八年級下平行四邊形拔高訓練含答案

...wd......wd......wd...初中數(shù)學組卷〔平行四邊形〕一．選擇題〔共12小題〕1．〔2015?溫州模擬〕如圖，假設干全等正五邊形排成環(huán)狀．圖中所示的是前3個五邊形，要完成這一圓環(huán)還需〔〕個五邊形．A．6B．7C．8D．92．〔2015?閘北區(qū)二?！骋粋€正多邊形繞它的中心旋轉45°后，就與原正多邊形第一次重合，那么這個正多邊形〔〕A．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形B．是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形C．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形D．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形3．〔2014?棗莊〕如圖，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分別是其角平分線和中線，過點C作CG⊥AD于F，交AB于G，連接EF，則線段EF的長為〔〕A．B．1C．D．74．〔2014?武漢模擬〕如圖∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分別是AB、BC的中點，則以下結論，①EF⊥BD，②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正確的選項是〔〕A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④5．〔2013?鐵嶺〕如果三角形的兩邊長分別是方程x2﹣8x+15=0的兩個根，那么連接這個三角形三邊的中點，得到的三角形的周長可能是〔〕A．5.5B．5C．4.5D．46．〔2013?淄博〕如圖，△ABC的周長為26，點D，E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，假設BC=10，則PQ的長為〔〕A．B．C．3D．47．〔2013?泰安〕如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點E，與DC交于點F，且點F為邊DC的中點，DG⊥AE，垂足為G，假設DG=1，則AE的邊長為〔〕A．2B．4C．4D．88．〔2013?湘西州〕如圖，在?ABCD中，E是AD邊上的中點，連接BE，并延長BE交CD延長線于點F，則△EDF與△BCF的周長之比是〔〕A．1：2B．1：3C．1：4D．1：59．〔2013?無錫〕點A〔0，0〕，B〔0，4〕，C〔3，t+4〕，D〔3，t〕．記N〔t〕為?ABCD內部〔不含邊界〕整點的個數(shù)，其中整點是指橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點，則N〔t〕所有可能的值為〔〕A．6、7B．7、8C．6、7、8D．6、8、910．〔2013?達州〕如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，點D在BC上，以AC為對角線的所有?ADCE中，DE最小的值是〔〕A．2B．3C．4D．511．〔2010?泉州〕如以以下列圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D，E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE重疊壓平，A與A′重合，假設∠A=70°，則∠1+∠2=〔〕A．140°B．130°C．110°D．70°12．〔2010?綦江縣〕如圖，在?ABCD中，分別以AB、AD為邊向外作等邊△ABE、△ADF，延長CB交AE于點G，點G在點A、E之間，連接CE、CF，EF，則以下四個結論一定正確的選項是〔〕①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等邊三角形；④CG⊥AE．A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④二．填空題〔共10小題〕13．〔2014?安徽〕如圖，在?ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則以下結論中一定成立的是．〔把所有正確結論的序號都填在橫線上〕①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．14．〔2014?福州〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D，E分別是邊AB，AC的中點，延長BC到點F，使CF=BC．假設AB=10，則EF的長是．15．〔2014?江漢區(qū)二?！橙鐖D，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，假設EF=2，BC=5，CD=3，則tanC=．16．〔2013?濱州〕在?ABCD中，點O是對角線AC、BD的交點，點E是邊CD的中點，且AB=6，BC=10，則OE=．17．〔2013?鞍山〕如圖，D是△ABC內一點，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是．18．〔2013?烏魯木齊〕如圖，△ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，則DF的長為．19．〔2013?荊州〕如圖，△ACE是以?ABCD的對角線AC為邊的等邊三角形，點C與點E關于x軸對稱．假設E點的坐標是〔7，﹣3〕，則D點的坐標是．20．〔2013?寧波自主招生〕如圖，E、F分別是?ABCD的邊AB、CD上的點，AF與DE相交于點P，BF與CE相交于點Q，假設S△APD=10cm2，S△BQC=20cm2，則陰影局部的面積為．21．〔2013?南崗區(qū)校級一?！橙鐖D，AD、BE為△ABC的中線交于點O，∠AOE=60°，OD=，OE=，則AB=．22．〔2013?灌云縣模擬〕在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD且AC=6、BD=8，E、F分別是邊AB、CD的中點，則EF=．