線性代數(shù)綜合試題及答案

線性代數(shù)綜合試題及答案姓名：____________________

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.設(shè)矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，則$\boldsymbol{A}^2$的特征值為：

A.9，16

B.16，9

C.25，0

D.0，25

2.已知線性方程組$\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol$中，矩陣$\boldsymbol{A}$的秩為2，且$\boldsymbol$的秩也為2，則方程組：

A.有唯一解

B.無(wú)解

C.有無(wú)窮多解

D.無(wú)法確定

3.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個(gè)$n\timesn$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$，則下列結(jié)論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$是可逆矩陣

B.$\boldsymbol{A}$的特征值為0和1

C.$\boldsymbol{A}$是對(duì)稱(chēng)矩陣

D.$\boldsymbol{A}$的行列式為0

4.若向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol$，$\boldsymbol{c}$線性無(wú)關(guān)，且$\boldsymbol{a}+\boldsymbol+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}$，則下列結(jié)論正確的是：

A.$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol$，$\boldsymbol{c}$均為0向量

B.$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol$，$\boldsymbol{c}$線性相關(guān)

C.$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol$，$\boldsymbol{c}$均為單位向量

D.$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol$，$\boldsymbol{c}$均為非零向量

5.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個(gè)$n\timesn$的矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$，則$\boldsymbol{A}$的行列式為：

A.$\lambda_1\lambda_2\ldots\lambda_n$

B.$\lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_n$

C.$\lambda_1^2+\lambda_2^2+\ldots+\lambda_n^2$

D.$\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\ldots+\lambda_{n-1}\lambda_n$

6.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個(gè)$n\timesn$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，則下列結(jié)論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$是可逆矩陣

B.$\boldsymbol{A}$的特征值為0

C.$\boldsymbol{A}$的行列式為0

D.$\boldsymbol{A}$是對(duì)稱(chēng)矩陣

7.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個(gè)$n\timesn$的矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$，則$\boldsymbol{A}^{-1}$的特征值為：

A.$\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n}$

B.$\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}+\ldots+\frac{1}{\lambda_n}$

C.$\frac{1}{\lambda_1^2},\frac{1}{\lambda_2^2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n^2}$

D.$\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}+\ldots+\frac{1}{\lambda_n}$

8.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個(gè)$n\timesn$的矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$，則$\boldsymbol{A}^2$的特征值為：

A.$\lambda_1^2,\lambda_2^2,\ldots,\lambda_n^2$

B.$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$

C.$\lambda_1^2+\lambda_2^2+\ldots+\lambda_n^2$

D.$\lambda_1\lambda_2,\lambda_2\lambda_3,\ldots,\lambda_{n-1}\lambda_n$

9.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個(gè)$n\timesn$的矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$，則$\boldsymbol{A}^{-1}$的特征值為：

A.$\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n}$

B.$\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}+\ldots+\frac{1}{\lambda_n}$

C.$\frac{1}{\lambda_1^2},\frac{1}{\lambda_2^2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n^2}$

D.$\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}+\ldots+\frac{1}{\lambda_n}$

10.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個(gè)$n\timesn$的矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$，則$\boldsymbol{A}^2$的特征值為：

A.$\lambda_1^2,\lambda_2^2,\ldots,\lambda_n^2$

B.$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$

C.$\lambda_1^2+\lambda_2^2+\ldots+\lambda_n^2$

D.$\lambda_1\lambda_2,\lambda_2\lambda_3,\ldots,\lambda_{n-1}\lambda_n$

11.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個(gè)$n\timesn$的矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$，則$\boldsymbol{A}^{-1}$的特征值為：

A.$\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n}$

B.$\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}+\ldots+\frac{1}{\lambda_n}$

C.$\frac{1}{\lambda_1^2},\frac{1}{\lambda_2^2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n^2}$

D.$\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}+\ldots+\frac{1}{\lambda_n}$

12.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個(gè)$n\timesn$的矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$，則$\boldsymbol{A}^2$的特征值為：

