高數(shù)g期末試題及答案

高數(shù)g期末試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.下列函數(shù)中，在x=0處連續(xù)的是：

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=1/x

D.f(x)=sin(x)

2.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，則下列結論正確的是：

A.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)+f(b)

B.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)+f(b))/2

C.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)-f(b)

D.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)-f(b))/2

3.下列極限中，正確的是：

A.lim(x→0)(sinx/x)=1

B.lim(x→0)(1-cosx/x^2)=1/2

C.lim(x→0)(x^2-sinx/x)=0

D.lim(x→0)(sinx/x^2)=1

4.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，則下列結論正確的是：

A.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)+f(b)

B.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)+f(b))/2

C.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)-f(b)

D.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)-f(b))/2

5.下列函數(shù)中，可導的是：

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=1/x

D.f(x)=sin(x)

6.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，則下列結論正確的是：

A.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)+f(b)

B.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)+f(b))/2

C.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)-f(b)

D.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)-f(b))/2

7.下列極限中，正確的是：

A.lim(x→0)(sinx/x)=1

B.lim(x→0)(1-cosx/x^2)=1/2

C.lim(x→0)(x^2-sinx/x)=0

D.lim(x→0)(sinx/x^2)=1

8.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，則下列結論正確的是：

A.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)+f(b)

B.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)+f(b))/2

C.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)-f(b)

D.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)-f(b))/2

9.下列函數(shù)中，可導的是：

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=1/x

D.f(x)=sin(x)

10.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，則下列結論正確的是：

A.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)+f(b)

B.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)+f(b))/2

C.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)-f(b)

D.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)-f(b))/2

11.下列極限中，正確的是：

A.lim(x→0)(sinx/x)=1

B.lim(x→0)(1-cosx/x^2)=1/2

C.lim(x→0)(x^2-sinx/x)=0

D.lim(x→0)(sinx/x^2)=1

12.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，則下列結論正確的是：

A.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)+f(b)

B.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)+f(b))/2

C.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)-f(b)

D.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)-f(b))/2

13.下列函數(shù)中，可導的是：

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=1/x

D.f(x)=sin(x)

14.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，則下列結論正確的是：

A.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)+f(b)

B.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)+f(b))/2

C.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)-f(b)

D.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)-f(b))/2

15.下列極限中，正確的是：

A.lim(x→0)(sinx/x)=1

B.lim(x→0)(1-cosx/x^2)=1/2

C.lim(x→0)(x^2-sinx/x)=0

D.lim(x→0)(sinx/x^2)=1

16.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，則下列結論正確的是：

A.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)+f(b)

B.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)+f(b))/2

C.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)-f(b)

D.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)-f(b))/2

17.下列函數(shù)中，可導的是：

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=1/x

D.f(x)=sin(x)

18.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，則下列結論正確的是：

A.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)+f(b)

B.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)+f(b))/2

C.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)-f(b)

D.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)-f(b))/2

19.下列極限中，正確的是：

A.lim(x→0)(sinx/x)=1

B.lim(x→0)(1-cosx/x^2)=1/2

C.lim(x→0)(x^2-sinx/x)=0

D.lim(x→0)(sinx/x^2)=1

20.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，則下列結論正確的是：

A.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)+f(b)

B.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)+f(b))/2

C.存在c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)-f(b)

D.存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)-f(b))/2

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可導，則f(x)在[a,b]上必連續(xù)。（）

2.極限lim(x→0)(sinx/x)的值等于1，這個極限是無窮大。（）

3.函數(shù)y=x^3在R上單調遞增。（）

4.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，則f(x)在[a,b]上一定有零點。（）

5.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可導，則f(x)在[a,b]上的導函數(shù)f'(x)一定連續(xù)。（）

6.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)≠f(b)，則f(x)在[a,b]上必存在一個極值點。（）

7.函數(shù)y=e^x在R上單調遞減。（）

8.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f'(x)>0，則f(x)在[a,b]上單調遞增。（）

9.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，則f(x)在[a,b]上一定存在一個極大值點和一個極小值點。（）

10.函數(shù)y=ln(x)在x>0時單調遞增。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述函數(shù)連續(xù)性的定義，并舉例說明。

2.解釋什么是導數(shù)，并說明導數(shù)在函數(shù)研究中的作用。

3.如何判斷一個函數(shù)在某個區(qū)間內是否存在極值點？

4.簡述拉格朗日中值定理的內容，并舉例說明其應用。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述洛必達法則的適用條件及其在求解不定型極限中的應用。

2.結合具體例子，討論如何運用泰勒公式進行函數(shù)近似計算，并分析其誤差。

試卷答案如下：

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.ABD

2.AB

3.AB

4.AB

5.ABD

6.AB

7.AB

8.AB

9.ABD

10.AB

11.AB

12.AB

13.ABD

14.AB

15.AB

16.AB

17.ABD

18.AB

19.AB

20.AB

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.×

2.×

3.√

4.×

5.×

6.×

7.×

8.√

9.×

10.√

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.函數(shù)連續(xù)性的定義：若函數(shù)f(x)在點x=c的某一鄰域內，除了點c以外，f(x)的值都存在，并且極限lim(x→c)f(x)存在，則稱函數(shù)f(x)在點c處連續(xù)。例如，函數(shù)f(x)=x^2在R上連續(xù)。

2.導數(shù)是函數(shù)在某一點處的瞬時變化率，表示函數(shù)曲線在該點的切線斜率。導數(shù)在函數(shù)研究中的作用包括：判斷函數(shù)的單調性、凹凸性、極值點等。

3.判斷一個函數(shù)在某個區(qū)間內是否存在極值點的方法：首先求出函數(shù)在該區(qū)間內的導數(shù)，然后找出導數(shù)為0的點，以及導數(shù)不存在的點。這些點可能是極值點，通過判斷這些點左右的導數(shù)符號，可以確定這些點是否為極值點。

4.拉格朗日中值定理的內容：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，則存在至少一點c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。應用舉例：證明函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[0,1]上的平均變化率等于其在(0,1)內的某一點處的導數(shù)值。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.洛必達法則的適用條件：若函數(shù)f(x)和g(x)在點x=a的某一鄰域內連續(xù)，且g'(x)≠0，同時lim(x→a)f(x)=0和lim(x→a)g(x)=0或lim(x→a)f(x)=∞和lim(x→a)g(x)=∞，則lim(x→a)[f(x)/g(x)]=lim(x→a)[