中考數(shù)學(xué) 解直角三角形及其應(yīng)用

熱點(diǎn)中考數(shù)學(xué)解直角三角形及其應(yīng)用中考數(shù)學(xué)中《銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用》部分主要考向分為三類：一、特殊角的三角函數(shù)值相關(guān)運(yùn)算（每年1道，6~8分）二、解直角三角形（每年1道，3分）三、解直角三角形的應(yīng)用（每年1題，3~8分）中考數(shù)學(xué)中，對(duì)銳角三角函數(shù)的考察主要以特殊角的三角函數(shù)值及其有關(guān)計(jì)算、解直角三角形、解直角三角形的應(yīng)用三個(gè)方面為主。其中，特殊角的三角函數(shù)值主要和實(shí)數(shù)相關(guān)概念放一起考察計(jì)算題，而解直角三角形及其各種應(yīng)用則選擇、填空、簡(jiǎn)答題都有出現(xiàn)，其中應(yīng)用則偏向大題多些，難度一般中等或偏上，分值也比較可觀，但對(duì)應(yīng)考點(diǎn)掌握熟練，計(jì)算和審題上夠小心了，一般不會(huì)失分?？枷蛞唬禾厥饨堑娜呛瘮?shù)值的運(yùn)算【題型1和實(shí)數(shù)概念結(jié)合的特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)算】特殊角的三角函數(shù)值表αsinαcosαtanα30°45°60°特殊角的三角函數(shù)值，可以直接記數(shù)值，也可以記定義，然后現(xiàn)退對(duì)應(yīng)函數(shù)值，但顯然，直接熟記對(duì)應(yīng)數(shù)值會(huì)便捷很多。（2025·山東濟(jì)南·一模）計(jì)算：π?5（2025·江蘇鎮(zhèn)江·一模）計(jì)算：(2?3．（2025·江蘇宿遷·一模）計(jì)算：?204．（2025·湖南長(zhǎng)沙·一模）計(jì)算：25．（2025·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：46．（2025·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：?120257．（2025·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：?38．（2024·廣東梅州·一模）計(jì)算：sin60°?考向二：解直角三角形【題型2利用已知信息求解對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值】解直角三角形口訣“直乘斜除，對(duì)正臨余”——求直角三角形的直角邊，多用乘法；求斜邊，多用除法。求已知角的對(duì)邊，多用正弦或正切值；求已知角的臨邊，多用余弦值。常見(jiàn)輔助線：作垂線1.（2025·廣東深圳·一模）在△ABC中，∠A=80°,∠B=70°，那么sinC的值是（

A．12 B．1 C．22 2．（2024·云南·中考真題）在△ABC中，若∠B=90°,AB=3,BC=4，則tanA=（

A．45 B．35 C．433．（2025·廣東深圳·一模）如圖所示的電視塔是某城市的標(biāo)志性建筑物，在水平地面上的點(diǎn)A，C處分別測(cè)得電視塔塔頂B的仰角均為α度，且點(diǎn)A，C，D在同一直線上，BD丄AC，若測(cè)得AC=200m，則塔高BDA．200tanαm B．200tanαm4．（22-23九年級(jí)上·廣東佛山·期末）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tanB的值為（

A．1 B．104 C．54 5．（2024·安徽宿州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，實(shí)線部分是一個(gè)正方體展開(kāi)圖，點(diǎn)A，B，C，D，E均在△MBN的邊上，則cosN=（

A．255 B．25 C．26．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A與點(diǎn)B分別在反比例函數(shù)y=1xx>0與y=?3xx>0的圖像上，且OA⊥OB，則A．12 B．22 C．32【題型3利用三角函數(shù)值求解幾何圖形的線段】此類計(jì)算更多的是注意審題，因?yàn)轭}目中可能會(huì)要求精確位數(shù)，或者保留幾位有效數(shù)字，這時(shí)候要注意，一般計(jì)算到最后一步才帶入?yún)⒖紨?shù)據(jù)計(jì)算，然后四舍五入。1．（2025·陜西榆林·一模）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高．若AB=5，BC=6，sinB=35，則ACA．13 B．32 C．5 D．2．（2025·海南三亞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，建筑物AB和旗桿CD的水平距離BC為9m，在建筑物的頂端A測(cè)得旗桿頂部D的仰角α為45°，旗桿底部C的俯角β為30°，則旗桿CDA．32m B．33m C．3．（2025·浙江寧波·一模）在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，連接CE，CF．若sin∠ECF=35，CE=10，則BCA．45 B．43 C．34．（2025·陜西西安·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，若∠A=60°，DE=6，則AB的長(zhǎng)為（

）A．23 B．3 C．43 考向三：解直角三角形的應(yīng)用【題型4坡度坡角問(wèn)題】坡度坡角的意義：坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，坡度越大，坡角越大，坡面越陡1．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在冬奧會(huì)滑雪場(chǎng)有一坡度為1:3的滑雪道，滑雪道AC的長(zhǎng)為150m，則BC的長(zhǎng)為（A．75m B．753m C．502．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，小樂(lè)和小靜一起從點(diǎn)A出發(fā)去拍攝木棉樹(shù)FH．小樂(lè)沿著水平面步行17m到達(dá)點(diǎn)B時(shí)拍到樹(shù)頂點(diǎn)F，仰角為63°；小靜沿著坡度i=5:12的斜坡步行13m到達(dá)點(diǎn)C時(shí)拍到樹(shù)頂點(diǎn)F，仰角為45°，那么這棵木棉樹(shù)的高度約（

）m．（結(jié)果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，A．22 B．21 C．20 D．193．（2024·四川自貢·模擬預(yù)測(cè)）如圖為一大壩的橫截面圖，AD∥BC，背水坡AB的坡度為3:1，迎水坡的坡角為30°，若AD=4米，壩高為43米，則坡底

