【課件】因式分解+課件華東師大版（2024）八年級數(shù)學上冊

11.5因式分解第11章整式的乘除知識點因式分解知1－講11.定義把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.2.整式乘法與因式分解的關(guān)系(1)整式乘法與因式分解一個是積化和差，另一個是和差化積，是互逆的變形，即：多項式整式乘積.(2)可以利用整式乘法檢驗因式分解的結(jié)果的正確性.因式分解整式乘法知1－講特別解讀1.因式分解的對象是多項式，結(jié)果是整式的積.2.因式分解是恒等變形.3.因式分解必須分解到每個因式不能再分解為止.

例1

解題秘方：緊扣因式分解的定義進行識別.知1－練

知1－練知1－練變式訓練1-1.[中考·濟寧]下面各式從左到右的變形，屬于因式分解且正確的是()A.x2-x-1=x(x-1)-1

B.x2-1=(x-1)2C.x2-x-6=(x-3)(x+2)

D.x(x-1)=x2-xC

[中考·益陽]下列因式分解正確的是()A.2a2-4a+2=2(a-1)2

B.a

2+ab+a=a(a+b)C.4a2-b2=(4a+b)(4a-b) D.a3b-ab3=ab(a-b)2例2解題秘方：根據(jù)因式分解與整式乘法之間的關(guān)系進行判斷.知1－練知1－練解：利用整式的乘法法則將各選項中等式的右邊展開，與等式的左邊相比較，左右兩邊相同的只有選項A.答案：A知1－練變式訓練2-1.[中考·攀枝花]以下因式分解正確的是()A.ax2-a=a(x2-1)B.m3+m=m(m2+1)C.x2+2x-3=x(x+2)-3D.x

2+2x-3=(x-3)·(x+1)B仔細閱讀下面例題，解答問題：例題：已知把x2-4x+m

分解因式后有一個因式是x+3，求其另一個因式及m

的值.解：設(shè)另一個因式為x+n，則x2-4x+m=(x+3)(x+n)，即x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n.例3知1－練n+3=-4，3n=m，所以n=-7，m=-21.解得所以另一個因式為x-7，m

的值為-21.問題：(1)若x2-5x+6可分解為(x-2)(☆)，則☆=_____；(2)若2x2+bx-5可分解為(2x-1)(x+5)，則b=_____；(3)已知把2x2+5x-k

分解因式后有一個因式為2x-3，求其另一個因式及k

的值.知1－練解題秘方：根據(jù)因式分解與整式乘法是互逆變形，可以將因式分解的結(jié)果利用整式乘法算出多項式，并與已知多項式對比系數(shù)解決問題.知1－練知1－練解：(1)x-3(2)9(3)設(shè)另一個因式為x+q，則2x2

+5x-k=(2x-3)(x+q)，即2x2+5x-k=2x2+(2q-3)x-3q，所以另一個因式為x+4，k

的值為12.2q-3=5，-3q=-k，所以q=4，k=12.解得展開后對應項的系數(shù)相等.~~~~~~知1－練變式訓練3-1.[中考·濱州]把多項式x2+ax+b

分解因式，得(x+1)(x-3)，則a，b

的值分別是()A.2，3

B.-2，-3

C.-2，3

D.2，-33-2.若將多項式x2+3x+a

分解為(x+1)(x+2)，則a的值為()A.2 B.3

C.-3 D.-2BA知2－講知識點公因式21.定義

多項式ma+mb+mc

中的每一項都含有一個相同的因式m，我們稱之為公因式.2.公因式的確定(1)確定公因式的系數(shù)：若多項式中各項系數(shù)都是整數(shù)，則取各項系數(shù)的最大公因數(shù).知2－講(2)確定字母及字母的指數(shù)：取各項都含有的相同字母作為公因式中的字母，各相同字母的指數(shù)取其中的最低指數(shù).(3)若多項式各項中含有相同的多項式因式，則應將其看成一個整體，不要拆開，作為公因式中的因式.如3x(x-y)+x2(x-y)的公因式是x(x-y)知2－講特別解讀1.公因式必須是多項式中每一項都含有的因式.2.公因式可以是具體的數(shù)，也可以是含字母的單項式或多項式.3.若多項式各項中含有互為相反數(shù)的因式，則可將互為相反數(shù)的因式統(tǒng)一成相同的因式.例4指出下列多項式各項的公因式：(1)3a2y-3ay+6y；(2)4xy3-8x3y2；(3)a(x-y)3+b(x-y)2+(x-y)3；(4)36a3b2-27a2b3+9a2b.解題秘方：緊扣公因式的定義求解.知2－練知2－練解：(1)中各項的公因式為3y.(2)中各項的公因式為4xy2.(3)中各項的公因式為(x-y)2.(4)中各項的公因式為9a2b.知2－練變式訓練4-1.下列各組式子中沒有公因式的是()A.4a2bc

與8abc2B.a3b2+1與a2b3-1C.b(a-2b)2與a(2b-a)2D.x+1與x2-1B知3－講知識點提公因式法31.定義

把公因式提出來，多項式ma+mb+mc

就可以分解成兩個因式m

和(a+b+c)的乘積了，像這種因式分解的方法，叫做提公因式法.用字母表示為ma+mb+mc=m(a+b+c).2.提公因式法的一般步驟(1)找出公因式，就是找出各項都含有的因式；(2)確定另一個因式,另一個因式即多項式除以公因式所得的商；(3)寫成積的形式.知3－講特別解讀1.提公因式法實質(zhì)上是逆用乘法的分配律.2.提公因式法就是把一個多項式分解成兩個因式的積的形式，其中的一個因式是各項的公因式，另一個因式是多項式除以這個公因式所得的商.例5做一做把下列多項式分解因式：(1)6x3y2-8xy3z；