三．解答題〔共8小題〕23．〔2013?常德〕兩個共一個頂點的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點，連接MB、ME．〔1〕如圖1，當CB與CE在同一直線上時，求證：MB∥CF；〔2〕如圖1，假設CB=a，CE=2a，求BM，ME的長；〔3〕如圖2，當∠BCE=45°時，求證：BM=ME．24．〔2013?南充〕如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，經(jīng)過點O的直線交AB于E，交CD于F．求證：OE=OF．25．〔2013?新疆〕如圖，?ABCD中，點O是AC與BD的交點，過點O的直線與BA、DC的延長線分別交于點E、F．〔1〕求證：△AOE≌△COF；〔2〕請連接EC、AF，則EF與AC滿足什么條件時，四邊形AECF是矩形，并說明理由．26．〔2013?重慶〕，如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE=CD，點F為CE的中點，點G為CD上的一點，連接DF、EG、AG，∠1=∠2．〔1〕假設CF=2，AE=3，求BE的長；〔2〕求證：∠CEG=∠AGE．27．〔2013?郴州〕如圖，BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求證：四邊形DEBF是平行四邊形．28．〔2013?沙坪壩區(qū)模擬〕如圖，?ABCD中，AC與BD相交于點O，∠ABD=2∠DBC，AE⊥BD于點E．〔1〕假設∠ADB=25°，求∠BAE的度數(shù)；〔2〕求證：AB=2OE．29．〔2013?江北區(qū)校級模擬〕如圖，?ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．過點D作DC的垂線，分別交AE、AB于點M、N．〔1〕假設M為AG中點，且DM=2，求DE的長；〔2〕求證：AB=CF+DM．30．〔2013?重慶模擬〕如圖，?ABCD中，DE⊥BC于點E，DH⊥AB于點H，AF平分∠BAD，分別交DC、DE、DH于點F、G、M，且DE=AD．〔1〕求證：△ADG≌△FDM．〔2〕猜想AB與DG+CE之間有何數(shù)量關系，并證明你的猜想．初中數(shù)學組卷〔平行四邊形〕參考答案與試題解析一．選擇題〔共12小題〕1．〔2015?溫州模擬〕如圖，假設干全等正五邊形排成環(huán)狀．圖中所示的是前3個五邊形，要完成這一圓環(huán)還需〔〕個五邊形．A．6B．7C．8D．9考點：多邊形內角與外角．專題：應用題；壓軸題．分析：先根據(jù)多邊形的內角和公式〔n﹣2〕?180°求出正五邊形的每一個內角的度數(shù)，再延長五邊形的兩邊相交于一點，并根據(jù)四邊形的內角和求出這個角的度數(shù)，然后根據(jù)周角等于360°求出完成這一圓環(huán)需要的正五邊形的個數(shù)，然后減去3即可得解．解答：解：五邊形的內角和為〔5﹣2〕?180°=540°，所以正五邊形的每一個內角為540°÷5=108°，如圖，延長正五邊形的兩邊相交于點O，則∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=10，∵已經(jīng)有3個五邊形，∴10﹣3=7，即完成這一圓環(huán)還需7個五邊形．應選B．點評：此題考察了多邊形的內角和公式，延長正五邊形的兩邊相交于一點，并求出這個角的度數(shù)是解題的關鍵，注意需要減去已有的3個正五邊形．2．〔2015?閘北區(qū)二?！骋粋€正多邊形繞它的中心旋轉45°后，就與原正多邊形第一次重合，那么這個正多邊形〔〕A．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形B．是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形C．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形D．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形考點：中心對稱圖形；軸對稱圖形．專題：幾何圖形問題；綜合題；壓軸題．分析：先根據(jù)旋轉對稱圖形的定義得出這個正多邊形是正八邊形、再根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義即可解答．解答：解：∵一個正多邊形繞著它的中心旋轉45°后，能與原正多邊形重合，360°÷45°=8，∴這個正多邊形是正八邊形．正八邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．應選C．點評：此題綜合考察了旋轉對稱圖形的概念，中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義．根據(jù)定義，得一個正n邊形只要旋轉的倍數(shù)角即可．奇數(shù)邊的正多邊形只是軸對稱圖形，偶數(shù)邊的正多邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．3．〔2014?棗莊〕如圖，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分別是其角平分線和中線，過點C作CG⊥AD于F，交AB于G，連接EF，則線段EF的長為〔〕A．B．1C．D．7考點：三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質．專題：幾何圖形問題；壓軸題．分析：由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F為GC中點，再由條件可得EF為△CBG的中位線，利用中位線的性質即可求出線段EF的長．解答：解：∵AD是其角平分線，CG⊥AD于F，∴△AGC是等腰三角形，∴AG=AC=3，GF=CF，∵AB=4，AC=3，∴BG=1，∵AE是中線，∴BE=CE，∴EF為△CBG的中位線，∴EF=BG=，應選：A．點評：此題考察了等腰三角形的判定和性質、三角形的中位線性質定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．