A．17 B．18 C．19 D．20

4．（2025·廣東潮州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1:3，河堤的高BC=10米，則坡面AB的長(zhǎng)度是米．（坡比也叫坡度．坡比是1:3指點(diǎn)B向水平面作垂線BC，垂足為C，BC:AC=1:5．（2025·上海青浦·一模）如圖，梯形ABCD是某水庫(kù)大壩的橫截面．已知壩高AE=8m，如果將坡度為1:2的斜坡AB改為坡度為1:2的斜坡AP，那么大壩底部應(yīng)加寬6．（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開(kāi)展了測(cè)量電線塔高度的實(shí)踐活動(dòng)．如圖所示，斜坡BE的坡度i=1:3，BE=6m，在B處測(cè)得電線塔CD頂部D的仰角為45°，在E處測(cè)得電線塔CD頂部D的仰角為(1)求點(diǎn)B離水平地面的高度AB．(2)求電線塔CD的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．7．（2023·湖北·中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD長(zhǎng)度為20米，∠C=18°，求斜坡AB的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31,

【題型5仰角俯角問(wèn)題】仰角俯角的意義：仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫仰角.俯角：視線在水平線下方的叫俯角1．（2024·山西·中考真題）研學(xué)實(shí)踐：為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”，學(xué)校組織研學(xué)活動(dòng)．同學(xué)們來(lái)到毛主席東渡黃河紀(jì)念碑所在地，在了解相關(guān)歷史背景后，利用航模搭載的3D掃描儀采集紀(jì)念碑的相關(guān)數(shù)據(jù)．?dāng)?shù)據(jù)采集：如圖，點(diǎn)A是紀(jì)念碑頂部一點(diǎn)，AB的長(zhǎng)表示點(diǎn)A到水平地面的距離．航模從紀(jì)念碑前水平地面的點(diǎn)M處豎直上升，飛行至距離地面20米的點(diǎn)C處時(shí)，測(cè)得點(diǎn)A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向繼續(xù)飛行，飛行方向與水平線的夾角∠NCD=37°，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)A正上方的點(diǎn)E處時(shí)，測(cè)得AE=9米；…數(shù)據(jù)應(yīng)用：已知圖中各點(diǎn)均在同一豎直平面內(nèi)，E，A，B三點(diǎn)在同一直線上．請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算紀(jì)念碑頂部點(diǎn)A到地面的距離AB的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，2．（2024·西藏·中考真題）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，次仁和格桑自主設(shè)計(jì)了“測(cè)量家附近的一座小山高度”的探究作業(yè)．如圖，次仁在A處測(cè)得山頂C的仰角為30°；格桑在B處測(cè)得山頂C的仰角為45°．已知兩人所處位置的水平距離MN=210米，A處距地面的垂直高度AM=30米，B處距地面的垂直高度BN=20米，點(diǎn)M，F(xiàn)，N在同一條直線上，求小山CF的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）

3．（2025·陜西西安·二模）如圖是某市的廣播電視中心，小明同學(xué)想利用所學(xué)的知識(shí)來(lái)測(cè)量該建筑物的高度EF．他先在B處用測(cè)傾器AB測(cè)得電視中心頂端E的仰角為37°，再?gòu)腂沿BF方向走了250.5米到達(dá)D處，在D處豎立標(biāo)桿CD，發(fā)現(xiàn)水平地面上的點(diǎn)M、標(biāo)桿的頂端C與該建筑物的頂端E恰好在一條直線上，已知AB=CD=1米，測(cè)得DM=0.5米．點(diǎn)B、M、D、F在同一條直線上，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF．根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算該廣播電視中心的高度EF．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.604．（2025·河南·一模）開(kāi)封鐵塔又稱“開(kāi)寶寺塔”（如圖1），素有“天下第一塔”之稱，是見(jiàn)證開(kāi)封千余年繁華的參照．才思數(shù)學(xué)興趣小組利用所學(xué)知識(shí)開(kāi)展“測(cè)量開(kāi)封鐵塔高度”的主題活動(dòng)，并寫(xiě)出如下報(bào)告，請(qǐng)完成任務(wù)．課題測(cè)量開(kāi)封鐵塔高度測(cè)量工具無(wú)人機(jī)、測(cè)角儀、秒表等測(cè)量示意圖測(cè)量過(guò)程如圖2，測(cè)量小組使用無(wú)人機(jī)在點(diǎn)A處以6.3m/s的速度豎直上升20s飛行至點(diǎn)B處，在點(diǎn)B處測(cè)得塔頂D的俯角為20°，然后沿水平方向向左飛行至點(diǎn)C處，在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂D說(shuō)明點(diǎn)A，B，C，D，E均在同一豎直平面內(nèi)，且點(diǎn)A，E在同一水平線上，DE⊥AE．（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，任務(wù)求開(kāi)封鐵塔DE的高度（結(jié)果精確到1m5．（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖（1）是一臺(tái)實(shí)物投影儀，圖（2）是它的示意圖，折線A?B?C表示可轉(zhuǎn)動(dòng)支架，支架BC可以伸縮調(diào)節(jié)，投影探頭CD始終垂直于水平桌面MN，AB與BC始終在同一平面內(nèi)．已知投影儀的底座高3厘米，支架AB=30厘米，探頭CD=10厘米．（參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan63°≈2，sin

