∠HAE＝∠EAC，∴△HAE∽△EAC，∴AHAE∴AE2＝AH?AC，∵∠HAF＝∠DAC，∠AHF＝∠ADC＝90°，∴△AHF∽△ADC，∴AHAD∴AH?AC＝AF?AD，∴AE2＝AF?AD．（2）解：連接BC，∵∠ADC的平分線交⊙O于點(diǎn)B，∴∠ADB＝∠CDB，∴AB=∴AB＝BC＝5，∵∠ABC＝90°，∴AC=AB2∵∠ACD＝∠ABD，∴ADAC=sin∠ACD＝sin∠ABD∴AD=255AC=25∴AD的長(zhǎng)是210．11．【解答】（1）證明：∵AM是⊙O的切線，∴∠BAM＝90°，∵∠CEA＝90°，∴AM∥CD，∴∠CDB＝∠APB，∵∠CAB＝∠CDB，∴∠CAB＝∠APB．（2）解：如圖，連接AD，∵AB是直徑，∴∠CDB+∠ADC＝90°，∵∠CAB+∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，∴∠ADC＝∠C，∴AD＝AC＝8，∵AB＝10，∴BD＝6，∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠PAD+∠APD＝90°，∴∠APB＝∠DAB，∵∠BDA＝∠BAP∴△ADB∽△PAB，∴ABPB∴PB=AB∴DP=503?故答案為：32312．【解答】（1）證明：連接OE，∵四邊形ODEF是平行四邊形，∴EF∥OD，EF＝OD，∵OA＝OD，∴EF∥OA，EF＝OA，∴四邊形AOEF是平行四邊形，∴OE∥AC，∴∠OEB＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠OEB＝90°，∴OE⊥BC，∵OE是⊙O的半徑，∴BC與⊙O相切；（2）解：過(guò)點(diǎn)F作FH⊥OA于點(diǎn)H，∵四邊形AOEF是平行四邊形，∴EF∥OA，∴∠CFE＝∠CAB，∴sin∠CFE＝sin∠CAB=3在Rt△CEF中，∠ACB＝90°，∵CE＝6，sin∠CFE=CEEF∴EF=CE∵四邊形AOEF是平行四邊形，且OA＝OE，∴?AOEF是菱形，∴AF＝AO＝EF＝10，在Rt△AFH中，∠AHF＝90°，∵AF＝10，sin∠CAB=FH∴FH＝AF?sin∠CAB=10×3∵AH2＝AF2﹣FH2，∴AH=A∴OH＝AO﹣AH＝10﹣8＝2，在Rt△OFH中，∠FHO＝90°，∵OF2＝OH2+FH2，∴OF=O∴OF＝210．13．【解答】（1）證明：連接AC，∵AB為直徑，∴∠ACB＝∠ACE＝90°，又∵點(diǎn)C是BD的中點(diǎn)∴∠CAE＝∠CAB，CD＝CB，又∵AC＝AC∴△ACE≌△ACB（ASA），∴CE＝CB，∴CE＝CD；（2）解：∵△ACE≌△ACB，AB＝3，∴AE＝AB＝3，又∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠ABE，又∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA，∴DEBE即：DE2解得：DE＝2，∴AD＝AE﹣DE＝1．14．【解答】（1）證明：連接OD，CD，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠CDB＝180°﹣∠ADC＝90°，∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∴DE＝CE=12∴∠DCE＝∠CDE，∴∠ODC+∠CDE＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵AD＝4，BD＝9，∴AB＝AD+BD＝4+9＝13，∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，∴△ACB