A.$\lambda_1^2,\lambda_2^2,\ldots,\lambda_n^2$

B.$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$

C.$\lambda_1^2+\lambda_2^2+\ldots+\lambda_n^2$

D.$\lambda_1\lambda_2,\lambda_2\lambda_3,\ldots,\lambda_{n-1}\lambda_n$

13.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個(gè)$n\timesn$的矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$，則$\boldsymbol{A}^{-1}$的特征值為：

A.$\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n}$

B.$\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}+\ldots+\frac{1}{\lambda_n}$

C.$\frac{1}{\lambda_1^2},\frac{1}{\lambda_2^2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n^2}$

D.$\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}+\ldots+\frac{1}{\lambda_n}$

14.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個(gè)$n\timesn$的矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$，則$\boldsymbol{A}^2$的特征值為：

A.$\lambda_1^2,\lambda_2^2,\ldots,\lambda_n^2$

B.$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$

C.$\lambda_1^2+\lambda_2^2+\ldots+\lambda_n^2$

D.$\lambda_1\lambda_2,\lambda_2\lambda_3,\ldots,\lambda_{n-1}\lambda_n$

15.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個(gè)$n\timesn$的矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$，則$\boldsymbol{A}^{-1}$的特征值為：

A.$\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n}$

B.$\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}+\ldots+\frac{1}{\lambda_n}$

C.$\frac{1}{\lambda_1^2},\frac{1}{\lambda_2^2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n^2}$

D.$\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}+\ldots+\frac{1}{\lambda_n}$

16.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個(gè)$n\timesn$的矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$，則$\boldsymbol{A}^2$的特征值為：

A.$\lambda_1^2,\lambda_2^2,\ldots,\lambda_n^2$

B.$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$

C.$\lambda_1^2+\lambda_2^2+\ldots+\lambda_n^2$

D.$\lambda_1\lambda_2,\lambda_2\lambda_3,\ldots,\lambda_{n-1}\lambda_n$

17.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個(gè)$n\timesn$的矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$，則$\boldsymbol{A}^{-1}$的特征值為：

A.$\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n}$

B.$\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}+\ldots+\frac{1}{\lambda_n}$

C.$\frac{1}{\lambda_1^2},\frac{1}{\lambda_2^2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n^2}$

D.$\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}+\ldots+\frac{1}{\lambda_n}$

18.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個(gè)$n\timesn$的矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$，則$\boldsymbol{A}^2$的特征值為：

A.$\lambda_1^2,\lambda_2^2,\ldots,\lambda_n^2$

B.$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$

C.$\lambda_1^2+\lambda_2^2+\ld?<|user|>

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.若一個(gè)方陣的行列式等于0，則該方陣一定不可逆。（）

2.兩個(gè)矩陣的乘積的秩等于兩個(gè)矩陣秩的和。（）

3.若一個(gè)向量組線性相關(guān)，則其中至少有一個(gè)向量是零向量。（）

4.一個(gè)非零向量和一個(gè)零向量線性無(wú)關(guān)。（）

5.若矩陣$\boldsymbol{A}$的列向量組線性無(wú)關(guān)，則$\boldsymbol{A}$的行向量組也線性無(wú)關(guān)。（）

6.若矩陣$\boldsymbol{A}$可逆，則$\boldsymbol{A}^2$也可逆。（）

7.若矩陣$\boldsymbol{A}$的特征值為0，則$\boldsymbol{A}$的行列式為0。（）

8.若矩陣$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$均為$n\timesn$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{B}^2$，則$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$或$\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{B}$。（）

9.若矩陣$\boldsymbol{A}$的特征值為$\lambda$，則$\boldsymbol{A}$的逆矩陣的特征值為$\frac{1}{\lambda}$。（）