(1)當(dāng)支架AB與水平線的夾角為75°，與支架BC的夾角為90°，且BC=AB時(shí)，求探頭的端點(diǎn)D到桌面MN的距離．（結(jié)果保留一位小數(shù)）(2)為獲得更好的投影效果，調(diào)節(jié)支架AB，如圖（3）所示，使得AB與水平線的夾角為53°，同時(shí)調(diào)節(jié)支架BC，使得探頭端點(diǎn)D與點(diǎn)B在同一水平線上，且從點(diǎn)D看點(diǎn)A的俯角為63°，此時(shí)支架BC的長(zhǎng)度為多少？（結(jié)果保留一位小數(shù)）6．（2025·上海靜安·一模）舞獅文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，其中高樁舞獅是一項(xiàng)集體育與藝術(shù)于一體的競(jìng)技活動(dòng)，也被廣泛應(yīng)用于各種慶典活動(dòng)，成為傳承中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要載體（如圖①所示）．在舞獅表演中，梅花樁AB、CD、EF垂直于地面，且B、D、F在一直線上（如圖②所示）．如果在樁頂C處測(cè)得樁頂A和樁頂E的仰角分別為35°和47°，且AB樁與EF樁的高度差為1米，兩樁的距離BF為2米．(1)舞獅人從A跳躍到C，隨后再跳躍至E，所成的角∠ACE=°；(2)求樁AB與樁CD的距離BD的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.01米）【題型6方向角問(wèn)題】方向角遵循——上北下南，左西右東。因?yàn)檫@類題目常和特殊角結(jié)合，故作輔助線時(shí)，謹(jǐn)記一個(gè)原則：不能破壞已有的特殊角。1．（2025·河南焦作·一模）如圖，一艘輪船位于燈塔C的北偏東57°方向，距離燈塔50海里的A處，此時(shí)船長(zhǎng)接到臺(tái)風(fēng)預(yù)警信息，臺(tái)風(fēng)將在5小時(shí)后襲來(lái)，他計(jì)劃立即沿正南方向航行，趕往位于燈塔C的南偏東30°方向上的避風(fēng)港B處．(1)問(wèn)避風(fēng)港B處距離燈塔C有多遠(yuǎn)．(2)如果輪船的航速是20海里/時(shí)，問(wèn)輪船能否在5小時(shí)內(nèi)趕到避風(fēng)港B處．(參考數(shù)據(jù)：sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，tan57°≈1.54，2．（2025·河北秦皇島·一模）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從A港出發(fā)，分別向B，D兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)A港正東方向的C港裝運(yùn)新的物資．甲貨輪沿A港的東南方向航行10海里后到達(dá)B港，再沿北偏東60°萬(wàn)向航行一定距離到達(dá)C港．乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)D港，再沿南偏東30°方向航行一定距離到達(dá)C港．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，(1)求A，C兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（?？緽、D兩港的時(shí)間相同），哪艘貨輪先到達(dá)C港？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）今年4月23日，是人民海軍成立75周年紀(jì)念日．東部戰(zhàn)區(qū)海軍某基地海邊舉辦艦艇開(kāi)放活動(dòng)，A、B兩點(diǎn)分別為活動(dòng)入口和出口．且點(diǎn)B在一水平海岸線CD（如圖所示）上，測(cè)得∠ABC=α，sinα=2425，從點(diǎn)B出發(fā)按CD方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)E，即BE=20米，測(cè)得∠AEB=β4．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A，B，其中燈塔B在燈塔A的南偏東30°方向，且A，B相距1633海里．一漁船在C處捕魚(yú)，測(cè)得C處在燈塔A的北偏東30°方向、燈塔

(1)求B，C兩處的距離；(2)該漁船從C處沿北偏東65°方向航行一段時(shí)間后，突發(fā)故障滯留于D處，并發(fā)出求救信號(hào)．此時(shí)，在燈塔B處的漁政船測(cè)得D處在北偏東27°方向，便立即以18海里/小時(shí)的速度沿BD方向航行至D處救援，求漁政船的航行時(shí)間．（注：點(diǎn)A，B，C，D在同一水平面內(nèi)；參考數(shù)據(jù)：tan65°≈2.1，tan（建議用時(shí)：40分鐘）一﹑選擇題1．（2025·陜西·一模）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD于點(diǎn)E，且sin∠BAE=12，若BD=8A．3 B．2 C．23 D．2．（2025·陜西咸陽(yáng)·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，sin∠BCD=35，AB=15，則A．8 B．9 C．10 D．123．（2025·廣東深圳·一模）如圖，一枚運(yùn)載火箭從地面L處發(fā)射，雷達(dá)站R與發(fā)射點(diǎn)L水平距離為8km，當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，雷達(dá)站測(cè)得仰角為53°，則這枚火箭此時(shí)的高度AL為（

）km．A．8sin53° B．8cos53° C．4．（2025·陜西西安·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D都在⊙O上，若點(diǎn)A是CD的中點(diǎn)，CD=43，cosD=12，則A．35 B．6 C．435．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E在DC上，把△ADE沿AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，則cos∠CEF的值為（

A．74 B．73 C．346．（2024·廣東深圳·三模）無(wú)人機(jī)在實(shí)際生活中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛．如圖所示，某人利用無(wú)人機(jī)測(cè)量某大樓的高度BC，無(wú)人機(jī)在空中點(diǎn)P處，測(cè)得地面點(diǎn)A處的俯角為60°，且點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為80米，同時(shí)測(cè)得樓頂點(diǎn)C處的俯角為30°．已知點(diǎn)A與大樓的距離AB為70米（點(diǎn)A，B，C，P在同一平面內(nèi)），則大樓的高度BC為（

）A．51米 B．293米 C．303米 D．7．（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則tan∠ACB的值為（

A．1 B．2 C．12 D．8．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3．沿過(guò)點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處：再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，若折痕與AC的交點(diǎn)為E，則sin∠DEA=（

A．53 B．1213 C．359．（22-23九年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）喜迎二十大，“龍舟故里”賽龍舟，小亮在龍舟競(jìng)渡中心廣場(chǎng)點(diǎn)P處觀看400米直道競(jìng)速賽，如圖所示，賽道AB為東西方向，賽道起點(diǎn)A位于點(diǎn)P的北偏西30°方向上，終點(diǎn)B位于點(diǎn)P的北偏東60°方向上，AB=400米，求點(diǎn)P到賽道AB的距離（

