高數(shù)微積分習(xí)題解答

...wd......wd......wd...習(xí)題3-11、計算以下第二類曲線積分：〔1〕L為拋物線上由點〔0,0〕到點〔2,4〕的一段??；〔2〕L為按逆時針方向饒行的圓；〔3〕L為螺旋線上由t=0到t=2的有向弧段;〔4〕L為由點〔1，1，1〕到點〔2，3，4〕的一段直線；〔5〕其中L為由y=x,x=1及y=0所構(gòu)成的三角形閉路，取逆時針方向；〔6〕其中，L按逆時針方向饒行的圓.解〔1〕化為對x的定積分，L:，x從0到2，所以=〔2〕圓周的參數(shù)方程為：===〔3〕L的參數(shù)方程為：，t從0到2，所以==〔4〕直線的參數(shù)方程為：代入==〔5〕三條直線段的方程分別為y=0,x從0到1；x=1,y從0到1；y=x,x從1到0.所以==02、一力場由以橫軸正向為方向的常力F構(gòu)成，試求當(dāng)一質(zhì)量為m的質(zhì)點沿圓周按逆時針方向走過第一象限的弧段時，場力所作的功.解：由題意知，場力所作的功為L:,x從R變到0，于是，w=3、有一平面力場F，大小等于點〔x,y〕到原點的距離，方向指向原點.試求單位質(zhì)量的質(zhì)點P沿橢圓逆時針方向繞行一周，力F所作的功.解：橢圓的參數(shù)方程為：，t從0到2所以，4、有一力場F，其力的大小與力的作用點到xoy平面的距離成反比且指向原點，試求單位質(zhì)量的質(zhì)點沿直線從點移動到時，該場力所作的功.解：直線的參數(shù)方程為：，t從1到2所以，習(xí)題3-2答案解：記S在x>0一側(cè)為，在x<0一側(cè)為，在z=h上的局部為，在z=0上的局部為，在y>0一側(cè)為，在y<0一側(cè)為，則由題有同理可得：2、解：〔1〕由題在xoy面上的投影區(qū)域，〔2〕〔3〕將S分成和，其中：z=h，取上側(cè)，：，x>0取下側(cè)則(4)記S在z=0上的局部為，在x=0上的局部為,在y=0上的局部為,在上的局部為,在上的局部為.有解：〔1〕原式=.〔2〕原式=§3-3格林公式及其應(yīng)用1．(1)，，(2),,〔3〕，〔4〕，而在以為起點為終點的直線上所以原式2．，因為積分與路徑無關(guān)，所以,得3.(1)，是二元函數(shù)u(x,y)(的全微分.，得，故(2)，是二元函數(shù)u(x,y)(的全微分.，得，故(3)，是二元函數(shù)u(x,y)(的全微分.，得，故(4)，是二元函數(shù)u(x,y)(的全微分.，得，故4．〔1〕,故為全微分方程。，故通解為〔2〕,故為全微分方程。，故通解為〔3〕,故為全微分方程。，故通解為〔4〕,故不是全微分方程?！?-4高斯公式和斯托克斯公式1〔1〕原式====〔2〕原式====〔3〕原式=====〔4〕原式===〔5〕原式====2.解:(1)圓周事實上就是xoy面上的圓,取為圓域的上側(cè),(2)取為平面被L所圍成的局部的上側(cè),的面積為的單位法向量為,3.解:其中為平面z=2被L所圍成的局部的上側(cè),因為在yoz面上的投影區(qū)域為線段,所以,又在xoy面上的投影區(qū)域為,所以,習(xí)題3—5解：〔1〕，，〔2〕，，〔3〕，，。證明：場力沿路徑L所作的功為，要證明場力所作的功與所取的路徑無關(guān)，只需證明上面的積分與路徑無關(guān)，顯然，半平面x>0是單連通域。在該區(qū)域具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，另外，所以上面的積分與路徑無關(guān)，因而結(jié)論正確。3．