10.若矩陣$\boldsymbol{A}$是對(duì)稱(chēng)矩陣，則$\boldsymbol{A}$的行列式等于其特征值的平方和。（）

三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.簡(jiǎn)述矩陣的秩的定義及其性質(zhì)。

2.如何判斷一個(gè)矩陣是否可逆？可逆矩陣有哪些性質(zhì)？

3.簡(jiǎn)述特征值和特征向量的定義，并說(shuō)明它們之間的關(guān)系。

4.簡(jiǎn)述矩陣的相似對(duì)角化的概念及其應(yīng)用。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述矩陣的秩與線性方程組解的關(guān)系。具體說(shuō)明當(dāng)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩時(shí)，線性方程組的解的情況。

2.論述矩陣的相似對(duì)角化的條件及其在求解線性微分方程組中的應(yīng)用。結(jié)合具體例子說(shuō)明相似對(duì)角化如何簡(jiǎn)化線性微分方程組的求解過(guò)程。

試卷答案如下

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.A

解析：矩陣$\boldsymbol{A}$的特征多項(xiàng)式為$\lambda^2-5\lambda+6=(\lambda-2)(\lambda-3)$，解得特征值為9和16。

2.B

解析：由于$\boldsymbol{A}$的秩等于增廣矩陣的秩，且增廣矩陣的秩等于2，故方程組無(wú)解。

3.B

解析：$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$表明$\boldsymbol{A}$是冪等矩陣，其特征值為1和0。

4.D

解析：線性無(wú)關(guān)的向量組中，若存在一個(gè)向量為零向量，則其他向量必為零向量，故選D。

5.A

解析：矩陣的行列式等于其特征值的乘積。

6.C

解析：$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$表明$\boldsymbol{A}$的特征值為0。

7.A

解析：$\boldsymbol{A}^{-1}$的特征值為$\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n}$。

8.A

解析：$\boldsymbol{A}^2$的特征值為$\lambda_1^2,\lambda_2^2,\ldots,\lambda_n^2$。

9.A

解析：$\boldsymbol{A}^{-1}$的特征值為$\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n}$。

10.A

解析：$\boldsymbol{A}^2$的特征值為$\lambda_1^2,\lambda_2^2,\ldots,\lambda_n^2$。

11.A

解析：$\boldsymbol{A}^{-1}$的特征值為$\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n}$。

12.A

解析：$\boldsymbol{A}^2$的特征值為$\lambda_1^2,\lambda_2^2,\ldots,\lambda_n^2$。

13.A

解析：$\boldsymbol{A}^{-1}$的特征值為$\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n}$。

14.A

解析：$\boldsymbol{A}^2$的特征值為$\lambda_1^2,\lambda_2^2,\ldots,\lambda_n^2$。

15.A

解析：$\boldsymbol{A}^{-1}$的特征值為$\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n}$。

16.A

解析：$\boldsymbol{A}^2$的特征值為$\lambda_1^2,\lambda_2^2,\ldots,\lambda_n^2$。

17.A

解析：$\boldsymbol{A}^{-1}$的特征值為$\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n}$。

18.A

解析：$\boldsymbol{A}^2$的特征值為$\lambda_1^2,\lambda_2^2,\ldots,\lambda_n^2$。

19.A

解析：$\boldsymbol{A}^{-1}$的特征值為$\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n}$。

20.A

解析：$\boldsymbol{A}^2$的特征值為$\lambda_1^2,\lambda_2^2,\ldots,\lambda_n^2$。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.×

解析：行列式為0的矩陣不一定不可逆，可能為零矩陣。

2.×

解析：矩陣的乘積的秩小于等于兩個(gè)矩陣秩的乘積。

3.×

解析：線性相關(guān)的向量組中不一定含有零向量。

4.×

解析：非零向量與零向量線性相關(guān)。

5.×

解析：列向量組線性無(wú)關(guān)，行向量組可能線性相關(guān)。

6.√

解析：可逆矩陣的平方也可逆。

7.√

解析：特征值為0的矩陣的行列式為0。

8.×

解析：$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{B}^2$并不一定意味著$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$或$\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{B}$。

9.√

解析：$\boldsymbol{A}^{-1}$的特征值為$\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\ldots,