）（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732A．503 B．1003 C．87二、填空題10．（2025·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，在正方形ABCD中，BC=3，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE=2,DF平分∠ADC交AE于點(diǎn)F，則線段DF的長(zhǎng)為．11．（2025·廣東清遠(yuǎn)·一模）圖1是一個(gè)地鐵站入口的雙翼閘機(jī)，圖2是它的簡(jiǎn)化圖，它的雙翼展開(kāi)時(shí)，雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為10cm，雙翼的邊緣AC=BD=80cm，且與閘機(jī)側(cè)立面夾角∠ACP=∠BDQ=32°．當(dāng)雙翼收起時(shí)，可以通過(guò)閘機(jī)的物體的最大寬度為cm．（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.53，cos12．（2024·湖北武漢·中考真題）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點(diǎn)，享有“天下江山第一樓”的美譽(yù)．在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量黃鶴樓AB的高度，具體過(guò)程如下：如圖，將無(wú)人機(jī)垂直上升至距水平地面102m的C處，測(cè)得黃鶴樓頂端A的俯角為45°，底端B的俯角為63°，則測(cè)得黃鶴樓的高度是m．（參考數(shù)據(jù)：tan三、解答題13．（2025·陜西·一模）如圖，某商場(chǎng)開(kāi)業(yè)當(dāng)天，在商場(chǎng)門(mén)前的廣場(chǎng)上舉行無(wú)人機(jī)表演，某一時(shí)刻，甲在商場(chǎng)的樓頂C處觀測(cè)到其中一架無(wú)人機(jī)D的仰角為37°，同一時(shí)刻，乙在A處觀測(cè)到無(wú)人機(jī)D的仰角為30°，已知乙的位置A到商場(chǎng)的距離AB=60m，商場(chǎng)的高度BC=24m，BC⊥AB，DE⊥AB，點(diǎn)A、B、C、D、E都在同一平面上，求此時(shí)無(wú)人機(jī)的高度DE．（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin37°≈314．（2025·江蘇鎮(zhèn)江·一模）圖1是一臺(tái)手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AC,CD可分別繞點(diǎn)A，C轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)得CD=10cm,AC=24cm(1)求點(diǎn)C到AB的距離；(2)求點(diǎn)D到AB的距離．(結(jié)果均保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，sin25°≈0.423，cos25°≈0.90615．（2025·山西朔州·一模）【實(shí)踐情景】如圖，太原市在本市兩景點(diǎn)之間開(kāi)設(shè)了兩條徒步路線，線路1為Citywalk路線，路線為A,B之間的線段；線路2為越野線路，路線為A?C?B之間的折線段．【數(shù)據(jù)收集】數(shù)據(jù)①：點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東45°方向上；數(shù)據(jù)②：線路2的行走方式為從起點(diǎn)A出發(fā)，先向北偏東15°的方向越野行走一段路程到達(dá)中轉(zhuǎn)點(diǎn)C，再?gòu)闹修D(zhuǎn)點(diǎn)C向正東方向行走2000米即可到達(dá)終點(diǎn)B．【數(shù)據(jù)應(yīng)用】利用以上數(shù)據(jù)，求AB的長(zhǎng)．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：2≈1.414,熱點(diǎn)中考數(shù)學(xué)解直角三角形及其應(yīng)用解析中考數(shù)學(xué)中《銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用》部分主要考向分為三類：一、特殊角的三角函數(shù)值相關(guān)運(yùn)算（每年1道，6~8分）二、解直角三角形（每年1道，3分）三、解直角三角形的應(yīng)用（每年1題，3~8分）中考數(shù)學(xué)中，對(duì)銳角三角函數(shù)的考察主要以特殊角的三角函數(shù)值及其有關(guān)計(jì)算、解直角三角形、解直角三角形的應(yīng)用三個(gè)方面為主。其中，特殊角的三角函數(shù)值主要和實(shí)數(shù)相關(guān)概念放一起考察計(jì)算題，而解直角三角形及其各種應(yīng)用則選擇、填空、簡(jiǎn)答題都有出現(xiàn)，其中應(yīng)用則偏向大題多些，難度一般中等或偏上，分值也比較可觀，但對(duì)應(yīng)考點(diǎn)掌握熟練，計(jì)算和審題上夠小心了，一般不會(huì)失分?？枷蛞唬禾厥饨堑娜呛瘮?shù)值的運(yùn)算【題型1和實(shí)數(shù)概念結(jié)合的特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)算】特殊角的三角函數(shù)值表αsinαcosαtanα30°45°60°特殊角的三角函數(shù)值，可以直接記數(shù)值，也可以記定義，然后現(xiàn)退對(duì)應(yīng)函數(shù)值，但顯然，直接熟記對(duì)應(yīng)數(shù)值會(huì)便捷很多。1．（2025·山東濟(jì)南·一模）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查的是含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，先計(jì)算零次冪，化簡(jiǎn)二次根式，代入特殊角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再合并即可．【詳解】解：2．（2025·江蘇鎮(zhèn)江·一模）計(jì)算：【答案】4【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及到絕對(duì)值，特殊角三角函數(shù)，熟練掌握實(shí)數(shù)混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算法則，先進(jìn)行冪的運(yùn)算，絕對(duì)值和特殊角三角函數(shù)，再進(jìn)行加減運(yùn)算，即可得到結(jié)果．【詳解】解：．3．（2025·江蘇宿遷·一模）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算順序和計(jì)算法則正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．根據(jù)絕對(duì)值的意義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪及銳角三角函數(shù)分別化簡(jiǎn)，然后進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：原式．4．（2025·湖南長(zhǎng)沙·一模）計(jì)算：【答案】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，先把每一項(xiàng)算出，再加減即可，熟練計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式．5．（2025·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：【答案】【分析】本題主要考查零指數(shù)冪，算術(shù)平方根，特殊角的三角函數(shù)值以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式．6．（2025·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：．【答案】．【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，先計(jì)算乘方，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：．7．