4．〔2014?武漢模擬〕如圖∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分別是AB、BC的中點，則以下結論，①EF⊥BD，②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正確的選項是〔〕A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④考點：三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質．專題：壓軸題．分析：根據(jù)三角形的中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊〞同時利用三角形的全等性質求解．解答：解：如以以以下列圖所示：連接AC，延長BD交AC于點M，延長AD交BC于Q，延長CD交AB于P．∵∠ABC=∠C=45°∴CP⊥AB∵∠ABC=∠A=45°∴AQ⊥BC點D為兩條高的交點，所以BM為AC邊上的高，即：BM⊥AC．由中位線定理可得EF∥AC，EF=AC∴BD⊥EF，故①正確．∵∠DBQ+∠DCA=45°，∠DCA+∠CAQ=45°，∴∠DBQ=∠CAQ，∵∠A=∠ABC，∴AQ=BQ，∵∠BQD=∠AQC=90°，∴根據(jù)以上條件得△AQC≌△BQD，∴BD=AC∴EF=AC，故②正確．∵∠A=∠ABC=∠C=45°∴∠DAC+∠DCA=180°﹣〔∠A+∠ABC+∠C〕=45°∴∠ADC=180°﹣〔∠DAC+∠DCA〕=135°=∠BEF+∠BFE=180°﹣∠ABC故③∠ADC=∠BEF+∠BFE成立；無法證明AD=CD，故④錯誤．應選B．點評：此題考點在于三角形的中位線和三角形全等的判斷及應用．5．〔2013?鐵嶺〕如果三角形的兩邊長分別是方程x2﹣8x+15=0的兩個根，那么連接這個三角形三邊的中點，得到的三角形的周長可能是〔〕A．5.5B．5C．4.5D．4考點：三角形中位線定理；解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關系．專題：壓軸題．分析：首先解方程求得三角形的兩邊長，則第三邊的范圍可以求得，進而得到三角形的周長l的范圍，而連接這個三角形三邊的中點，得到的三角形的周長一定是l的一半，從而求得中點三角形的周長的范圍，從而確定．解答：解：解方程x2﹣8x+15=0得：x1=3，x2=5，則第三邊c的范圍是：2＜c＜8．則三角形的周長l的范圍是：10＜l＜16，∴連接這個三角形三邊的中點，得到的三角形的周長m的范圍是：5＜m＜8．故滿足條件的只有A．應選A．點評：此題考察了三角形的三邊關系以及三角形的中位線的性質，理解原來的三角形與中點三角形周長之間的關系式關鍵．6．〔2013?淄博〕如圖，△ABC的周長為26，點D，E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，假設BC=10，則PQ的長為〔〕A．B．C．3D．4考點：三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質．專題：幾何圖形問題；壓軸題．分析：首先判斷△BAE、△CAD是等腰三角形，從而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周長為26，及BC=10，可得DE=6，利用中位線定理可求出PQ．解答：解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴點Q是AE中點，點P是AD中點〔三線合一〕，∴PQ是△ADE的中位線，∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD﹣BC=6，∴PQ=DE=3．應選：C．點評：此題考察了三角形的中位線定理，解答此題的關鍵是判斷出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性質確定PQ是△ADE的中位線．7．〔2013?泰安〕如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點E，與DC交于點F，且點F為邊DC的中點，DG⊥AE，垂足為G，假設DG=1，則AE的邊長為〔〕A．2B．4C．4D．8考點：平行四邊形的性質；等腰三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形；勾股定理．專題：計算題；壓軸題．分析：由AE為角平分線，得到一對角相等，再由ABCD為平行四邊形，得到AD與BE平行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，等量代換及等角對等邊得到AD=DF，由F為DC中點，AB=CD，求出AD與DF的長，得出三角形ADF為等腰三角形，根據(jù)三線合一得到G為AF中點，在直角三角形ADG中，由AD與DG的長，利用勾股定理求出AG的長，進而求出AF的長，再由三角形ADF與三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的長．解答：解：∵AE為∠DAB的平分線，∴∠DAE=∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F為DC的中點，∴DF=CF，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得：AG=，則AF=2AG=2，∵平行四邊形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF〔AAS〕，∴AF=EF，則AE=2AF=4．應選：B點評：此題考察了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解此題的關鍵．8．〔2013?湘西州〕如圖，在?ABCD中，E是AD邊上的中點，連接BE，并延長BE交CD延長線于點F，則△EDF與△BCF的周長之比是〔〕A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5考點：平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質．