(2)-4a3b2+12a2b-4ab.解題秘方：緊扣提公因式法的步驟分解因式.知3－練知3－練解：(1)6x3y2-8xy3z=2xy2·3x2-2xy2·4yz=2xy2(3x2-4yz).(2)-4a3b2+12a2b-4ab=-(4a3b2-12a2b+4ab)=-(4ab·a2b-4ab·3a+4ab)=-4ab(a2b-3a+1).知3－練解法提醒1.當多項式的首項系數(shù)是負數(shù)時，一般應先提出“-”號，但要注意，此時括號內(nèi)各項都要改變符號.2.4ab

與公因式相同，提取公因式后，此項為“1”，此時容易漏掉“1”這一項而導致錯誤.知3－練變式訓練5-1.下列多項式中，能用提公因式法分解因式的是()A.x2-y

B.x2-2xC.x2+y2

D.x2-xy+y25-2.把多項式a

2+2a分解因式得()A.a(a+2)

B.a(a-2)C.(a+2)2

D.(a+2)(a-2)BA知4－講知識點用平方差公式分解因式41.平方差公式

兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.即：a2-b2=(a+b)(a-b).2.平方差公式的特點(1)等號的左邊是一個二項式，各項都是平方的形式且符號相反；(2)等號的右邊是兩個二項式的積，其中一個二項式是兩個數(shù)的和，另一個二項式是這兩個數(shù)的差.知4－講3.運用平方差公式分解因式的步驟一判：根據(jù)平方差公式的特點，判斷是否為平方差，若負平方項在前面，則利用加法的交換律把負平方項放在后面；二定：確定公式中的a

和b，除a

和b

是單獨一個數(shù)或單獨一個字母外，其余不管是單項式還是多項式都必須用括號括起來，表示一個整體；三套：套用平方差公式進行分解；四整理：將每個因式去括號，合并同類項化成最簡的形式.知4－講特別解讀1.因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式.2.乘法公式中的平方差公式指的是符合兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積的條件后，結(jié)果寫成平方差形式；而因式分解中的平方差公式指的是能寫成平方差形式的多項式，可以分解成兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差.例6

解題秘方：先確定平方差公式中的“a”和“b”，再運用平方差公式分解因式.知4－練知4－練

提醒：繼續(xù)運用平方差公式分解.~~~~~知4－練變式訓練6-1.把下列多項式分解因式：(1)a2b2-16；(2)100x2-9y2；(3)a4-1；(4)49x2-(5x-2)2.解：原式＝(ab＋4)(ab－4).解：原式＝(10x＋3y)(10x－3y).解：原式＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)·(a－1).解：原式＝[7x＋(5x－2)][7x－(5x－2)]＝(12x－2)(2x＋2)＝4(6x－1)(x＋1).知5－講1.完全平方公式

兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.即：a2±2ab+b2=(a±b)2.2.完全平方公式的特點

等號左邊是一個完全平方式，右邊是這兩個數(shù)的和(或差)的平方.知識點用完全平方公式分解因式5知5－講3.因式分解的一般步驟(1)當多項式有公因式時，先提取公因式，當多項式?jīng)]有公因式時(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；(2)當不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式時，可根據(jù)多項式的特點，把其變形為能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；(3)當乘積中每一個因式都不能再分解時，因式分解就結(jié)束了.知5－講特別解讀1.因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的兩數(shù)和(差)的平方公式的逆用.2.結(jié)果是和的平方還是差的平方由乘積項的符號確定，乘積項的符號可以是“+”，也可以是“-”，但兩個平方項的符號必須相同，否則就不是完全平方式，不能用完全平方公式進行因式分解.例7

解題秘方：先確定完全平方式中的“a”和“b”，再運用完全平方公式分解因式.知5－練知5－練

知5－練(4)(x2+6x)2+18(x2+6x)+81=(x2+6x)2+2(x2+6x)·9+92=(x2+6x+9)2=(x+3)4.~~~~~~~~~完全平方公式可以連續(xù)使用，因式分解的結(jié)果要徹底.知5－練變式訓練7-1.把多項式x2-4x+4分解因式的結(jié)果是()A.x(x-4)+4B.(x+2)(x-2)C.(x+2)2D.(x-2)2D知5－練7-2.把下列多項式分解因式：(1)4x2+y2-4xy；(2)9-12a+4a2；(3)(m+n)2-6(m

+n)+9.解：原式＝4x2－4xy＋y2＝(2x－y)2.解：原式＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2.解：原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2.已知9a2+ka+16可以用完全平方公式分解因式，則k的值是__________.例8解題秘方：根據(jù)平方項確定乘積項，進而確定字母的值.知5－練知5－練解：因為9a2=(3a)2，16=42，所以ka=±2×3a×4=±24a.所以k=±24.答案：±24有和的完全平方式和差的完全平方式兩種形式.~~~~~知5－練變式訓練8-1.[月考·南陽宛城區(qū)]若將多項式9m2+1加上一個單項式A

后，就能夠在我們所學范圍內(nèi)因式分解，則單項式A

不可能是()A.-2 B.-10m2C.-6m

D.-9mD已知9a2+把下列多項式分解因式：(1)-3a3b+48ab3；(2)x4-8x