（2025·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：．【答案】1【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算，絕對(duì)值、零次冪，先運(yùn)算乘方、化簡(jiǎn)絕對(duì)值、零次冪以及特殊角的三角函數(shù)，再運(yùn)算加減法，即可作答．【詳解】解：．8．（2024·廣東梅州·一模）計(jì)算：．【答案】【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算．代入特殊角是三角函數(shù)值、利用零指數(shù)冪法則、求算術(shù)平方根的法則、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．考向二：解直角三角形【題型2利用已知信息求解對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值】解直角三角形口訣“直乘斜除，對(duì)正臨余”——求直角三角形的直角邊，多用乘法；求斜邊，多用除法。求已知角的對(duì)邊，多用正弦或正切值；求已知角的臨邊，多用余弦值。常見(jiàn)輔助線：作垂線1.（2025·廣東深圳·一模）在中，，那么的值是（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】本題考查了特殊三角函數(shù)的值，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和定義求出，再由特殊三角函數(shù)的值即可解答．【詳解】解：∵在中，，∴，∴，故選：A．2．（2024·云南·中考真題）在中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查銳角三角函數(shù)．根據(jù)題意利用銳角三角函數(shù)即可得到本題答案．【詳解】解：∵，∴，故選：C．3．（2025·廣東深圳·一模）如圖所示的電視塔是某城市的標(biāo)志性建筑物，在水平地面上的點(diǎn)A，C處分別測(cè)得電視塔塔頂B的仰角均為α度，且點(diǎn)A，C，D在同一直線上，，若測(cè)得，則塔高是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得D為的中點(diǎn)，利用銳角三角函數(shù)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：由題意可知：，∴點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∵米，∴米，∴（米）．故選：C．4．（22-23九年級(jí)上·廣東佛山·期末）如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得答案．【詳解】解：如圖：在中，，，，，故選D．5．（2024·安徽宿州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，實(shí)線部分是一個(gè)正方體展開(kāi)圖，點(diǎn)A，B，C，D，E均在的邊上，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理、余弦的定義等知識(shí)點(diǎn)，得到是解決本題的關(guān)鍵．如圖：由題意得，，從而得出，設(shè)，則，由勾股定理得出，最后代入計(jì)算即可．【詳解】解：如圖：由題意得：，，∴，設(shè)，則，，∵在中，，∴．故選：A．6．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)與點(diǎn)分別在反比例函數(shù)與的圖像上，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．過(guò)點(diǎn)A作軸，過(guò)點(diǎn)B作軸，證明得到，再由反比例函數(shù)性質(zhì)可求出，再利用正弦定義求的值即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作軸，過(guò)點(diǎn)B作軸，則，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)A與點(diǎn)B分別在反比例函數(shù)與的圖像上，∴，∴，∴，設(shè)，∵，∴，∴．故選：C．【題型3利用三角函數(shù)值求解幾何圖形的線段】此類計(jì)算更多的是注意審題，因?yàn)轭}目中可能會(huì)要求精確位數(shù)，或者保留幾位有效數(shù)字，這時(shí)候要注意，一般計(jì)算到最后一步才帶入?yún)⒖紨?shù)據(jù)計(jì)算，然后四舍五入。1．（2025·陜西榆林·一模）如圖，在中，是的高．若，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．5 D．【答案】A【分析】本題考查了解直角三角形和勾股定理，正確作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．解直角三角形得，由勾股定理得：，求得的長(zhǎng)，在中，由勾股定理即可求解．【詳解】解：∵，，∴，由勾股定理得：，∴，在中，由勾股定理得：，故選：A．2．（2025·海南三亞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，建筑物和旗桿的水平距離為，在建筑物的頂端測(cè)得旗桿頂部的仰角為，旗桿底部的俯角為，則旗桿的高度為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵掌握銳角三角函數(shù)的定義．根據(jù)題意可得四邊形是矩形，，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長(zhǎng)，最后利用線段的和差，即可解答．【詳解】解，如圖：由題意得：四邊形是矩形∴在中，，，在中，，，．故選：D．3．（2025·浙江寧波·一模）在菱形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，連接，．若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6【答案】A【分析】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M，證明，，可得，過(guò)E點(diǎn)作于N點(diǎn)，結(jié)合可得，，，再進(jìn)一步可得答案.【詳解】解：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M，在菱形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，，，，在和中，，，在和中，，，，過(guò)E點(diǎn)作于N點(diǎn)，，，，，，，在中，即，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形，勾股定理等，正確添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵．4．（2025·陜西西安·二模）如圖，在平行四邊形中，過(guò)D作于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，證明，，根據(jù)可得答案．【詳解】解：在平行四邊形中，，∴，，∵，，∴，∴，故選：C考向三：解直角三角形的應(yīng)用【題型4坡度坡角問(wèn)題】坡度坡角的意義：坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，坡度越大，坡角越大，坡面越陡1．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在冬奧會(huì)滑雪場(chǎng)有一坡度為的滑雪道，滑雪道的長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查勾股定義解應(yīng)用題，涉及坡度定義，根據(jù)坡度定義得到，設(shè)，則，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．【詳解】解：在冬奧會(huì)滑雪場(chǎng)有一坡度為的滑雪道，，設(shè)，則，在中，，則由勾股定理可得，解得，，故選：B．2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，小樂(lè)和小靜一起從點(diǎn)出發(fā)去拍攝木棉樹(shù)．小樂(lè)沿著水平面步行17m到達(dá)點(diǎn)時(shí)拍到樹(shù)頂點(diǎn)，仰角為；小靜沿著坡度的斜坡步行13m到達(dá)點(diǎn)C時(shí)拍到樹(shù)頂點(diǎn)F，仰角為，那么這棵木棉樹(shù)的高度約（