專題：壓軸題．分析：根據(jù)平行四邊形性質得出AD=BC，AD∥BC，推出△EDF∽△BCF，得出△EDF與△BCF的周長之比為，根據(jù)BC=AD=2DE代入求出即可．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴△EDF∽△BCF，∴△EDF與△BCF的周長之比為，∵E是AD邊上的中點，∴AD=2DE，∵AD=BC，∴BC=2DE，∴△EDF與△BCF的周長之比1：2，應選A．點評：此題考察了平行四邊形性質，相似三角形的性質和判定的應用，注意：平行四邊形的對邊平行且相等，相似三角形的周長之比等于相似比．9．〔2013?無錫〕點A〔0，0〕，B〔0，4〕，C〔3，t+4〕，D〔3，t〕．記N〔t〕為?ABCD內部〔不含邊界〕整點的個數(shù)，其中整點是指橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點，則N〔t〕所有可能的值為〔〕A．6、7B．7、8C．6、7、8D．6、8、9考點：平行四邊形的性質；坐標與圖形性質．專題：壓軸題．分析：分別求出t=1，t=1.5，t=2，t=0時的整數(shù)點，根據(jù)答案即可求出答案．解答：解：當t=0時，A〔0，0〕，B〔0，4〕，C〔3，4〕，D〔3，0〕，此時整數(shù)點有〔1，1〕，〔1，2〕，〔1，3〕，〔2，1〕，〔2，2〕，〔2，3〕，共6個點；當t=1時，A〔0，0〕，B〔0，4〕，C〔3，5〕，D〔3，1〕，此時整數(shù)點有〔1，1〕，〔1，2〕，〔1，3〕，〔1，4〕，〔2，1〕，〔2，2〕，〔2，3〕，〔2，4〕，共8個點；當t=1.5時，A〔0，0〕，B〔0，4〕，C〔3，5.5〕，D〔3，1.5〕，此時整數(shù)點有〔1，1〕，〔1，2〕，〔1，3〕，〔1，4〕，〔2，2〕，〔2，3〕，〔2，4〕，共7個點；當t=2時，A〔0，0〕，B〔0，4〕，C〔3，6〕，D〔3，2〕，此時整數(shù)點有〔1，1〕，〔1，2〕，〔1，3〕，〔1，4〕，〔2，2〕，〔2，3〕，〔2，4〕，〔2，5〕，共8個點；應選項A錯誤，選項B錯誤；選項D錯誤，選項C正確；應選：C．點評：此題考察了平行四邊形的性質．主要考察學生的理解能力和歸納能力．10．〔2013?達州〕如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，點D在BC上，以AC為對角線的所有?ADCE中，DE最小的值是〔〕A．2B．3C．4D．5考點：平行四邊形的性質；垂線段最短；平行線之間的距離．專題：壓軸題．分析：由平行四邊形的對角線互相平分、垂線段最短知，當OD⊥BC時，DE線段取最小值．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∴BC⊥AB．∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴OD=OE，OA=OC．∴當OD取最小值時，DE線段最短，此時OD⊥BC．∴OD∥AB．又點O是AC的中點，∴OD是△ABC的中位線，∴OD=AB=1.5，∴ED=2OD=3．應選B．點評：此題考察了平行四邊形的性質，以及垂線段最短．解答該題時，利用了“平行四邊形的對角線互相平分〞的性質．11．〔2010?泉州〕如以以下列圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D，E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE重疊壓平，A與A′重合，假設∠A=70°，則∠1+∠2=〔〕A．140°B．130°C．110°D．70°考點：多邊形內角與外角．專題：壓軸題．分析：首先根據(jù)四邊形的內角和公式可以求出四邊形ADA′E的內角和，由折疊可知∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，又∠A=70°，由此可以求出∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE，再利用鄰補角的關系即可求出∠1+∠2．解答：解：∵四邊形ADA′E的內角和為〔4﹣2〕?180°=360°，而由折疊可知∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，∴∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE=360°﹣∠A﹣∠A′=360°﹣2×70°=220°，∴∠1+∠2=180°×2﹣〔∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE〕=140°．應選：A．點評：此題考察根據(jù)多邊形的內角和計算公式求和多邊形相關的角的度數(shù)，解答時要會根據(jù)公式進展正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理．12．〔2010?綦江縣〕如圖，在?ABCD中，分別以AB、AD為邊向外作等邊△ABE、△ADF，延長CB交AE于點G，點G在點A、E之間，連接CE、CF，EF，則以下四個結論一定正確的選項是〔〕①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等邊三角形；④CG⊥AE．A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④考點：平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；等邊三角形的判定．專題：壓軸題．分析：根據(jù)題意，結合圖形，對選項一一求證，判定正確選項．