）m．（結(jié)果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．22 B．21 C．20 D．19【答案】C【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得：，，米，再根據(jù)已知可設(shè)米，則米，然后在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算可得米，米，最后設(shè)米，則米，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于的方程進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，，米，斜坡的坡度，，設(shè)米，則米，在中，（米，米，，解得：，米，米，設(shè)米，米，在中，，米，在中，，米，，，解得：，（米，這棵木棉樹(shù)的高度約為20米，故選：C．3．（2024·四川自貢·模擬預(yù)測(cè)）如圖為一大壩的橫截面圖，，背水坡的坡度為，迎水坡的坡角為，若米，壩高為米，則坡底長(zhǎng)為（

）米．

A．17 B．18 C．19 D．20【答案】D【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)D分別作的垂線，垂足分別為E、F，則四邊形是矩形，可得米，米，再分別解直角三角形求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)D分別作的垂線，垂足分別為E、F，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴米，米，∵背水坡的坡度為，∴，∴米，在中，，∴米，∴米，故選：D．

4．（2025·廣東潮州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，河堤橫斷面迎水坡的坡比是，河堤的高米，則坡面的長(zhǎng)度是米．（坡比也叫坡度．坡比是指點(diǎn)B向水平面作垂線，垂足為C，．）

【答案】【分析】本題考查了解直角三角形問(wèn)題，勾股定理，根據(jù)迎水坡的坡比為得出，再根據(jù)米，得出的值，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：由題意得，∴（米），∴（米）．故答案為：．5．（2025·上海青浦·一模）如圖，梯形是某水庫(kù)大壩的橫截面．已知壩高，如果將坡度為的斜坡改為坡度為的斜坡，那么大壩底部應(yīng)加寬．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，于是得到)．【詳解】解：，大壩底部應(yīng)加寬．故答案為：6．（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開(kāi)展了測(cè)量電線塔高度的實(shí)踐活動(dòng)．如圖所示，斜坡的坡度，，在處測(cè)得電線塔頂部的仰角為，在處測(cè)得電線塔頂部的仰角為．(1)求點(diǎn)離水平地面的高度．(2)求電線塔的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】(1)；(2)電線塔的高度．【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用．（1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函數(shù)的定義得到，據(jù)此求解即可；（2）作于點(diǎn)，設(shè)，先解得到，解得到米，進(jìn)而得到方程，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：∵斜坡的坡度，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，，，設(shè)，在中，，∴，在中，，在中，，，∴，∴，∴，∴，∴答：電線塔的高度．7．（2023·湖北·中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長(zhǎng)度為20米，，求斜坡的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】斜坡的長(zhǎng)約為10米【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，利用正弦函數(shù)求得，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，在中，，．∴．∵，∴在中，（米）．答：斜坡的長(zhǎng)約為10米．【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【題型5仰角俯角問(wèn)題】仰角俯角的意義：仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫仰角.俯角：視線在水平線下方的叫俯角1．（2024·山西·中考真題）研學(xué)實(shí)踐：為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”，學(xué)校組織研學(xué)活動(dòng)．同學(xué)們來(lái)到毛主席東渡黃河紀(jì)念碑所在地，在了解相關(guān)歷史背景后，利用航模搭載的掃描儀采集紀(jì)念碑的相關(guān)數(shù)據(jù)．?dāng)?shù)據(jù)采集：如圖，點(diǎn)是紀(jì)念碑頂部一點(diǎn)，的長(zhǎng)表示點(diǎn)到水平地面的距離．航模從紀(jì)念碑前水平地面的點(diǎn)處豎直上升，飛行至距離地面20米的點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得點(diǎn)的仰角；然后沿方向繼續(xù)飛行，飛行方向與水平線的夾角，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)正上方的點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得米；數(shù)據(jù)應(yīng)用：已知圖中各點(diǎn)均在同一豎直平面內(nèi)，，，三點(diǎn)在同一直線上．請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算紀(jì)念碑頂部點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．【答案】點(diǎn)A到地面的距離的長(zhǎng)約為27米【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問(wèn)題、銳角三角函數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意得，四邊形為矩形，，在中，，，，，在中，，，，，設(shè)米．，，，解得，（米）；答：點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)約為27米．2．（2024·西藏·中考真題）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，次仁和格桑自主設(shè)計(jì)了“測(cè)量家附近的一座小山高度”的探究作業(yè)．如圖，次仁在A處測(cè)得山頂C的仰角為；格桑在B處測(cè)得山頂C的仰角為．已知兩人所處位置的水平距離米，A處距地面的垂直高度米，B處距地面的垂直高度米，點(diǎn)M，F(xiàn)，N在同一條直線上，求小山的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】米【分析】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，證明四邊形和四邊形為矩形，得出米，米，，，設(shè)，則米，解直角三角形得出，，根據(jù)米，得出，求出，最后得出答案即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，，∴四邊形和四邊形為矩形，∴米，米，，，∴（米），設(shè)，則米，∵，，∴，∵，，∴，∴，，∵米，∴，解得：，∴米．3．（2025·陜西西安·二模）如圖是某市的廣播電視中心，小明同學(xué)想利用所學(xué)的知識(shí)來(lái)測(cè)量該建筑物的高度．他先在B處用測(cè)傾器測(cè)得電視中心頂端E的仰角為，再?gòu)腂沿方向走了米到達(dá)D處，在D處豎立標(biāo)桿，發(fā)現(xiàn)水平地面上的點(diǎn)M、標(biāo)桿的頂端C與該建筑物的頂端E恰好在一條直線上，已知米，測(cè)得米．點(diǎn)B、M、D、F在同一條直線上，．根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算該廣播電視中心的高度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】302米【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)，交于H，根據(jù)列出比例式，得到，根據(jù)正切的定義列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)，交于H，則米，∵，∴，∴，即，∴，∴，，∴，∴，在中，，∴，即，解得：，答：該廣播電視中心的高度約為米．4．（2025·河南·一模）開(kāi)封鐵塔又稱“開(kāi)寶寺塔”（如圖1），素有“天下第一塔”之稱，是見(jiàn)證開(kāi)封千余年繁華的參照．才思數(shù)學(xué)興趣小組利用所學(xué)知識(shí)開(kāi)展“測(cè)量開(kāi)封鐵塔高度”的主題活動(dòng)，并寫(xiě)出如下報(bào)告，請(qǐng)完成任務(wù)．課題測(cè)量開(kāi)封鐵塔高度測(cè)量工具無(wú)人機(jī)、測(cè)角儀、秒表等測(cè)量示意圖測(cè)量過(guò)程如圖2，測(cè)量小組使用無(wú)人機(jī)在點(diǎn)A處以的速度豎直上升飛行至點(diǎn)B處，在點(diǎn)B處測(cè)得塔頂D的俯角為，然后沿水平方向向左飛行至點(diǎn)C處，在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂D和點(diǎn)A的俯角均為說(shuō)明點(diǎn)A，B，C，D，E均在同一豎直平面內(nèi)，且點(diǎn)A，E在同一水平線上，．（參考數(shù)據(jù)：，，）任務(wù)求開(kāi)封鐵塔的高度（結(jié)果精確到）【答案】開(kāi)封鐵塔的高度約為【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵；由題意易得，則有，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如解圖所示，則四邊形為矩形，然后可得，設(shè)，則，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)及勾股定理可進(jìn)行求解【詳解】解：由題意，可知．在中，，，．延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如解圖所示，則四邊形為矩形．．設(shè)，則．在中，，．．在中，，，即，解得．答：開(kāi)封鐵塔的高度約為．5．（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖（1）是一臺(tái)實(shí)物投影儀，圖（2）是它的示意圖，折線表示可轉(zhuǎn)動(dòng)支架，支架可以伸縮調(diào)節(jié)，投影探頭始終垂直于水平桌面，與始終在同一平面內(nèi)．已知投影儀的底座高3厘米，支架厘米，探頭厘米．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）