解答：解：∵△ABE、△ADF是等邊三角形∴FD=AD，BE=AB∵AD=BC，AB=DC∴FD=BC，BE=DC∵∠B=∠D，∠FDA=∠ABE∴∠CDF=∠EBC∴△CDF≌△EBC，故①正確；∵∠FAE=∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+60°+〔180°﹣∠CDA〕=300°﹣∠CDA，∠FDC=360°﹣∠FDA﹣∠ADC=300°﹣∠CDA，∴∠CDF=∠EAF，故②正確；同理可得：∠CBE=∠EAF=∠CDF，∵BC=AD=AF，BE=AE，∴△EAF≌△EBC，∴∠AEF=∠BEC，∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°，∴∠FEC=60°，∵CF=CE，∴△ECF是等邊三角形，故③正確；在等邊三角形ABE中，∵等邊三角形頂角平分線、底邊上的中線、高和垂直平分線是同一條線段∴如果CG⊥AE，則G是AE的中點，∠ABG=30°，∠ABC=150°，題目缺少這個條件，CG⊥AE不能求證，故④錯誤．應選B．點評：此題考察了全等三角形的判定、等邊三角形的判定和性質、平行四邊形的性質等知識，綜合性強．考察學生綜合運用數(shù)學知識的能力．二．填空題〔共10小題〕13．〔2014?安徽〕如圖，在?ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則以下結論中一定成立的是①②④．〔把所有正確結論的序號都填在橫線上〕①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．考點：平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線．專題：幾何圖形問題；壓軸題．分析：分別利用平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質得出△AEF≌△DMF〔ASA〕，得出對應線段之間關系進而得出答案．解答：解：①∵F是AD的中點，∴AF=FD，∵在?ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此選項正確；延長EF，交CD延長線于M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F為AD中點，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF〔ASA〕，∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正確；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF錯誤；④設∠FEC=x，則∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故此選項正確．故答案為：①②④．點評：此題主要考察了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質等知識，得出△AEF≌△DMF是解題關鍵．14．〔2014?福州〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D，E分別是邊AB，AC的中點，延長BC到點F，使CF=BC．假設AB=10，則EF的長是5．考點：平行四邊形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理．專題：壓軸題．分析：根據(jù)三角形中位線的性質，可得DE與BC的關系，根據(jù)平行四邊形的判定與性質，可得DC與EF的關系，根據(jù)直角三角形的性質，可得DC與AB的關系，可得答案．解答：解：如圖，連接DC．DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=，∵CF=BC，∴DE∥CF，DE=CF，∴CDEF是平行四邊形，∴EF=DC．∵DC是Rt△ABC斜邊上的中線，∴DC==5，∴EF=DC=5，故答案為：5．點評：此題考察了平行四邊形的判定與性質，利用了平行四邊形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．15．〔2014?江漢區(qū)二模〕如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，假設EF=2，BC=5，CD=3，則tanC=．考點：三角形中位線定理；勾股定理的逆定理；銳角三角函數(shù)的定義．專題：壓軸題．分析：根據(jù)中位線的性質得出EF∥BD，且等于BD，進而得出△BDC是直角三角形，求出即可．解答：解：連接BD，∵E、F分別是AB、AD的中點，∴EF∥BD，且等于BD，∴BD=4，∵BD=4，BC=5，CD=3，∴△BDC是直角三角形，∴tanC==，故答案為：點評：此題主要考察了銳角三角形的定義以及三角形中位線的性質以及勾股定理逆定理，根據(jù)得出△BDC是直角三角形是解題關鍵．16．〔2013?濱州〕在?ABCD中，點O是對角線AC、BD的交點，點E是邊CD的中點，且AB=6，BC=10，則OE=5．考點：三角形中位線定理；平行四邊形的性質．專題：壓軸題．分析：先畫出圖形，根據(jù)平行線的性質，結合點E是邊CD的中點，可判斷OE是△DBC的中位線，繼而可得出OE的長度．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四變形，∴點O是BD中點，∵點E是邊CD的中點，∴OE是△DBC的中位線，∴OE=BC=5．故答案為：5．點評：此題考察了平行四邊形的性質及中位線定理的知識，解答此題的關鍵是根據(jù)平行四邊形的性質判斷出點O是BD中點，得出OE是△DBC的中位線．17．〔2013?鞍山〕如圖，D是△ABC內一點，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是11．考點：三角形中位線定理；勾股定理．專題：壓軸題．分析：利用勾股定理列式求出BC的長，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入數(shù)據(jù)進展計算即可得解．解答：解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC===5，∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，∴四邊形EFGH的周長=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=6，∴四邊形EFGH的周長=6+5=11．故答案為：11．點評：此題考察了三角形的中位線定理，勾股定理的應用，熟記三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．18．〔2013?烏魯木齊〕如圖，△ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，則DF的長為．考點：三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質．專題：壓軸題．分析：延長CF交AB于點G，證明△AFG≌△AFC，從而可得△ACG是等腰三角形，GF=FC，點F是CG中點，判斷出DF是△CBG的中位線，繼而可得出答案．解答：解：延長CF交AB于點G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF=∠CAF，∵AF垂直CG，∴∠AFG=∠AFC，在△AFG和△AFC中，∵，∴△AFG≌△AFC〔ASA〕，∴AC=AG，GF=CF，又∵點D是BC中點，∴DF是△CBG的中位線，∴DF=BG=〔AB﹣AG〕=〔AB﹣AC〕=．故答案為：．點評：此題考察了三角形的中位線定理，解答此題的關鍵是作出輔助線，同學們要注意培養(yǎng)自己的敏感性，一般出現(xiàn)即是角平分線又是高的情況，我們就需要尋找等腰三角形．19．〔2013?荊州〕如圖，△ACE是以?ABCD的對角線AC為邊的等邊三角形，點C與點E關于x軸對稱．假設E點的坐標是〔7，﹣3〕，則D點的坐標是〔5，0〕．考點：平行四邊形的性質；坐標與圖形性質；等邊三角形的性質．專題：壓軸題．分析：設CE和x軸交于H，由對稱性可知CE=6，再根據(jù)等邊三角形的性質可知AC=CE=6，根據(jù)勾股定理即可求出AH的長，進而求出AO和DH的長，所以OD可求，又因為D在x軸上，縱坐標為0，問題得解．解答：解：∵點C與點E關于x軸對稱，E點的坐標是〔7，﹣3〕，∴C的坐標為〔7，3〕，∴CH=3，CE=6，∵△ACE是以?ABCD的對角線AC為邊的等邊三角形，∴AC=6，∴AH=9，∵OH=7，∴AO=DH=2，∴OD=5，∴D點的坐標是〔5，0〕，故答案為〔5，0〕．點評：此題考察了平行四邊形的性質、等邊三角形的性質、點關于x軸對稱的特點以及勾股定理的運用．20．〔2013?寧波自主招生〕如圖，E、F分別是?ABCD的邊AB、CD上的點，AF與DE相交于點P，BF與CE相交于點Q，假設S△APD=10cm2，S△BQC=20cm2，則陰影局部的面積為30cm2．考點：平行四邊形的性質；相似三角形的判定與性質．專題：壓軸題．分析：連接E、F兩點，由三角形的面積公式我們可以推出S△EFC=S△BCQ，S△EFD=S△ADF，所以S△EFG=S△BCQ，S△EFP=S△ADP，因此可以推出陰影局部的面積就是S△APD+S△BQC．解答：解：連接E、F兩點，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴△EFC的FC邊上的高與△BCF的FC邊上的高相等，∴S△EFC=S△BCF，∴S△EFQ=S△BCQ，同理：S△EFD=S△ADF，∴S△EFP=S△ADP，∵S△APD=10cm2，S△BQC=20cm2，∴S四邊形EPFQ=30cm2，故陰影局部的面積為30cm2．點評：此題主要考察平行四邊形的性質，三角形的面積，解題的關鍵在于求出各三角形之間的面積關系．21．〔2013?南崗區(qū)校級一?！橙鐖D，AD、BE為△ABC的中線交于點O，∠AOE=60°，OD=，OE=，則AB=7．考點：三角形中位線定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．專題：壓軸題．分析：過點E作EF⊥AD于F，連接DE，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出OF，再利用勾股定理列式求出EF，然后求出DF，再利用勾股定理列式求出DE，然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半解答．解答：解：如圖，過點E作EF⊥AD于F，連接DE，∵∠AOE=60°，∴∠OEF=90°﹣60°=30°，∵OE=，∴OF=OE=×=，在Rt△OEF中，EF===，∵OD=，∴DF=OD+OF=+=，在Rt△DEF中，DE===，∵AD、BE為△ABC的中線，∴DE是△ABC的中位線，∴AB=2DE=2×=7．故答案為：7．點評：此題考察了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，以及勾股定理的應用，作輔助線構造出兩個直角三角形是解題的關鍵，也是此題的難點．22．〔2013?灌云縣模擬〕在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD且AC=6、BD=8，E、F分別是邊AB、CD的中點，則EF=5．考點：三角形中位線定理；勾股定理．專題：壓軸題．分析：取BC的中點G，連接EG、FG，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EG、FG，并求出EG⊥FG，然后利用勾股定理列式計算即可得解．解答：解：如圖，取BC的中點G，連接EG、FG，∵E、F分別是邊AB、CD的中點，∴EG∥AC且EG=AC=×6=3，F(xiàn)G∥BD且FG=BD=×8=4，∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF===5．故答案為：5．點評：此題考察了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，勾股定理的應用，作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．三．解答題〔共8小題〕23．〔2013?常德〕兩個共一個頂點的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點，連接MB、ME．〔1〕如圖1，當CB與CE在同一直線上時，求證：MB∥CF；〔2〕如圖1，假設CB=a，CE=2a，求BM，ME的長；〔3〕如圖2，當∠BCE=45°時，求證：BM=ME．考點：三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．