(1)當(dāng)支架與水平線的夾角為，與支架的夾角為，且時(shí)，求探頭的端點(diǎn)到桌面的距離．（結(jié)果保留一位小數(shù)）(2)為獲得更好的投影效果，調(diào)節(jié)支架，如圖（3）所示，使得與水平線的夾角為，同時(shí)調(diào)節(jié)支架，使得探頭端點(diǎn)與點(diǎn)在同一水平線上，且從點(diǎn)看點(diǎn)的俯角為，此時(shí)支架的長(zhǎng)度為多少？（結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】(1)厘米；(2)厘米【分析】本題主要考查解直角三角形的運(yùn)用，掌握解直角三角形的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合分析，合理作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）如圖，連接，延長(zhǎng)交過(guò)點(diǎn)的水平線于點(diǎn)，則可得（厘米），，所以，由，根據(jù)三角函數(shù)的計(jì)算得到（厘米），結(jié)合探頭的端點(diǎn)到桌面的距離（厘米）即可求解；（2）如圖，作于點(diǎn)，根據(jù)題意（厘米），（厘米），（厘米），由（厘米），即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，延長(zhǎng)交過(guò)點(diǎn)的水平線于點(diǎn)，

由題意得：厘米，，，∴（厘米），，∴，∵始終垂直于水平桌面，∴，∴（厘米），∵投影儀的底座高3厘米，∴探頭的端點(diǎn)到桌面的距離（厘米）．答：探頭的端點(diǎn)到桌面的距離約為厘米；（2）解：如圖，作于點(diǎn)，則，

由題意得：，，∴，∵厘米，∴（厘米），∴（厘米），由題意得：，∴（厘米），∴（厘米），由題意得：，∴（厘米），答：支架的長(zhǎng)度大約為厘米．6．（2025·上海靜安·一模）舞獅文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，其中高樁舞獅是一項(xiàng)集體育與藝術(shù)于一體的競(jìng)技活動(dòng)，也被廣泛應(yīng)用于各種慶典活動(dòng)，成為傳承中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要載體（如圖①所示）．在舞獅表演中，梅花樁垂直于地面，且在一直線上（如圖②所示）．如果在樁頂處測(cè)得樁頂和樁頂?shù)难鼋欠謩e為和，且樁與樁的高度差為米，兩樁的距離為米．(1)舞獅人從跳躍到，隨后再跳躍至，所成的角；(2)求樁與樁的距離的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米）【答案】(1)(2)米【分析】本題主要考查仰俯角解直角三角形的運(yùn)用，理解并掌握解直角三角形的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)仰俯角，平角為即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作，分別交于點(diǎn)，則四邊形、、都是矩形，設(shè)米，則米，在中，由函數(shù)函數(shù)的計(jì)算，得到，在中，，得到，由，即可求解．【詳解】（1）解：在樁頂處測(cè)得樁頂和樁頂?shù)难鼋欠謩e為和，∴，故答案為：；（2）解：過(guò)點(diǎn)作，分別交于點(diǎn)，∵，，，∴，∴四邊形、、都是矩形，∴，設(shè)米，則米，在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，解得，（米），答：樁與樁的距離的長(zhǎng)約為米．【題型6方向角問(wèn)題】方向角遵循——上北下南，左西右東。因?yàn)檫@類題目常和特殊角結(jié)合，故作輔助線時(shí)，謹(jǐn)記一個(gè)原則：不能破壞已有的特殊角。1．（2025·河南焦作·一模）如圖，一艘輪船位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔海里的處，此時(shí)船長(zhǎng)接到臺(tái)風(fēng)預(yù)警信息，臺(tái)風(fēng)將在小時(shí)后襲來(lái)，他計(jì)劃立即沿正南方向航行，趕往位于燈塔的南偏東方向上的避風(fēng)港處．(1)問(wèn)避風(fēng)港處距離燈塔有多遠(yuǎn)．(2)如果輪船的航速是海里時(shí)，問(wèn)輪船能否在小時(shí)內(nèi)趕到避風(fēng)港處．參考數(shù)據(jù)：，，，【答案】(1)海里(2)能【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵；（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則．解，，求得，即可求解；（2）解，得出，進(jìn)而根據(jù)，求得的距離，根據(jù)路程除以速度，即可求解．【詳解】（1）由題意得，，海里．如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則．在中，，海里．在中，，海里．答：避風(fēng)港處距離燈塔約海里．（2）如圖，在中，海里．在中，，海里，海里，海里．小時(shí)，故輪船能在小時(shí)內(nèi)趕到避風(fēng)港處．2．（2025·河北秦皇島·一模）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從港出發(fā)，分別向，兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)港正東方向的港裝運(yùn)新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行10海里后到達(dá)港，再沿北偏東萬(wàn)向航行一定距離到達(dá)港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達(dá)港，再沿南偏東方向航行一定距離到達(dá)港．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求，兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（?？?、兩港的時(shí)間相同），哪艘貨輪先到達(dá)港？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．【答案】(1)77.2海里(2)甲貨輪先到達(dá)港，計(jì)算說(shuō)明見(jiàn)解析【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，先在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）根據(jù)題意可得：，從而可得，然后利用角的和差關(guān)系可得，從而在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出和的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，最后進(jìn)行計(jì)算比較即可解答．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，如圖所示：在中，海里，∴（海里），（海里），在中，，∴（海里），∴（海里），∴兩港之間的距離約為77.2海里；（2）解：甲貨輪先到達(dá)港，理由如下：如圖所示：由題意得，∴，∴，在中，，∴海里，海里，在中，海里，∴（海里），∴甲貨輪航行的路程（海里），乙貨輪航行的路程（海里），∵96.4海里＜105.4海里，∴甲貨輪先到達(dá)港．3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）今年4月23日，是人民海軍成立75周年紀(jì)念日．東部戰(zhàn)區(qū)海軍某基地海邊舉辦艦艇開(kāi)放活動(dòng)，、兩點(diǎn)分別為活動(dòng)入口和出口．且點(diǎn)在一水平海岸線（如圖所示）上，測(cè)得，，從點(diǎn)出發(fā)按方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)，即米，測(cè)得，，試根據(jù)已知條件求出活動(dòng)入口和出口之間的直線距離．【答案】米【分析】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．如圖，過(guò)作于，由，設(shè)，則，可得，而，可得，結(jié)合，即，再建立方程求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，