專題：壓軸題．分析：〔1〕證法一：如答圖1a所示，延長AB交CF于點D，證明BM為△ADF的中位線即可；證法二：如答圖1b所示，延長BM交EF于D，根據(jù)在同一平面內，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得AB∥EF，再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得∠BAM=∠DFM，根據(jù)中點定義可得AM=MF，然后利用“角邊角〞證明△ABM和△FDM全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，從而得到△BDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質求出∠EBM=45°，從而得到∠EBM=∠ECF，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明MB∥CF即可，〔2〕解法一：如答圖2a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線；解法二：先求出BE的長，再根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BM=DM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質求解即可；〔3〕證法一：如答圖3a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線：BM=DF，ME=AG；然后證明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，從而證明BM=ME；證法二：如答圖3b所示，延長BM交CF于D，連接BE、DE，利用同旁內角互補，兩直線平行求出AB∥CF，再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等求出∠BAM=∠DFM，根據(jù)中點定義可得AM=MF，然后利用“角邊角〞證明△ABM和△FDM全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AB=DF，BM=DM，再根據(jù)“邊角邊〞證明△BCE和△DFE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=DE，全等三角形對應角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質證明即可．解答：〔1〕證法一：如答圖1a，延長AB交CF于點D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，∴點B為線段AD的中點，又∵點M為線段AF的中點，∴BM為△ADF的中位線，∴BM∥CF．證法二：如答圖1b，延長BM交EF于D，∵∠ABC=∠CEF=90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠BAM=∠DFM，∵M是AF的中點，∴AM=MF，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM〔ASA〕，∴AB=DF，∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，∴BE=DE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM=45°，∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，∴∠EBM=∠ECF，∴MB∥CF；〔2〕解法一：如答圖2a所示，延長AB交CF于點D，則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形，∴AB=BC=BD=a，AC=CD=a，∴點B為AD中點，又點M為AF中點，∴BM=DF．分別延長FE與CA交于點G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，∴點E為FG中點，又點M為AF中點，∴ME=AG．∵CG=CF=a，CA=CD=a，∴AG=DF=a，∴BM=ME=×a=a．解法二：如答圖1b．∵CB=a，CE=2a，∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，∵△ABM≌△FDM，∴BM=DM，又∵△BED是等腰直角三角形，∴△BEM是等腰直角三角形，∴BM=ME=BE=a；〔3〕證法一：如答圖3a，延長AB交CE于點D，連接DF，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，AC=CD，∴點B為AD中點，又點M為AF中點，∴BM=DF．延長FE與CB交于點G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，∴CE=EF=EG，CF=CG，∴點E為FG中點，又點M為AF中點，∴ME=AG．在△ACG與△DCF中，，∴△ACG≌△DCF〔SAS〕，∴DF=AG，∴BM=ME．證法二：如答圖3b，延長BM交CF于D，連接BE、DE，∵∠BCE=45°，∴∠ACD=45°×2+45°=135°∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，∴AB∥CF，∴∠BAM=∠DFM，∵M是AF的中點，∴AM=FM，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM〔ASA〕，∴AB=DF，BM=DM，∴AB=BC=DF，在△BCE和△DFE中，，∴△BCE≌△DFE〔SAS〕，∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，∴△BDE是等腰直角三角形，又∵BM=DM，∴BM=ME=BD，故BM=ME．點評：此題考察了三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，作輔助線構造出中位線、全等三角形和等腰直角三角形是解題的關鍵，也是此題的難點．24．〔2013?南充〕如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，經(jīng)過點O的直線交AB于E，交CD于F．求證：OE=OF．考點：平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質．專題：證明題；壓軸題．分析：由四邊形ABCD是平行四邊形，可得OA=OC，AB∥CD，又由∠AOE=∠COF，易證得△OAE≌△OCF，則可得OE=OF．解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠OAE=∠OCF，∵在△OAE和△OCF中，，∴△OAE≌△OCF〔ASA〕，∴OE=OF．點評：此題考察了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．25．〔2013?新疆〕如圖，?ABCD中，點O是AC與BD的交點，過點O的直線與BA、DC的延長線分別交于點E、F．〔1〕求證：△AOE≌△COF；〔2〕請連接EC、AF，則EF與AC滿足什么條件時，四邊形AECF是矩形，并說明理由．考點：平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；矩形的判定．專題：壓軸題．分析：〔1〕根據(jù)平行四邊形的性質和全等三角形的證明方法證明即可；〔2〕請連接EC、AF，則EF與AC滿足EF=AC時，四邊形AECF是矩形，首先證明四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)對角線相等的平行四邊形為矩形即可證明．解答：〔1〕證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=OC，AB∥CD．∴∠E=∠F．∵在△AOE與△COF中，，∴△AOE≌△COF〔AAS〕；〔2〕連接EC、AF，則EF與AC滿足EF=AC時，四邊形AECF是矩形，理由如下：由〔1〕可知△AOE≌△COF，∴OE=OF，∵AO=CO，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵EF=AC，∴四邊形AECF是矩形．點評：此題主要考察了全等三角形的性質與判定、平行四邊形的性質以及矩形的判定，首先利用平行四邊形的性質構造全等條件，然后利用全等三角形的性質解決問題26．〔2013?重慶〕，如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE=CD，點F為CE的中點，點G為CD上的一點，連接DF、EG、AG，∠1=∠2．〔1〕假設CF=2，AE=3，求BE的長；〔2〕求證：∠CEG=∠AGE．考點：平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．專題：壓軸題．分析：〔1〕求出DC=CE=2CF=4，求出AB，根據(jù)勾股定理求出BE即可；〔2〕過G作GM⊥AE于M，證△DCF≌△ECG，推出CG=CF，求出M為AE中點，得出等腰三角形AGE，根據(jù)性質得出GM是∠AGE的角平分線，即可得出答案．解答：〔1〕解：∵CE=CD，點F為CE的中點，CF=2，∴DC=CE=2CF=4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD=4，∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE==；〔2〕證明：過G作GM⊥AE于M，∵AE⊥BE，GM⊥AE，∴GM∥BC∥AD，∵在△DCF和△ECG中，，∴△DCF≌△ECG〔AAS〕，∴CG=CF，CE=CD，∵CE=2CF，∴CD=2CG，即G為CD中點，∵AD∥GM∥BC，∴M為AE中點，∴AM=EM〔一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等〕，∵GM⊥AE，∴AG=EG，∴∠AGM=∠EGM，∴∠AGE=2∠MGE，∵GM∥BC，∴∠EGM=∠CEG，∴∠CEG=∠AGE．點評：此題考察了平行四邊形性質，等腰三角形的性質和判定，平行線分線段成比例定理，全等三角形的性質和判定，勾股定理等知識點的應用，主要考察學生綜合運用定理進展推理的能力．27．〔2013?郴州〕如圖，BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求證：四邊形DEBF是平行四邊形．考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質．專題：證明題；壓軸題．分析：首先根據(jù)平行線的性質可得∠BEC=∠DFA，再加上條件∠ADF=∠CBE，AF=CE，可證明△ADF≌△CBE，再根據(jù)全等三角形的性質可得BE=DF，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進展判定即可．解答：證明：∵BE∥DF，∴∠BEC=∠DFA，在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE〔AAS〕，∴BE=DF，又∵BE∥DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形．點評：此題主要考察了平行四邊形的判定，關鍵是掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．28．〔2013?沙坪壩區(qū)模擬〕如圖，?ABCD中，AC與BD相交于點O，∠ABD=2∠DBC，AE⊥BD于點E．〔1〕假設∠ADB=25°，求∠BAE的度數(shù)；〔2〕求證：AB=2OE．考點：平行四邊形的性質；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理．專題：壓軸題．分析：〔1〕根據(jù)平行四邊形的對邊平行可得AD∥BC，再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得∠DBC=∠ADB，然后求出∠ABD，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計算即可求出∠