∵，即，設(shè)，則，∴，而，∴，∵，∴，即，∴，解得：，∴（米），答：A、B兩點(diǎn)間的距離為500米．4．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A，B，其中燈塔B在燈塔A的南偏東方向，且A，B相距海里．一漁船在C處捕魚(yú)，測(cè)得C處在燈塔A的北偏東方向、燈塔B的正北方向．

(1)求B，C兩處的距離；(2)該漁船從C處沿北偏東方向航行一段時(shí)間后，突發(fā)故障滯留于D處，并發(fā)出求救信號(hào)．此時(shí)，在燈塔B處的漁政船測(cè)得D處在北偏東方向，便立即以18海里/小時(shí)的速度沿方向航行至D處救援，求漁政船的航行時(shí)間．（注：點(diǎn)A，B，C，D在同一水平面內(nèi)；參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)B，C兩處的距離為16海里(2)漁政船的航行時(shí)間為小時(shí)【分析】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出輔助線，構(gòu)造直角三角形．（1）根據(jù)題意易得，則，再求出（海里），即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，設(shè)海里，則，，則，求出，進(jìn)而得出海里，海里，根據(jù)勾股定理可得：（海里），即可解答．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，∵燈塔B在燈塔A的南偏東方向，C處在燈塔A的北偏東方向、燈塔B的正北方向．∴，∴，∵，∴，∵海里，∴（海里），∴（海里），∴B，C兩處的距離為16海里．

（2）解：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，設(shè)海里，∵，∴，由（1）可知，海里，∴海里，∵，∴，∴，解得：，∴海里，海里，根據(jù)勾股定理可得：（海里），∴漁政船的航行時(shí)間為（小時(shí)），答：漁政船的航行時(shí)間為小時(shí)．

（建議用時(shí)：40分鐘）一﹑選擇題1．（2025·陜西·一模）如圖，在矩形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，且，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．先求得，得到，利用正弦函數(shù)的定義求得，，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．2．（2025·陜西咸陽(yáng)·一模）如圖，在中，，于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形，同角的余角相等，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，利用同角的余角相等得到，進(jìn)而得到，利用銳角三角函數(shù)定義求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：在中，，，，，，，在中，，，，故選：B．3．（2025·廣東深圳·一模）如圖，一枚運(yùn)載火箭從地面L處發(fā)射，雷達(dá)站R與發(fā)射點(diǎn)L水平距離為，當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，雷達(dá)站測(cè)得仰角為，則這枚火箭此時(shí)的高度為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題意可得：，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：，在中，，，，這枚火箭此時(shí)的高度為，故選：D．4．（2025·陜西西安·二模）如圖，是的直徑，點(diǎn)C、D都在上，若點(diǎn)A是的中點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．6 C． D．8【答案】D【分析】本題考查了垂徑定理、解直角三角形，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．連接、，根據(jù)垂徑定理得，可得出，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的兩倍得出，易得出，然后根據(jù)正弦的定義即可得出，最后根據(jù)直徑是半徑的2倍，即可得出答案．【詳解】解：連接、，點(diǎn)A是的中點(diǎn)，，設(shè)垂足為點(diǎn)，，，和所對(duì)的弧都是，，，且，，，，在中，,，，，，是的直徑，，故選D．5．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，把沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，求角的三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，正確利用折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)，可求得，，從而求得，，在中，由勾股定理，得，即可求得結(jié)果．【詳解】解：四邊形是矩形，，，把沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，，，，，在中，，由勾股定理，得，，，，，故選：A．6．（2024·廣東深圳·三模）無(wú)人機(jī)在實(shí)際生活中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛．如圖所示，某人利用無(wú)人機(jī)測(cè)量某大樓的高度，無(wú)人機(jī)在空中點(diǎn)P處，測(cè)得地面點(diǎn)A處的俯角為，且點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為米，同時(shí)測(cè)得樓頂點(diǎn)C處的俯角為．已知點(diǎn)A與大樓的距離為70米（點(diǎn)A，B，C，P在同一平面內(nèi)），則大樓的高度為（

）A．51米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，過(guò)作，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，由三角函數(shù)得，，，即可求解；掌握解直角三角形的解法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過(guò)作，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，(米)，故選：C．7．（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，若的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】本題考查解直角三角形，構(gòu)造出合適的直角三角形是解題的關(guān)鍵．連接網(wǎng)格中適當(dāng)?shù)母顸c(diǎn)，構(gòu)造出直角三角形即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，根據(jù)勾股定理得：，，，，，在中，，故選：C．8．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）如圖，三角形紙片中，，，．沿過(guò)點(diǎn)的直線將紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處：再折疊紙片，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，若折痕與的交點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查直角三角形中的翻折變換，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，熟練利用勾股定理列方程．根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，，，即可得，則，設(shè)，可得，即可解得．再求解即可．【詳解】解：沿過(guò)點(diǎn)的直線將紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，，，折疊紙片，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，，，，，設(shè)，則，，解得，，故選：B.9．（22-